Мещерский И.В. Сборник задач по теоретической механике

Подождите немного. Документ загружается.

48.20

(1202). По однородному стержню массы М и длины 2а,

концы

которого скользят по гладкой, расположенной в горизонталь-

ной

плоскости окружности радиуса R, движется с постоянной отно*

сительной скоростью v материальная точка массы т. Определить

движение стержня. В начальный момент материальная точка находится

центре тяжести стержня.

Ответ:

— Ф

= С

arctg

— , где §

и С —

произвольные постоянные.

48.21 (1203).

Концы

однородного

тяжелого стержня АВ длиной 2а

задаче

48.20.

задаче

48.21.

массы М скользят без трения по горизонтальному и вертикаль-

ному стержням рамки, вращающейся с постоянной угловой скоро-

стью

« вокруг вертикальной стороны.

Составить уравнение движения стержня и определить положение

относительного равновесия.

4 -4

Ответ:

-^Ма

гг—^--/Wco

sin

•&

•

cos # — Mga sin

-г>

= 0, где

•&

—

угол,

образуемый стержнем с вертикалью.

В положении равновесия $ = 0 (неустой-

чивое равновесие).

48.22

(1204). К окружности однород-

ного диска радиуса R шарнирно присое-

динен рычаг, несущий на своих концах

сосредоточенные массы т{ и т

. Рас-

стояния

масс от шарнира соответственно

равны 1

и /

. Диск вращается около вер-

тикальной оси, перпендикулярной к его

плоскости, с угловой скоростью и. Со-

ставить уравнение движения рычага и

к задаче

48.22.

определить его относительное положение

равновесия. Массой рычага пренебречь. Ось вращения рычага парал-

лельна оси вращения диска.

Ответ:

{т

1\ + т

•§

— Ru? (т^ — m

) cos

{Ир

— wt) — 0.

При

m-J-i

= mj-г рычаг в безразличном относительном равно-

весии.

При

Ш\1\

=£ mj%

существуют

два положения относительного

371

равновесия, при которых ty =. atf ±-s-, т. е. рычаг направлен по ра-

диусу.

•

48.23

(1205). Решить

предыдущую

задачу

в предположении, что

диск вращается в вертикальной плоскости

(учесть

действие силы

тяжести).

Ответ:

(т^ -j-

/|)

$ — Rv>

h — W2) cos (ф — шг) 4-

4- (т^ — w

) g sin

(J)

= 0.

При

m\l\ Ф m4i относительное равновесие невозможно.

48.24

(1206). Тонкий диск массы М может своей плоскостью

скользить без трения по горизонтальной плоскости. По диску,

верх-

няя

поверхность которого шероховата, движется материальная точка

массы т. Уравнения относительного движения точки в декартовых

координатах х и у, связанных с диском и имеющих начало в его

центре тяжести, заданы в виде x = x(t), y=y(t). Момент инерции

диска относительно его центра тяжести равен J. Определить закон

изменения

угловой скорости диска. В начальном положении диск

неподвижен.

Отеет:

(

*+^

+ _^ (*,-_

тМ

где Хо, у», х$,

_Po

— значения координат и проекций скорости точки

начальный момент времени.

48.25

(1207). По диску, описанному в предыдущей задаче, вдоль

окружности радиуса R движется материальная точка с относительной

скоростью v = at. Найти закон движения диска.

,, mM Ra ,

Ответ:

Т = - ** **

cos

g + P

^ r

sin

^ r sin f

где <f —

угол

поворота диска, а £ и

"ц

— координаты центра тяжести

диска в неподвижной декартовой системе, имеющей

начало в центре инерции системы.

48.26

(1208). Материальная точка М движется под

действием силы тяжести по прямой АВ, вращающейся

с постоянной угловой скоростью to вокруг неподвижной

вертикальной оси. Прямая АВ

образует

угол

о с го-

ризонталью. Найти закон движения точки.

Ответ:

Расстояние движущейся точки от точки

пересечения прямой с вертикальной осью

4-4

4г,

<о

COS

a '

задаче

48.26.

„ г,

где С\ и С* — постоянные интегрирования.

48.27

(1209). Материальная точка массы т движется по окруж-

ности радиуса а, которая вращается с постоянной угловой скоро-

372

стью (о вокруг вертикального диаметра АВ. Составить уравнение

движения точки и определить момент М, необходимый для под-

держания постоянства угловой скорости.

