Мещерский И.В. Сборник задач по теоретической механике

Подождите немного. Документ загружается.

43.2 (1112). Тяжелый однородный стержень длиной ^ подвешен

своим верхним концом на горизонтальной оси О. СтержН

> находив-

шемуся в вертикальном положении, была сообщена угло^

ая

скорость

= ЗТ/ ~. Совершив пол-оборота, он отделяется от 0

СИ

®-

Определить в последующем движении стержня траекторию его

центра тяжести и

угловую

скорость вращения ш.

/ 2

Ответ:

1) Парабола у

= -^ — =^

xb,

= 1/^

1 X

задаче 43.2.

К.

задаче 43.3.

43.3(1113).

Однородный стержень АВ длиной 2а подвешен за

конец

А; другой конец В находится у самого пола. Сооб^

стержню

некоторую начальную

угловую

скорость ш„, освобождз

ют

конец А

тот момент, когда стержень окажется в горизонтальной положении.

Дальнейшее движение свободного стержня происходит г!

од

влиянием

одной

силы тяжести.

Найти,

при какой начальной скорости щ /*"t"*—v<7

стержень, падая на пол, в момент прикосно-

вения

к полу

будет

вертикален.

Ответ:

щ = -\

где k = 0, 1, 2, 3,...

43.4(1114).

Два однородных круглых

цилиндра

А и В, веса которых соответст-

венно

равны Pi и Р

, а радиусы основа-

ний

Г\ и г

, обмотаны двумя гибкими нитя-

ми,

завитки которых расположены симмет-

рично

относительно средних плоскостей, параллельных основаниям

цилиндров;

оси цилиндров горизонтальны, причем

об{?

аз

ющие

их

перпендикулярны

к линиям наибольших скатов. Ось циЛ

инд

"•

не

подвижна; цилиндр В падает из состояния покоя под

де#

ствием

силы

тяжести.

Определить в момент t после начала движения, пре/'

полагая

что

этот момент нити еще остаются намотанными на о^

цилиндра:

331

1) угловые скорости u>j и щ цилиндров, 2) пройденный центром тя-

жести цилиндра В путь s и 3) натяжение Т нитей.

Ответ:

<о

}

г,

(ЗЯ,

+ 2P

)

(ЗЯ,

43.5 (1115). Однородный стержень АВ длиной а поставлен в верти-

кальной

плоскости под

углом

<ро к горизонту так, что концом А он

опирается на

гладкую

вертикальную стену, а концом В — на гладкий

горизонтальный пол; затем стержню предоставлено падать без началь-

ной

скорости.

задаче 43 5.

задаче 43 7.

1) Определить

угловую

скорость и

угловое

ускорение стержня.

2) Найти, какой

угол

<pi

будет

составлять стержень 9 горизонтом

тот момент, когда он отойдет от стены.

Ответ

= —l/-£(sincp

—

sin<p),

<$=

£co&<?',

sin cpi sa-q-

sin<p

43.6. Использовав условие предыдущей задачи, определить

угловую

скорость

стержня

скорость нижнего

его

конца

момент

па-

дения стержня

на пол.

-g-sin

<р„)sinср

;

=-jsin<?<,Vgasin

Ответ:

ф =

43.7 (1116). Тонкая однородная доска

ABCD

прямоугольной формы,

высота которой АВ==21, прислонена к вертикальной стене и опи-

рается на два гладких гвоздя Е и F без головок; расстояние АЕ

равно

FD. В некоторый момент доска начинает падать с ничтожно

малой начальной угловой скоростью, вращаясь вокруг прямой AD.

Определить, какой

угол

будет

составлять со стеной доска в

тот момент, когда она соскочит с гвоздей. Случай скольжения доски

вдоль гвоздей, без отрыва от них, исключается.

Ответ:

a = arccos4- =

70°32'.

332

48.8(1117). Два диска вращаются вокруг одной и той же оси

с угловыми скоростями

<Й1

и u)

; моменты инерции дисков относительно

91 ой оси равны Ji и J

Определить потерю кинетической энергии в случае, когда оба

диска

будут

внезапно соединены фрикционной муфтой. Массой ее

пренебречь.

Ответ:

АГ = -к- , '

(ш

— ш

)

£• J

-f- Ja

43.9

(1119).

