Мещерский И.В. Сборник задач по теоретической механике

Подождите немного. Документ загружается.

скорости пришел в движение по вертикальной прямой. Считая жест-

кость пружины равной с и предполагая, что действие воды сводится

добавочной архимедовой силе, определить движение цилиндра от-

носительно положения равновесия. Принять удельный вес воды рав-

ным

Ответ:

х = -g- h cos kt, где А

= ~- (с -f-

it-jr

•

32.54

(846). В предыдущей задаче определить колебательное дви-

жение цилиндра, если сопротивление воды пропорционально первой

степени скорости и равно <xv.

Ответ:

Движение цилиндра

будет

колебательным, если

Тогда

(±4-—-Л-

\m ' m '/

где

т I (и *'

32.55

(847). Тело Л весом 0,5 кГ лежит на негладкой горизонталь-

ной

плоскости и соединено с неподвижной точкой В пружиной, ось

которой ВС горизонтальна. Коэффициент трения

плоскости 0,2; пружина такова, что для удлинения

ее на 1 см

требуется

сила 0,25 кГ. Тело А ото-

двинуто от точки В так, что пружина вытянулась

на

3 см, и затем отпущено беэ начальной

задаче 32.55.

скорости.

Найти:

1) число размахав, которые совершит тело А,

2) величины размахов и 3) продолжительность Т каждого из них.

Тело

остановится, когда в положении, где скорость его равна нулю, сила

упругости пружины будет равна силе трения или меньше ее.

Ответ: 1) 4 размаха; 2) 5,2 см, 3,6 см, 2 см, 0,4 см;

3) Г = 0,141 сек.

32.56. Груз весом Q = 20 кГ, лежащий на

наклонной

негладкой

плоскости,

прикрепили к нерастянутой пружине и сообщили ему на-

чальную

скорость г>

= 0,5 м'сек, направленную

вниз.

Коэффициент

трения

скольжения

/=0,08,

коэффициент

жесткости пружины

251

С/

задаче

32.57.

с = 2

кГ/см.

Угол,

образованный наклонной плоскостью с горизонтом,

а = 45°. Определить: 1) период колебаний, 2) число размахов, кото-

рые совершит груз, 3) величины размахов.

Ответ:

1) Г =

0,628

сек; 2) 8 размахов;

3) 7,68 см, 6,56 см, 5,44 см, 4,32 см,

3,2 см, 2,08 см, 0,96 см, 0,16 см.

32.57. Тело весом Р = 0,5 кГ совершает колебания на горизонталь-

ной

плоскости под действием

двух

одинаковых пружин, прикреплен-

ных к

телу

одним концом и к неподвижной стойке —другим; оси

пружин лежат на одной горизон-

тальной прямой. Коэффициенты жест-

кости пружин с

= с

= 0,125

кГ/см;

коэффициент

трения при движении

тела

/=0,2,

при покое /„ = 0,25.

В начальный момент тело было

отодвинуто от своего среднего по-

ложения О вправо в положение

= д см и отпущено без начальной скорости. Найти: 1) область

возможных равновесных положений тела — «область застоя», 2) вели-

чины

размахов тела, 3) число его размахов, 4) продолжительность

каждого из них, 5) положение тела после колебаний.

Ответ:

1) —0,5 см <.х< 0,5 см; 2) 5,2 см, 3,6 см, 2 см, 0,4 см;

3) 4 размаха; 4) 7 = 0,141 сек; 5) х = — 0,2 см.

32.58. Под действием силы сопротивления R, пропорциональной

первой степени скорости (R = av), тело массы т, подвешенное к пру-

жине жесткости с, совершает затухающие колебания.

Определить, во сколько раз период затухающих колебаний Т

превосходит период незатухающих колебаний Т

, если отношение

njk = 0,1 {№ = c/m, n = <х/2от).

Ответ:

Гл*

1,0057"

32.59. В условиях предыдущей задачи определить, через сколько

полных колебаний амплитуда уменьшится в сто раз.

Ответ:

через 7,5 полных колебаний.