Ответ:

Ь-\- (£• —

u>*cosd)

sin

= 0;

М =

2ma

задаче

48.27.

48.28

(1210). Материальная точка массы т

движется внутри гладкой трубы, представляю-

щей собой окружность радиуса а;

труба

сво-

бодно вращается около вертикального диа-

метра. Момент инерции трубы относительно

вертикального диаметра равен J. Составить

уравнения движения системы, считая, что

труба

вращается под действием постоянного момен-

та М, (См. чертеж к задаче

48.27.)

Ответ:

та*Ь — та

sin Ь cos

•

<j>

-f- mga sin

= 0,

Jy -f- ma* sin

•

-\- 2mc? sin

cos Ь

•

&<p

= M

(& —

угол,

определяющий положение точки в трубе,

ср

— азимут трубы).

48.29

(1211). Однородная балка весом Р и длиной 21 подвешена

ва концы на канате длиной 2а, перекинутом

через неподвижный блок С. Пренебрегая мас-

сой каната и считая блок весьма малым, со-

ставить выражения для кинетической и потен-

циальной

энергий системы.

Указание. Траекторией точки

С по

отноше-

нию

отрезку

является эллипс

большой осью

2а

и с

фокусами

точках

и F

', за

одну

из

обоб-

щенных координат принять эксцентрическую

ано-

малию эллипса,

т. е.

угол

<?, определяемый

помощью соотношений

задаче

48.29

АВ

— a cos # ВС = У

а*

— /

sin f,

за вторую принять

угол

между вертикальной осью

у и

перпендикуляром

ВС

стержню.

Ответ:

Кинетическая энергия системы:

_ Р \11

2^L\3 '

sln

<Р

b'4-l

sin

cpcos

cos

<р

+ Ь

sin

? '

Потенциальная

энергия системы;

= — Р ф sin cp cos a — a cos

sin a); b = У a

— /*.

•

48.30

(1213). Однородный тонкий стержень АВ весом Р и длиной

2/ скользит концом А по вертикальной прямой, а концом В по

горизонтальной плоскости. Составить уравнения движения стержня

найти их первые интегралы (см. чертеж на стр. 374).

Ответ:

Уравнения движения:

«р — ¥ sin

со

cos f = -^ j- sin cp; & sin*

-4r 2&<p sin cp cos

cp ==

373

(? —

гол

наклона стержня к вертикали;

—

угол

проекции стержня

на

горизонтальную плоскость с осью Ох).

Первые интегралы:

•J"

ЗЗДЙЧР

нити,

то уравнения движения

будут

(Ci

и С

— произвольные постоянные).

48.31 (1214). Составить уравнения движения

математического маятника массы т, подвешен-

ного на

упругой

нити; длина нити в положении

равновесия /, ее жесткость равна с.

Ответ:

Если

Ф—

угол

отклонения маятни-

ка

от вертикали, z — относительное удлинение

£-z + f (l-coso) = 0.

48.32

(1216).

Найти в предыдущей задаче движение маятника для

случая малых колебаний.

Ответ:

z =

Asin^y

t-\-oj

<?==Bsm\yj-t-{-

pj, где А,

а, В, р — произвольные постоянные.

48.33. Один конец нерастяжимой тонкой нити обмотан вокруг

однородного круглого цилиндра радиусом R, второй конец прикреплен

неподвижной точке О. Цилиндр, разматывая нить,

опускается вниз, одновременно раскачиваясь вокруг

горизонтальной оси, проходящей через точку подвеса

нити.

Пренебрегая весом нити, составить дифферен-

циальные уравнения движения цилиндра.

Ответ:

р — Ri — -3 р?

=-3 g cos <p;

(

—

ЯРФ

=—^Р

sin ср.

48.34.

Пользуясь результатами, полученными при ре-

задаче 48.зз. шении предыдущей задачи, составить дифференциальное

уравнение малых колебаний цилиндра, если движение

началось из состояния покоя и при £ = 0 р = ро,

Ф^ФО^О.

