Мещерский И.В. Сборник задач по теоретической механике

Подождите немного. Документ загружается.

45.7.

При

условиях задач

45.5 и 45.6,

задавшись коэффициентом

перегрузки

k = — ,

определить высоту подъема

ракеты

зави-

•симости

от

тАХ

Ответ:

Н=Н

^-^—.

45.8. Ракета

стартует

с Луны

вертикально

к ее

поверхности.

Эффективная

скорость истечения

2000

м/сек. Число Циолков-

ского

г = 5

*).

Определить, какое должно быть время сгорания топлива, чтобы

ракета достигла скорости г»

3000

м/сек

(принять,

что

ускорение

силы тяжести вблизи Луны постоянно

равно

.1,62

м/сек\

Ответ:

*=«

2 мин 4 сек.

45.9. Ракета движется

однородном поле силы тяжести вверх

постоянным ускорением

Пренебрегая сопротивлением атмосферы

считая эффективную

скорость

истечения газов постоянной, определить время

Т, за

которое масса ракеты уменьшится

в два

раза.

Ответ:

Г =

—^-1п2.

w-\-g

45.10. Эффективная скорость истечения газов

из

ракеты

•а,,

= 2,4

км/сек.

Каково

должно быть отношение запаса топлива

весу ракеты

без

топлива, чтобы после сгорания топлива ракета, движущаяся

вне

поля

тяготения

и вне

атмосферы, приобрела скорость

км/сек?

Ответ:

Вес

топлива должен составлять примерно

98% от

стар-

тового веса ракеты.

45.11. Ракета движется поступательно

при

отсутствии тяготения

сопротивления среды. Эффективная скорость истечения газов

2400

м/сек.

Определить число Циолковского, если

момент полного сгорания

топлива скорость ракеты

будет

равна

4300

м/сек.

Ответ:

«=;

45.12. Тело переменной массы, имея начальную скорость, равную

нулю, движется

постоянным ускорением

w по

горизонтальным направ-

ляющим. Эффективная скорость истечения газов

постоянна.

Определить, пренебрегая сопротивлением, путь, пройденный телом

до того момента, когда

его

масса уменьшится

в k раз.

Ответ:

s =

п— (In

kf.

45.13. Решить предыдущую

задачу,

предположив,

что на

тело

действует

сила трения скольжения.

Ответ:

TT—г~г^г0

^У>

/ —

коэффициент трения сколь-

жения.

*) Числом Циолковского называется отношение стартовой массы ракеты

массе ракеты

без

топлива.

341

45.14. Тело переменной массы движется по специальным направ-

ляющим, проложенным вдоль экватора. Касательное ускорение

w^ = a постоянно.

Не

учитывая сопротивление движению, определить, во сколько

раз уменьшится масса тела, когда оно сделает один оборот вокруг

Земли,

если эффективная скорость истечения газов v

= const. Каково

должно быть ускорение а, чтобы после одного оборота тело приоб-

рело первую космическую скорость?

—V^ifa

Ответ:

Bee раз; а — ~.

45.15. Определить в вредыдущей задаче массу топлива, сгорев-

шую к моменту, когда давление тела на направляющие

будет

равно

нулю.

Ответ:

т<>\1—е

45.16. Тело скользит по горизонтальным рельсам. Истечение газа

происходит вертикально вниз с постоянной эффективной скоростью v

Начальная скорость тела равна v

Найти

закон изменения скорости тела и закон его движения, если

изменение массы происходит по закону /и = /гао— at. Коэффициент

трения скольжения равен /.

Ответ:

v=v

-f[gt-v

™1

v^—f\^-—v

[Пп т*

+ ^^

(In (/к

—

at)

- 1)]}.

45.17. Решить предыдущую

задачу,

если изменение топлива

будет

происходить по закону т =

тф~'

Определить, при каком а тело

будет

двигаться с постоянной скоростью v

Ответ:

v =

—f(g

—

a.v

)t;

s =

t—f(g

— a.v

)

; a= ^-.

45.18. Какой путь пройдет ракета на прямолинейном активном

участке в пустоте и при отсутствии сил тяготения за время разгона

от нулевой начальной скорости до скорости, равной эффективной

скорости истечения продуктов сгорания v

, если известна начальная

масса ракеты то и секундный расход [3?

Ответ:

s = ~~^

•

~ , где е — неперово число.

45.19.

Ракета движется прямолинейно вне поля тяготения и при

отсутствии сопротивления. Найти работу силы тяги к моменту, когда

сгорит все топливо. Начальная масса ракеты /й

» конечная — т

. Эф-

фективная

скорость истечения v

постоянна.

Ответ:

А = m\v\ [In z — (z — 1)]; z = — .

45.20.

