Мещерский И.В. Сборник задач по теоретической механике

Подождите немного. Документ загружается.

6.14 (224). Четыре ребра АВ, AC, AD и АЕ правильной пяти-

угольной пирамиды изображают по величине и направлению четыре

силы в масштабе: 1 н в 1 м. Зная высоту пирамиды

АО=Ю

м и

радиус круга, описанного около основания, ОС = 4,5 м, найти равно-

действующую R и расстояние х от точки О до точки пересечения

равнодействующей с основанием.

Ответ:

# =

40,25

н; х= 1,125 м.

В -

К задаче

6.15.

К задаче

6.16.

6.15 (225). К вершине В треножника

ABCD

подвешен

груз

Е,

вес которого 10 кГ. Ножки имеют равную длину, укреплены на гори-

зонтальном полу и образуют ме-

жду собой равные углы. Опреде-

лить усилие в каждой из ножек,

если известно, что они образуют

с вертикалью BE

углы

в 30°.

Ответ:

3,85 кГ.

6.16 (226). Найти усилия 5 в

ногах AD, BD и CD треноги, об-

разующих

углы

в 60° с горизон-

тальной плоскостью, если вес Р

равномерно поднимаемого

груза

равен 3 т. При этом АВ =

Ответ:

5=2,3

т.

6.17 (227). Для подъема из

шахты

груза

Р весом 3 т

уста-

новлены тренога

ABCD

и лебед-

ка

Е. Определить усилия в ногах

треноги при равномерном подня-

тии

груза,

если треугольник ABC

равносторонний и углы, образо-

ванные ногами и тросом DE с го-

ризонтальной плоскостью, равны 60°. Расположение лебедки по от-

ношению

к треноге видно из чертежа.

Ответ:

= S

= 3,15 г, S

= 0,155 т.

К задаче 6.17.

6.18 (228). На гладком полу стоит трехногий штатив; нижние

концы

его ножек связаны шнурами так, что ножки и шнуры штатива

образуют правильный тетраэдр. К верхней точке штатива подвешен

груз

весом Р. Определить реакцию пола R в точках опоры и натя-

жение шнуров Т, выразив искомые величины через Р.

Ответ:

= {p;

Т=ф=-.

6.19 (229). Решить

предыдущую

задачу

в том случае, когда ножки

штатива связаны шнурами не в концах, а в серединах, принимая при

этом во внимание, что вес каждой ножки равен р и приложен к ее

середине.

Ответ: R = ~P+p;

Vb.

6.20 (230). Три однородных шара А, В и С одинаковых радиусов

положены на горизонтальную плоскость, взаимно прикасаются и об-

вязаны

шнуром, огибающим их в экваториальной плоскости, а чет-

вертый шар О того же радиуса и также однородный, весом 10 «,

лежит на

трех

нижних. Определить натяжение шнура Т, вызываемое

давлением верхнего шара. Трением шаров

между

собою и с горизон-

тальной плоскостью пренебречь.

Ответ:

Т = 1,36 и.

задаче

6.20.

6.21 (231). В точках А, В я С, лежащих на прямоугольных коор-

динатных осях на одинаковом расстоянии / от начала координат О,

закреплены нити:

AD—BD=CD—L,

связанные в точке D, коор-

динаты которой

В этой точке подвешен

груз

Q. Определить натяжение нитей ТА,

Тс, предполагая, что 1/ у

К.К.1.

Ответ: T

= T

3/ J/ 3Z.2

3/ У 3L

— 2/2

7. Приведение системы сил к простейшему виду

7.1

(232).

вершинам куба приложены

по

направлениям ребер

силы,

как

указано

на

чертеже. Каким условиям должны удовлетворять

силы

Ft, F

, Fs,

F&,

и F

чтобы

они

находились

равновесии?

Ответ:

= F

= Fi = F

= F^

7.2 (233).

По

трем непересекающимся

непараллельным ребрам

прямоугольного параллелепипеда

действуют

три

равные силы

Р.

Какое

соотношение должно существовать

между

ребрами

а, Ъ и с,

чтобы

эта система приводилась

одной равнодействующей?

Ответ:

а — b — с.

/•

L—(

задаче 7

задаче

7.2.

Iff.

*й

уУ

задаче 7 3.

7.3 (234).

четырем вершинам

А, Н, В и D

куба приложены

четыре равные силы:

Р\ = Ръ = Рг = Pi — Р,

причем сила

Р\

направ-

лена

по АС,

Р%—по

HF,

Р$

—

по

BE и

—по

DO.

Привести

эту

систему

простейшему

виду.

Ответ:

Равнодействующая равна

2Р и

направлена

по

диагонали

DQ.

7.4 (235).