Ответ:

^ [Я (t)

Ф]

+ gF (t)

= 0, где F (t) = ^ +

Ро

— R^

48.35

(1216). Определить движение системы, состоящей из

двух

масс OTi и т

насаженных на гладкий горизонтальный стержень

(ось Ох); массы связаны пружиной жесткостью с и

могут

двигаться

поступательно вдоль стержня; расстояние

между

центрами тяжести

масс при ненапряженной пружине равно /; начальное состояние

374

системы

при ^ = 0

определяется следующими значениями скоростей

координат центров тяжести масс:

^ = 0,

=иь

Xz = l, Хъ = 0.

задаче 48.35.

Ответ:

Х\-

)

48.36

(1217). Маховик

вращающийся вокруг вертикальной

оси

Oi под

действием прилагаемого

нему постоянного момента

М,

несет

ось

вращения

шестерни

Шестер-

ня

находится

зацеплении

шестерней

которая может вращаться вокруг

оси

независимо

от маховика. Вращению шестерни

препят-

ствует

не

показанная

на

чертеже

спиральная

пружина, реактивный момент которой

— сф про-

порционален

углу

поворота

шестерни

Определить движение системы, принимая

шестерни

за

однородные диски одинаковых

радиусов

а и

масс

т и

считая момент

инерции

маховика относительно

оси О\ рав-

ным

20 та\ В

начальный момент система

задаче

48.36.

находилась

покое.

Ответ:

ТТ~-

1 — cos 1,02

Vib

cos

52/ла

676с

где

<р

—

угол

поворота маховика.

48.37

(1218). Составить уравнения

маятника,

состоящего

из

ползуна

массы

скользящего

без

трения

по

горизон-

тальной плоскости,

шарика

массы

соединенного

ползуном стержнем

АВ

длиной

Стержень может вращаться

во-

круг

оси А,

связанной

ползуном

и пер-

пендикулярной

плоскости чертежа.

Мас-

сой стержня пренебречь.

Ответ:

--fMtni-\-m<i)j>-\-m<il§zos®]=Q;

-J- cos

tpjj

-j-

g sin

= 0.

48.38

(1219). Определить период

ма-

лых колебаний описанного

предыдущей

маятника.

-Ч*

движения

эллиптического

X задаче

48.37.

задаче

эллиптического

375

Ответ:

Т =!

/л,

-f m

g '

48.39

(1220). В задаче о движении эллиптического маятника

(см.

задачу

48.37)

составить уравнения движения, принимая во внима-

ние

влияние постоянной силы трения скольжения ползуна о направ-

ляющие. Коэффициент трения равен /.

Ответ:

-п [(да, -j- m$p -j- т^у cos

<p]

—f[(m

-f- m^ g -f- m

l cos <pf

Щ -j- cos

<рз?—f—

gsm

при

48.40

(1221). Шероховатый цилиндр массы т и радиуса г катится

без скольжения по внутренней поверхности полого цилиндра массы

М и радиуса R, могущего вращаться около своей горизонтально

расположенной оси О. Моменты инерции цилиндров относительно

своих осей равны -к- mr" и MR

. Составить уравнения движения

системы и найти их первые интегралы.

Ответ:

MR& — -g- mR [(R —r)-? — Rb] = С„

— mg (R — г) cos tp = C

соединяющего оси цилиндров,

a ft —

угол

поворота внешнего

цилиндра.

48.41 (1222). Тело весом Р

может вращаться вокруг горизон-

тальной оси

OiOb

которая в свою

где ср-

угол

поворота отрезка,

задаче

48 40.

задаче

48 41.

очередь вращается с постоянной угловой скоростью <о вокруг верти-

кальной оси ОС, Центр тяжести

тела

G лежит на расстоянии I

от точки О на прямой, перпендикулярной к О\0$. Предполагая, что

оси

Ofti

и OQ являются главными осями инерции

тела

в точке О,

составить уравнение движения. Моменты инерции

тела

относительно

главных осей равны Л, В, С,

376

Ответ:

АЬ — ш*(С —

B)sin

&cos»

= —

P/sin»,

где 8

—угол

поворота вокруг OiO

48.42

(1223).

Груз

Р приводит во вращение вокруг оси BD

рамку / уравновешенного гироскопа посредством нити и шкива Е

радиуса г. Определить давление на подшипники В и D рамки,

обусловленное гироскопическим моментом, в положении, когда

груз

спустится на высоту И. А и С— момен-

ты инерции ротора относительно осей

Ox, Oz, A\ — момент инерции рамки

относительно оси Ох, массой шкива Е

пренебрегаем. Ротор совершает и обо-

ротов в

секунду.