При каком отношении z начальной /я

и конечной Ш\ масс

ракеты, движущейся прямолинейно в пустоте и при отсутствии сил

тяготения, ее механический к. п. д., определяемый как отношение ки-

342

нетической энергии ракеты после выгорания топлива к затраченной

энергии,

имеет наибольшее значение?

, 2 (г— 1)

Ответ:

z— корень уравнения шг= .—'-,

45.21. Самолет, имеющий массу то, приземляется со скоростью %

на

полярный аэродром. Вследствие обледенения масса самолета при

движении после посадки увеличивается согласно формуле

/я=/я

-|-а£,

где а = const. Сопротивление движению самолета по аэродрому про-

порционально

его весу (коэффициент пропорциональности /). Опре-

делить промежуток времени до остановки самолета с учетом (Г) и без

учета

(7i) изменения его массы. Найти закон изменения скорости

с течением времени.

~fgl2(2m

45.22. Эффективные скорости истечения первой и второй ступени

у двухступенчатой ракеты соответственно равны

г£' =

2400

м/сек

и г£" =

2600

м/сек.

Определить, считая, что движение происходит вне поля тяготения

атмосферы, числа Циолковского для обеспечения конечной скоро-

сти г)!=2400

м/сек

первой ступени и конечной скорости •и

=5400

м/сек

второй ступени.

Ответ:

— 2,72; z

= 3,17.

45.23. Считая, что у трехступенчатой ракеты числа Циолковского

эффективные скорости v

истечения у всех

трех

ступеней одина-

ковы,

найти число Циолковского при г>

= 2,4 км/сек, если после

сгорания всего топлива скорость ракеты равна 9

км/сек

(влиянием

поля

тяготения и сопротивлением атмосферы пренебречь).

Ответ:

z = 3,49.

45.24. Трехступенчатая ракета движется поступательно при

отсут-

ствии тяготения и сопротивления атмосферы. Эффективные скорости

истечения и числа Циолковского для всех ступеней одинаковы и соот-

ветственно равны г1

2500

м/сек, z = 4. Определить скорости

ракеты после сгорания горючего в первой ступени, во второй

в третьей.

Ответ:

v^ —

ЪАЪЬ

м/сек;

г>2

6930

м/сек; -и

= 10 395 м/сек.

45.25. В момент, когда приближающийся к Луне космический

корабль находится на расстоянии Н от ее поверхности и имеет ско-

рость г»о, направленную к центру Луны, включается тормозной дви-

гатель. Учитывая, что сила тяготения обратно пропорциональна квад-

рату расстояния от корабля до центра Луны, и принимая, что масса

корабля изменяется по закону т = т^~

(т^ — масса ракеты в момент

включения тормозного двигателя, а — постоянное число), найти я,

при

котором корабль совершит мягкую посадку (т. е.

будет

иметь

. 343

скорость прилунения, равную нулю). Эффективная скорость истече*

ния

газов v

постоянна. Радиус Луны R,

Ответ: « = ^ |*

45.26.

Найти закон изменения массы ракеты, начавшей движение

вертикально

вверх

с нулевой начальной скоростью, если ее ускоре-

ние

w постоянно, а сопротивление среды пропорционально квадрату

скорости (Ь — коэффициент пропорциональности). Поле силы тяжести

считать однородным. Эффективная ско-

рость истечения газа v

постоянна.

Ответ:

2v bw

задаче

45 27.

w + g ' (® + gj

(

45.27.

Ракета перемещается в одно-

родном поле силы тяжести по прямой с

постоянным

ускорением W. Эта прямая

образует

угол

а с гори-

зонтальной плоскостью, проведенной к поверхности Земли в

точке запуска ракеты. Предполагая, что эффективная скорость исте-

чения

газов v

постоянна по величине и направлению, определить,

каково

должно быть отношение начальной массы ракеты к массе

ракеты без топлива (число Циолковского), если к моменту сгорания

топлива ракета оказалась на расстоянии Н от указанной выше кара-

тельной плоскости.

-tf'lwH

Ответ:

z =

si>v

8ша

,гдеР — угол,образуемый скоростью<о

с касательной плоскостью, равный

arccos

да

COS

45.28.

Тело переменной массы движется с постоянным ускорением w

по

шероховатым прямолинейным направляющим, составляющим

угол

с горизонтом. Считая, что поле силы тяжести является однородным,

а сопротивление атмосферы движению

тела

пропорционально первой

степени скорости ф — коэффициент сопротивления), найти закон

изменения

массы

тела.

Эффективная скорость истечения газа v

постоянна;

коэффициент трения скольжения

между

телом и направ-

ляющими равен /.

Ответ:т

= \щ

где

те>, =

—

начальная масса тела.

46.29

(1155).

