Мещерский И.В. Сборник задач по теоретической механике

Подождите немного. Документ загружается.

47.19 (939). В регуляторе четыре

груза

одинакового веса Р на-

ходятся на концах

двух

равноплечих рычагов длиной 21, которые

могут

вращаться в плоскости регулятора вокруг конца шпинделя О

образуют с осью шпинделя переменный

угол

ср. В точке А, на-

ходящейся от конца шпинделя О на расстоянии ОА = а, со шпинделем

шарнирно

соединены рычаги АВ и АС

длиной а, которые в точках В и С

свою очередь сочленены со стерж-

нями

BD и CD длиной а, несущими

муфту D. В точках Б и С имеются

А В

ползунки, скользящие вдоль рычагов, несущих грузы. Вес муфты

равен Q. Регулятор вращается с постоянной угловой скоростью ш.

Найти

связь

между

углом <р и угловой скоростью ш в равновесном

положении регулятора.

Ответ:

Равновесное положение регулятора возможно только при

~2eQa

-jzjr

независимо от

угла

<р-

47.20

* (943). Однородная нить, к концу которой привязан

груз

весом Р, огибает неподвижный блок В, охватывает подвижный блок

С, поднимается вверх на неподвижный блок D и проходит параллельно

горизонтальной плоскости, где к ее концу привязан

груз

Е весом Р.

оси блока С прикреплен

груз

К весом Q. Коэффициент трения

скольжения

груза

Е о горизонтальную плоскость равен / (см. чертеж

на

стр. 362). При каком условии

груз

будет

опускаться вниз, если

начальные скорости всех грузов равнялись нулю? Найти ускорение

груза

К. Массами блоков и нити пренебречь.

Ответ:

47.21* (944). Два

груза

D и Е весом Р каждый привязаны к концам

нерастяжимой и невесомой нити. Эта нить от

груза

Е идет через не-

подвижный блок А, затем охватывает подвижный блок В, возвращается

вверх на неподвижный блок С, соосный с блоком А, проходит па-

раллельно гладкой наклонной плоскости, где к концу нити привязан

груз

D. Наклонная плоскость образует

угол

а с горизонтом. К под-

вижному блоку В прикреплен

груз

К весом Q. Коэффициент трения

скольжения

груза

Е о горизонтальную плоскость равен /. Массами

блоков пренебречь.

361

Выяснить условие, при котором

груз

будет

опускаться. Найти

ускорение этого

груза.

В начальный момент скорости всех грузов

равнялись нулю.

Ответ:

Q>P(/+sina); w =

(

sina)

задаче

47.20.

задаче 47.21.

47.22* (945). Призма А весом Р скользит по гладкой боковой

грани призмы В весом Q, образующей

угол

а с горизонтом.

Определить ускорение призмы В. Трением

между

призмой В а

горизонтальной плоскостью пренебречь.

„ Р sin 2a

Ответ:

™ = 8

К задаче 47.22. К задаче 47.23.

47.23* (1120). На гладкой горизонтальной плоскости помещена

треугольная призма ABC весом Р, которая может скользить без трения

по

этой плоскости; по грани призмы АВ катится без скольжения

однородный круглый цилиндр весом Q.

Определить ускорение призмы.

Ответ:

Ускорение направлено влево и равно

Q sin 2a

47.24* (946). Через блоки А и В с неподвижными осями пере-

брошен шнур, поддерживающий подвижный блок С; части шнура, не

лежащие на блоках, вертикальны. Блок С нагружен гирей весом

= 4«, к концам шнура прикреплены грузы весом

Pj==2

« и

= 3 н. Определить ускорения всех

трех

грузов, пренебрегая массами

блоков и шнура и трением на осях.

113

Ответ:

w = Y

8 (вверх); ге>1=д§ (вверх);

•ОУ

=Ц§

(вниз).

362

47.25* (947). Грузы Af

и Af

одинакового веса р движутся по

двум

наклонным направляющим ОА и ОВ, расположенным в верти-

кальной плоскости под углами а и р к горизонту; нить, соединяющая

эти

грузы, идет от

груза

Mi через блок О, вращающийся около

горизонтальной оси, охватывает подвижный шкив Q, несущий

груз

М весом Р, и затем через блок О

надетый на ту же ось, что и

блок О, идет к

грузу

Блоки О\ и О соосные.