Расстояние BD = b.

Ответ:

— R

= -^ =

2Сяп,

А.

—ту .

2ph

задаче

48.42.

48.43

(1224). Система, состоящая

из

двух

одинаковых колес радиуса а

каждое, могущих независимо вращаться

вокруг общей нормальной к ним оси

(

длиной /, катится по горизон-

тальной плоскости. Колеса связаны пру- I I

жиной

жесткостью с, работающей на д

кручение (упругий торсион). Масса

каждого колеса М; С — момент инерции

колеса относительно оси вращения;

— момент инерции колеса относи-

тельно диаметра. Составить уравнения

движения системы и определить движе-

ние,

отвечающее начальным условиям <pi = 0, $1 = 0,

<р«

(?i>

<р«

—

углы

поворота колес). Массой оси пренебречь.

Ответ:

r(t^sikt)

аадаче

48.43.

2с

48.44

(1225). Какую

работу

нужно совершить для сообщения

тележке массой М скорости и в

следующих

случаях:

1) На полу тележки лежит (поперек) однородный цилиндрический

каток

массой т и радиусом г. Радиус инерции катка относительно

его оси р. Каток может катиться по полу тележки без скольжения.

2) Указанный каток неподвижно скреплен с полом тележки.

Массой колес пренебречь.

Ответ:

= ^

A>A,

48.46

(1226). Найти ускорение тележки, по платформе которой

катится без скольжения круглый цилиндр, если сама тележка скаты-

877

вается

тоже

без

скольжения

по

плоскости, наклоненной

горизонту

под

углом

а и

параллельной платформе тележки; образующие цилиндра

перпендикулярны

линиям наибольшего ската платформы. Масса

тележки

без

колес

М,

масса

всех

колес

т,

масса цилиндра

колеса считать однородными сплошными дисками.

Ответ:

и>=

.. -т— _..

gsina.

6M-f9m

48.46

(1227).

дифференциальном регуляторе, изображенном

на

чертеже, валы

и О

вращающиеся

противоположные стороны

с угловыми скоростями

(л

и (о

снабжены зубчатками

и М

при

помощи

двух

пар

сателлитов

сцеплены

шестерней

играю-

щей роль рукоятки сателлитов. Если

о>1

равно

(о

, то

шестерня

остается

неподвижной.

противном

случае

начнет вращаться

через

вал А при-

ведет

действие

не

показанное

на чер-

теже

регулирующее

приспособление;

последнее создает

при

этом передавае-

мые валам

и <Э

моменты, причем

опережающий

вал

будет

тормозиться,

отстающий

—

увеличивать свою

угловую

скорость. Считая

эти

моменты пропор-

циональными

угловой скорости шестер-

ни

(коэффициент пропорциональности

обозначается через

п) и

одинаковыми

по

величине

для

того

другого

вала

обозначая через

приведенный

к оси

О%

момент инерции системы, найги

закон

изменения

угловых

скоростей

<о

если

их

начальные значения

со

2О

не

равны

друг

другу.

Моменты

инерции

и У

валов

и О

шестернями

и Л4

считаем

равными

друг

другу;

приведенный

к оси

вращения шестерни

D мо-

мент инерции этой шестерни

проводимых

ею

через

вал А в дви-

жение частей механизма обозначаем через

Уд; при

решении задачи

вводится

еще в

рассмотрение момент инерции

сателлитов отно-

сительно

оси их

собственного вращения

(эта

величина

не

фигурирует

окончательном результате).

Под

приведенным

к оси

вала моментом

инерции

системы понимается сумма

J—2J

-\-J

-\-4f

, где Ус

—мо-

мент инерции одного сателлита относительно

оси О

^„П+«-«)

+ -£-Шм»(1-е-Ч

Ответ:

=4-

(1-J-

«а

= у »ю 0

—

е~

) + у Щ

+ <г

где

2л

Т'

48.47

(1228).

концам нити

А и В,

пропущенной через отверстие

О,

сделанное

гладкой горизонтальной плоскости стола, присоединены

378

две точечные массы m

и т^. Первая масса все время остается на

поверхности стола,

тогда

как вторая движется п& вертикали, прохо-

дящей через точку О. В начальный момент

ОА =

г<>,

скорость массы /я

равна нулю,

тогда

как

скорость % массы т% направлена перпен-

дикулярно к начальному положению участка

нити

ОА. Доказать, что при этом условии мас-

са

т%

будет

совершать колебательное движение,

найти

размах а этого колебания и

дать

выра-

жение для его периода Т. Нить считать не-

весомой, нерастяжимой и абсолютно гибкой.

