Минюк С.А., Ровба Е.А. Высшая математика

Подождите немного. Документ загружается.

151

Лекция 25

Непрерывные функции

Вводятся понятия непрерывной функции в точке, на

отрезке. Изучаются точки разрыва функции. Рассмат-

ривается непрерывность элементарных функций.

Из всего множества функций целесообразно выделить функции,

обладающие свойством непрерывности. Грубо говоря, функция не-

прерывна, если ее график представляет сплошную линию, т.е. не име-

ет разрывов. Непрерывные функции обладают рядом интересных

свойств.

Пусть функция f определена в некоторой окрестности точки х = а.

Функция f называется непрерывной в точке а, если

() ()

afxf

→

lim

т.е. предел функции и ее значение в точке а равны.

Например, функция y = sign x является непрерывной

∀

x ∈R, x ≠0.

В точке х =0 она не является непрерывной, так как не существует пре-

дела функции sign x в точке х =0 (см. лекцию 23, рис. 1б).

Если

() ()

afxf

+→

lim

, то функция f называется непрерывной в

точке а справа; если

() ()

afxf

−→

lim

, то – непрерывной в точке а

слева.

Теорема 1.

Для того, чтобы функция f была непрерывной в точке а, необхо-

димо и достаточно, чтобы она была непрерывной в этой точке спра-

ва и слева.

Эта теорема является по существу переформулированной теоре-

мой 1 из предыдущей лекции.

Приведем еще одно определение непрерывной в точке функции.

По первому определению имеем, что

() ()

afxf

→

lim

Это неравенство равносильно следующему:

() ()()

0lim

=−

→

afxf

Если учесть, что соотношения x →a и (x – a) →0 также равно-

сильны, то получим, что условие непрерывности функции f в точке а

запишется в виде

() ()()

0lim

=−

→−

afxf

. (1)

152

Разность х – а называют приращением независимой переменной х

в точке а и обозначают через

axxx

−=∆∆

, а разность

f (х)–f (а) – приращением функции f в точке а и обозначают

() ()

afxfyy

−=∆∆

. Теперь условие (1) можно записать так:

0lim

=∆

→∆

Заметим здесь, что

xax ∆+=

()()

yafxaf

∆+=∆+

Тогда новое определение непрерывности функции в точке будет

следующим.

Функция f называется непрерывной в точке а, если ее приращение

в этой точке есть БМФ.

Геометрический смысл этого определения вытекает из рис. 1

(сравните с рис. 1б лекции 23).

Функция f называется непрерывной на интервале (а, b), если она

непрерывна в каждой точке x ∈(a; b). Если же, кроме того, функция f

непрерывна в точке а справа, а в точке b – слева, то функция

f называется непрерывной на отрезке [а; b].

Точка а называется точкой разрыва функции f, если функция f не

является непрерывной в этой точке.

Точки разрыва подразделяются на два типа.

К точкам разрыва 1-го рода относят такие точки разрыва функ-

ции f, в которых она имеет односторонние пределы, но они не равны

между собой,

() ()

xfxf

axax

limlim

−→+→

≠

Так, функция sign x в точке х =0 имеет разрыв первого рода.

Точки разрыва 2-го рода составляют такие точки, в которых y

функции f не существует хотя бы одного из односторонних пределов.

Рис. 1

153

Например, для функции

точка х =0 является точкой разрыва вто-

рого рода, так как

() ()

−∞=+∞=

−→+→

xfxf

axax

lim,lim

Функция f называется кусочно непрерывной на отрезке

[а; b], если она непрерывна во всех внутренних точках [а; b], за ис-

ключением конечного числа точек, в которых она имеет разрывы пер-

вого рода, а в точках а и b имеет соответствующие односторонние

пределы. Примером кусочно непрерывной функции является функция

y =[x] (рис. 2).

Теорема 2.

Пусть функции f и g непрерывны в точке х = а. Тогда функции

f ± g, f ×g,

также непрерывны в этой точке (последняя при усло-

вии, что g(a) ≠0).