Определить ускорение w

груза

М, пренебрегая трением, а также

массами блока, шкива и нити.

_ Р — р (sin a 4- sin P)

Ответ:

w = g

Р + 2

р •

'^///////////////////////////Л

задаче 47.24.

з»даче

47.25.

М,

задаче

47.27<

47.26*.

Решить предыдущую

задачу,

заменив грузы M

и М

катками весом Р и радиуса г каждый. Катки считать сплошными

однородными круглыми дисками. Коэффициент трения качения катков

наклонные плоскости равен f

. Нити закреплены на осях катков.

Р — р I sin а -|- sin

-j-

^г (

cos а

Ответ:

w = g-

47.27*

(948). Дана система из

двух

блоков, неподвижного А и

подвижного В, и

трех

грузов М

и Ж

, подвешенных с помощью

нерастяжимых нитей, как указано на чертеже. Массы грузов соответ-

ственно равны ту, /Яа и т%, при этом т\ <^

1Щ

-\- /Кз и лга^/Яз.

Массами блоков пренебрегаем.

Найти,

при каком соотношении масс т

/и

и /и

груз

All

будет

опускаться в том случае, когда начальные скорости грузов равны

нулю.

Ответ:

Должно быть /Й^>

а 3

47.28*. При наезде крановой тележки А на упругий' упор В

начинаются колебания подвешенного на невесомом стержне

груза

Составить дифференциальные уравнения движения материальной

системы, если /щ — масса тележки, т$ — масса

груза,

/ — длина

363

стержня, с — коэффициент жесткости пружины упора В. Массой колес

всеми силами сопротивления пренебречь. Начало отсчета оси х

взять в левом конце недеформированной пружины.

Ответ:

(mi -\-т^х-\- т

Щ cos

<р

—

/я

/<?

sin 9 = — ex, x cos f -j-

? = — g sin ср.

47.29*.

Использовав

ответ

предыдущей задачи, определить период

малых колебаний

груза

при отсутствии упора В.

Указание. Пренебречь членом, содержащим множитель <f, считать

= 0, sin

«а

<р>

cos

s=»

Ответ:

Т^^У

47.30*.

Точечная масса А весом Pi движется в вертикальной пло-

скости по внутренней гладкой поверхности неподвижного цилиндра

радиуса /. Точечная масса В весом Р%, присоединенная к массе А

задаче 47 28.

задаче 47 30.

посредством невесомого стержня АВ длиной /, может колебаться во-

круг

оси Л, перпендикулярной к плоскости чертежа. Положения масс

Л и В определены с помощью

углов

а и ср, отсчитываемых от верти-

кали.

Составить дифференциальные уравнения движения материальной

системы, состоящей из точек А и В, соединенных невесомым стерж-

нем АВ.

Ответ:

(mi -\- от

)

-\-

т^Щ

cos (ср — я) —

т^Щ

sin (ср — а) =

— (Pi Н- Р«) sin а, Щ -|-

Га

cos

(<р

— a) -f- la? sin

(<p

— а) = —g sin

ср,

где

^ 5

47.31*. Использовав

ответ

предыдущей задачи, написать диффе-

ренциальные уравнения малых колебаний рассматриваемой материаль-

ной

системы.

Указание. Пренебречь членами, содержащими множители $

и a

, a

также считать sin

(tp—0)=»^

— a, cos(<p — а)«з1, sin а

«sot,

Ответ:

(mi -f- /я

)

I'd

-j- т^Щ = — (P

-f- P

) а, /ф -{- /5 = — gf, где

«.=4

47.32*.

По неподвижной призме Л, расположенной под

углом

горизонту, скользит призма В весом P* К призме В, посредством

364

цилиндрического шарнира

О и

спиральной пружины

коэффициентом

жесткости

с,

присоединен тонкий однородный стержень

весом

Р, и

длиной

Стержень совершает коле-

бания

вокруг

оси О,

перпендикуляр-

ной

плоскости чертежа. Положения

призмы

В и

стержня

определены

посредством координат

s и <f.

