Мещерский И.В. Сборник задач по теоретической механике

Подождите немного. Документ загружается.

Определить частоты и периоды колебаний грузов.

Ответ:

ki = \8,\ сек'

, Д:

= 12,8 сек

к'

;

0,348

сек, Г

= 0,49 сек.

32.13. К пружине, коэффициент жесткости которой равен

с = 20 Г/см, подвешены два груза весом P

= 0,5 кГ и Р$ = 0,8 кГ.

Система находилась в покое в положении статического

равновесия, когда груз Р

убрали. Найти уравнение дви-

жения,

частоту, круговую частоту и период колебаний

оставшегося груза.

Ответ:

х =

40cos6,26t

см;

Т—1сек;

/=\гц;

k = 2тг

сек'

32.14. Груз весом P

z=2 кГ, подвешенный к пру-

жине,

коэффициент жесткости которой с = 0,1

кГ/см,

находится в равновесии. Каковы

будут

уравнение движе-"

ния

и период колебаний груза, если к

грузу

добавить

груз Р

= 0,8 кГ? (См. чертеж к задаче

32.13.)

Ответ:

х = —8cos5,9U; Т=1,06сек.

32.15. I руз весом 4 кГ подвесили сначала к пружине

с жесткостью с

= 2

кГ/см,

а затем к пружине с жест-

костью с

= 4

кГ/см.

Найти отношение частот и отношение пе-

риодов колебаний груза.

Ответ:

^ =

0,706;

£ = 1,41.

32.16.

Тело весом Р находится на наклонной плоскости, состав-

ляющей

угол

а с вертикалью. К телу прикреплена пружина, жест-

кость которой с. Пружина параллельна наклонной плоскости.

Найти

уравнение движения тела, если в начальный момент оно

было прикреплено к концу нерастянутой пружины и ему была со-

общена начальная скорость VQ, направленная вниз по наклонной пло-

скости.

Начало координат взять в положении статического равновесия.

32 13.

Ответ:

x =

^slakt

—

cos kt, где к —

задаче

32.16.

задаче

32.17.

32.17. На гладкой плоскости, наклоненной к горизонту под углом

а = 30°, находится прикрепленный к пружине груз весом Р. Стати-

ческое удлинение пружины равно /.

241

Определить колебания

груза,

если в начальный момент пружина

была растянута из ненапряженного состояния на длину, равную 3/,

груз

отпущен без начальной скорости.

Ответ:

2/COS(

1/ •§

sina

"Ч-

32.18 (839). Тело весом Q = 12 кГ, прикрепленное к концу пру-

жины,

совершает гармонические колебания. При помощи секундомера

установлено, что тело совершило 100 полных колебаний за 45 сек. После

этого к концу пружины добавочно прикрепили

груз

весом Q

= 6 кГ.

Определить период колебаний

двух

грузов на пружине.

Ответ:

7\ = 7* 1/ "U = 0,55 сек.

32.19. В условиях предыдущей задачи найти уравнение движения

одного

груза

Q и

двух

грузов (Q -j- Qi), если в обоих случаях грузы

были подвешены к концу нерастянутой пру-

жины.

Отрет:

1) х'= — 5,02 cos \4t см,

2) Xj=—7,53 cos 11,At см, где х и х

отсчитываются'соответственно от каждого из

двух

положений статического равновесия.

32.20 (840).

Груз

М, подвешенный к не-

подвижной точке А на пружине, совершает

малые гармонические колебания в вертикаль-

ной

плоскости, скользя без трения по

дуге

окружности, диаметр которой АВ равен /;

натуральная длина пружины а; жесткость

пружины такова, что при действии силы,

равной весу

груза

М, она получает удлинение, равное Ь. Определить

период Т колебаний в том случае, когда 1=а-\-Ъ; массой пружины

пренебрегаем и считаем, что при колебаниях она остается растянутой.

—.