правильному тетраэдру

ABCD,

ребра которого

равны

Й,

приложены силы:

F\ по

ребру

АВ, F

по

ребру

CD и F

точке

Е —

середине ребра

BD.

Величины

сил F

и F

какие угодно,

„ , „ 5)^3 Ft

а проекции силы

на оси х, у и z

равны

-\-г

—g—;

Приводится

ли эта

система

сил к

одной равнодействующей?

Если приводится,

то

найти координаты

JC и г

точки пересечения

линии

действия равнодействующей

плоскостью

Oxz.

Ответ:

Приводится,

так как

проекции главного вектора

глав-

ного момента

на

координатные

оси

имеют значения:

0; M

= — a

Координаты: х = ^ = — ^-^

7.5 (236). К вершинам куба, ребра которого имеют длину 5 см,

приложены, как указано на чертеже, шесть равных сил, по 2 н

каждая. Привести эту систему к простейшему

виду.

Ответ:

Система приводится к паре, момент которой равен

-си

и составляет с координатными осями углы: cosa =

'7"

jS/v

задаче 7.4.

задаче 7.5.

задаче 7.Q.

7.6 (237). Систему сил:

==8

кГ, направленную по Oz, и

=12

кГ, направленную параллельно Оу, как указано на чертеже,

где ОЛ = 1,3 м, привести к каноническому

виду,

определив величину

главного вектора V всех этих сил и величину их главного момента М

относительно произвольной точки, взятой на центральной винтовой

оси.

Найти

углы

о, Р и у, составляемые центральной винтовой осью

с координатными осями, а также коор-

динаты х к у точки встречи ее с плос-

костью Оху.

Ответ:

V— 14,4 кГ;

=90°; p = arctg

л;

= 0,9 м\ у = 0

8,65 кГм;

arctg

-§;.

7.7 (238). Три силы P

и Р

ле-

жат в координатных плоскостях и парал-

лельны осям координат, но

могут

быть

направлены как в ту, так и в

другую

сторону. Точки их приложения А, В и С находятся на заданных рас-

стояниях a, b и с от начала координат. Какому условию должны

удовлетворять величины этих сил, чтобы они приводились к одной

равнодействующей? Какому условию должны удовлетворять величины

этих сил, чтобы существовала центральная винтовая ось, проходя-

щая

через начало координат?

г, а . Ъ . с г. Pi Pt P

Ответ:

- + ^ +

^=0;^=^

= ^.

В первом ответе P

и Р

—алгебраические величины сил.

7.8 (239). К правильному тетраэдру

ABCD

с ребрами, равными а,

приложена сила F

по ребру А В и сила F

по ребру CD. Найти

координаты х и у точки пересечения центральной винтовой оси

с плоскостью Оху. _

'l op F* n F F

F* +

•

~~ 2 F\ + Fl '

Ответ:

х—

задаче

7.8.

задаче

7.9.

7.9

(240).

По ребрам

куба,

равным а,

действуют

двенадцать

рав-

ных сил Р, как указано на

чертеже.

Привести эту

систему

сил

каноническому

виду

и определить координаты х и у точки пере-

сечения центральной винтовой оси с плоскостью Оху.

Ответ:

1/=2Р"|/б; М = ~Р

cosa

= — cosp =

—-.COSY

= —r

7.10 (241). По ребрам прямоугольного параллелепипеда,

соответ-

ственно равным 10 м, 4 м и 5 м,

действуют

шесть сил, указанных

на

чертеже:

= 4 н, Р

= 6 и,

= 3 н, Р

= 2 н, Р

= 6 и,

= 8 н. Привести эту

систему

сил к каноническому

виду

и опре-

делить

координаты х и у точки

пересечения центральной винто-

вой оси с плоскостью Оху.

Ответ:

7=5,4 к; М —

—47,5

дж;

cosa==0;

cos|3 =

0,37; cos у = 0,93; x = — 11,9 ж,

= — 10 м.

7.11. Равнодействующие Р =

8000

т и F =

5200

т сил дав-

ления

воды на плотину приложены в средней вертикальной плоскости

перпендикулярно к соответствующим граням на расстоянии //=4 м

h = 2,4 м от основания. Сила веса Gx=12 000 T прямоугольной

части плотины приложена в ее центре, а сила веса G

6000

треугольной части — на расстоянии одной трети длины нижнего

основания

треугольного сечения от вертикальной грани этого сече-

ния.

Ширина плотины в основании £=10 м, в верхней части

задаче

7.10.

а = 5 ж, tga = jn. Определить равнодействующую распределенных

сил реакции грунта, на котором установлена плотина.

Ответ:

^=3200 г; /^ = 20 000 г; уравнение линии действия

равнодействующей:

125лг

—20j/-j-53

= 0.

задаче 7.12.