Действительно, пусть f и g непрерывны в точке а. Тогда

() ()

afxf

→

lim

() ()

agxg

→

lim

. Следовательно,

() ()( ) () ()

=+=+

→→→

xgxfxgxf

axaxax

limlimlim

() () () ()()

xgxfagaf

+=+=

Аналогично рассматриваются остальные случаи.

Справедлива также теорема о непрерывности сложной функции.

Рис.2

154

Теорема 3.

Пусть функция у = f (х) непрерывна в точке x

, а функция z= g (y)

непрерывна в точке y

, y

= f (x

).Тогда сложная функция g(f (x)) непре-

рывна в точке x

Другими словами, суперпозиция непрерывных функций есть фун-

кция непрерывная.

Доказательство. Возьмем произвольную последовательность

точек

{}

lim,

xxx

∞→

. Тогда из непрерывности функции f в точке x

следует, что

() ( )

lim

xfxf

→

() ()

lim

xfxf

∞→

. Обозначим

f (x

) =y

, n ∈N. Получим, что

lim

∞→

. Так как функция g непре-

рывна в точке y

, то

() ( )

lim

ygyg

→

, и по определению предела

() ()

lim

ygyg

∞→

. Если учесть, что y

=f(x

), то будем иметь, что для

любой последовательности

{}

, сходящейся к x

, соответствующая

последовательность

()(){}

xfg

сходится к g (f (x

Следовательно,

()() ()()

lim

xfgxfg

→

Теорема 3 доказана.

Справедлива также

Теорема 4 (о непрерывности обратной функции).

Пусть функция у = f (x) строго монотонна и непрерывна на про-

межутке Х и пусть Y – множество ее значений. Тогда на множе-

стве Y существует обратная функция x=f

–1

(y), непрерывная и стро-

го монотонная на Y.

Интересно, являются ли элементарные функции непрерывными.

Рассмотрим вначале простейшие элементарные функции.

1) Постоянная функция f (x)=c является непрерывной в каждой

точке числовой прямой. Действительно,

∀

a ∈R

() ()

afcxf

→

lim

Непрерывной на всей числовой прямой является и функция

f (x)=х. Действительно,

∀

a ∈R

→

lim

. Отсюда по теореме 2 полу-

чим, что степенная функция f(x)=х

(n ∈N) непрерывна на R, так как

есть произведение n функций f (x)=х.

155

Следовательно, по той же теореме 2 многочлен

f (x)=a

+ a

n–1

+...+ a

n–1

x + a

есть функция, непрерывная на R.

Рациональная функция

()

, где p и q – многочлены, есть

также непрерывная функция всюду на R, за исключением тех точек, в

которых знаменатель, многочлен q(х), обращается в нуль.

2) Тригонометрические функции sin x, cos x являются непрерыв-

ными на R. Рассмотрим, например, функцию sin x. Тогда

∀

a ∈R

будем иметь:

()

sin

cos2sinsin

aaxay

∆

⋅













∆

+=−∆+=∆

;

sin

coslim2lim













∆













∆

+=∆

→∆→∆

так как

∆

⋅

∆

≤













∆

→∆→∆

sin

lim

sinlimа,1

cos

001

lim

sin

lim

=⋅⋅=∆

∆

→∆→∆

Тригонометрические функции tg x и sec x являются непрерывны-

ми во всех точках, где cos x ≠0, т.е. x ≠π/2+πn, n ∈Z, а функции ctg x,

coseс x – во всех точках, где sin x ≠0, т.е. x ≠πn, n

∈Z.

3) Можно также доказать, что функции f (x)=a

f (x) = log

x (a >0,a ≠1) также являются непрерывными в области свое-

го существования (первая – на R, вторая – на (0, +∞)).

Исходя из определения элементарных функций и теоремы 3 о не-

прерывности сложной функции, можно доказать следующую теорему.