32.21. В условиях предыдущей задачи найти уравнение движения

груза

М, если в начальный момент

угол

ВАМ — у

и точке М сооб-

щили

начальную скорость v^ направленную

по

касательной к окружности

вниз.

Ответ:

Т =

32.22. Тело Е, масса которого равна т,

находится на гладкой горизонтальной плос-

кости.

телу

прикреплена пружина жест-

задаче 32 22. КОСТИ С, ВТОрОЙ КОНец КОТОрОЙ Прикреплен

шарниру О\. Длина недеформированной

пружины равна /^ в положении равновесия тела пружина имеет ко-

нечный

предварительный натяг, равный

= C(1 — 4), где

1=ООи

Учитывая в горизонтальной составляющей упругой силы пружины

лишь линейные члены относительно отклонения тела от положения

равновесия, определить период малых колебаний тела.

Ответ:

Г = 2тс|/ -^-.

32.23 (841). Материальная точка весом Р подвешена к концу

нерастянутой пружины с коэффициентом жесткости с и отпущена

с начальной скоростью х>

, направленной вниз. Найти уравнение дви-

жения

и период колебаний точки, если в момент времени, когда

точка находилась в крайнем нижнем положении, к ней приклады-

вают силу Q = const, направленную вниз.

Начало координат выбрать в положении статического равновесия,

т. е. на расстоянии Р/с от конца нерастянутой пружины.

Где t отсчитывается от момента времени, когда начала действовать

сила Q; Т = 2тг

V~P/cg.

32.24 (832). Определить период свободных колебаний

груза

ве-

сом Q, прикрепленного к

двум

параллельно вклю-

ченным пружинам, и коэффициент жесткости пру-

жины,

эквивалентной данной двойной пружине,

если

груз

расположен так, что удлинения обеих

пружин, обладающих заданными коэффициентами

жесткости ct и с

одинаковы.

Ответ:

2ТЕ"[/

{с

; с =

-f

;

рас-

положение

груза

таково, что

а^/0.$^

/с\.

32.25. В условиях предыдущей задачи найти

уравнение движения

груза,

если его подвесили

нерастянутым пружинам и сообщили ему на-

чальную скорость ч?

> направленную вверх.

задаче 32 24.

Ш/Ш/////////Л

Ответ:

х — —

COS

•fo]/~-

Cl + С

) g ,

sin

iff"""

Г Q

32.26 (833). Определить период свободных ко-

лебаний

груза

весом Q, зажатого

между

двумя

пружинами с разными коэффициентами жестко-

сти С\ И С<ь

Ответ:

Т =!

задаче 32 26

32.27. В условиях предыдущей задачи найти уравнение движе-

ния

груза,

если в положении равновесия ему сообщили скорость Фо>

направленную вниз.

Ответ:

= v

sin

32.28 (834). Определить коэффициент жесткости с пружины, эк-

вивалентной двойной пружине, состоящей из

двух

последовательно

243

включенных пружин с разными коэффициентами жесткости c

и с

указать также период колебаний

груза

весом Q, подвешенного на

У/А

указанной двойной пружине.

Ответ:

с =

f' ; Т ='.

lCi

32.29.

В условиях предыдущей задачи найти

уравнение движения

груза,

если в начальный мо-

мент он находился ниже положения равновесия

на

расстоянии _хг

и ему сообщили скорость VQ,

направленную вверх.

; = х

№

cos l/ -,—

Ответ:

}

„

с»)

t —

задаче

32 28.

•щ

•

32.30.

Определить коэффициент жесткости пружины, эквивалент-

ной

двойной пружине, состоящей из

двух

последовательно вклю-

ченных пружин с разными коэффициентами жесткости с\ = 1

кГ/см

С| = 3

кГ/см.

Указать период колебаний, амплитуду и уравнение

движения

груза

весом Q = 5 кГ, подвешенного на указанной двой-

ной

пружине, если в начальный монент

груз

был смещен из поло-

жения

статического равновесия на 5 см вниз и ему была сообщена

начальная скорость 49

см/сек,

направленная также вниз.