32.60 (848). Для определения сопротивления воды движению мо-

дели судна при очень малых скоростях модель М пустили плавать

сосуде, привязав нос и

корму посредством

двух

оди-

наковых пружин An В, силы

натяжения

которых пропор-

циональны

удлинениям. Ре-

зультаты наблюдений пока-

зали, что отклонения модели

от положения равновесия

после каждого размаха уменьшаются, составляя геометрическую про-

грессию, знаменатель которой равен 0,9, а продолжительность каж-

дого размаха Т = 0,5 сек.

Определить в граммах силу R сопротивления воды, приходящую-

ся

на каждый грамм веса модели, при скорости ее, равной 1

см/сек,

задачам

32.60

и 32.61.

252

предполагая, что сопротивление воды пропорционально первой сте-

пени

скорости.

Ответ:

R —

0,00043

Г.

32.61. В условиях предыдущей задачи найти уравнение движения

модели, если в начальный момент пружина А была растянута, а пру-

жина В сжата на величину А1 = 4см и модель

была отпущена без начальной скорости.

ШШШШШ

Ответ:

х =

е~

2и

(4 cos 6,2& -f 0,134 sin

6,28*).

32.62 (849). Для определения вязкости жидко-

сти Кулон употреблял следующий метод: подвесив

на

пружине тонкую пластинку А, он заставлял

ее колебаться сначала в

воздухе,

а затем в той

жидкости, вязкость которой надлежало опреде-

лить, и находил продолжительность одного раз-

маха: 7"i — в первом

случае

и Г

— во втором.

Сила трения

между

пластинкой и жидкостью мо-

т77Я77ж/////х////////////?

жет быть выражена формулой 2Skv, где 2S—

ШШШШЖЖ

ПОверХНОСТЬ

ПЛаСТИНКИ,

V — ее СКОРОСТЬ, k —

КОЭф-

К задаче 32 62.

фициент

вязкости. Пренебрегая трением

между

'пластинкой

и воздухом, определить коэффициент k по найденным

из

опыта величинам 7"j и Т

если вес пластинки равен Р.

Ответ:

k = " YT\ — Т\.

gbi li 2

32.63 (850). Тело весом 5 кГ подвешено на пружине,

коэффи-

циент жесткости которой равен 2

кГ/см.

Сопротивление среды про-

порционально скорости. Амплитуда после четырех колебаний умень-

шилась в 12 раз.

Определить период колебаний и логарифмический декремент

зату-

хания.

Ответ:

Т = 0,319 сек; ^ = 0,311.

32.64. В условиях предыдущей задачи найти уравнение движения

тела, если его подвесили к концу нерастянутой пружины и отпустили

без начальной скорости.

Ответ:

х =

е~

№(—

2,5 cos

19,2*—

0,252

sin

19,20.

32.65

(851). Тело весом 5,88 кГ, подвешенное на пружине, при

отсутствии сопротивления колеблется с периодом Т =

0,4гс

сек, а если

действует сопротивление, пропорциональное первой степени ско-

рости, — с периодом 7\ =

0,5тс

сек. Найти силу сопротивления k при

скорости, равной 1

см/сек,

и определить движение, если в начальный

момент пружина была растянута из положения равновесия на 4 см

тело предоставлено самому себе.

Ответ:

==0,036;

х = Ъе~

' sin (it -f arctg ~Y

32.66 (852). Тело весом 1,96 кГ, подвешенное на пружине, которая

силой 1 кГ растягивается на 20 см, при движении встречает сопро-

тивление, пропорциональное первой степени скорости и при скоросш

см[сек

равное 0,02 кГ. В начальный момент пружина растянута

253

IP,

из

положения равновесия на 5 см, и тело пришло в движение без

начальной скорости. Определить движение тела.

Ответ:

х^Ье'Ы

{Ы-\-1)

см.

32.67. Грузы весом Р

— 2 кГ и

==3

кГ подвешены в положе-

нии

статического равновесия к пружине, коэффициент жесткости

у/////////

которой с = 0,4

кГ/см.

Масляный демпфер вызывает

силу сопротивления, пропорциональную первой степени

скорости и равную #= — од, где а=0,1 кГ

сек/см.

