Минюк С.А., Ровба Е.А. Высшая математика
Подождите немного. Документ загружается.
221
×++−−−=
121
)2()...()()()(
11
2
21
tl
r
ll
n
qxpxxxxxxxAxQ
r
s
t
ss
t
qxpxqxpx
)2...()2(
2
22
2
2
++++×
, (1)
где x
1
, x
2
, ..., x
r
∈ R, l
1
, l
2
, ..., l
r
∈ N, t
1
, t
2
, ..., t
s
∈ N и p
i
2
– q
i
< 0, i=1, 2,..., s.
Последнее означает, что многочлены x
2
+ 2p
i
x+q
i
не имеют действитель-
ных корней.
Этот факт устанавливается в расширенном курсе высшей мате-
матики. Также примем без доказательства следующее утверждение:
если
()
()
xQ
xP
есть правильная рациональная функция и многочлен Q(x)
имеет вид (1), то ее можно единственным образом представить в виде:
+
−
++
−
+
−
=
∑∑∑
===
r
l
k
k
r
r
k
l
k
k
k
l
k
k
k
xx
A
xx
A
xx
A
xQ
xP
1
)(
1
2
)2(
1
1
)1(
)(
...
)()(
)(
)(
21
∑∑∑
===
++
+
++
++
+
+
++
+
+
s
t
k
k
ss
s
k
s
k
t
k
k
kk
t
k
k
kk
qxpx
NxM
qxpx
NxM
qxpx
NxM
1
2
)()(
1
22
2
)2()2(
1
11
2
)1()1(
)2(
...
)2()2(
21
, (2)
где
)(
i
k
A
,
)(i
k
M
,
)(
i
k
N
– некоторые вещественные числа.
Выражение (2) называется разложением на простейшие рацио-
нальные дроби. Поскольку в Л.30 мы рассмотрели методы интегри-
рования таких дробей, то, имея разложение (2), легко найти неопреде-
ленный интеграл от рациональной функции
()
()
xQ
xP
.
Этот интеграл будет также выражаться через рациональные фун-
кции, логарифмы и арктангенсы. Таким образом, главная задача при
интегрировании рациональных функций состоит в нахождении раз-
ложения (2). Если известно представление (1), то коэффициенты
)(
i
k
A
,
)(i
k
M
,
)(i
k
N
ищутся методом неопределенных коэффициентов. Суть его
состоит в следующем. Записывается представление (2) с неопределен-
ными коэффициентами
)(
i
k
A
,
)(
i
k
M
,
)(
i
k
N
. Затем выражение в правой
части приводим к общему знаменателю и получим в числителе неко-
торый многочлен. Сравнивая коэффициенты при одинаковых степе-
нях у этого многочлена и многочлена P(x), получаем систему уравне-
ний для определения коэффициентов
)(
i
k
A
,
)(
i
k
M
,
)(
i
k
N
.
Решив ее, найдем эти коэффициенты.
Проиллюстрируем изложенное на примерах.
222
Пример 1. Найти разложение на простейшие дроби рациональной
функции
)1)(2)(1(
)(
2
+−+
=
xxx
x
xR
.
Решение. Очевидно, это есть правильная рациональная функция, и
ее знаменатель имеет вид (1). Поэтому запишем представление (2) с неопре-
деленными коэффициентами для данной рациональной функции:
1
21
)1)(2)(1(
22
+
+
+
−
+
+
=
+−+ x
NMx
x
B
x
A
xxx
x
. (3)
Правую часть равенства (3) приводим к общему знаменателю и
сравниваем многочлены, стоящие в числителях левой и правой частей:
x=A(x–2)(x
2
+ 1) +B(x+1)(x
2
+ 1) + (Mx + N)(x+1)(x–2)
или
x=(A+B+M) x
3
+ (–2A+B+N–M) x
2
+
+(A+B–2M–N) x–2A+B–2N. (4)
Два многочлена равны тогда и только тогда, когда равны коэф-
фициенты при одинаковых степенях х. Приравнивая эти коэффици-
енты, получим систему уравнений для определения чисел А, В, М, N:
при x
3
: A+B+M=0; (5)
при x
2
: –2A+B+N–M=0;
при x
1
: A+B–2M–N=1;
при x
0
: –2A+B–2N=0. (6)
Решая эту систему из четырех линейных уравнений, находим
неизвестные А, В, М и N.
Вместе с тем, используя тождество (4), можно найти искомые
коэффициенты несколько проще:
а) полагая в (4), х = –1, получаем –1=A(–3 ×2), откуда
6
1
=A
;
б) полагая в (4), х =2, получим 2=B×3 ×5, откуда
15
2
=B
;
в) тогда из уравнения (5) находим M=–A–B=
15
2
6
1
−−
=–0,3, а
из уравнения (6) N=
6
1
15
1
2
−=−A
B
= –0,1.