Ответ:

с~

-=0,75

кГ/см;

Т = 0,52 сек;' а = 6,45 еж,

— 5 cos

7Ydt-\-~

sin 7 УЗ t.

32.31. Тело Л масса которого равна tn, может перемещаться

по

горизонтальной прямой. К

телу

прикреплена пружина,

коэффи-

циент жесткости которой с. Второй конец пружины укреплен в не-

подвижной точке В. При

угле

а = а

пру-

жина не деформирована. Определить частоту

период малых колебаний тела.

Ответ:

-Y-

С COS*

= '.

задаче 32 31.

с cos

а„

32.32.

Точка А, масса которой равна т,

прикреплена пружинами, как указано на ри-

сунке. В исходном положении точка нахо-

дится в равновесии и все пружины не напряжены. Определить ко-

эффициент

жесткости эквивалентной пружины при колебаниях точки

вдоль оси х в абсолютно гладких направляющих.

Ответ:

с — с\ cos

а.^

-\- (с

-\- с

) cos

-| ~— cos

32.33. Определить коэффициент жесткости пружины, эквивалент-

ной

трем пружинам, показанным на чертеже, при колебаниях точки

244

М в абсолютно гладких направляющих вдоль оси х. Решить ту же

задачу,

если направляющие расположены вдоль оси у.

* +

cos

; c

sin

-{-

Ответ:

= с

cos

91 -f- с« cos*

-\- С4 Sin

—f—

В исходном положении пружины не напряжены и точка М на

ходится в равновесии.

•а;

К задаче 32.32. К задаче 32.33.

32.34.

Определить коэффициент жесткости эквивалентной пружи-

ны,

если

груз

М прикреплен к стержню, массой которого пренебре-

гаем. Стержень шарнирно закреплен в точке О и прикреплен тремя

вертикальными пружинами к фундаменту. Коэффициенты жесткости

пружин ci, c^ c

. Пружины прикреплены к стержню на расстояниях

П\,

a* «s от шарнира.

Груз

М прикреплен к стержню на расстоя-

нии

Ь от шарнира. В положении равновесия стержень горизонтален.

Эквивалентная пружина кре-

пится

к стержню на расстоя-

нии

Ъ от шарнира.

Ответ:

К задаче 32 34.

К задаче 32.35.

32.35.

Груз

весом 10 кГ, лежащий на абсолютно гладкой гори<

зонтальной плоскости, зажат между двумя пружинами одинаковой

жесткости с = 2

кГ\см.

В некоторый момент

груз

был сдвинут на

4 см от положения равновесия вправо и отпущен без начальной

скорости. Найти уравнение движения, период колебаний, а также

максимальную скорость

груза.

Ответ:

1) х — 4 cos 19,8£ см; 2) Т = 0,317 сек;

щал

= 79,2

cMJceK.

245

32.36

(835). Винтовая пружина состоит из

участков,

коэффи-

циенты

жесткости которых соответственно равны

с%...,

Определить коэффициент жесткости

однородной пружины, экви-

валентной

данной.

Ответ:

с~——~.

32.37. Груз

подвешен

невесомому стержню АВ, который

соединен

двумя пружинами,

коэффициентами жесткости с

невесомым стержнем DE. Последний прикреплен

потолку

точке

пружиной, коэффициент

жесткости

которой

С\. При коле-

баниях стержни АВ

DE остаются горизонтальными. Определить

коэффициент

жесткости одной эквивалентной пружины, при кото-

рой

груз

будет

колебаться

той

же

частотой. Найти период

свободных колебаний груза.

+ с,

•///•///////////////л

задаче

32.37.

- к

задаче 32 38.