Груз

сняли. Найти после этого уравнение движе-

ния

груза

Ответ:

х=

8,34е-

—

0,84е-«.

32.68. Статическое удлинение пружины под дей-

ствием

груза

Р равно /. На колеблющийся

груз

действует сила сопротивления среды, пропорциональ-

I Pg ная скорости.

задаче

32.67.

Определить наименьшее значение коэффициента

сопротивления а, при котором процесс движения

будет

апериодическим. Найти период затухающих колебаний, если

коэффициент

сопротивления меньше найденного значения.

2Р

Ответ: аз=

•

При а<< • движение

будет

колебательным

if У if

с периодом Т = ~\/ ~ — т—Г .

32.69.

Груз

весом 100 Г, подвешенный к концу пружины, дви-

жется в жидкости. Коэффициент жесткоста пружины с = 20 Г 1см.

Сила сопротивления движению пропорциональна первой степени ско-

рости

груза:

R~av, где а = 3,5

Гсек/см.

Найти

уравнение движения

груза

и построить зависимость пере-

мещения

от времени, если в начальный момент

груз

был смещен из

положения равновесия на х

=1 см и отпущен без начальной ско-

рости.

Ответ:

* =

'(l,36e

—

0,36

см.

t,cm

решению

задачи

32.761

32.70.

Груз

весом 100 Г, подвешенный к концу пружины, движется

жидкости. Коэффициент жесткости пружины с = 20 Г {см. Сила

29*

сопротивления движению пропорциональна первой степени скорости

груза:

R = av, где а — 3,5 Г

сек/см.

Найти

уравнение движения

груза

и построить график зависимости

перемещения от времени, если в начальный момент

груз

смещен из

положения статического равновесия на расстояние х

=1 см и ему

была сообщена начальная скорость 50

см/сек

в направлении, про-

тивоположном смещению.

Ответ:

х =

е~

(—

1,15е

2,15е-

см.

32.71.

Груз

весом 100 Г, подвешенный к концу пружины, движется

жидкости. Коэффициент жест-

кости пружины с = 20 Г/см.

Сила сопротивления движению

пропорциональна первой степени

скорости

груза:

R = av, где а =

3,5 Г

сек/см.

Найти

уравнение движения

груза

и построить график зависи-

ВЛЗ W

teen

решению задачи 32.71.

мости перемещения от времени,

если в начальный момент

груз

был смещен из положения равновесия на

см и ему была сооб-

щена начальная скорость в том же направлении 10

см/сек.

Ответ:

x =

'(7,30e

--2,30<?-

) см.

32.72.

Составить дифференциальное уравнение малых колебаний

тяжелой точки А, находящейся на конце невесомого стержня, за-

крепленного шарнирно в точке О, считая силу сопротивления среды

пропорциональной первой степени скорости с коэффициентом про-

порциональности а, и определить частоту затухающих колебаний. Вес

У//////Ж

задаче 32.72.

задаче 32.74.

точки А равен Р, коэффициент жесткости пружины с, длина стержня

I, расстояние ОВ =

Ь.

Массой стержня пренебречь. В положении

равновесия стержень горизонтален. При каком значении коэффициента

а движение

будет

апериодическим?

Ответ:

Х)

£.-.-**.-*

255

32.73.

При

колебаниях

груза

весом

20 кГ,

подвешенного

на пру-

жине,

было замечено,

что

наибольшее отклонение после

полных

колебаний уменьшилось вдвое.

Груз

совершил

полных колебаний

за

9 сек. Как

велик коэффициент сопротивления

(при сопротивле-

нии

среды, пропорциональном первой степени скорости)

каково

значение коэффициента жесткости

с?

Ответ:

а =

0,00314

кГ

см~

сек\

с =

0,99

кГсм'

32.74. Составить дифференциальное уравнение малых колебаний

точки

А и

определить

частоту

затухающих

колебаний.

Вес

точки

равен

Р,

коэффициент жесткости пружины

с,

расстояние

ОА =

Ь,

ОВ

Сила сопротивления среды пропорциональна первой степени

скорости, коэффициент пропорциональности равен

а.

Массой стержня

ОВ, шарнирно закрепленного

точке

О,

пренебрегаем.

