Минюк С.А., Ровба Е.А. Высшая математика

Подождите немного. Документ загружается.

161

Имеет место

Теорема 5 (вторая теорема Вейерштрасса).

Непрерывная на отрезке [a; b] функция f достигает в некоторых

точках [a; b] своих максимума и минимума, т.е. существуют точки

α и β, принадлежащие [a; b], для которых имеет место

[]

() ()

[]

() ()

β=α=

∈

fxffxf

bax

;

max,min

Таким образом, f (α) ≤f (x) ≤f (β) для всех х ∈[a; b].

Очевидно, из теоремы 5 следует также теорема 4. Вторая теорема

Вейерштрасса утверждает, что непрерывная на отрезке [a; b] функция

имеет на этом отрезке наибольшее и наименьшее значения.

. В основе понятия непрерывности лежит понятие близости зна-

чений функций. Если функция f непрерывна в точке а, то

() ()

afxf

→

lim

Это означает, что f(x)–f (a)=α(x) есть БМФ в точке х = а. Дру-

гими словами, значения функции f (x) вблизи точки x = a мало отлича-

ются от значения f (a). С целью сравнения значений двух функций в

окрестности какой-либо точки вводятся следующие определения.

Пусть f (x) и g(x) – БМФ в точке x = a. Функции f и g являются

эквивалентными в окрестности точки а, если

()

1lim

→

В этом случае записывают, что f (x)~g (x) при x →a.

Функция f в окрестности точки x = a имеет более высокий поря-

док малости, если

()

0lim

→

Записывают: f(x) =o(g (x)) при x →a.

Пример 1. Функции f(x) = sin x и g (x)=x являются эквивалент-

ными в окрестности точки х = 0, так как

sin

lim

→

т.е. sin x ~ x при x→0. Иначе говоря, значения многочлена g (х)=х в

окрестности точки х = 0 мало отличаются от значений трансцендентной

функции f (x) = sin x; или, можно сказать, многочлен g (x)=x

приближает функцию f (x) = sin x в окрестности точки х =0.

162

Пример 2. Функция ϕ(x) = sin x–x является бесконечно малой в

окрестности точки х =0 относительно функции g (x)=x, так как

()

sin

limlim

−

→→

. (1)

Приведенные определения связаны между собой следующей

теоремой.

Теорема 6.

Чтобы БМФ f и g были эквивалентны в окрестности точки а,

необходимо и достаточно, чтобы

f (x)=g (x)+o (g (x)) при x→a.

В частности, из (1) следует, что

sin x = x + o (x) при x →0. (2)

Геометрическая интерпретация соотношений (2) приведена на

рис.4 .

Пример 3. Показать, что 1–

~cos

при х →0 .

Решение. Рассмотрим

sin

lim

sin2

lim

cos1

lim













−

→→→

xxx

Таким образом,

()

cos1

+=−

при

0→x

или

Рис.4 Рис.5

163

()

1cos

+−=

при

0→x

(рис. 5).

Значит, функция cos x приближается многочленом

−

окрестности точки х =0.

Пример 4. Показать, что ln (1 + x)~x при x→0 .

Решение. Действительно,

()

() ()

1ln1limln1lnlim

1ln

lim

==+=+=

→→→

exx

Здесь мы воспользовались также непрерывностью функции

ln x на (0, +∞).

! Задания для самостоятельной работы

1. Показать, что уравнение x

–3x + 1 =0 имеет в интервале

(1; 2) один действительный корень. Вычислить приближенно этот

корень.

2. Верно ли равенство:

()

222

xoxx

++=+

при

0→x

3. Докажите, что функции tg x, х, e

– 1 эквивалентны в

окрестности точки х =0.

164

Лекция 27

Понятие производной.

Правила дифференцирования

Вводится понятие производной. Исследуется ее геомет-

рический и физический смысл. Приводятся правила

дифференцирования суммы, разности, произведения и ча-

стного.

. Пусть функция у = f (х) определена и непрерывна в окрестно-

сти точки х = а. Если независимому переменному х придать прира-

щение

∆

в этой точке, то функция получит соответствующее прира-

щение

()()

afxafy

−∆+=∆

. По определению непрерывной функции,

если

→∆

, то и

→∆

Если же мы хотим получить представление, как быстро изменя-

ется значение функции при изменении независимого переменного в

окрестности точки х = a, то должны сопоставить или сравнить каким-

то образом приращение аргумента

∆

и приращение функции

∆

С целью более глубокого изучения функции, исследования скорости

изменения ее значений вводится понятие производной – одно из важ-

нейших понятий математики.

Производной функции y = f (x) в точке х = а называется предел от-

ношения приращения функции в этой точке к приращению аргумента

при стремлении последнего к нулю .