32.38. Определить собственную частоту колебаний груза Q, под-

вешенного на конце упругой невесомой консоли длиной /. Пружина,

удерживающая груз, имеет жесткость

кГ/см,

Жесткость на конце

консоли

определяется формулой с,

—- (£ — модуль упругости.

J — момент инерции).

Ответ:

32.39. Колебания груза весом Р=10 кГ, лежащего на середине

упругой балки жесткостью с

кГ/см,

происходят

амплиту-

дой

см. Определить величину начальной скорости груза, если

.момент времени

0 груз находился

положении равновесия.

Ответ:

1)0

см/сек.

32.40.

Груз

весом

закреплен горизонтально натянутым тросом

АВ

При малых вертикальных колебаниях груза натяжение

троса <S можно сч-итать постоянным. Определить частоту свободных

колебаний

груза, если расстояние груза от конца троса

равно

а.

246

32.41.

Груз

весом Р = 50 кГ лежит посередине балки АВ.

Момент инерции поперечного сечения балки J=80 см*. Определить

длину балки / из условия, чтобы период свободных колебаний

груза

на

балке был равен Т= 1 сек.

Примечание.

Статический прогиб балки определяется формулой

где модуль упругости £ = 2,1 • 10

кГ/см

Ответ:

/=15,9 м.

задаче

32.40.

задаче 32.41.

32.42.

Груз

весом Q зажат

между

двумя вертикальными пружи-

нами

с коэффициентами жесткости с

и с

. Верхний конец первой

пружины закреплен неподвижно, а нижний конец второй пружины

прикреплен

к середине балки. Определить длину балки / так, чтобы

период колебаний

груза

был равен Т. Момент инерции поперечного

сечения балки J, модуль упругости Е.

Ответ:

4л

32.43. Найти уравнение движения и период колебаний

груза

подвешенного к пружине с коэффициентом жесткости с

, если пру-

жина прикреплена к середине балки

длиной /. Жесткость балки на из«

гиб EJ. В начальный момент

груз

С,

задаче

32.42.

находился в положении статического равновесия и ему была особ*

щена скорость v

, направленная вниз.

Ответ;

= I

-sin

247

82.44.

Груз

весом Q зажат

между

двумя вертикальными пружи-

нами,

коэффициенты жесткости которых равны с

и с% Верхний

конец

первой пружины закреплен неподвижно. Нижний конец второй

пружины прикреплен к свободному концу

балки, заделанной другим концом в стене.

Зная,

что свободный конец заделанной балки

под действием силы Р, приложенной к сво-

бодному концу балки,

дает

прогиб

/=•

задаче 32 44.

3EJ'

где EJ — заданная жесткость балки при из-

гибе, определить длину балки /, при кото-

рой

груз

будет

колебаться с данным перио-

дом Т. Найти уравнение движения

груза,

если в начальный момент он был подвешен к концам нерастянутых

пружин и отпущен без начальной скорости.

Ответ:

1) /=

2) х—— Q

32.45. Невесомый стержень ОА длиной /, на конце которого

помещен

груз

массы т, может поворачиваться вокруг оси О. На

расстоянии а от оси О к стержню

прикреплена пружина с

коэффи-

циентом жесткости с.

задаче 32 45.

задаче 32 46.

Определить собственную частоту колебаний

груза,

если стержень

ОА в положении равновесия занимает горизонтальное положение.

Ответ:

k = ~y —

сек"

32.46.

Груз

Р подвешен на пружине к концу невесомого стержня

длиной /, который может поворачивайся вокруг оси О.

Коэффици-

ент жесткости пружины Сх. Нружина, Поддерживающая стержень,

248

установлена на расстоянии Ъ от точки О и имеет коэ })фициент

жесткости с

Определить собственную

частоту

колебаний

груза

Р.

