Мещерский И.В. Сборник задач по теоретической механике

Подождите немного. Документ загружается.

ролика о трос, определить натяжение каната CAD и натяжение троса

АСВ в тот момент, когда длина ветви АС = 20 м.

Ответ:

= 0,75 Г; S

= 5

СЛ

= 9,56 г.

задаче

2.46.

2.47 (56). Оконная рама АВ, изображенная на чертеже в разрезе,

песом 100 кГ, открывается, вращаясь вокруг горизонтальной оси А,

при

помощи шнура BCD, огибающего блоки С и D. Блок С, разме-

рами которого пренебрегаем, и точка А лежат на одной вертикали;

вес рамы приложен в ее середине; трением также пренебрегаем.

Найти

натяжение Т шнура в зависимости от

угла

ср, образуемого

рамой АВ с горизонталью АН, предполагая АВ = АС, а также наиболь-

шее и наименьшее значения этого натяжения.

Ответ:

Г = 100 sin (45°

К задаче 2.47,

К задаче 2 48.

2.48 (57). На круглом гладком цилиндре с горизонтальной осью

радиусом

ОЛ==

0,1 м лежат два шарика А к В; вес первого 1 н,

второго 2 н. Шарики соединены нитью АВ длиной 0,2 м. Определить

углы

ft и срз, составляемые радиусами ОА и ОВ с вертикальной

прямой

ОС в положении равновесия, и давления N

и N% шариков

на

цилиндр в точках А и В. Размерами шариков пренебречь.

Ответ:

= 2-

; tg у, =

s 2

; c

84°45';

ср

29°50';

Л/j = cos tfj « =

0,092

«; Л/

= 2 cos -f

« = 1,73 и.

2.49 (58). Гладкое кольцо А может скользить без трения по

неподвижной проволоке, согнутой по окружности, расположенной

вертикальной плоскости. К кольцу подвешена гиря Р и npnBH3aHj

веревка ABC, которая перекинута через неподвижный блок В, нахо-

дящийся

в высшей точке окружности; размерами блока пренебрегаем.

В точке С подвешена гиря Q. Определить центральный

угол

ср

дуги

АВ в положении равновесия, пренебрегая весом кольца и трением

на

блоке, и указать условие, при котором возможно равновесие.

Ответ:

sin

% = ^') Ъ —

> первое из указанных положений

равновесия возможно при

Q<^2P,

второе — при

любых

Q и Р.

задаче 2 49.

задаче 2 50.

, 2.50 (59). На проволочной окружности ABC радиуса R, распо-

ложенной в вертикальной плоскости, помещено гладкое кольцо В,

вес которого р; размерами кольца пренебречь. Кольцо посредством

упругой

нити АВ соединено с наивысщей точкой А окружности.

Определить

угол

ср в положении равновесия, зная, что сила натяжения

нити

Т пропорциональна ее относительному удлинению, причем

коэф-

фициент

пропорциональности равен k.

Если через L и / обозначим длину нити соответственно в состоянии

растянутом и нерастянутом, то величина T = k—-.—.

kl Ipl

Ответ:

cos

ср

= у _ если k ^ „ _ ; в противном

случае

<р

= 0.

2.51 (60). Точка М притягивается тремя неподвижными центрами

М\ (х\, yi),

Mi(Xi,

yt) и

7И

(хз,Уз)

силами, пропорциональными рас-

стояниям:

Fi =

k\Ti,

k<ir%,

Рз^к

где Г\ = ММ\,

Гч^ММ%,

= ММ

, a ki, k

— коэффициенты пропорциональности. Опре-

делить координаты лг, у точки М в положении равновесия.

Ответ:

х = —

2.52(61).

Однородная прямоугольная пластинка весом 5 кГ под-

вешена так, что можег свободно вращаться вокруг горизонтальной

оси,

проходящей вдоль одной из ее сторон. Равномерно дующий

ветер

удерживает

ее в наклонном положении под

углом

18° к верти-

кальной плоскости. Определить равнодействующую давлений, произ-

водимых ветром

на

пластинку перпендикулярно

к ее

плоскости.