Теорема 5.

Любая элементарная функция, определенная в окрестности

некоторой точки, непрерывна в этой точке.

156

Инач е говоря, элементарные функции непрерывны в области свое-

го существования.

Пример 1. Исследовать на непрерывность функцию

()

sin

Решение. Пусть x >0.Тогда

()

sin

, и рассматриваемая

функция будет непрерывной, как частное двух непрерывных функ-

ций. Если же x<0, то

()

sin

−=

, и функция f непрерывна и на

промежутке (–∞; 0). Осталось исследовать функцию в точке х =0.

Имеем

() ()

sin

limlim,1

sin

limlim

0000

−=













−===

−→−→+→+→

xxxx

Таким образом, в точке х =0 функция f имеет разрыв 1-го рода.

Пример 2. Исследовать на непрерывность функцию

()

exf

Решение. Функция f представляет собой сложную функцию

и f (u)=e

Функция u =

непрерывна всюду на R, за исключением точки

х = 0, а функция f(u) непрерывна на R. Значит, сложная функция

f (x) =

непрерывна в каждой точке x ∈R, x ≠0.

Исследуем эту функцию в точке х =0:

+∞==

+→−→

lim,0lim

Следовательно, точка х =0 является точкой разрыва 2-го

рода.

! Задания для самостоятельной работы

1. Показать, что функция y = |x| непрерывна на R.

157

2. Показать, что функция

()











≠

0если,1

,0если,

sin

непрерывна на R.

3. Функция f задана формулами:

()











≠

−

.3если,

,3если,

Как следует выбрать число А, чтобы функция f была непрерыв-

на в точке х =3? Построить график функции f.

4. Установить, в каких точках и какого рода разрывы имеют

следующие функции, и построить их графики:

а)

()

)

[

]

(







∈+

;2;1если,23

,1;0если,1

б)

()

]

(

]

(







∞+∈

∞−∈−

;;0если,

,0;,если,1

в)

()

]

(

()( )











∞+∪∈

−

∞−∈+

.;11;0если,

,0;,если,1

5. Исследовать на непрерывность следующие функции:

а)

−

; б)

()

xy cosln

; в)

()

arctg1

−

158

Лекция 26

Функции, непрерывные на отрезке.

Эквивалентные функции

Изучаются основные свойства непрерывных на отрезке

функций. Вводится понятие эквивалентных БМФ,

рассматриваются их свойства и важнейшие примеры.

. Теорема 1 (об устойчивости знака непрерывной

функции).

Пусть функция f непрерывна в точке а, и f(a) ≠0. Тогда суще-

ствует δ-окрестность точки а такая, что в этой окрестности фун-

кция f имеет тот же знак, что и f(a).

Доказательство. Пусть, например, f (a)>0.Тогда по определе-

нию непрерывности

() ()

afxf

→

lim

. Возьмем ε= f (a). По определению

предела для данного ε= f (a) ∃δ>0 такое, что

∀

x, 0 < |x – a| < δ будет

выполняться неравенство |f (x)–f (a)| < ε. Последнее неравенство мож-

но переписать следующим образом:

–f (a)<f (x)–f (a)<f (a) или 0<f (x)<2f (a).

Таким образом,

∀

x∈(a – δ; a + δ) имеем, что f (x) > 0. Теорема 1

доказана.

Геометрический смысл этой теоремы состоит в том, что, если

функция f непрерывна в точке а и отлична в ней от нуля, то некото-

рая часть графика этой функции, проходящая через точку (a; f (a)), не

пересекает ось x (рис. 1).

Теорема 2 (первая теорема Больцано-Коши).

Пусть функция f непрерывна на отрезке [a, b] и на концах

отрезка имеет значения разных знаков. Тогда существует точка

c∈(a; b), в которой f(c)=0.