Ответ:

k =

сек

32.47

(842). Для определения ускорения силы тяжести в данном-

месте земного шара производят два опыта. К концу пружины под-

вешивают

груз

Pi и измеряют статическое удлинение пружины /

Затем к концу этой же пружины подвешивают

другой

груз

опять

измеряют статическое удлинение 4. После этого повторяют оба

опыта, заставляя оба

груза

по очереди совершать свободные колеба-

ния,

и измеряют при этом периоды колебаний Т

и Тч. Второй опыт

делают

для того, чтобы

учесть

влияние массы самой пружины, считая,

что при движении

груза

это влияние эквивалентно прибавлению

колеблющейся массе некоторой добавочной массы.

Найти

формулу для определения ускорения силы тяжести по этим

опытным данным.

Ответ:

g= ' *

;

32.48. По горизонтальной

хорде

(пазу) вертикально расположен-

ного круга движется без трения точка М весом 2 кГ под действием

силы притяжения F, пропорциональной расстоянию до центра О,

причем коэффициент пропорциональности 0,1

кГ/см.

Расстояние от

центра круга до

хорды

равно 20 см; радиус окружности 40 см.

Определить закон движения точки, если в начальный момент она на-

ходилась в правом крайнем положении MQ И отпущена без на-

чальной скорости. С какой скоростью точка проходит через середину

хорды?

Ответ:

х = 34,6 cos It см\ .£ =

±242

см)сек.

•//////////////////////////////А.

У)

задаче

32 48.

задаче

32.49.

32.49. К невесомому стержню АВ прикреплены три пружины. Две,

с жесткостью с^ и с

удерживают

стержень и расположены на ею

концах. Третья пружина, жесткость которой с

прикреплена к сере-

дине стержня и несет

груз

Р.

249

Определить собственную частоту колебаний

груза.

Ответ:

k=y

, •,—

—-— г-

сек'

32.50.

Груз

весом 10 кГ, прикрепленный к пружине,

коэффи-

циент жесткости которой равен с =

кГ/см,

совершает колебания. Опре-

делить полную механическую энергию

груза

и пружины, пренебрегая массой

пружины, построить график зависи-

мости упругой силы от перемещения и

показать на нем потенциальную энер-

гию пружины. Принять положение ста-

тического равновесия за начало отсчета

потенциальной энергии.

решению задачи

32.50.

Ответ:

Ш=~

ШЮгШшЬ

Заштрихованная на чертеже площадь равна потенциальной энергии пру-

жины.

б) Влияние сопротивления на свободные колебания

32.51 (843). Пластинка D весом 100 Г, подвешенная на пружине

АВ в неподвижной точке А, движется

между

полюсами магнита.

Вследствие вихревых токов движение тормозится силой, пропорцио-

нальной

скорости. Сила сопротивления движению равна kvQ)

дин,

где k = 0,0001, v — скорость в

см/сек,

а Ф —магнитный поток

между

полюсами N и 5. В начальный мо-

мент скорость пластинки равна нулю и пру-

жина не растянута; удлинение ее на 1 см

получается при статическом действии силы в

20 Г, приложенной в точке В. Определить

движение пластинки в том случае, когда Ф =

1000 j/5 единиц CGS.

Ответ:

= —е~

' (5 cos 13,78* -f

-f-

0,907

sin

13,78t)

см, где х обозначает рас-

стояние центра тяжести пластинки от его рав-

новесного положения по вертикали вниз.

32.52 (844). Определить движение пластин-

ки

D при условиях предыдущей задачи в том

случае, когда магнитный поток Ф= 10 000 еди-

ниц

CGS.

задачей 32.51 и

32.52.

5 „

Ответ:

х = — j^e'

— 1).

32.53

(845). Цилиндр весом Р, радиусом г и высотой h, подвешен

на

пружине АВ, верхний конец которой В [закреплен; цилиндр по-

гружен в

воду.

В положении равновесия цилиндр погружается в

воду

на

половину своей высоты. В начальный момент времени цилиндр

был погружен в

воду

на 2/3 своей высоты и затем без начальной

250