Ответ:

5 sin 18°= 1,55 кГ,

2.53 (62). Концевая цепь цепного моста заложена

каменное

основание,

имеющее форму прямоугольного параллелепипеда, среднее

сечение которого есть

ABDC.

Стороны

Л5 =

ЛС

= 5 м,

удельный

вес кладки

2,5 Г/см

;

цепь расположена

по

диагонали

ВС.

Найти необходимую длину

третьей

стороны параллелепипеда

р^ли

НЯТЯЖРНИР.

непи

I ~7лВ

= 100 т.

если натяжение цепи

Основание должно быть рассчитано

на

опрокиды-

вание вокруг ребра

D) при

расчете пренебрегаем

со-

противлением грунта.

задаче

2.53.

Ответ:

5=2,3

м.

2.54 (63). Земляная насыпь подпирается

вер-

тикальной каменной стеной

АВ.

Найти необходи-

мую толщину стены

а,

предполагая,

что

давление земли

на

стену

направлено горизонтально, приложено

на 1/3 ее

высоты

равно

т]м (на

метр длины стены); удельный

вес

кладки

2 Г/см

Стена должна быть рассчитана

на

опрокидывание вокруг ребра

А.

Ответ:

а^1,42

м.

задаче

2.54.

задаче

2.55.

2.55 (64). Водонапорная башня состоит

из

цилиндрического

ре-

зервуара высотой

6 л и

диаметром

4 м,

укрепленного

на

четырех

симметрично расположенных столбах, наклонных

горизонту;

дно

резервуара находится

на

высоте

17 м над

уровнем опор;

вес

башни

г,

давление ветра рассчитывается

на

пл&цадь проекции поверх-

ности резервуара

на

плоскость, перпендикулярную

направлению

ветра, причем удельное давление ветра принимается равным

125

кГ\м

Определить необходимое расстояние

АВ

между

основаниями столбов.

Расстояние

АВ

должно быть рассчитано

на

опрокидывание давлением

ветра

при

горизонтальном

его

направлении.

Ответ:

АВ ^ 15 м.

2.56 (67). Определить необходимую затяжку болта, скрепляющего

две стальные полосы, разрываемые силой Р =

2000

кГ. Болт по-

ставлен с зазором и не должен работать на срез. Коэффициент трения

между

листами равен 0,2.

Указание.

Болт

не

должен работать

на

срез, поэтому

его

надо затянуть

такой силой, чтобы развивающееся

между

листами трение могло предот-

вратить скольжение листов. Сила, действующая вдоль

оси

болта,

является

искомой

затяжкой.

Ответ:

10 000 кГ.

•

задаче 2 56. К задаче 2 57.

2.57 (68). Листы бумаги, сложенные, как показано на чертеже,

склеиваются свободными концами через лист таким образом, чго

получаются две самостоятельные кипы А к В. Вес каждого листа 6 Г,

число

всех

листов 200, коэффициент трения бумаги о

бумагу,

а также

стол, на котором

бумага

лежит, равен 0,2. Предполагая, что одна

из

кип удерживается неподвижно, определить наименьшее горизонталь-

ное

усилие Р, необходимое для того, чтобы вытащить

вторую

кипу.

Ответ.

При вытаскивании А из В сила Р = 24,12 кГ, а при

вытаскивании

В из А сила Р =

23,88

кГ.

2.58 (69). Вагон, спускающийся по уклону в

0,008,

достигнув не-

которой

определенной скорости, движется затем равномерно. Опре-

делить сопротивление R, которое испытывает вагон при этой ско-

рости, если вес вагона равен 50 т.

Уклоном пути называется тангенс

угла

наклона пути к горизонту; вслед-

ствие малости уклона синус может быть принят равным тангенсу этого

угла.

Ответ:

R = 400 кГ.

2.59. Поезд поднимается по прямолинейному пути, имеющему

уклон

0,008,

с постоянной скоростью; вес поезда, не считая электро-

воза, 1200 т. Какова сила тяги Р электровоза, если сопротивление

движению равно

0,005

давления поезда на рельсы?

Ответ:

Р= 15,6 т.

2.60 (71). Негладкой наклонной плоскости придан такой

угол

наклона

к горизонту, что тяжелое тело, помещенное на эту плоскость,

спускается с той постоянной скоростью, которая ему сообщена в

начале движения. Определить коэффициент трения /.