Стержень АВ массы m, совершая плоское движение,

имеет в данный момент

угловое

ускорение е. Радиус инерции стержня

относительно оси, проходящей через центр тяжести С

перпендикулярно к плоскости движения стержня,

равен р; расстояния от центра тяжести С до концов А

В стержня соответственно равны а и Ъ. Масса

' стержня заменена двумя точечными массами, сосредо-

точенными в концах стержня А и В гак, что сумма

' приведенных масс равна массе стержня, а центр инер-

ции

приведенных масс совпадает с центром тяжести

стержня.

Определить, равны ли соответственно главный вектор и главный

момент сил инерции приведенных масс главному вектору и главному

задаче

43 9.

задаче

43 10.

моменту сил инерции стержня?

Ответ:

Главные векторы сил инерции приведен-

ных масс и стержня геометрически равны, а главные

моменты отличаются на величину

т {ab — р

) е.

43.10 (1122). Твердое тело весом Р качается во-

круг горизонтальной оси О, перпендикулярной к

плоское]и чертежа. Расстояние от оси подвеса до

центра тяжести С равно а; радиус инерции тела от-

носительно оси, проходящей через центр тяжести перпендикулярно

jK плоскости чертежа, равен р. В начальный момент тело было от-

клонено

из положения равновесия на

угол

<р

и отпущено без на-

чальной скорости.

Определить две составляющие реакции

оси

R и N, расположенные вдоль направле-

ния,

проходящего через точку привеса и

центр тяжести тела, и перпендикулярно к

нему. Выразить их в зависимости от

угла

<р

отклонения

тела от вертикали.

Ответ:

# =

Pcoscp-}--

N—P

(cos

— cos <p

);

-j—

sin

?•

задаче

43 П.

43.11 (1070). Тяжелый однородный цилиндр, получив ничтожно ма-

лую начальную скорость, скатывается без скольжения с горизонтальной

площадки АВ, край которой В заострен и параллелен образующей

333

цилиндра. Радиус основания цилиндра г. В момент отделения цилиндра

от площадки плоскость, проходящая через ось цилиндра и край В,

отклонена от вертикального положения на некоторый

угол

CBCi

= a.

Определить

угловую

скорость цилиндра в момент отделения его

от площадки, а также

угол

а. Трением качения и сопротивлением

воздуха

пренебречь.

Указание.

момент отделения цилиндра

от

площадки составляющая

веса

по

прямой

Сф

равна величине центробежной силы цилиндра

вокруг

ребра площадки

— лв

, где Q—вес

цилиндра.

Ответ:

21/ ~\ a =

arccos^=-

55,l°.

43.12 (1121). На боковой поверхности круглого цилиндра с верти-

кальной осью, вокруг которой он может вращаться без трения, вы-

резан гладкий винтовой желоб с углом подъема а. В начальный момент

цилиндр находится в покое; в желоб опускают тяжелый шарик; он

падает по желобу без начальной скорости и заставляет цилиндр вра-

щаться. Дано: масса цилиндра М, радиус его R, масса шарика т;

расстояние от шарика до оси считаем равным R и момент инерции

цилиндра равным у MR

Определить

угловую

скорость а>, которую цилиндр

будет

иметь

тот момент, когда шарик опустится на высоту h.

Ответ:

оо

2т

cos a

2gh

(M.

2m)

(M + 2m

sin

a)'

44.1 (1123). Баба

задаче 44.1.

жины после

удара

равен нулю.

Ответ:

s==-—

44.

Удар

ударного копра падает с высоты

4,905

м и

ударяет наковальню В, укрепленную

на

пружине. Вес бабы 10 кГ, вес

наковальни 5 кГ.

Определить, с какой скоростью

начнется движение наковальни после

удара,

если баба

будет

двигаться

вместе с ней.

Ответ:

6,54 м/сек.

44.2 (1128).

Груз

А весом Р

падает без начальной скорости с

высоты h на плиту В весом р,

укрепленную на пружине, которая

имеет коэффициент жесткости с.

Найти

величину s сжатия пру-

предположении, что коэффициент восстановлени я

задаче 44.2.

с(Р+рУ

334

44.3 (1129).

приборе

для

опытного определения коэффициента

восстановления шарик

из

испытуемого материала падает

без

начальной

скорости внутри вертикальной стеклянной трубки

заданной высоты

1г

= 50 см на

неподвижно закрепленную горизонтальную пластинку

из

соответствующего материала.