7.12. Вес радиомачты с бетонным основанием 0=14 т. К мачте

приложены сила натяжения антенны F = 2 г и равнодействующая сил

давления ветра Р = 5 г; обе силы горизонтальны и расположены

во взаимно перпендикулярных плоскостях; //=15 м, Л = б м. Опре-

делить результирующую реакцию грунта, в котором уложено осно-

вание мачты.

Ответ:

Силы реакции грунта приводятся к левосторонней ди-

наме,

состоящей из силы V== 15 т, направленной по центральной оси

— 30+14y-f 2г _ 30 — 5г— Ux _ —

2*-f-5y

5 ~ 2 ~ —14

вверх, и пары сил с моментом

УИ==6

ТМ. ОСЬ динамы пересекает

плоскость основания в точке х = 2,2 м, у = 2 м, z~Q.

8. Равновесие

произвольной

системы

сил

8.1. На круглой наклонной площадке, которая может вращаться

вокруг оси ACD, наклоненной к вертикали под углом 20°, укреп-

лено в точке В тело весом 400 кГ. Определить вращающий момент,

создаваемый силой тяжести тела, если радиус СВ = 3 м в данный

момент горизонтален.

Ответ:

410 кГм.

8.2 (243). Ветряной двигатель имеет четыре крыла, наклоненных

под углом

а—15°

= arcsin

0,259

к плоскости, перпендикулярной

оси вращения; равнодействующая сил давления ветра на каждое

крыло равна 100 кГ, направлена по перпендикуляру к плоскости

крыла и приложена в точке, отстоящей на 3 м от оси вращения.

Найти

вращающий момент.

Ответ:

311 кГм.

8.3 (244). Электродвигатель, помещенный на оси О колесного

ската трамвайного вагона, стремится повернуть ось против часовой

стрелки, причем величина

момента вращающей пары

сил (Р, Р) равна 600 кГм,

а радиус колес 60 см.

Определить силу тяги Q

колесного ската, предпола-

гая, что он стоит на гори-

зонтальных рельсах.

Сначала нахОДИМ

сумму

К задаче 8.1. К задаче 8 3.

сил трения

между

колесами

рельсами, взяв моменты

сил

относительно

оси О.

Затем проектируем

все

силы, приложенные

колесному скату,

на

горизонтальное направление.

Ответ:

Q= 1 т.

8.4 (245). К окружностям

трех

дисков: А радиуса 15 см, В ра-

диуса 10 см и С радиуса 5 см приложены пары сил; величины сил,

составляющих пары, соответственно равны Р\ =10 к, Р

= 20 к и Р.

Оси ОА, ОВ и ОС лежат в одной плоскости;

угол

АОВ прямой.

Определить величину силы Р и

угол

ВОС =

си

так, чтобы система

трех

дисков,

будучи

совершенно свободной, оставалась в равновесии.

Ответ:

Р = 50 я;

= arctg(— 0,75)= 143° 10'.

задаче 8.5.

8.5 (246). Подъемный кран установлен на трехколесной те-

лежке ABC. Известны размеры крана: AD =

DB=l

м, CD = 1,5 м,

СМ=\ м, KL = 4 м.

Кран

уравновешивается противовесом F. Вес

крана

с противовесом равен Р = 10 т и приложен в точке О, лежа-

щей в плоскости LMNF на расстоянии

G#=0,5

м от оси крана MN;

поднимаемый

груз

Q весит 3 т. Найти давление колес на рельсы

для такого положения крана, когда плоскость его LMN парал-

лельна АВ.

5 5 1

Ответ:

NA = -г- г, Nn = 7 -к- т; Nr = 4 -g- T.

8.6 (247). Временный подъемный кран состоит из пирамиды

с горизонтальным основанием в виде равностороннего

треуголь-

ника

ABC и с вертикальной гранью в виде равнобедренного тре-

угольника ADB; в точках О и D шарнирно закреплена вертикальная

ось крана, вокруг которой

может вращаться стрела ОЕ,

несущая

груз

Р. Основание

ABC прикреплено к фунда-

менту подшипниками А и В и

вертикальным болтом С. Опре-

делить реакции опор при рас-

положении стрелы в плоскости

симметрии крана, если вес

груза

Р=1200 кГ, вес крана

Q = 600 кГ, причем расстоя-

ние

его центра тяжести 5 от

оси OD равно й=1 м, а =

4 м, Ь = \ м.

Ответ:

= 1506 кГ;

= —1212

кР,Х

=0.

8.7 (248). Крышка светового машинного люка удерживается в гори-

зонтальном положении стойкой FQ, упирающейся в крышку в точке F

на

расстоянии EF=1,5 м от оси крышки. Вес крышки Р = 180 к Г;

длина ее CD = 2,3 м\ ширина- СЕ = 0,75 м, а расстояния шарни-

ров А и В от краев крышки АЕ = ВС = 0,15 м. Найти реакции

шарниров А и В и усилие 5 в стойке FO.