Написать

дифференциальные

уравнения движения материальной

системы, состоящей

из

призмы

В и

стержня

OD,

пренебрегая силами

за

че

47.32.

трения.

Ответ:

(mi -f- от

) s-\-

-к-

/я,/$*

sin

(<р

-j-

а)

\Щ

cos

(? +

<*)

1 .. 1

(^i -f-

Р*)

sin a, у

/и,/*ф

— у да,/* cos

(<?

-f- «) = у /V sin у — су, где

47.33*. Воспользовавшись ответом

предыдущей задаче, опреде-

лить период малых колебаний стержня

OD,

если

cos*

2с.

Указание. Считать

sin у

=»

if,

cos

(cp -)-

а) я»

cos

а—ip

sin а,

затем

пре-

небречь членами, содержащими множители

<f-!p.

Ответ

2к?/g^l±j* °2

(от,

-|- «а)

(2с

— /У

cos

47.34*. Решить

задачу

47.32,

считая,

что

призма

весом

дви-

жется

по

гладкой горизонтальной плоскости,

а ее

положение опре-

деляется координатой

х.

Ответ:

(т

/и

-J- /я

)

-J-

(/Wi -|- /я

) s cos a

-)-

Wi 5-

sin !p —

—

от, у ? cos

= 0,

(т

4- m

) X cos а

-j- (от, -j- /и

) S

-|-

/я,

sin

(tp

-f- а) — гщ -j

cos

(<p

-f а) = (P

4- Р«) sin а, -i

да,/

_ -1

/я,/^

cos

ср

— 1 m/s X

Xcos(cp4-a)=i-P,/sinf

—

<7<р,

где т

= Ц , т

— Ц, т

—

->,

о о &

48. Уравнения Лагранжа 2-го рода

48.1 (1179). Передача вращения

между

двумя

взаимно перпендику-

лярными

пересекающимися валами осуществляется

двумя

коническими

зубчатыми колесами, имеющими соответственно

.г, и г

зубцов; момешы

инерции

валов

насаженными

на них

колесами соответственно равны

и J

Определить

угловое

ускорение первого вала, если

на

него

действует

вращающий момент

Ж,, а на

другой

вал —

момент сопро-

тивления

М^

Трением

подшипниках пренебречь.

48.2 (1180). В зацеплении, показанном на чертеже, колесо / при-

водится в движение моментом М

к колесу 2 приложен момент со-

противления М

и к колесу 3 —момент сопротивления М

. Найти

угловое

ускорение первого колеса, считая колеса однородными дисками,

массы которых т

радиу-

сы которых г

, г

(

Ответ:

= -

задаче 48.2. 48.3 (1181). Определить движе-

ние

груза

весом Р, висящего на

однородном тросе весом Р{ и длиной /; трос навернут на барабан

радиуса а и весом Р

; ось вращения горизонтальна; трением прене-

брегаем; массу барабана считаем равномерно распределенной по его

ободу.

В начальный момент t =

система находилась в покое; длина

свисавшей части троса /

Указание. Пренебречь размерами барабана по сравнению с длиной

свешивающейся части троса.

Ответ:

—

™

]/"•

Pig

г*.

48.4 (1183)* В эпициклическом механизме бегающая шестеренка

радиуса Г\ насажена на кривошип с противовесом, вращающейся во-

круг

оси неподвижной шестеренки

под действием приложенного момента

М. Определить

угловое

ускорение

вращения кривошипа и окружное

усилие S в точке касания шесте-

ренок,

если расстояние

между

осями

«доте

48.3.

задаче

48.4.

шестеренок равно /, момент инерции кривошипа с противовесом от-

носительно оси вращения кривошипа равен J

, масса бегающей ше-

стеренки т

момент инерции шестеренки относительно ее оси J

;

866

трением пренебречь; центр тяжести шестеренки и кривошипа с про-

тивовесом находится на оси вращения кривошипа.

Ответ:

е =

-f-e.

48.5 (1184). В планетарном механизме колесо с осью О

непо-

движно; к рукоятке OjO

приложен вращающий момент М; мехамш

расположен в горизонтальной плоскости. Определить

угловое

уско-

рение рукоятки, считая колеса однородными дисками с одинаковыми

магами т и радиусами г и пренебре-

гая кассой рукоятки.