Для обозначения производной используются символы:

() ()

ayaf

′′

.Таким образом, по определению

()

()()

afxaf

def

∆

−∆+

′

→∆

lim

. (1)

Операцию нахождения производной называют дифферен-

цированием.

Если функция y = f (x) имеет производную

()

′

в каждой точке

x ∈X, то производную

()

′

можно рассматривать как функцию пере-

менной х на Х.

Из определения производной следует и способ ее вычисления.

Пример 1. Найти производную функции f(x)=x

+2x +2 в точ-

ке х = а, a∈R.

165

Решение. Придадим приращение

∆

аргументу в точке х = а .

Найдем соответствующее приращение

∆

функции y = f (x):

()()()()

()

−+∆++∆+=−∆+=∆

xaxaafxafy

()

() ( )

xxaxxxaaa

∆∆++=∆+∆+∆=++−

222222

Теперь воспользуемся формулой (1):

()

()()

1222lim

limlim

000

+=∆++=

∆

∆∆++

∆

′

→∆→∆→∆

axa

xxa

xxx

Таким образом,

() ( )

∈+=

′

aaaf ,12

Пример 2. Найти производную функции f(x)=|x–1| в точке х =1.

Решение. Исходя из определения производной, рассмотрим

предел

()()

fxf

xxx

∆

−−−∆+

∆

−∆+

→∆→∆→∆

000

lim

1111

lim

Очевидно, в этом случае существуют односторонние пределы

1lim

∆

+→∆

1lim

−=

∆

−→∆

, неравные между собой. Таким обра-

зом, производная функции f (x)=|x – 1| в точке х = 1 не существует.

Учитывая, что существуют вышеуказанные односторонние пре-

делы, в этом случае говорят, что у рассматриваемой функции суще-

ствуют односторонние производные в точке х = 1 (правая и левая, со-

ответственно).

Выясним связь между существованием производной в точке и

непрерывностью функции.

Теорема 1.

Если функция y=f (x) в точке х имеет производную

()

′

, то

она непрерывна в этой точке.

Действительно, обозначим

()()

xfxxfy

−∆+=∆

. Будем иметь

()

00limlimlimlim

0000

=⋅

′

=∆

∆

=∆













∆

=∆

→∆→∆→∆→∆

xfx

xxxx

Это означает, что функция y = f (x) непрерывна в точке х.

166

Обратное утверждение неверно. Функция может быть непрерыв-

ной в точке, но не иметь в ней производной. Это видно на примере 2.

Функция y=|x –1| в точке х = 1 непрерывна, но не имеет в ней произ-

водной.

Геометрический смысл производной. Пусть функ-

ция y = f (x) определена на интервале (а, b). Предположим, что кривая

АВ является графиком этой функции (рис. 1). Пусть M(x

; f (x

)) – какая-

либо точка графика. Придадим аргументу приращение

∆

в точке x

Соответствующую точку на графике обозначим через

()()

xxfxxP

∆+∆+

;

Через точки М и Р проведем прямую и назовем ее секущей. Если

точку Р устремить по кривой АВ к точке М, то положение секущей будет,

вообще говоря, изменяться, и ее предельное положение (если оно суще-

ствует) называется касательной к кривой АВ в точке М. Обозначим чере з

α угол между касательной МТ и осью Ох (или, что то же самое, между

касательной МТ и прямой MN, рис. 1), а через ϕ – угол между секущей

МР и осью Ох, т.е. α – угол наклона касательной МТ к оси Ох, а ϕ –

угол наклона секущей МР к оси Ох. Очевидно,

α=ϕ

→

tgtglim

Так как

=ϕtg

, то будем иметь, что

α=

→

tglim

Но из рис. 1 видно, что

()()

xfxxfNP

−∆+=

, а

()

xxxxMN

∆=−∆+=

Следовательно,

()()

α=

∆

−∆+

→∆

tglim

xfxxf

или

()

α=

′

Итак, геометрический смысл производной функции состоит в том,

Рис. 1

167

что производная функции y = f (x) в точке x=x

есть т ангенс угла

наклона касательной к ее графику в точке (x

; f (x

)). Другими слова-

ми,

()

′

есть угловой коэффициент касательной к графику функ-

ции в точке M (x

; y

). Поэтому уравнение касательной имеет вид:

()( )

000

xxxfyy

−

′

=−

. (2)

Прямая, проходящая через точку (x

; f (x

)) и перпендикулярная

касательной, называется нормалью к графику в этой точке. Учиты-

вая условие перпендикулярности двух прямых, можем записать урав-

нение нормали:

()

−

′

−

=−

(полагаем, что

()

≠

′

Если же

()

′

, то нормалью будет прямая х = х

Пример 3. Найти уравнение касательной и нормали к графику

функции y =2u +3u

–2

в точке (1; 5).

Решение. Полагаем u

= 1. Очевидно, у (1)=5.