положении

равновесия стержень горизонтален. При каком значении коэффициента

движение

будет

апериодическим?

Р_

1 / сР

Ответ:

I) —

2) *i = V W —

сек

а:

в) Вынужденные колебания

32.75.

Найти

уравнение

прямолинейного

движения

точки

массы

т,

находящейся

под

действием восстанавливающей

силы

Q = — сх и

достоянной

силы

Ff>.

начальный

момент £

= 0

хо

О.

Найти

также период

колебаний.

Ответ:

х =

— (1

—

cos kt),

где k = 1/ —; Т =

2%lk,

f tti '

32.76. Определить уравнение прямолинейного движения точки

массы

т,

находящейся

под

действием восстанавливающей силы

Q =

— сх и

силы

F —

oi.

начальный момент точка нахо-

дится

положении статического равновесия

скорость

ее равна нулю.

•-VI

Ответ:

х=—р

[kt —

sin kt),

где k

•

32.77. Найти уравнение прямолинейного движения

точ-

ки

весом

Р, на

которую

действует

восстанавливающая

сила Q

= — сх и

сила

F = Foe^,

если

начальный

мо-

мент точка находилась

положении равновесия

состоя-

нии

покоя.

Ответ:

где

ft =

j/^f

задаче

32.78.

(

+ )\

32.78

(853).

На

пружине, коэффициент жесткости

ко-

торой

с = 20

Г 1см, подвешен магнитный стержень

ве-

сом

100 Г.

Нижний конец магнита проходит через

ка-

гушку,

по

которой идет переменный

ток

= 20

sin

8nt

ампер.

Ток

идет

момента времени £

= 0,

втягиаая стержень

соленоид;

до

этого

256

момента магнитный стержень висел на пружине неподвижно. Сила

'взаимодействия между магнитом и катушкой определяется равенством

F=16nl

дан. Определить вынужденные колебания магнита.

Ответ:

х =

—0,023

sin 8nt см.

32.79. В условиях предыдущей задачи найти уравнение движения

магнитного стержня, если его подвесили к концу нерастянутой пру-

жины

и отпустили без начальной скорости.

Ответ:

х = {— 5cos Ш-(-0,041 sin Ш —

0,023sin8nO

см.

32.80. В условиях задачи

32.78

найти уравнение движения магнит-

ного стержня, если ему в положении статического равновесия сооб-

щили

начальную скорость чз

= 5

см/сек.

Ответ:

х = (0,4 sin Ш —

0,023sin

8nf) см.

32.81 (855). Гиря М подвешена на пру-

жине АВ, верхний конец которой совершает

гармонические колебания по вертикальной

прямой

амплитуды а и частоты п: О

С =

a sin nt см. Определить вынужденные ко-

лебания гири М при следующих данных:

вес гири равен 400 Г, от действия силы

40 Г пружина удлиняется на 1 см, а =

2 см, п = 7

сек'

Ответ:

х = 4 sin It см.

32.82 (856). Определить движение гири М

(см.

задачу 32.81), подвешенной на пружи-

не

АВ, верхний конец которой А совершает

гармонические колебания по вертикали ампли-

туды

а и круговой частоты k, статическое ра-

стяжение пружины под действием веса гири

равно б. В начальный момент точка А за- к задаче 32.81.

нимает свое среднее положение, а гиря М

находится в покое; начальное положение гири принять за начало

координат, а ось Ох направить по вертикали

вниз.

^asinnt

Ответ:

т: х =

k ^f - sin

j/"|-1

— sin kt\ при

при

£ =

32.83

(858).

Статический прогиб рессор груженого товарного

вагона Д/

Ст

= 5 см. Определить критическую скорость движения

вагона, при которой начнется «галопирование» вагона, если на стыках

рельсов вагон испытывает толчки, вызывающие вынужденные коле-

бания

вагона на рессорах; длина рельсов L = 12 м.

Ответ:

г>=96

км/час.

32.84 (859). Индикатор паровой машины состоит из цилиндра А,

котором

ходит

поршень В, упирающийся в пружину D; с поршнем

соединен стержень ВС, к которому прикреплен пишущий штифт С.