К.

задаче

48.5.

задаче

48.6.

48.6 (1185). В зацеплении, показанном на чертеже, колесо 2,при-

водимое в движение рукояткой

О-^О^,

катится без скольженш по

внутренней поверхности неподвижного колеса 3 и приводит во вра-

щение вокруг неподвижной оси О

колесо /. Известно,

что колесо / вращается в 10 раз быстрее рукоятки.

Счишя

колеса однородными дисками одинаковой тол-

щина

и из одного и того же материала, найти

угловое

усксрение рукоятки в предположении, что к колесу /

при.ожеи постоянный момент сопротивления М

а 1 рукоятке — постоянный вращающий момент М;

мехшзм расположен в горизонтальной плоскости; мас-

сой

рукоятки пренебречь.

.. М —

(Ш,

Ответ:

Угловое

ускорение рукоятки е— . \

где J—момент инерции колеса / относительно его

оси

вращения.

48.7 (1189).

Груз

М, весящий 101 кГ, поднимает с

помвдью полиспаста

груз

который вместе с под-

вижюй обоймой весит 320 кГ.

Всех

блоков четыре;

болшие блоки весят по 16 кГ, малые —по 8 кГ,

радиу-

сы (ОЛЬШИХ бЛОКОВ раВНЫ Г, радиусы МаЛЫХ раВНЫ Г\. К задаче

НЦ

Определить ускорение

груза

М.

При

определении энергии блоков предполагаем, что маесн ш

равюмерно распределены по окружности.

Qmeem:

0,1 g.

48.8 (1190). Кривошипный механизм состоит из поршня массой т

шатуна АВ массой т

, кривошипа ОВ, вала и махового колеса; J

—

момент инерции шатуна относительно его центра масс С; У

— момент

инерции

кривошипа ОВ, вала и

махового колеса относительно

оси;

й — площадь поршня; р —

давление, действующее на пор-

шатуна;

точкой

шатуна;

s —

г —

задаче 48.8.

шень;

/ — длина

расстояние

между

центром тяжести

длина кривошипа ОВ; М — момент

сопротивления, действующий на

вал. Составить уравнения движе-

ния

механизма, считая

угол

поворота шатуна if малым, т. е. полагая 1

sini])=i|) и cos 1)3= 1; в качестве обобщенной координаты взять

угол

по-'

ворота кривошипа ф. Механизм расположен в горизонтальной плоскости.

Ответ:

\{т

+ т

)

sin

+ (J

-f- ms

) (~-j

сов

ф -f- 7

1 ip +

/Щ)

— (Л +

nis

)

l-j\ cos ф sin фф

— — M

-{-pQr

sin ф.

48.9 (1191). В машине для статического уравновешивания под-

шипники

наклонены под

углом

а к вертикали. Ротор, помещенный

в подшипник, имеет момент инерции J (относительно своей оси)

несет неуравновешенную массу т на расстоянии г от оси.

Напи-

сать дифференциальное уравнение движения ротора и определить

частоту малых колебаний около положения

.равновесия.

Ответ:

У пи*

ротора.

(тг

sin a

-j~

J *

\-J)ip

где

mgr sin

—

угол

a sin ф = 0,

поворота

задаче 48.9.

задаче

48.10.

задаче 48.11.

48.10 (1192). Материальная точка с массой т движется под влия-

нием

силы тяжести по циклоидальной направляющей, заданной урав-

нением

5 = 4а8Шф, где s

—дуга,

отсчитываемая от точки О, а ф —

угол

касательной к циклоиде с горизонтальной осью. Определить

движение точки.

Ответ:

s=A sin (у 1/ ~t-\~ q>

L где А и ф

— постоянные интег-

рирования.

368

48.11 (1193). Составить уравнение движения маятника, состоящего

из

материальной точки М массы т, подвешенной на нити, наверну-

той на неподвижный цилиндр радиуса г. Длина свисающей в поло-

жении равновесия части нити равна /. Массой нити пренебречь.

Ответ:

(I-\-г$)

Ь-{-rb

-\-g

sin $ = 0, где Ф —

угол

отклонения

маятника от вертикали.