Ответ:

/= tga.

2.61 (72). Найти

угол

естественного откоса земляного грунта,

если коэффициент трения для этого грунта / = 0,8.

Углом естественного откоса называется тот наибольший

угол

наклона

откоса к горизонту, при котором частица грунта, находящаяся на откосе,

остается в равновесии.

Ответ:

38°40\

2.62 (73). Клин А, уклон которого tga = 0,05, загоняется в

углуб-

ление

BBi усилием Q—6 т. Определить нормальное давление N на

щеки

клина, а также усилие Р, необходи-

мое для того, чтобы вытащить клин, если

коэффициент

трения

/=0,1.

Ответ:

N=20 т, Р = 2 т.

2.63 (74). Ящик веса Р стоит на

шероховатой горизонтальной плоскости

коэффициентом трения /. Определить,

под каким углом В надо приложить

задаче 2 62.

задаче 2.63.

силу Q, и величину этой силы при условии: сдвинуть ящик .при

наименьшей

величине Q.

Ответ:

р = arctg/; Q

min

= -

2.64. Три

груза

А, В, С весом 10 кГ, 30 кГ и 60 кГ соответ-

ственно

лежат на плоскости, наклоненной под углом а к горизонту.

Грузы соединены тросами, как показано на рисунке. Коэффициенты

трения

между

грузами и плоскостью равны /

= 0,1, /

= 0,25 и

/с = 0,5 соответственно.

Определить

угол

а, при котором тела равномерно движутся вниз

по

плоскости. Найти также натяжения тросов Т

АВ

и Т

ВС

Ответ:

а = arctg 0,38, Т

АВ

= 2,7 кГ, Т

ВС

— 6,Ь кГ.

задаче 2.64. -

Ш//////ШШУ////////Ш

задаче 2.65.

2.65. На верхней грани прямоугольного бруса В, вес которого

200 кГ, находится прямоугольный

брус

А весом 100 кГ. Брус В

опирается

своей нижней гранью на горизонтальную поверхность С,

причем коэффициент трения

между

ними/« = 0,2. Коэффициент трения

между

брусами А и В /i = 0,5. На

брус

Л действует сила Р =

60кГ,

образующая с горизонтом

угол

а = 30°.

Будет ли

брус

А двигаться относительно В? Будет ли

брус

двигаться относительно плоскости С?

Ответ.

Брусы Л и В остаются в покое.

2.66. Два тела А и В расположены на наклонной плоскости С

так, как показано на чертеже. Тело А весит 100 кГ, тело В — 200 кГ,

Коэффициент

трения

между

А и В /

= 0,6,

между

В к С /

= 0,2.

Исследовать состояние системы при различных значениях силы Р,

приложенной к

телу

А параллельно наклонной плоскости.

Ответ:

При Р<[98 кГ оба тела двигаются вниз, не перемещаясь

друг

относительно

друга;

при 98

кГ<^Р<^

102 кГ оба тела нахо-

дятся в покое; при Р^> 102 кГ тело В неподвижно, а тело А скользит

по

телу

В вверх.

К задаче 2.66.

К задаче 2.67.

. 2.67. Лежащие на наклонной плоскости два прямоугольных бруса

А и В, весом 200 кГ и 400 кГ соответственно, соединены тросом

имеют коэффициенты трения с наклонной плоскостью /

= 0,5 и

/в = 2/3. Будет ли система двигаться или останется в покое? Найти

натяжение Т троса и величины сил трения,

действующих на каждое тело?

Ответ:

Система останется в покое.

/%4 = 8б,6 кГ, ,р£ = 213,4 #.Г, 7" =13,4»/",

2.68. Клин С вставлен

между

двумя те-

мами А и В, которые лежат на шерохова-

той горизонтальной плоскости. Одна сторона

клина

вертикальна, другая — образует с вер-

тикалью

угол

= arctgl/3.

Вес тела А равен 400 кГ, а вес тела В

300 кГ; коэффициенты трения

между

по-

верхностями указаны на рисунке. Найти величину силы Q, под дей-

ствием которой одно из тел сдвинется, а также значение силы тре-

ния

F, действующей при этом со стороны горизонтальной плоскости

на

оставшееся неподвижным тело.