Вът

задаче

48.47.

Ответ:

а =

\г»-п\,Т

rdr

48.48

(1229). Однородный диск радиуса R, имеющий массу М,

может вращаться вокруг своей горизонтальной оси О. К. диску на

нити

АВ длины / подвешена материальная

точка массы т. Составить уравнения движе-

ния

системы.

задаче

48.48.

Ответ:

\ ' ^ i ,

-f- mRl sin

(<p

—

<J>)

-|- mgR sin

= О,

mRl cos

(Ф—ф)

$ -j-

mPty—mRl

sin (tp — ф)

—j—

—[—

mgl sin^ = 0,

где 9 —

угол

поворота диска, а

—

угол

отклонения

нити от вертикали.

48.49

(1230). Диск системы, описанной

предыдущей задаче, вращается с постоян-

ной

угловой скоростью ш. Составить уравнение движения

материаль»

ной

точки.

Ответ:

ф —

ufi-j-sm^wt

— 6)

—j—£

sin ф=0.

48.50

(1232). Колесо катится без скольжения по горизонтальной

плоскости. Радиус колеса а, его масса М; С — момент инерции колеса

относительно оси, проходящей перпендикулярно к плоскости колеса

через его центр; А — момент инерции колеса относительно его

диаметра. Составить уравнения движения колеса.

Указание. Использовать уравнения Лагранжа с множителями для

неголономных систем.

Ответ:

~ (Лф

sin

&) — С (? -f-

cos ft)» sin »= О,

(С

4- та

)- (ф -\-

cos ») —

та?Ц

sin Ь = 0,

где ср —

угол

поворота колеса вокруг оси, перпендикулярной к его

плоскости; Ь —

угол

наклона плоскости колеса к горизонту;

379

<fi

*—

азимут вертикальной плоскости, содержащей диаметр колеса и про-

ходящей через точку касания.

48.51 (1233). Конденсаторный микрофон состоит из последова-

тельно соединенных катушки самоиндукции, омического сопротивле-

ния

и конденсатора, пластины которо-

го связаны

двумя

пружинами общей

жесткости с. Цепь присоединена к эле-

менту с постоянной электродвижущей

силой Е, а на пластину конденсатора

действует

переменная сила p(t).

Коэф-

фициент

самоиндукции катушки I,

омическое сопротивление R, емкость кон-

денсатора в положении равновесия си-

стемы Со, расстояние

между

пласти-

нами

в этом положении а, масса по-

движной пластины конденсатора т.

Ввести электрические и механические обобщенные координаты и со-

ставить уравнения движения системы в форме Лагранжа.

Указание.

Потенциальная энергия конденсатора равна

V=~-

(С

—

емкость конденсатора,

q —

заряд

на его

обкладках); электрокинетиче-

ская

энергия вычисляется

по

формуле

T =

-K-Li

—

коэффициент самоин-

дукции,

-S~

—

сила тока

цепи|.

За

обобщенные координаты принять изменение заряда конденсатора

смещение пружин

из

положения равновесия. Тогда полный заряд

будет

-f- q, а

полное смещение

-f- х;

здесь

—

заряд конденсатора,

А-,,

—сме-

щение пружин

от

нейтрального положения

положение равновесия системы.

' Ответ:

mx-\-cx~

— q — т^ =р (Q;

48.52

(1234). Определить частоты малых свободных колебаний

конденсаторного микрофона, описанного в предыдущей задаче. Сопро-

тивлением электрической цепи пренебречь.

Ответ

lti

= у=у

-ц^

a*mL'

48.53 (1235). Определить электрические колебания, возникающие

конденсаторном микрофоне, описанном в задаче 48.51, при внезап-

ном

приложении постоянного давления р

к пластине микрофона. Для

упрощения вычислений пренебречь массой подвижной пластины и счи-

тать, что омическое сопротивление непи равно нулю;

следует

также

отбросить нелинейные члены в уравнениях движения.

Ответ:

Рри

са^>-^г

заряд конденсатора равен

Ро<1о

call—-

сС

а>

380

1 — COS

У C