Таким образом,
1
13
1,0
)2(15
2
)1(6
1
)1)(2)(1(
22
+
+
−
−
+
+
=
+−+ x
x
xx
xxx
x
.
223
Пример 2. Найти разложение на простейшие дроби для рацио-
нальной функции
)2)(65(
12
2
+++
+
xxx
x
.
Решение. Данная рациональная функция является правильной.
Нетрудно видеть, что корнями многочлена x
2
+ 5x+6 являются числа
(–2) и (–3). Поэтому (x
2
+ 5x+6)(x+2) = (x+2)
2
(x+3).
Поэтому можем записать следующее представление с неопреде-
ленными коэффициентами, аналогичное формуле (2):
3
)2(
2
)3()2(
22
+
+
+
+
+
=
++
x
C
x
B
x
A
xx
x
.
Приводя выражение справа к общему знаменателю и сравнивая
многочлены, стоящие в числителе, находим:
x=A(x+2)(x+3) +B(x+3) +C(x+2)
2
.
Полагая здесь х = –2, находим –2 = В(–1) и В =–2.
Если положить х =–3, то имеем –3 =C(–1)
2
и C=–3.
Наконец, если х = 0, то получим 6A+3B+4C=0 и
()
343
6
1
=+−=
CBA
.
Значит,
3
3
)2(
2
2
3
)2)(65(
22
+
−
+
−
+
=
+++
x
x
x
xxx
x
.
2
0
. Интегрирование иррациональных функций. Через
R(u, v) будем обозначать рациональную функцию двух переменных, т.е.
функцию, получающуюся из двух переменых u и v и некоторых постоян-
ных, над которыми производятся операции сложения, вычитания, умно-
жения и деления. Например, функция
2
13
22
2222
++
++++
uu
uuuu
v
vvvv
е сть рациональная функция двух переменных u и v.
Пусть имеем интеграл вида
∫
+
+
dx
dcx
bax
xR
n
,
, (7)
где n ∈N , ad – bc ≠0.
224
В интегралах таког о вида целесообразно сдела ть следующую замену:
t
dcx
bax
n
=
+
+
. (8)
Из этого равенства получим:
dcx
bax
t
n
+
+
=
,
act
dtb
x
n
n
−
−
=
,
dt
act
tbcadm
dx
n
n
2
1
)(
)(
−
−
=
−
.
Подставляя соответствующие выражения в (7), получим:
∫∫∫
=
−
−
−
−
=
+
+
−
dttRdt
act
tbcadm
t
act
dtb
Rdx
dcx
bax
xR
n
n
n
n
n
)(
)(
)(
,,
1
2
1
,
где R
1
(t) есть некоторая рациональная функция переменной t. Таким
образом, интегралы вида (7) заменой переменной (8) сводятся к интег-
ралам от рациональных функций, методы вычислений которых нам
уже известны. В этом случае говорят, что интеграл вида (7) рациона-
лизируется.
Пример 3. Найти интеграл
∫
+
−
dx
x
x
1
1
.
Решение. Сделаем замену переменной
tx =+1
. Имеем
x+1 =t
2
, x = t
2
– 1 , dx = 2tdt и
=+
−=−=
−−
=
+
−
∫∫∫
Ct
t
dttdtt
t
t
dx
x
x
2
3
2)2(22
11
1
1
3
2
2
CxxCx
x
+−+=+
+−
+
= )5(1
3
2
12
3
)1(
2
3
.
3
0
. Тригонометрические интегралы. Пусть имеем ин-
теграл вида
∫
dxxxR )cos,(sin
, (9)
где R(u, v) – рациональная функция двух переменных u и v.
В этом случае функцию R (sin x, cos x) называют тригонометри-
ческой рациональной функцией.
Интеграл (9) рационализируется (т.е. приводится к интегралу от
алгебраической рациональной функции) с помощью замены переменной
225
2
tg
x
t =
. (10)
Действительно,
2
2
1
2
2
tg1
2
tg2
sin
t
t
x
x
x
+
=
+
=
,
2
2
2
2
1
1
2
tg1
2
tg1
cos
t
t
x
x
x
+
−
=
+
−
=
,
tx arctg2=
,
2
1
2
t
dt
dx
+
=
(11)
и
∫∫∫
=
+
+
−
+
=
dttRdt
tt
t
t
t
RdxxxR )(
1
2
1
1
,
1
2
)cos,(sin
1
22
2
2
,
где R
1
(t) – рациональная функция переменной t.
Пример 4. Вычислить интеграл
∫
+
x
dx
cos2
.