Ответ:

Q = 70 кГ, причем начнет двигаться тело Л; Р

= 83кГ.

2.69. Цилиндр А лежит в направляющих В, поперечное сечение

которых — симметричный клин с углом раствора 9. Коэффициент

трения

между

цилиндром А и направляющей В равен /. Вес цилиндра

равен Q. При какой величине силы Р цилиндр начнет двигаться

К задаче 2.68.

горизонтально? Каков

должен

быть

угол

чтобы

движение началось

при значении силы Р, равной

весу

цилиндра Q?

Ответ:

Р = -^4-

;

8 =

2arcsin/.

sin -^

У///У//////////////////Л

'///////////////////.

задаче 2.69.

2.70. Цилиндр весом Q лежит на

двух

опорах А я В, располо-

женных симметрично относительно вертикали, проходящей через центр

цилиндра. Коэффициент трения между цилиндром и опорами равен /.

При

какой величине тангенциальной оси Т цилиндр /?|

начнет вращаться? При каком

угле

0 это устройство

будет

самотормозящимся?

Ответ:

Т =

arccos

'(l+/)

cos8-/>

2.71. Пренебрегая трением между ползуном А

направляющей, а также трением во всех шарни-

рах и подшипниках кривошипного механизма, опре-

делить, какова должна быть сила Р, необходимая для

поддерживания груза Q при указанном на чертеже

положении механизма. Каковы минимальное и мак-

симальное значения Р, обеспечивающие неподвиж-

ность груза Q, если коэффициент трения между

ползуном А и направляющей равен /?

р Qacos

<p-f-/

sin 9

sin

задаче 2.71.

§ 3.

Параллельные

силы

3.1 (75). Определить вертикальные реакции опор, на которые

свободно оперта у своих концов горизонтальная балка длиной /, на-

груженная равномерно по р н на единицу длины. Вес балки считать

включенным в равномерно распределенную нагрузку.

Ответ:

= -jpl н.

3.2 (76).

Определить

вертикальные реакции опор горизонтальной

балки пролета /, если

груз

Р помещен на ней на расстоянии х от

первой опоры.

Ответ:

— r

° " *

3.3 (77). Однородный стержень АВ, длина которого 1 ж, а вес

2 кГ, подвешен горизонтально на

двух

параллельных веревках АС и

BD. К стержню в точке Е на расстоянии АЕ = -^-м подвешен

груз

Р = 12 кГ. Определить натяжения веревок TQ И TQ.

Ответ:

=10 кГ; f

= 4 КГ.

-I U

K задаче 3.4.

3.4 (78). На горизонтальную балку, лежащую на

двух

опорах,

расстояние

между

которыми равно 4 м, положены два

груза,

один С

200 кГ, другой D в 100 кГ, так, что реакция опоры А в два раза

больше реакции опоры В, если

пренебречь весом балки. Рас-

стояние

между

грузами

равно

1 м. Каково расстоя-

ние

груза

С от опоры А?

Ответ:

—

1 м.

3.5 (79). Трансмиссионный

вал АВ несет три шкива весом

задаче 3.5 Р

= 300 кГ, Р

= 500 кГ,

~200

кГ. Размеры указаны

на

чертеже. Определить, на каком расстоянии х от подшипника В

надо установить шкив весом Р

» чтобы реакция подшипника А рав-

нялась

реакции подшипника В; весом вала пренебречь.

Ответ:

х=139 см.

задаче 3.6.

3.6 (80). Найти величины давлений мостового крана АВ на рельсы

зависимости от положения тележки С, на которой укреплена ле-

бедка Положение тележки определить расстоянием ее середины от

левого рельса в долях общей длины моста. Вес моста Р = 6 т, вес

тележки с поднимаемым грузом P

= 4 г.

Ответ:

— 4n)r, F

= (3 -f

An)

где « = ^.

3.7 (81). Балка АВ длиной 10 м и весом 200 кГ лежит на

двух

опорах С и D. Опора С отстоит от конца А на 2 м, опора D от

конца

В — на Ъ м. Конец балки А оттягивается вертикально вверх

посредством перекинутого через блок троса, на котором подвешен

груз

Q весом 300 кГ. На расстоянии 3 л от конца А к балке под-

вешен

груз

Р весом 800 кГ. Определить реакции опор, пренебрегая

трением на блоке.