Ответ:

= — 94 кГ; Z

=l36 кГ;

5=138

Г.

задаче

8 6.

задаче

8.7,

8.8 (249). Однородная прямоугольная пластинка

ABCD,

опираясь

на

три точечные опоры, две из которых расположены в вершинах

прямоугольника А я В, я третья — в некоторой точке Е, удержи-

вается в горизонтальном положении. Вес пластинки равен Р. Давле-

ния

на опоры в точках А я В соответственно равны -j- и -=-.

Найти

давление JVg на опору в точке Е и координаты этой точки,

если длины сторон пластинки равны а и Ъ,

10,

Ответ:

=^P\ х = у\

' У —

Т\

8.9 (250). Стол стоит на

трех

ножках, концы которых А, В и С

образуют равносторонний треугольник со стороной а. Вес стола

равен Р, причем центр тяжести его расположен на вертикали

zOO

проходящей через центр О

треугольника ABC. На столе помещен

груз

р в точке М, координаты которой х и у; ось Оу парал-

лельна АВ. Определить давление каждой ножки на пол.

Ч-х

3 "I a' '^— 3 3 а

8.10 (251). Круглый стол стоит на

трех

ножках A

и А

;

центре О помещен груз. Какому условию должны удовлетворять

центральные

углы

<р

и ф

для

того, чтобы давления на ножки

1:2:

относились, как

При

решении задачи берутся мо-

менты сил относительно

двух

из радиу-

сов

ОА

и ОА

Ответ: ф

= 150°; ф

= 90°;

Фз

=120°.

задаче 8.9.

задаче 8.11.

8.11 (252). Круглая пластинка; весом которой пренебрегаем,

покоится

в горизонтальном положении, опираясь центром на острие О.

Не

нарушая равновесия, по окружности

пластинки

разместили грузы: Р

весом

1,5 кГ, Р

весом 1 кГ и Р

весом 2 кГ.

Определить

углы

аир.

Ответ:

а =

75°30';

0 = 151°.

8.12 (253). Ременный шкив CD ди-

намо-машины

имеет радиус 10 см; разме-

ры

вала АВ указаны на чертеже. На-

тяжение верхней ведущей ветви ремня

7\=10 кГ, нижней ведомой 7"

= 5 кГ.

Определить вращающий момент М и ре-

акции

подшипников А и В b

случае

равно-.

мерного вращения, пренебрегая весом частей машины; (Р, Р) — пара,

образуемая силами сопротивления.

Ответ:

Ж=50

кГсм;

=—1% кГ; Х

= д кГ; Z

= Q.

задаче 8.12.

8.13 (254). На горизонтальный вал, лежащий в подшипниках А

В, действуют: с одной стороны вес тела Q = 25 кГ, привязанного

шкиву С радиуса 20 см посредством троса, а с другой стороны

вес тела Р = 100 кГ, надетого на стержень DE, неизменно скреп-

ленный

с валом АВ под прямым углом. Даны расстояния: АС = 20 см,

CD = 70 CM,

BD—IQ

см. В положении равновесия стержень DB

отклонен

от вертикали на

угол

30°. Определить расстояние / центра

тяжести тела Р от оси вала АВ и реакции подшипников A w В.

Ответ:

1=10 см; Z

= 30 кГ; Z

= Q5 кГ; Х

= Х

= 0.

задаче 8.14.

8.14 (255). На горизонтальный вал АВ насажено зубчатое колесо С

радиуса 1 м и шестерня D радиуса 10 см. Другие размеры указаны

на

чертеже. К колесу С по направлению касательной приложена

горизонтальная сила Р=\0 кГ, а к шестерне D, также по касатель-

ной,

приложена вертикальная сила Q. Определить силу Q и реакции

_,р подшипников А и В в положе-

нии

равновесия.

Ответ:

Q=l00 кГ; Х

—\ кГ; Х

= — 9 кГ; Z

— 90 кГ; 1

—\0кГ.

8.15 (256). Рабочий равномер-

но

поднимает

груз

Q=80

кГ

помощью ворота, схематически

изображенного на чертеже; радиус

барабана R = 5 см; длина ру-

КОЯТКИ АК = 40 СМ; АС = СВ =

50 см. Определить давление Р

на

рукоятку и давления оси ворота на опоры А и В при том

положении

ворота, когда рукоятка АК горизонтальна; сила Р вер-

тикальна.

Ответ:

Р = 10 кГ; Х

= 40" кГ; Z

= — 10 кГ; Х

= 40 к Г;

= 0.

8.16. (257). С помощью ворота, схематически изображенного на

чертеже, осуществляется равномерный подъем

груза

<2= 100 кГ.

задаче 8.15.