Найти

коэффициент восстановления, если высота,

на

которую

подскочил шарик после удара, оказалась равной

/г

= 45 см.

Ответ:

£ = 1/ -А = 0,95.

44.4

(ИЗО). Упругий шарик падает

по

вертикали

высоты

h на

горизонтальную плиту, отскакивает

от нее

вверх, вновь падает

на

плиту

и т. д.,

продолжая

эти

движения.

Найти

путь, пройденный шариком

до

остановки, если

коэффи-

циент восстановления

при

ударе

равен

Ответ:

s —.

„

—я*

44.5

(1131). Паровой молот весом

12 т

падает

со

скоростью

5 м/сек

на

наковальню,

вес

которой вместе

отковываемой деталью

равен

250 т.

Найти

работу

Ai,

поглощаемую отковываемой деталью,

работу

потерянную

на

сотрясение фундамента,

также вычислить

коэффи-

циент

т]

полезного действия молота;

удар

неупругий.

Ответ:

= 14 600 кГм; Л

= 700 кГм;

т]

= 0,95.

44.6 (1124). Найти скорости после абсолютного упругого удара

двух

одинаковых шаров, двигавшихся навстречу

друг

другу

со ско-

ростями

Vi И 1)

Ответ:

Шары после удара обмениваются скоростями.

44.7 (1125).

Два

одинаковых упругих шара

А и В

движутся

на-

встречу

друг

другу.

При

каком соотношении между скоростями

до

удара

шар А

после

удара остановится? Коэффициент восстановления

при

ударе

равен

и.

1+&

Ответ:

— = -.—г.

1-ft

44.8

(1126). Определить отношение масс

тх и т

двух

шаров

следующих

двух

случаях:

первый

шар

находится

покое;

про-

исходит центральный удар, после которого второй

шар

остается

покое;

шары встречаются

равными

противоположными скоро-

стями;

после центрального удара второй

шар

остается

покое.

Коэффи-

циент восстановления равен

Ответ:

1) "^ = k; 2) -? = 1 + 2k.

44.9

(1127).

Три

абсолютно упругих шара

массами

и т

лежат

гладком желобе

на

некотором расстоянии

друг

от

друга.

Первый

шар,

пущенный

некоторой начальной скоростью, ударяет

во второй, покоящийся

шар,

который, начав двигаться,

свою очередь

ударяет

третий, покоящийся »шар.

335

При

какой величине массы т

второго шара третий шар получит

наибольшую скорость?

Ответ:

=У

44.10(1132). Шар массой т

движущийся поступательно со ско-

ростью Vi, встречает покоящийся шар массой от

, так что скорость

его образует при

ударе

угол

а с линией, соединяющей центры шаров.

Определить: 1) скорость первого шара после удара, считая

удар

абсолютно неупругим; 2) скорость каждого из шаров после удара в

предположении,

что

удар

упругий с коэффициентом восстановления k.

Ответ:

HI^II,

l/ sin

а 4-f

| cos

^u^Y^a

т, (1 +

cos a

H=gT>

44.11(1133). Абсолютно упругий шар, центр которого движется

прямолинейно

со скоростью v, встречает под углом а гладкую верти-

кальную плоскость.

Определить скорость шара после удара.

Ответ:

Угол

отражения равен

углу

падения, скорости до и после

удара по модулю равны.

44.12(1134). Стальной шарик падает на горизонтальную стальную

плиту под углом 45° и отскакивает под углом 60° к вертикали.

Определить коэффициент восстановления при ударе.

Ответ:

= 0,58.

задаче 44.13. К задаче 44 14.

44.13(1135).

Шарик

падает наклонно со скоростью v на непод-

вижную горизонтальную плоскость и отскакивает от плоскости со ско-

ростью v

= '~--.

Определить

угол

падения а и

угол

отражения {$, если коэффициент

, Уз

восстановления

при

ударе

к = ~-.

"Ответ:

а=^; 8 = ^.

6 '

44.14(1136). Два одинаковых абсолютно упругих шара, двигаясь

поступательно, соударяются с равными по модулю скоростями v.

Скорость

левого шара до удара направлена по линии центров на-

право,

а скорость правого шара до удара образует с линией центров

угол

а (см. чертеж).