Решение. Положим
2
tg
x
t =
. Тогда, воспользовавшись фор-
мулами (11), имеем
=
+
=
−++
=
+
+
−
+
=
+
∫∫∫∫
3
2
1)1(2
2
1
2
1
1
2
1
cos2
2222
2
2
t
dt
tt
dt
dt
t
t
t
x
dx
C
x
C
t
+=+=
3
2
tg
arctg
3
2
3
arctg
3
2
.
На практике замена переменной (10) приводит часто к громозд-
ким выкладкам. При определенных условиях более удобны другие
замены переменной:
а) если R(–sin x, cos x) =–R(sin x, cos x), то полагают t=cos x;
б) если R(sinx, –cos x) =–R(sin x, cos x), то полагают t=sin x;
в) если R(–sin x, –cos x) =–R(sin x, cos x), то полагают t=tg x.
226
! Задания для самостоятельной работы
1. Найти следующие интегралы:
а)
∫
−+
+
dx
xx
x
103
52
2
; б)
∫
+−
+
dx
xxx
x
65
1
23
3
; в)
∫
+−
dx
xx
x
22
2
)23(
;
г)
∫
+
1
3
x
dx
; д)
∫
+−+−
)54)(44(
22
xxxx
dx
.
2. Найти следующие интегралы:
а)
∫
−
+
dx
x
x
x
1
1
; б)
∫
−−−
3
)1(1
xx
dx
; в)
∫
−
+
dx
x
x
3
1
1
;
г)
∫
−++
−−+
dx
xx
xx
11
11
; д)
∫
++
)21(
3
xxx
dx
.
3. Найти следующие интегралы:
а)
∫
+
x
dx
cos21
; б)
∫
−
dx
x
x
sin1
sin
; в)
∫
−
+
dx
x
x
tg1
tg1
;
г)
∫
+
dx
x
x
2
sin1
2sin
; д)
∫
dxxx
32
cossin
; е)
∫
dxxx
22
cossin
.
227
Лекция 37
Определенный иинтеграл
Вводится понятие определенного интеграла.
Рассматривается его геометрический смысл. Изучаются
основные свойства определенного интеграла, оценки
интегралов и теорема о среднем значении определенного
интеграла.
1
0
. Задача о вычислении площади криволинейной
трапеции. Пусть на отрезке [a; b] задана непрерывная неотрицатель-
ная функция у =f(x) (рис. 1). Рассмотрим фигуру ABCD, ограниченную
графиком функции у =f(x), прямыми х = а, х =b и осью Ox. Ее называют
криволинейной трапецией. Поставим зада чу об опре делении и вычислении
площади этой криволинейной трапеции. С этой целью отрезок [a; b] разо-
бьем на n произвольных частей точками:
a=x
0
<x
1
<x
2
< ... < x
k — 1
<x
k
< ... < x
n
=b.
Через точки x
k
, k=0, 1, ..., n проведем прямые, параллельные оси
Oy. Криволинейная трапеция АВСD разобьется на n частичных криво-
линейных трапеций. Теперь на каждом из отрезков [x
0
; x
1
], [x
1
; x
2
], ...,
[x
n–1
; x
n
] произвольно выберем по точке ξ
k
, ξ
k
∈ [x
k-1
; x
k
] , k=
1, 2, ..., n,
вычислим значение f (ξ
k
), k=
1, 2, ..., n. И каждую частичную криволи-
нейную трапецию заменим прямоугольниками с высотами f (ξ
1
), f (ξ
2
),
..., f (ξ
n
). Тогда можно полагать, что для площади S криволинейной
трапеции АВСD справедливо соотношение
∑
=
−
−ξ≈
n
k
kk
xxfS
1
1k
))((
.
Рис. 1
228
Естественно предположить, что это равенство будет тем точнее, чем
меньше
λ=−
−
≤≤
)(max
1
1
kk
nk
xx
. Поэтому площадь криволинейной трапеции
S определяют как
∑
=
−
→λ
−ξ
n
k
kkk
xxf
1
1
0
))((lim
. (1)
Число S, равное пределу (1), называют определенным интегра-
лом от функции f по отрезку [a; b] и обозначают
∫
b
a
dxxf
)(
. Таким
образом, задача о вычислении площади криволинейной трапеции при-
водит к введению понятия определенного интеграла.
2
0
. Определение определенного интеграла. Пусть
функция f определена на отрезке [a; b]. Разобьем этот отрезок на n
частей точками x
k
, k =
0,1,...,n:
a=x
0
<x
1
<x
2
< ... < x
k-1
<x
k
< ... < x
n
=b.
Введем следующие обозначения:
∆x
k
= x
k
–x
k–1
, k = 1, 2, ..., n,
k
nk
x
∆=λ
≤≤
1
max
.