Ответ:

= 300 кГ; #

= 400 кГ.

~Жв

К задаче 3.7.

К задаче 3.8.

К задаче 3 9.

3.8 (82). Горизонтальный стержень АВ весом 100 я может вра-

щаться вокруг неподвижной оси шарнира А. Конец В оттягивается

кверху посредством перекинутой через блок нити, на которой под-

вешена гиря весом Р=150 я. В точке, находящейся на расстоянии

20 см от конца В, подвешен

груз

ьесом 500 к. Как велика длина х

стержня АВ, если он находится в

равновесии?

Ответ:

х = 25 см,

3.9 (83). Конец А горизонталь-

ного стержня АВ весом 20 кГ и

длиной

5 м оттягивается кверху по-

средством перекинутой через блок

веревки,

на которой подвешен

груз

весом 10 кГ. Конец В таким же

образом оттягивается кверху посредством

груза

весом 20 кГ. В точках

С,

D, Е и F, отстоящих одна от другой и от точек А и В на 1 л,

подвешены грузы весом соответственно 5, 10, 15 и 20 кГ. В каком

месте надо подперегь стержень, чтобы он оставался в равновесии?

Ответ:

В середине.

V 3.10 (84). К однородному стержню, длина которого 3 м, а вес

6 н, подвешены 4

груза

на равных расстояниях

друг

от

друга,

при-

чем два крайних — на концах стержня. Первый

груз

слева весит 2 н,

каждый последующий тяжелее предыдущего на 1 и. На каком рас-

стоянии

х от левого конца нужно подвесить стержень, чтобы он

оставался горизонтальным?

Ответ:

х=\,1Ъ м.

3.11 (85). Однородная горизонтальная балка соединена со стеной

шарниром

и подперта в точке, лежащей на расстоянии 160 см от

стены. Длина балки

400 см, ее вес 320 кГ. На

расстояниях

120 см

180 см от

стены

на

балке лежат

два

груза

весом

160 кГ и 240 кГ.

Определить опорные реакции.

Ответ:

790 кГ —

вверх;

70 кГ —

вниз.

3.12

(86).

Однородная горизонтальная балка длиной

4 м и

весом

0,5

заложена

стену, толщина которой равна

0,5 м, так, что опи-

рается

на нее в

точках

А и В.

Определить реакции

этих точках,

если

свободному концу балки

подвешен

груз

весом

4 т.

Ответ:

ZAT—вверх;

= 29,5 г —

вниз.

задаче 3 13.

3.13 (87).

Горизонтальная балка заделана одним концом

стену,

на

другом

конце поддерживает подшипник вала.

От

веса вала,

шкивов

подшипника балка испытывает вертикальную нагрузку

равную

120 кГ.

Пренебрегая весом балки

считая,

что

нагрузка

действует

на

расстоянии

а = 750 мм от

стены, определить реакции

заделки.

Ответ:

Реакция

R = 120 кГ;

реактивный момент

М = 90 кГм.

3.14 (88).

Горизонтальная балка, поддерживающая балкон,

под-

вергается действию равномерно распределенной нагрузки интенсив-

ности

= 200 кГ/м. На

балку

свободного конца передается

на-

грузка

от

колонны

Р = 200 кГ.

Расстояние

оси

колонны

от

стены

/=1,5

м.

Определить реакции заделки.

Ответ:

R = 500 кГ; Ж = 525 кГм.

задаче 3.14.

задаче 3.15.

3.15 (89). На

консольную горизонтальную балку

действует

пара

сил

моментом

М = 6 тм, а в

точке

вертикальная нагрузка

= 2

Длина пролета балки

АВ =

Ъ,Ъ

м,

вынос консоли ВС=Ь,Ь

м.

Определить реакции опор.

Ответ:

= 2

т—вниз;

jRg = 4

т—вверх.

3.16 (90). На

двухконсольную горизонтальную балку

действует

пара

сил (Р, Р), на

левую

консоль

—

равномерно распределенная