336

задаче 44.15

Найти

скорости шаров после удара.

Ответ:

1л

= — г» cos a; M

= 0;

=v\

«2

= i

Ось п направлена по линии центров вправо, ось т — вверх.

44.15(1137). Имеются три одинаковых шара: М

, М

радиу-

сов R, расстояние центров

=П.

Определить, на какой прямой АВ, пер-

пендикулярной

к линии

СхС

должен на-

ходиться центр С

третьего шара для того,

чтобы, получив некоторую скорость по

направлению

АВ, этот шар после удара

шар М

нанес центральный

удар

шару

Mil шары абсолютно упруги и движутся

поступательно.

Ответ:

Расстояние прямой АВ от

центра С

равно ВС

= —.

44.16(1138). Для укрепления грунта под фундаментом здания

сваи весом Р = 50кГ вбивались копром, боек которого весом Р

450 кГ падал без начальной скорости с высоты h = 2 м; при по-

следних десяти

ударах

свая углубилась на б = 5 см.

Определить среднее сопротивление грунта при вбивании свай.

Удар

считать неупругим.

Ответ:

5=16,2 г.

44.17(1139). Два шара с массами т

и т

висят на параллельных

нитях

длиной 1

и /

так, что центры их находятся на одной высоте.

Первый

шар был отклонен от вер-

тикали

на

угол

и затем отпущен

без начальной скорости.

Определить

угол

предельного

отклонения

второго шара, если

коэффициент

восстановления ра-

вен

Ответ:

. a» m, (I A-k)

задаче 44.18.

задаче 44.19.

44.18 (1141). Маятник ударной

машины

состоит из стального дис-

ка

А радиуса 10 см и толщиной 5 см и из стального круглого

стержня В диаметром 2 см к длиной 90 см.

На

каком расстоянии / от горизонтальной плоскости, в которой

лежит ось вращения О, должен быть помещен разбиваемый машиной

брусок С, чтобы ось не испытывала

удара?

Ударный импульс лежит

плоскости чертежа и направлен горизонтально.

Ответ:

/=97,5 см.

44.19(1142). Определить положение центра удара прямоугольной

мишени

для стрельбы. Высота мишени равна h.

Ответ:

s = -^h.

337

44.20. Определить положение центра

удара

К треугольной ми-

шени

для стрельбы. Высота мишени равна Л.

Ответ:

s =

-^-

44.21 (1143). Два шкива вращаются в одной плоскости вокруг

своих осей с угловыми скоростями ы

и о)

о-

Определить угловые скорости шкивов щ и ш

после того, как на

них

будет

накинут ремень, считая шкивы круглыми дисками одинако-

вой плотности с радиусами R

и R

и пренебре-

гая скольжением и массой ремня.

'&2L

Z7/.

Ответ

Ответ,

щ-

Ri(Rl+Rl)

щ =-

44.22(1145). Баллистический маятник, употреб-

задаче

44.20.

ляющийся для определения скорости снаряда, со-

стоит из цилиндра АВ, подвешенного к горизон-

тальной оси О; цилиндр открыт с одного конца А и наполнен песком;

снаряд, влетающий в цилиндр, производит вращение маятника вокруг

оси О на некоторый

угол.

Дано: М— масса маятника; ОС = h — рас-

стояние от его центра тяжести С до оси О; р —радиус инерции

относительно оси О; т — масса снаряда; OD — а — расстояние от

линии

действия ударного импульса до оси; а —

угол

отклонения

маятника.

Определить скорость снаряда, предполагая, что ось маятника О

не

испытывает

удара,

причем а/г = р

Ответ:

v =

(

+™)

|/~j-sinf.

т\ *~—

задаче

44.22.

задаче 44.23.

44.23(1146).

Однородный стержень с массой М и длиной /.при-

крепленный

своим верхним концом к цилиндрическому шарниру О,

падает без начальной скорости из горизонтального положения. В вер-

тикальном положении он ударяег

груз

массы т, сообщая ему дви-

338

жение по горизонтальной шероховатой плоскости. Коэффициент тре-

ния

скольжения /.

Определить путь, пройденный грузом, считая

удар

неупругим.

3/ М

Ответ:

8 =

ЩЩТШ

44.24

(1147).