Предполагая, что давление пара р на поршень В, выраженное в кило-

граммах на квадратный сантиметр, изменяется согласно формуле

9 И, В. Мещерский 257

p=4-f-3sln у*, где 7"—время одного оборота вала, определить

амплитуду вынужденных колебаний штифта С, если вал совершает

об/сек,

при следующих данных: площадь поршня

индикатора а = 4 см

, вес подвижной части инди-

катора Q = 1 кГ; пружина сжимается на 1 см си-

лой в 3 кГ.

Ответ:

а = 4,54 см.

32.85. В условиях предыдущей задачи найти

уравнение движения штифта С, если в начальный

момент времени система находилась в покое в по-

ложении статического равновесия.

Ответ:

х=(—1,57 sin 54,3* -j- 4,54 sin 6rf) см.

32.86. Груз весом Q = 200 Г, подвешенный к

пружине, коэффициент жесткости которой с =

задаче 32.8**

кГ/см,

находится под действием силы 5=

Г _

=Hs'mpt,

где Я=2,0 кГ, р = Ш сек'

. В началь-

ный

момент Хо = 2 см, Хо=10

см/сек.

Начало координат выбрано

положении статического равновесия.

Найти

уравнение движения груза.

Ответ:

лг = (2cos

70*—2,77

sin

70*-)-4,08

sin50*) см.

32.87. Груз весом Q = 200 Г, подвешенный к пружине,

коэф-

фициент

жесткости которой с = 1

кГ\см,

находится под действием

силы

S=Hsmpt,

где Н=2 кГ, р=70

сек'

В начальный момент

л;о=2

см,

JCO=1O

см/сек.

Начало координат вы-

брано в положении статического равновесия.

Найти

уравнение движения груза.

Оотве/в: л;=(2 cos

70*4-1,14sln

70*—70* cos70*)c«.

г) Влияние сопротивления

на

вынужденные колебания

32.88 (854). На пружине, коэффициент жестко-

сти которой с = 20 Г(см, подвешены магнитный

стержень весом 50 Г, проходящий через соленоид, и

медная пластинка весом 50 Г, проходящая между

полюсами магнита. По соленоиду течет ток 1=

20 sin 8тс* ампер и развивает силу взаимодействия

с магнитным стержнем F=16« дин. Сила тормо-

жения

медной пластинки вследствие вихревых токов

равна £г>Ф

, где

А;

=10"*,

Ф= 1000 V5 единиц CGS

v — скорость пластинки. Определить вынужденные

колебания пластинки.

Ответ:

х —

0,022

sin (8тс* —

0,9lit)

см.

32.89. В условиях предыдущей задачи найти урав-

нение

движения пластинки, если ее подвесили вместе с магнитным

стержнем к концу нерастянутой пружины и сообщили им начальную

скорость ©

= 5

см/сек,

направленную вниз.

258 ;

Ш////////////Ш

задачам

32 88 н 32 89.

Ответ'.

х=е~

(~4,99 cos

13,75*-0,56

sin

13,75*)

0,022

sin (8 я*- 0,91 я) см.

32.90

(857). Материальная точка весом Q = 2 кГ подвешена

пружине, коэффициент жесткости которой равен с = 4

кГ/см.

На

точку

действует

возмущающая сила 5=12 sinQ?* + 6) кГ и сила

сопротивления

движению, пропорциональная первой степени скорости

равная R = 0,5 Уте х кГ, Чему равно наибольшее значение

тах

амплитуды вынужденных колебаний? При какой частоте р амплитуда

вынужденных колебаний достигает наибольшего значения?

Ответ

тах

= 6,21 см;

= 41,5

сек*

32.91., В условиях предыдущей задачи найти уравнение движения

точки,

если в начальный момент времени ее положение и скорость

были равны: дг

= 2 см, х

— 3

см/сек.

Частота возмущающей силы

^ = 30

сек*

начальная фаза возмущающей силы 6 = 0°. Начало

координат выбрано в положении статического равновесия.

Ответ:

х*=е-°'

ть(

(2 cos

1,73*+

1,95 sin

1,73*)

0,0067

sin (30* —я) см.