Аэростат

весом Q поднимается вертикально и

увле-

кает за собой сложенный на земле канат. На аэростат

действуют

подъемная сила Р, сила тяжести и сила сопротивления, пропорцио-

344

нальная

квадрату скорости: R —

—p.£

Вес единицы длины каната ?.

Составить уравнение движения аэростата.

Ответ:

x = ~g +

Ji±I

х\

*~Q +

l>c

Q + чх

45.30

(1156). При условиях предыдущей задачи опреде-

лить скорость подъема аэростата. В начальный момент аэростат

неподвижен и находится на высоте //д.

Ответ:

45.31 (1157). Шарообразная водяная капля падает вертикально

атмосфере, насыщенной водяными парами. Вследствие конденсации

масса капли возрастает пропорционально площади ее поверхности

(коэффициент

пропорциональности а). Начальный

радиус

капли Го,

ее начальная скорость ^о, начальная высота Л

. Определить скорость

капли

и закон изменения ее высоты со временем (сопротивлением

движению пренебречь).

Указание. Показать, что

dr—a

dt, и перейти к новой независимой

переменной г.

Отеет:

45.32

(1158). Решить

предыдущую

задачу

в предположении, что

на

каплю кроме силы тяжести

действует

еще и сила сопротивления,

пропорциональная

площади максимального поперечного сечения

а скорости капли: /?= — 4(3гсг

и ф — постоянный коэффициент).

Ответ:

4<х

g(r

-rl)

2о(4а + 3р) '

.7<«+й

где r —

45.33 (1159). Свернутая в клубок тяжелая однородная цепь лежит

на

краю горизонтального стола, причем вначале одно звено цепи

неподвижно свешивается со стола. Направляя ось х вертикально

вниз

и принимая, что в начальный момент х=0, х — 0, определить

движение цепи.

Ответ:

х = ~ gt*.

45.34

(1160). Цепь сложена на земле и одним концом прикреп-

лена к вагонетке, стоящей на наклонном

участке

пути, образующем

345-

угол

а с горизонтом. Коэффициент трения цепи о землю /. Вес еди-

ницы

длины цепи у, вес вагонетки Р. Скорость вагонетки в началь-

ный

момент v

. Определить скорость вагонетки в любой момент вре-

мени

и выяснить необходимое условие, при котором вагонетка может

остановиться.

Остановка может иметь место при выполнении неравенства /> tg a.

45.35(1161).

Материальная точка массы т притягивается по

закону всемирного тяготения Ньютона к неподвижному центру. Масса

центра со временем меняется по закону М =

-г—^у.

Определить дви-

жение точки.

Указание. Перейти к новым координатам с помощью соотношений

|=~^

4 = i и к приведенному времени * = ___-.

Ответ:

Уравнения движения в координатах £, т] имеют вид [f—

постоянная

тяготения)

т. е.

отвечают

обычным уравнениям в

случае

постоянных масс. По-

этому в зависимости от начальных условий в переменных | и т] имеют

место эллиптические, параболические или гиперболические орбиты.

45.36.

Для быстрого сообщения ротору гироскопа необходимого

числа оборотов применяется реактивный запуск. В тело ротора вде-

лываются пороховые шашки общей массой т

, продукты сгорания

которых выбрасываются через специальные сопла. Принять порохо-

вые шашки за точки, расположенные на расстоянии г от оси враще-

ния

ротора. Касательная составляющая эффективной скорости истече-

ния

продуктов сгорания v

постоянна.

Считая, что общий

расход

массы пороха в одну секунду равен q,

определить

угловую

скорость со ротора к моменту сгорания пороха,

если на ротор

действует

постоянный момент сопротивления, равный М.

Радиус ротора R. В начальный момент ротор находится в покое.

Ответ:

со

qVe

~~—ln-r

-, где J

-\-m

— момент

о, J

инерции

ротора относительно оси вращения.

45.37.

По данным предыдущей задачи найти

угловую

скорость

ротора после сгорания пороха, если на ротор

действует

момент сопро-

тивления, пропорциональный его угловой скорости ф — коэффициент

пропорциональности).

„ Rv

q \ * I Jp V

Ответ:

ы=—~

И — \-г •

346

45.38. Многоступенчатая ракета состоит из полезного

груза

и сту-

пеней.

Каждая ступень после израсходования топлива отделяется от

остальной конструкции. Под субракетой понимается сочетание рабо-

тающей ступени, всех неработающих ступеней и полезного

груза,

причем для данной субракеты все неработающие ступени и полезный

груз

являются «полезным грузом», т. е. каждая ракета рассматри-

вается как одноступенчатая ракета. На рисунке указана нумерация

ступеней и субракеты.