Однородная прямая призма с квадратным основанием

стоит

на

горизонтальной плоскости

может вращаться вокруг

ребра АВ, лежащего

этой плоскости. Реб-

ро основания призмы равно а, высота ее За,

масса Ът. В середину С боковой грани, про-

тиволежащей ребру АВ, ударяет шар мас-

сой т

горизонтальной скоростью

Q |

Предполагая, что

удар

неупругий и что

масса шара сосредоточена

его центре, ко-

торый после

удара

остается

точке С, оп-

ределить наименьшую величину скорости

при

которой призма опрокинется.

Ответ:

v =

~Ybdga.

44.25

(1148). Платформа

помещенным

на

ней призматическим грузом АВ катится

по

горизонтальным рельсам со скоростью

На

платформе имеется выступ,

который

упирается ребро

груза,

препятствуя последнему скользить по плат-

форме вперед, но не препятствуя вращению его около ребра В.

Дано:

h — высота центра тяжести

груза

над платформой, р —радиус

инерции

груза

относительно ребра В.

Определить

угловую

скорость <в

вращения

груза

около ребра

В в

момент мгновенной остановки плат-

формы.

Ответ:

<о

= -^.

задаче

44.24.

У/////////////////////////////////////////

задаче

44.25.

44.26

(1149). Полагая при усло-

виях предыдущей задачи, что

груз

представляет собой однородный прямоугольный параллелепипед, длина

ребра которого вдоль платформы равна 4 м,

высота

м, найти,

при

какой скорости произойдет опрокидывание

груза.

Ответ:

v = 30,7

км/час.

45. Динамика точки и системы

переменной

массы

(переменного состава)

45.1 (1150). Составить уравнение движения маятника переменной

массы

среде, сопротивление которой пропорционально скорости.

Масса маятника изменяется по заданному закону m — m(t) путем от-

деления частиц с относительной скоростью, равной нулю. Длина нити

339

маятника

А На маятник

действует

также сила сопротивления, про-

порциональная

его угловой скорости: R — —ф§.

Ответ:

? + ~Щ ¥ + f

sin

<Р

= °-

45.2. Составить дифференциальное уравнение восходящего движе-

ния

ракеты. Эффективную скорость v

истечения газов *) считать по-

стоянной.

Масса ракеты изменяется по закону /« = w

/(t) (закон сго-

рания).

Сила сопротивления

воздуха

является заданной функцией

скорости и положения ракеты: R (х, х).

Ответ:

-g-^lv

45.3 (1152). Проинтегрировать уравнение движения предыдущей

задачи при т = т^{\ — at) и R = 0. Начальная скорость ракеты

у поверхности земли равна нулю. На какой высоте

будет

находиться

ракета в моменты t = 10; 30; 50 сек при v

—

2000

м{сек

и а =

T-QQ

сек'

Ответ:

X (t) = ^ [(1 —

o.t)

In (I — at) -f at] — ^;

д:(10) = 0,54 и; лг(30)=г5,65 о; х(50) = 18,4 км.

45.4. Ракета с начальной массой /я

поднимается вертикально

вверх

в однородном поле силы тяжести с постоянным ускорением ng

(g—ускорение земного тяготения).

Пренебрегая сопротивлением атмосферы и считая эффективную

скорость v

истечения газов постоянной, определить: 1) закон изме-

нения

массы ракет, 2) закон изменения массы ракеты при отсутствии

поля

тяготения.

Ответ:

1) т = т

е ™

; 2) т =

45.5. Масса ракеты, описанной в задаче 45.2, изменяется до t — t

по

закону т =

т$г

Пренебрегая силой сопротивления, найти движение ракеты и,

считая, что к моменту времени t

весь заряд практически сгорел,

определить максимальную высоту подъема ракеты. В начальный мо-

мент ракета имела скорость, равную нулю, и находилась на земле.

Ответ:

H=^[o.v

— g]tl, где v

— эффективная скорость исте-

чения

газов из ракеты.

45.6. При условиях предыдущей задачи определить значение а,

отвечающее максимальной возможной высоте подъема ракеты Н

та

х-,

вычислить

,ах

(величину у. =

at,,

= In

—*•

необходимо считать по-

стоянкой;

/И]

— масса ракеты в момент U).

Ответ:

а = оо (мгновенное сгорание);

•) Тяга реактивного двигателя определяется формулой Р

= — ~гг v

где v

— эффективная скорость истечения.

340