32.92 (861), Материальная точка весом р = 3 Г подвешена к пру-

жине с коэффициентом жесткости с =12 Г/см. На точку

действует

возмущающая сила F=H sin (62,6* + f5) Г и сила сопротивления,

пропорциональная

первой степени скорости и рав-

ная

R = av Г.

Во сколько раз уменьшится амплитуда вынуж-

денных колебаний точки, если сила сопротивления

увеличится в три раза?

Ответ:

Амплитуда

вынужденных колебаний

уменьшится в три раза.

32.93. Тело весом 2 кГ, прикрепленное пру-

жиной

к неподвижной точке А, движется по глад-

кой

наклОННОЙ ПЛОСКОСТИ, Образующей

угол

ас К задаче 32.93.

горизонтом, под действием возмущающей силы

«S=l,8 sin Ю* кГ и силы сопротивления, пропорциональной скорости:

кГ/см.

В на-

чальный момент тело находилось в покое в положении статического

равновесия.

Найти уравнение движения тела, периоды Т свободных

вынужденных колебаний, сдвиг фазы вынужденных колебаний и

возмущающей силы.

Ответ:

1) х==

10-*-е-

'(2,3

cos

49*-7,3

sin49*)

0,374

sin (10* —

3°34')

см;

2) Г = 0,128 сек; 3) 7\ =

0,628

сек; 4) е =

3°34\

32.94.

На тело весом Q = 392 Г, прикрепленное к пружине

с коэффициентом жесткости е = 4

кГ/см,

действует

сила 5=

==Нsinpt

кГ, где //=4 кГ, р — 50 сект

, и сила сопротивления

= av, где а = 25 Г

сек/см,

v — скорость тела. В начальный момент

тело покоится в положении статического равновесия. Написать урав-

нение

движения

груза

и определить значение круговой частоты р, при

котором амплитуда вынужденных колебаний

будет

максимальной.

9* 259

Ответ:

х = ae~

sin (У k

— я

* -f р) — Л sin (pt — е), где

ел,

arctg ^^-

0,416,

31,25 «й-», у& - и

= 95 сек-

Максимальная

амплитуда получается при круговой частоте возбуж-

дения

32.95. На тело весом Q Г, прикрепленное к пружине с

коэффи-

циентом

жесткости с Г/см, действуют возмущающая сила S=Hsin pt Г

сила сопротивления R = av Г, где v — скорость тела. В начальный

момент

тело находится в положении статического равновесия и не

имеет начальной скорости. Найги уравнение движения тела, если

х = ~^—- (2я cos

X sin К

где h -^ й

-^ /j-

где ft _

, ft —Q, п —

32.96. На тело весом б кГ, подвешенное к пружине с жесткостью

с=

кГ/см,

действует возмущающая сила

sinatf.

Сопротивление

жидкости

пропорционально скорости. Каким должен быть

коэф-

фициент

сопротивления а вязкой жидкости, чтобы максимальная

амплитуда вынужденных колебаний равнялась утроенному значению

(Статического

смещения пружины? Чему равняется коэффициент рас-

стройки

z (отношение круговой частоты вынужденных колебаний

круговой частоте свободных колебаний)? Найти сдвиг фазы вынуж-

денных колебаний и возмущающей силы.

Ответ:

ос

= О,П5 кГ

слгЧек;

z = 0,97; e =

79°48\

32.97. На тело весом Q = 100 Г, прикрепленное к пружине с

коэф-

фициентом

жесткости с = 5

кГ/см,

действует сила

S—Hsinpt,

где

//=10

кГ, /7=100 сек'

, и сила сопротивления R = $v, где § =

50 Г

сек/см.

Написать

уравнение вынужденных колебаний и определить значе-

ние

частоты р, при котором амплитуда вынужденных колебаний

будет

максимальной.

Ответ:

1) *

0,98sin

100*—1,22cos

100*;

2) максимума амплитуды не существует, так как я > &/J/2.

32.98. В условиях предыдущей задачи определить сдвиг фазы

вынужденных колебаний и возмущающей силы.

Ответ:

6 = arctg l,26==51°40'.

260