В каждом из частичных отрез ков [x
k–1
; x
k
] произвольно выберем
по точке ξ
k
, ξ
k
∈ [x
k–1
; x
k
], k = 1, 2, ..., n. Рассмотрим следующую
сумму:
∑
=
∆ξ=σ
n
k
kk
xf
1
)(
. (2)
Сумма (2) называется интегральной суммой для функции f на
отрезке [a; b].
Число А называется пределом интегральных сумм (2) при λ→0,
если ∀ε>0 ∃δ= δ(ε) > 0 такое, что для любого разбиения отрезка
[a; b] точками x
k
, k = 0, 1, ..., n, для которого λ< δ, при любом выбо-
ре точек ξ
k
∈ [x
k–1
; x
k
] выполняется неравенство:
ε<−∆ξ=−σ
∑
=
n
k
kk
AxfA
1
)(
.
Другими словами, предел интегральных сумм не должен зави-
сеть ни от способа разбиения отрезка [a; b], ни от выбора точек
ξ
k
на
отрезках [x
k–1
; x
k
].
Функция f называется интегрируемой на отрезке [a; b], если
существует конечный предел А ее интегральных сумм (2) на этом
отрезке. Число А называется определенным интегралом функции f на
отрезке [a; b] и обозначается:
229
∫
b
a
dxxf
)(
. (3)
Числа а и b называются нижним и верхним пределами интегрирова-
ния.
На основании предыдущего пункта заключаем, что геометричес-
кий смысл определенного интеграла (3) состоит в том, что он равен пло-
щади криволинейной трапеции, если
()
0
≥
xf
(рис. 1).
Из определения интеграла следует, что значение интеграла (3) есть
число, зависящее от вида функции f, пределов интегрирования а и b и
не зависящее от выбора обозначения переменной интегрирования.
Позже мы установим связи между определенным и неопределен-
ным интегралами функции f.
Пример 1. Найти определенный интеграл
∫
b
a
dx
1
.
Решение. Построим для функции f (x) = 1 на отрезке [a; b] ин-
тегральную сумму
∑∑
==
∆=∆ξ=σ
n
k
k
n
k
kk
xxf
11
)(
.
Учитывая, что ∆x
k
= x
k
–x
k-1
, имеем:
σ= (x
1
–x
0
) + (x
2
–x
1
) + (x
3
–x
2
) + ... + (x
n-1
–x
n-2
) + (x
n
–x
n-1
) =b–a.
Следовательно,
abdx
b
a
−=σ=
→λ
∫
0
lim
.
3
0
. Свойства определенного интеграла. При рассмот-
рении свойств определенных интегралов предполагаем, что интегра-
лы, входящие в доказываемые формулы, существуют.
1) По определению полагаем, что
0)( =
∫
a
a
dxxf
и
∫∫
−=
a
b
b
a
dxxfdxxf
)()(
.
Первое равенство обусловливается тем, что при составлении
интегральных сумм в данном случае каждое из ∆x
k
будет равно нулю
и σ=0.
230
Второе равенство объясняется тем, что, когда разбиение произво-
дится от b к а, то разности ∆x
k
=x
k
–x
k-1
будут отличаться знаком от таких
же разностей в случае разбиения отрезка от а к b.
2) Постоянный множитель можно выносить за знак определенного
интеграла, т.е.
const,)()( ==
∫∫
kdxxfkdxxkf
b
a
b
a
.
Доказательство. Построим интегральную сумму для функции
kf (x) на отрезке [a; b]:
∑
=
∆ξ=σ
n
k
kk
xkf
1
)(
.
Очевидно,
∑∑
==
∆ξ=∆ξ
n
k
kk
n
k
kk
xfkxkf
11
)()(
.
Тогда, пользуясь определением определенного интеграла, имеем
=∆ξ=
∑
∫
=
→λ
n
k
kk
b
a
xkfdxxf
1
0
)(lim)(
∫
∑∑
=∆ξ=∆ξ=
=
→λ
=
→λ
b
a
n
k
kk
n
k
kk
dxxfkxfkxfk
)()(lim)(lim
1
0
1
0
.
3) Определенный интеграл от суммы функций равен сумме их
интегралов, т.е.
∫∫∫
+=+
b
a
b
a
b
a
dxxgdxxfdxxfxg
)()())()((
. (4)
Доказательство. Действительно, построив интегральную сум-
му для f+g на отрезке [a; b], имеем
gf
n
k
kk
n
k
kk
n
k
kkkgf
xgxfxgf
σσξξξξσ
+=∆+∆=∆+=
∑∑∑
===
+
111
)()())()((
.
Остается перейти к пределу при λ→0 и получим равенство (4).
4) Если c∈(a; b), то
∫∫∫
+=
b
c
c
a
b
a
dxxfdxxfdxxf
)()()(
. (5)
Доказательство. Рассмотрим произвольное разбиение отрезка [a; b],
такое, чтобы точка с была точк ой разбиения, например, c=x
m
. Б удем иметь: