Минюк С.А., Ровба Е.А. Высшая математика
Подождите немного. Документ загружается.
241
1cossincos
sin1
sin
1
2
0
2
0
2
0
2
1
0
2
=−==
−
=
−
∫∫∫
π
π
π
tdttdtt
t
t
dx
x
x
.
Подчеркнем два важных момента. Во-первых, при использовании
формулы замены переменной (5) в интегра ле справа следует найти и
поставить новые пределы интегрирования. Во-вторых, в отличие от нео-
пределенного интеграла, здесь нет необходимости возвращаться к ста-
рой переменной.
Пример 3. Найти интеграл
∫
1
0
dxxe
x
.
Решение. Воспользуемся формулой интегрирования по частям:
∫∫∫∫
=−=−==
1
0
1
0
1
0
1
0
1
0
dxeedxexedexdxxe
xxxxx
1)1(
1
0
=−−=−=
eeee
x
.
! Задания для самостоятельной работы
1. Вычислить интегралы:
а)
∫
−+
1
0
2
)32(
dxxx
; б)
∫
+
8
0
3
)2(
dxxx
; в)
∫
π
ϕϕ
4
0
2
sin
d
.
2. Вычислить интегралы:
а)
∫
−
2ln
0
dxxe
x
; б)
∫
π
0
2
sin
dxxx
; в)
∫
1
0
arcsin
dxx
.
3. Вычислить интегралы:
а)
∫
−
−
1
1
45
dx
x
x
; б)
∫
++
43
0
2
1)1(
xx
dx
; в)
∫
π
+
0
cos23
x
dx
.
242
Лекция 39
Приложения определенного интеграла
в геометрии и экономике
Приведены формулы для вычисления площади некоторых
фигур, длины дуги кривой, объема тела вращения.
Рассматриваются некоторые применения определенного
интеграла в экономике.
1
0
. Площадь криволинейной трапеции. В лекции 37
уже отмечалось, что определенный интеграл
∫
b
a
dxxf
)(
от неотрица-
тельной функции f численно равен площади криволинейной трапеции,
ограниченной графиком функции у =f(x), прямыми х = а, х =b и у = 0.
Пример 1. Вычислить площадь фигуры, заключенной между
осью Ox и синусоидой y=sin x, x ∈[0; π] (рис. 1).
Решение. Имеем
2)0cos(coscossin
0
0
=−π−=−==
π
π
∫
xdxxS
.
Если фигура не является криволинейной трапецией, то ее пло-
щадь стараются представить в виде суммы или разности площадей
фигур, являющихся криволинейными трапециями. В частности, если
фигура ограничена снизу и сверху графиками непрерывных функций
у =f
1
(x), у =f
2
(x) (не обязательно неотрицательных, рис. 2), то
Рис. 1 Рис. 2
243
∫∫
−=
b
a
b
a
dxxfdxxfS
)()(
12
.
Пример 2. Вычислить площадь фигуры, ограниченной кривой
ху = 4 и прямыми у = х и х = 4.
Решение. Построим фигу-
ру на плоскости (рис. 3). Очевидно,
()
x
xf
4
1
=
, f
2
(x) =x,
=
−=
−=
∫
4
2
2
4
2
ln4
2
4
x
x
dx
x
xS
=8–4ln4–(2–4ln2)=
= 2 (3 – 2 ln 2).
2
0
. Длина дуги кривой. Вычисление длин кривых также
приводит к интегралам. Пусть функция у =f(x) непрерывна на отрез-
ке [a; b] и дифференцируема на интервале (a; b). Ее график представляет
некоторую кривую АВ, A(a; f (a)), B(b; f (b)) (рис. 4). Кривую АВ разобь-
ем точками C
0
=A,
C
1
,
C
2
, ..., C
n
=B на n произвольных частей. Соединим
две со с едние точки C
k-1
и C
k
хордами, k=1, 2, ..., n. Получим n-звенную
ломаную, вписанную в кривую АВ. Пусть l
k
есть длина хорды C
k-1
C
k
,
k=1, 2, ..., n,
k
nk
l
≤≤
=ω
1
max
. Длина ломаной будет выражаться формулой
∑
=
=
n
k
kn
lL
1
.
Естественно определить длину L кривой АВ как предельное зна-
чение длин ломаных L
n
, когда ω→0, т.е.
∑
=
→ω→ω
==
n
k
kn
lLL
1
00
limlim
. (1)
Пусть x
k
есть абсциссы точек C
k
, k = 1, 2, ... , n,
a=x
0
<x
1
<x
2
< ... < x
k-1
<x
k
< ... < x
n
=b.
Тогда координаты точек C
k
есть (x
k
; f (x
k
)), и, пользуясь формулой
для расстояния между двумя точками (см. Л. 2), найдем
2
1
2
1
))()(()(
−−
−+−=
kkkkk
xfxfxxl
. (2)
Рис. 3
244
По формуле конечных приращений имеем:
);(),)(()()(
111
kkkkkkkk
xxxxfxfxf
−−−
∈ξ−ξ
′
=−
.
Подставляя полученное выражение в (2), найдем:
1
2
,))((1
−
−=∆∆ξ
′
+=
kkkkkk
xxxxfl
,
и
∑
=
∆
′
+=
n
k
kkn
xfL
1
2
))((1
ξ
.
Следовательно, L
n
есть интегральная сумма для функции
2
))((1
xf
′
+
на отрезке [a;b]. Тогда на основании равенств (1) имеем:
∫
′
+=
b
a
dxxfL
2
))((1
. (3)
Пример 3. Найти длину графика
2
3
3
2
xy =
между х = 0 и х = 3.
Решение. По формуле (3) находим:
=+=
+=
′
+=
∫∫∫
3
0
3
0
2
2
1
3
0
2
11))((1
dxxdxxdxxyL
3
14
)18(
3
2
)1(
3
2
)1()1(
3
0
2
3
3
0
2
1
=−=+=++=
∫
xxdx
.
Рис. 4
245
3
0
. Объем тела вращения. Пусть функция f непрерывна и
неотрицательна на отрезке [a; b]. Построим соответствующую криво-
линейную трапецию АВСD (рис. 5а).
Если криволинейную трапецию АВСD вращать вокруг оси Ox, то
образуется тело, называемое телом вращения (рис. 5б). Поставим задачу
определения и вычисления объема V этого тела.
С этой целью разобьем отрезок [a; b] точками:
a=x
0
<x
1
< ... < x
n
= b, ∆x
k
= x
k
– x
k-1
,
k
nk
x
∆=λ
≤≤
1
max
.
Произвольно выберем по точке ξ
k
∈[x
k–1
; x
k
], вычислим f (ξ
k
), k=1,
2, ... , n. Теперь построим плоскости, проходящие через каждую точку
x
k
и перпендикулярные оси Ox. Они разобьют тело на n частей (элемен-
тарных тел). Каждое элементарное тело заменим цилиндром с радиусом
f (ξ
k
) и высотой ∆x
k
. Объем такого цилиндра равен π(f (ξ
k
))
2
∆x
k
, и е сте-
ственно полагать, что объем тела
∑
=
∆ξπ=
n
k
kk
xfV
1
2
))((
.
В правой части этого равенства стоит интегральная сумма для
функции πf
2
(x) на отрезке [a; b]. Поэтому, переходя к пределу при
λ→0, найдем
∫
π=
b
a
dxxfV
)(
2
. (4)
Таким образом, формула (4) есть формула для вычисления объе-
мов тел вращения вокруг оси Ox криволинейной трапеции, ограни-
ченной графиком функции у =f(x) и прямыми х = а, х =b, у = 0.
Рис. 5
а) б)
246
Пример 4. Найти объем тела, полученного вращением вокруг оси
Ox области под параболой y=x
2
от x=0 до x=2.
Решение. По формуле (4) имеем
π=π=π=
∫
5
32
5
2
0
5
2
0
4
x
dxxV
.
4
0
. Использование понятия определенного
интеграла в экономике. Рассмотрим сначала экономичес-
кий смысл определенного интеграла.
Пусть функция u = f (t) описывает изменение производительности
некоторого завода с течением времени. Найдем объем продукции u,
произведенной за промежуток времени [0; T].
Если предположить, что производительность не изменяется с те-
чением времени (т.е. f (t) = const), то объем продукции ∆u, произведен-
ной за некоторый промежуток времени [t; t+∆t], задается формулой
∆u = f (t)∆t . Если f (t) не является постоянной функцией, то справедли-
во приближенное равенство ∆u ≈f (ξ)∆t, где ξ∈[t; t+∆t], которое ока-
зывается тем точнее, чем меньше ∆t.
Поэтому для решения задачи о нахождении объема продукции
поступим так же, как при нахождении площади криволинейной тра-
пеции. Разобъем отрезок [0; T ] на промежутки времени точками:
0=t
0
< t
1
< t
2
< ... < t
n
= T.
Для величины объема продукции ∆u
i
, произведенной за проме-
жуток времени
nitt
ii
,1],;[
1
=
−
, имеем:
11
],;[где,)(
−−
−=∆∈ξ∆ξ≈∆
iiiiiiiii
ttttttfu
.
Тогда
∑∑
==
∆ξ=∆≈
n
i
ii
n
i
i
tfuu
11
)(
.
При стремлении
i
i
t
∆max
к нулю каждое из использованных при-
ближенных равенств становится все более точным, поэтому
∑
=
→∆
∆ξ=
n
i
ii
t
tfu
i
i
1
0max
)(lim
.
Учитывая определение определенного интеграла, окончательно
получаем
∫
=
T
dttfu
0
)(
, т.е. если f (t) – производительность труда в
247
момент времени t, то
∫
T
dttf
0
)(
есть объем выпускаемой продукции за
промежуток [0; T ].
Сравнивая данную задачу с задачей нахождения площади кри-
волинейной трапеции, получаем, что величина объема продукции,
произведенной за промежуток времени [0; T ], численно равна площа-
ди фигуры, ограниченной графиком функции u=f(t), описывающей
изменения производительности труда с течением времени, отрезком
[0; T ] и прямыми t=0, t = T.
Пример 5. Определить объем продукции, произведенной рабо-
чим за второй час рабочего дня, если производительность труда ха-
рактеризуется функцией
3
43
2
)( +
+
=
t
tf
.
Решение:
=
++=
+
+
=
∫
2
1
2
1
343ln
3
2
3
43
2
ttdt
t
V
3
7
10
ln
3
2
367ln
3
2
10ln
3
2
+=−+−=
.
В экономических исследованиях часто используется производ-
ственная функция Кобба-Дугласа
21
210
aa
xxay
=
, (5)
где y – величина общественного продукта; x
1
–
затраты труда, x
2
–
объем производственных фондов.
Если в (5) затраты труда есть линейная зависимость от времени,
а затраты капитала неизменны, то функцию Кобба-Дугласа можно
преобразовать к виду
g(t)=(αt + β) e
γt
.
Тогда объем выпускаемой продукции за Т лет составит:
∫
γ
β+α=
T
t
dtetQ
0
)(
. (6)
Пример 6. Найти объем продукции, произведенной за 4 года,
если функция Кобба-Дугласа имеет вид g(t) = (1+t) e
3t
.
248
Решение. По формуле (6) объем Q произведенной продукции
равен
=−+=+=
∫∫
4
0
3
4
0
3
4
0
3
3
1
)1(
3
)1(
dtet
e
dtetQ
t
t
t
512
4
0
312
1053,2)214(
9
1
9
1
)15(
3
1
⋅≈−=−−= eee
t
.
Для вычисления интеграла здесь использован метод интегриро-
вания по частям, т.е. u=t+ 1, dv = e
3t
dt , тогда
t
edtdu
3
3
1
,
==
v
.
Часто для решения экономических задач применяют теорему о
среднем значении и формулу
];[где),)(()( baabfdxxf
b
a
∈ξ−ξ=
∫
.
Число
∫
−
=ξ
b
a
dxxf
ab
f
)(
1
)(
называют средним значением функ-
ции f (x) на отрезке [a; b].
На практике нередко вычисляют такого рода средние значения,
например, средняя производительность труда, средняя мощность элек-
тродвигателей и т.д.
Пусть известна функция t = t (x), описывающая изменение затрат
времени t на изготовление изделия в зависимости от степени освоения
производства, где x – порядковый номер изделия в партии. Тогда сред-
нее время t
ср
,
затраченное на изготовление одного изделия в период
освоения от x
1
до x
2
изделий, вычисляется по теореме о среднем
∫
−
=
2
1
)(
1
12
ср
x
x
dxxt
xx
t
.
Что касается функции изменения затрат времени на изготовле-
ние изделий t = t(x), то она часто имеет вид:
t = Ax
–B
, (7)
где А – затраты времени на первое изделие, В – показатель производ-
ственного процесса.
Пример 7. Найти среднее значение издержек K (x)=3x
2
+4x +1,
выраженных в денежных единицах, если объем продукции x меняется
249
от 0 до 3 единиц. Указать объем продукции, при котором издержки при-
нимают среднее значение.
Решение. Применяя теорему о среднем значении, имеем:
=
++=++=ξ
∫
3
0
23
3
0
2
2
4
3
3
3
1
)143(
3
1
)(
x
xx
dxxxf
ед.)ден.(16)31827(
3
1
=++=
,
т.е. среднее значение издержек равно 16.
Определим, при каком объеме продукции издержки принимают
это среднее значение, т.е. решим уравнение
3x
2
+4x+1=16.
Учитывая, что объем продукции не может быть отрицательным,
из последнего уравнения имеем
3
5
=x
(ед. продукции).
Определение начальной суммы по ее конечной величине, полу-
ченной через время t (лет) при годовом проценте (процентной ставке) p,
называется дисконтированием. Задачи такого рода встречаются при
определении экономической эффективности капитальных вложений.
Пусть K
t
– конечная сумма, полученная за t лет, и К – дисконти-
руемая (начальная) сумма, которую в финансовом анализе называют
также современной суммой. Если проценты простые, то K
t
= K (1 + it),
где
100
p
i =
– удельная процентная ставка. Тогда
it
K
K
t
+
=
1
. В случае
сложных процентов
t
t
itKK
)1( +=
и поэтому
t
t
it
K
K
)1( +
=
.
Пусть поступающий ежегодно доход изменяется во времени и
описывается функцией f (t), и при удельной норме процента, равной
i, процент начисляется непрерывно. В этом случае дисконтированный
доход К за время Т вычисляется по формуле:
∫
−
=
T
ti
dtetfK
0
)(
. (8)
Пример 8. Определить дисконтированный доход за три года
при процентной ставке 8%, если первоначальные (базовые) капита-
ловложения составили 10 тыс. условных единиц и намечается ежегод-
ное увеличение капиталовложения на 1 тыс. у.е.
250
Решение. Очевидно, что капиталовложения задаются функцией
f (t)=10+1⋅t =10+t. Тогда по формуле (8) дисконтируемая сум ма
капиталовложений
∫
−
+=
3
0
08,0
)10(
dtetK
t
.
Применяя формулу интегрирования по частям, получим К = 30,5
тыс. усл. единиц.
Это означает, что для получения одинаковой наращиваемой сум-
мы через три года ежегодные капиталовложения от 10 до 13 тыс. у. е.
равносильны одновременным первоначальным вложениям 30,5 тыс.
у. е. при той же начисляемой непрерывно процентной ставке.
! Задания для самостоятельной работы
1. Вычислить площадь фигуры, ограниченной графиком функ-
ции
3
xy =
и прямыми х = 0, у = 1.
2. Вычислить площадь фигуры, ограниченной графиками сле-
дующих функций:
a) y=x
2
, y=x+2; б) y=–x
2
, y = x
4
– 20;
в)
2
1
1
x
y
+
=
,
2
2
x
y
=
.
3. Вычислить длину параболы
xy 2=
от x =0 до x =1.
4. Вычислить длину дуги кривой y=ln cos x,
4
0
π
≤≤ x
.
5. Найти объем тела, образованного вращением вокруг оси Ox
области под графиком функции
x
y
1
=
от x =1 до x = e.
6. Найти объем тела, образованного вращением вокруг оси Ox
области, ограниченной кривыми
xy =
, x =0 и y =1.
7. Найти объем тела, образованного вращением вокруг оси Oy
области под графиком y=1–x
2
от х =0 до х =1.
8. Найти полные издержки производства, если объем продук-
ции равен 42 единицам, а зависимость издержек от объема имеет вид:
K(x)=x
3
–2x
2
+ x.