48.12 (1194). Составить уравнение движения маятника, состоя-

щего из материальной точки массы т, подвешенной на нити, длина

которой изменяется по произвольно заданному закону l—l (t).

Ответ:

cp-(-2_-cp + 4"Sin<p = 0, где ф

—угол

отклонения нити

от вертикали.

48.13 (1195). Найти в предыдущей задаче движение маятника для

случая малых колебаний при равномерном удлинении нити по закону

Указание. Взять I(t) за независимую переменную.

Ошепи

фв7

где С! и С

— произвольные постоянные, J

—функции Бесселя

Неймана 1-го порядка.

48.14 (1196). Точка подвеса маятника, состоящего из материаль-

ной

точки массы т, висящей на нерастяжимой нити длиной /, дви-

жется по заданному закону £ = £о(О

по

наклонной прямой, образую-

щей

угол

а с горизонтом. Составить

уравнение движения маятника.

Отет:

48.15 (1197). Два вала, находящихся

в одной плоскости и образующих

между

СОбОЙ

уГОЛ

а,

Соединены

шарниром

Кар- К

задаче

48.15.

дана. Моменты инерции валов равны J

. Составить уравнение движения первого вала, если на него дей-

ствует

вращающий момент М

а к

другому

валу

приложен момент

сопротивления М

. Трением в подшипниках пренебречь.

Ответ:

Обозначая через ф

угол

поворота первого вала, имеем

Г, i , / cos а \2"| .. /

sin

cos

а sin 2ф .

,, .. cos а

— М

1 —

sin

cos

ф'

48.16 (1198). Найти в предыдущей задаче движение первого вала

для случая малого

угла

между

валами. Вычисления произвести

с точностью до а

Ответ:

Ф—у /T/'^ + ^ + Q»

Q и С

— произвольные

постоянные.

369

48.17 (1199). Показанный

на

чертеже эпициклический механизм,

расположенный

горизонтальной плоскости, состоит

из

кривошипов

OiOi

Оз, шатуна

четырех

зубчатых

колес:

/, 2, 3 и 4

соответственно радиусов

= 50 мм, г

= 80 мм,

=120

мм,

=150лш;

О/),,

270 мм;

=О

= 200 мм.

Колесо

неподвижно. Считая колеса однород-

ными

дисками одинаковой толщины

и из

одного

того

же

материала

пренебрегая массой рукоя-

ток

силами трения, вычислить, какое усилие

(считая

его

постоянным

направленным вдоль

)

надо приложить

рукоятке

чтобы

течение

1 сек

повернуть рукоятку

на

угол

30°, если

начальный момент система была

не-

90°; вес

подвижных колес равен

30 кГ.

рЯ/6

-,2

0.48

| f

-^£=1^=1,03

кГ,

задаче

48.17.

подвижна

Ответ:

sin

•j

48.18

{1200).

Бегуны

К, К

приводятся

движение

от

вала

дви-

гателя

при

помощи передачи, схема которой показана

на

чертеже.

Вес одного бегуна равен

3 т,

средний радиус

м,

радиус

вра-

щения

г =

0,5

м.

Считаем,

что мгновенная

ось

враще-

ния

бегуна проходит через

среднюю точку

обода.

Отношение

радиусов колес

конической

передачи

от

дви-

гателя

вертикальному валу

равно

2/3.

Бегун

счи-

таем однородным диском

радиуса

R и

пренебрегаем

массой

всех движущихся

ча-

X задаче 48.18. стей

по

сравнению

массой

бегунов. Вычислить, какой

постоянный

вращающий момент должен быть приложен

на

валу

двигателя, чтобы сообщить вертикальной

оси О

угловую

скорость

120

об/мин

по

истечении

10 сек от

момента пуска двигателя; силами

сопротивления

пренебречь.

Ответ:

320 кГм.

48.19 (1201). Однородный круговой конус катится

по

шерохова-

той плоскости, наклоненной

под

углом

а к

горизонту. Длина образую-

щей

конуса

угол

раствора

2р.

Составить уравнение движения конуса.

Указание.

За

обобщенную координату принять

угол

й,

образованный

соприкасающейся

образующей

прямой наибольшего наклона плоскости.

Ответ:

gsina

sinfl^O.

370