Пусть q — вес полезного

груза,

Р,—

вес топлива в f-й ступени, Q; —

сухой

(без топлива) вес £-й ступени,

— полный вес г-й субракеты.

Вводя в рассмотрение число Циол-

ковского

для каждой субракеты

. _^ Qi

конструктивную характеристику (от-

ношение

полного веса ступени к ее

сухому

весу)

для каждой ступени

„ __ Qi + Pi

задаче 45 38.

определить полный стартовый вес всей ракеты, вес k-R субракеты, вес

топлива А-й ступени,

сухой

вес &-й ступени.

Указание.

При

решении задачи ввести

а,- —

«относительный

вес»

i-й

субракеты,

т. е.

отношение 'начального веса субракеты

весу

ее

полез-

ного груза:

Ответ:

О^

Si—Z:

= k

=—-^(формулы Фертрегта).

45.39. Двухступенчатая ракета предназначена сообщить полез-

ному

грузу

=100 кГ скорость г>=6000 м/сек. Эффективные ско-

рости истечения газов у ступеней одинаковы и равны v

2400

м/сек.

Конструктивные

характеристики первой и второй ступеней соответ-

ственно

равны s

= 4, s

= 5 (см. задачу 45.38). Пренебрегая силой

тяготения

Земли и сопротивлением атмосферы, определить числа

Циолковского

для первой и второй субракет, при которых старто-

вый

вес Oj ракеты

будет

минимальный.

Ответ:

— 3,2;

Z<L

— \\ O!= 19,2 г.

347

45.40. Используя данные предыдущей задачи, определить для

каждой ступени вес топлива и сухой вес.

Указание. Использовать формулы ответа к задаче 45.38.

Ответ:

= 13,2 т, Р

=1,2 т, Qi = 4,4 т, Q

= 0,3 г.

45.41. Четырехступенчатая ракета состоит из четырех ракет. Кон-

структивная характеристика s и эффективная скорость v

у всех

ракет одинаковы и равны s = 4,7,

•и

б!

= 2,4

км<сек.

Каков должен

быть стартовый вес ракеты, чтобы она

грузу

в 1 т сообщила ско-

рость v =

9000

м/сек? (Воспользоваться формулами ответа к задаче

45.38.)

Ответ:

372 г.

ГЛАВА

АНАЛИТИЧЕСКАЯ

МЕХАНИКА

46.

Принцип

возможных

перемещений

46.1 (903).

Груз

поднимается с помощью домкрата, который

приводится в движение рукояткой ОЛ = 0,6 м. К концу рукоятки,

перпендикулярно к ней, приложена сила Р = 16 кГ.

Определить величину

груза

Q, если шаг винта домкрата й = 12 мм.

Ответ:

Q = 5020 кГ.

задаче 46,1.

У////////////////////,

задаче 46.2.

46.2 (904). На маховичок коленчатого пресса действует вращаю-

щий

момент М; ось маховичка имеет на концах винтовые нарезки

шага h противоположного направления и проходит через две гайки,

шарнирно

прикрепленные к

двум

вершинам стержневого ромба со

стороною а; -верхняя вершина ромба закреплена неподвижно, нижняя

прикреплена к горизонтальной плите пресса.

Определить силу давления пресса на сжимаемый предмет в мо-

мент, когда

угол

при вершине ромба равен 2а.

Ответ:

Р — я

ctg«.

46.3 (905). Определить зависимость

между

модулями сил Р и Q

клиновом прессе, если сила Р приложена к концу рукоятки длиною а

349

перпендикулярно к оси винта и рукоятки. Ход винта равен ft.

при

вершине клина равен а.

Ответ: Q =

P—'-—,

46.4 (907). Чертеж представляет

схему

машины для испытания

образцов на растяжение. <

Определить зависимость

между

усилием X в образце К и расстоя-

нием

х от

груза

Р до его нулевого положения О, если при помощи

груза

Q машина уравновешена так, что при нулевом положении

груза

Р и при отсутствии усилия в К все рычаги горизонтальны. Даны

расстояния L, U и е. „, ,

1 ^— о *—*•*

Ответ: Х—Р~, {

К задаче 46 3.

К задаче 46.4.

46.5 (908). Грузы К и L, соединенные системой рычагов, изобра-

женных на чертеже, находятся в равновесии.

ВС

Определить зависимость

между

весами грузов, если дано: -др —

ON 1 DE 1

•^ТО'

ОМ Т' 5? То*

г, ВС ON DB „ 1 „

К задаче 46.5. К задаче 46.6.

46.6. Определить модуль силы Q, сжимающей образец А, в рычаж-

ном

прессе, изображенном на чершже. Дано: /

== 100 н, а = 60 см,

Ь=\Ь

см, с = 60 см, d = 20 см.

Ответ: Q= 1800 н.

350