Геометрический смысл этой теоремы также очевиден. Посколь-

ку функция f непрерывна на отрезке, то ее график состоит из одного

«сплошного» куска. Эта кривая соединяет точки (a; f (a)), (b; f (b)),

одна из которых лежит ниже оси Ох, вторая – выше оси Ох. Следова-

тельно, существует точка с на оси Ох, в которой график пересекает

ось Ох (рис. 2).

159

Теорему 2 легко обобщить. Справедлива

Теорема 3 (вторая теорема Больцано-Коши).

Пусть функция f непрерывна на отрезке [a; b], причем

f (a) ≠f (b). Тогда если С – любое число, лежащее строго между f(a) и

f (b), то существует точка с ∈(a; b) такая, что f(с)=С.

Другими словами, теоре-

ма 3 утверждает, что непрерыв-

ная на отрезке [a; b] функция

принимает любое свое проме-

жуточное значение.

Геометрический смысл

этой теоремы также очевиден

(рис. 3).

Доказательство теоремы

3 опирается на теорему 2.

Действительно, пусть, на-

пример, f (a)<f (b) и f(a)<С < f (b). Тогда рассмотрим функцию

ϕ(x)=f (x) – С. Эта функция непрерывна на отрезке [a;b] и ϕ(a)

=f(a)–С <0,

ϕ(b)=f (b) – С >0. Следовательно, к функции ϕ можно применить пер-

вую теорему Больцано-Коши. В соответствии с ней получим, что суще-

ствует точка c∈(a; b) такая, что ϕ(c) = 0, т.е. f (c)–C=0, f (c)=C.

Теорема 3 доказана.

Теорема 4 (первая теорема Вейерштрасса).

Если функция f непрерывна на отрезке [a, b], то она ограничена.

Рис. 1 Рис.2

Рис.3

160

Таким образом, в теореме 4 утверждается, что если функция f

непрерывна на отрезке [a; b], то существует число M > 0, такoе, что

∀

x ∈[a; b]:|f (x)| ≤M.

Доказательству теоремы предпошлем следующую лемму.

Лемма.

Функция f, непрерывная в точке а, ограничена в некоторой окре-

стности этой точки.

Действительно, по определению

() ()

afxf

→

lim

. Пусть ε= 1. Тог-

да для этого числа ε существует число δ> 0, такое, что

x ∈(a – δ; a + δ):|f (x)–f (a)| < 1.

Полученное неравенство можно записать в виде

–1 < f (x)–f (a)<1 или –1 + f (a)<f (x)<f (a)+1.

Положим M = f (a)+ 1. Тогда

∀

x ∈(a – δ; a + δ):| f (x)|<M.

Лемма доказана.

Доказательство теоремы 4. Предположим противное. Пусть

функция f является неограниченной на отрезке [a; b]. Разделим отре-

зок [a; b] пополам. Тогда, по крайней мере, на одном из полученных

двух отрезков функция f неограничена. Обозначим его через [а

; b

] .

Далее делим отрезок [а

; b

] пополам. Функция f снова на одном из

полученных отрезков неограничена. Обозначим соответствующий

отрезок через [а

; b

]. Продолжая этот процесс, получим последова-

тельность отрезков [a; b], [а

; b

], [а

; b

], ...,[а

; b

], ..., вложенных друг

в друга,

→

−

=−

при n →∞ . Причем на каждом из этих

отрезков функция f неограничена. По теореме 4 лекции 22, суще-

ствует единственная точка х = с, принадлежащая всем этим отрезкам.

Функция f непрерывна в этой точке и, следовательно, по лемме ог-

раничена в некоторой ее окрестности. А это противоречит тому, что

функция f неограничена на каждом отрезке [a

; b

], n ∈N . Теорема 4

доказана.

Заметим, что если в теореме 4 вместо отрезка [a; b] рассматри-

вать интервал (а; b) или какой-либо полуинтервал, то функция f может

быть и неограниченной, т.е. в этом случае утверждение об ограничен-

ности несправедливо. Например, функция

()

непрерывна на

полуинтервале (0; 1], но не ограничена на нем.