Найдем

() ()

4621,62:1

−=−=

′

−=

′′

−

yuyy

. Теперь воспользуем-

ся соотношением (2) и запишем уравнение касательной в точке (1; 5):

y – 5 = (–4) (u – 1),

y –5=–4u + 4, y =–4u +9.

Уравнение нормали будет иметь следующий вид:

()

8,4

+=−=−

uyuy

. Физический смысл производной. Пусть некоторая

материальная точка М движется прямолинейно и задан закон ее дви-

жения s = s (t), т.е. известно расстояние s (t) от точки М до некоторой на-

чальной точки отсчета в каждый момент времени t. В момент време-

ни t

точка пройдет расстояние s (t

) , а в момент времени

tt ∆+

–

расстояние

()

tts

∆+

. За промежуток времени

∆

точка М пройдет рас-

стояние

()()

tsttss

−∆+=∆

Отношение

∆

можно рассматривать как среднюю скорость дви-

жения на промежутке времени

[]

ttt

∆+

;

. Чем меньше промежуток вре-

168

мени

∆

, тем точнее соответствующая средняя скорость будет харак-

теризовать движение точки в момент времени t

. Поэтому предел сред-

ней скорости движения при

→∆

называют скоростью движения

(или мгновенной скоростью движения) точки М в момент времени t

обозначают v (t

), т.е.

()

()()

tstts

∆

−∆+

→∆

lim

Но выражение справа есть

()

′

. Таким образом,

() ()

tst

′

т.е. скорость движения в момент времени t

есть производная от прой-

денного расстояния по времени.

Понятие скорости, заимствованное из механики, удобно использо-

вать и при изучении произвольной функции. Какую бы зависимость ни

отражала бы функция y = f (x), отношение

∆

есть средняя скорость из-

менения зависимой переменной у относительно аргумента х, a

()

′

есть

скорость изменения у в точке х.

Проиллюстрируем справедливость данного утверждения следу-

ющим образом.

. Экономический смысл производной.

Пусть u = u (t) выражает количество произведенной продукции и

за время t на некотором предприятии. Необходимо найти производи-

тельность труда в момент времени t

Очевидно, за период времени от t

до

tt ∆+

количество произ-

веденной продукции изменится от значения

()

tuu

до значения

()

ttuuu

∆+=∆+

. Средняя производительность труда

за период

времени от t

до

tt ∆+

будет равна

()()

tuttu

∆

−∆+

Производительность труда Z в момент времени t

можно опреде-

лить как предельное значение средней производительности за период

времени от t

до

tt ∆+

при

0→∆t

, т .е.

∆

→∆→∆

limlim

169

. Правила дифференцирования.

Теорема 2.

Если функции u=

u (x) и v= v (x) в точке х имеют производные,

то сумма, разность, произведение и частное этих функций также

имеют производную в этой точке (частное при условии, что v(x) ≠0)

и справедливы следующие формулы:

()

′

;

()

uuu vvv

′

;

′

−

′













uuu

Доказательство. Докажем, например, что

()

′

Воспользуемся определением производной:

()

()()()()()()

∆

+−∆++∆+

′

→∆

xxuxxxxu

lim

()()()() ()()

∆

−∆+













∆

−∆+

∆

−∆+

→∆→∆

xuxxu

xxx

xuxxu

limlim

()()

′

∆

−∆+

→∆

xxx

lim

Аналогично

()

( )( ) ()()

∆

−∆+∆+

′

→∆

xxuxxxxu

lim

()()()()()()()()

∆

−∆++∆+−∆+∆+

→∆

xxuxxxuxxxuxxxxu

vvvv

lim

()()

() ()

()()

′













∆

−∆+













∆+

∆

−∆+

→∆→∆

xxx

xuxx

xuxxu

limlim

Таким же образом рассматриваются случаи разности и част-

ного двух функций.

170

! Задания для самостоятельной работы

1. Пользуясь определением, найти производные следующих фун-

кций в заданной точке x

а) у =5х

+2х + 1, x

= 1; б) y = x

–3x + 2, x

=–1.

2. Написать уравнение касательной и нормали к графику функ-

ции y = f (x) в точке, абсцисса которой равна x

. Найти угол наклона

касательной к оси Ох:

а) у =5х

+2х + 1, x

= 1; б) y = x

–3x +2, x

=–1.

3. Точка движется прямолинейно по закону s = s (t). Найти ско-

рость в момент времени t

а) s = 2t

+2t

+ 1, t

= 0; б) s = 1 + t + t

= 1.

4. Объем продукции u, произведенной бригадой рабочих, может

быть описан уравнением

50100

++= ttu

(ед.),

81 ≤≤ t

где t – рабочее время в часах. Вычислить производительность труда в

момент времени t, а также в момент времени t

= 4. Найти среднюю

производительность труда за период от t

= 1 до t

=8.