Минюк С.А., Ровба Е.А. Высшая математика
Подождите немного. Документ загружается.
251
9. Определить запас товаров на складе, образуемый за два дня, если
поступление товаров характеризуется функцией f (t)=3t
2
+3t +4.
10. Определить объем продукции, произведенной рабочими за
третий час рабочего дня, если производительность труда характери-
зуется функцией
4
54
3
)( +
+
=
t
tf
.
11. Найти среднее значение издержек K(x)=6x
2
+4x + 1, выра-
женных в денежных единицах, если объем продукции x меняется от 0
до 5 единиц. Указать объем продукции, при котором издержки прини-
мают среднее значение.
12. Найти среднее время, затраченное на освоение одного из-
делия в период освоения от x
1
= 100 до x
2
= 121 изделий, полагая в
формуле (7) А = 600 (мин), В = 0,5.
13. Найти объем продукции, произведенной за 5 лет, если фун-
кция Кобба-Дугласа имеет вид g(t)=(1+2t) e
3t
.
14. Определить дисконтированный доход за четыре года при
процентной ставке 6%, если первоначальные (базовые) капиталовло-
жения составили 10 тыс. у. е. и намечается ежегодное увеличение ка-
питаловложения на 2 тыс. у. е.
252
Лекция 40
Приближенное вычисление определенных
интегралов. Несобственные интегралы
Приводится формула трапеций для приближенного
вычисления определенных интегралов. Дается обобщение
понятия определенного интеграла на случай бесконечно-
го промежутка интегрирования и неограниченных
функций.
1
0
. В ряде прикладных задач встречаются функции, первообраз-
ные которых не выражаются через элементарные функции. Это при-
водит к необходимости разработки приближенных методов вычисле-
ний определенных интегралов. Следует заметить, что приближенные
методы используются часто и в случае интегралов, выражающихся
через элементарные функции. В настоящей лекции мы рассмотрим
один из таких методов – метод трапеций.
Пусть на отрезке [a; b] задана непрерывная функция f. Требует-
ся вычислить интеграл
∫
b
a
dxxf
)(
. Разобьем отрезок [a; b] на n равных
частичных отрезков точками a= x
0
<x
1
<
x
2
<
...
<x
n
=b. В этом слу-
чае
n
ab
xxx
kkk
−
=−=∆
−
1
, k= 1, 2, ... , n. Проведя прямые x=x
k
,
k = 0, 1, ... , n, всю криволинейную трапецию разобьем на n частич-
ных криволинейных трапеций (рис. 1). Если при составлении интегральных
сумм их заменяли прямоугольниками, то сейчас соединим две соседние
Рис. 1
253
точки (x
k-1
; f (x
k-1
)) и (x
k
; f (x
k
)) хордой и рассмотрим n соответствующих
прямоугольных трапеций. Площадь k-ой такой трапеции равна
k
kk
x
xfxf
∆
+
−
2
)()(
1
.
Исходя из геометрического смысла определенного интеграла, име-
ем:
∑
∫
∑
=
−
=
−
+
−
=∆
+
≈
n
k
kk
b
a
n
k
k
kk
xfxf
n
ab
x
xfxf
dxxf
1
1
1
1
))()((
22
)()(
)(
.
Пусть y
k
=f(x
k
). Тогда
∑∑
−
==
−
++=+
1
1
0
1
1
2))()((
n
k
kn
n
k
kk
yyyxfxf
и
+
+
−
≈
∑
∫
−
=
1
1
0
2
)(
n
k
k
n
b
a
y
yy
n
ab
dxxf
. (1)
Для наглядно сти на рис. 1 рассматриваем неотрицательную
непрерывную функцию, однако, формула (1) имеет место для любой
интегрируемой на отрезке [a; b] функции f.
Эта формула называется формулой трапеций. Естественно пред-
положить, что она тем точнее, чем больше число n. В частности, если
функция f имеет вторую непрерывную производную на [a; b], то ошиб-
ка этой формулы (абсолютная погрешность) не превосходит
)(max
12
)(
];[
2
3
xf
n
ab
bax
n
′′
−
=ε
∈
.
Пример 1. Вычислить приближенно интеграл
∫
2
0
4
dxx
, полагая
n = 4. Найти его точное значение и сравнить с приближенным.
Решение. Очевидно,
4,6
5
32
5
2
0
5
2
0
4
===
∫
x
dxx
.
Если n =4, [a; b] = [0; 2], то x
0
=0, x
1
= 0,5, x
2
=1, x
3
= 1,5, x
4
=2,
5,0=
−
n
ab
, y
0
=0, y
1
= (0,5)
4
= 0,0625, y
2
=1, y
3
= (1,5)
4
= 5,0625, y
4
= 16.
Подставляя полученные данные в формулу трапеций (1), имеем:
254
0625,7
2
125,14
)1250,68(5,0)0625,510625,0
2
160
(5,0
2
0
4
==+=+++
+
≈
∫
dxx
.
Таким образом, в данном случае ошибка равна 7,0625 – 6,4 =
= 0,6625.
2
0
. Несобственные интегралы. Определенный интеграл
∫
b
a
dxxf
)(
рассматривался при следующих двух условиях:
а) промежуток [a; b] конечен,
б) функция f ограничена на [a; b].
Если хотя бы одно из этих условий не выполняется, то данное в
Л.37 определение интеграла
∫
b
a
dxxf
)(
не имеет смысла. Если, напри-
мер, промежуток интегрирования бесконечный, то его нельзя разбить
на n частей конечной длины. Если же функция f неограничена на
[a; b], то не существует конечного предела интегра льных сумм. Обоб-
щим понятие интеграла и на эти случаи.
2.1. Несобственный интеграл с бесконечными преде-
лами интегрирования. Пусть не выполняется условие а), например,
функция f определена на промежутке [a; +∞ ).
Предположим, что она интегрируема на любом отрезке
[a; А], т.е. существует интеграл
∫
A
a
dxxf
)(
. Тогда по определению
полагают, что
∫∫
∞→
+∞
=
A
a
A
a
dxxfdxxf
)(lim)(
. (2)
Так, определенный
∫
+∞
a
dxxf
)(
называется несобственным интег-
ралом первого рода или несобственным интегралом с бесконечным пре-
делом интегрирования.
Если предел справа в (2) существует и конечен, то говорят, что
несобственный интеграл сходится, если же этот предел не существу-
ет или бесконечен, то интеграл
∫
+∞
a
dxxf
)(
называется расходящимся .
Чтобы лучше понять идею этого обобщения, рассмотрим его
255
геометрическую интерпрета-
цию. Пусть, например,
функция f неотрицательна и
невозрастающая на [a; +∞)
(рис. 2).
Интеграл
∫
A
a
dxxf
)(
чис-
ленно равен площади заштри-
хованной криволинейной
трапеции. При возрастании А
эта площадь будет увеличи-
ваться. При этом она может
неограниченно возрастать либо оставаться ограниченной и стремить-
ся к какому-то пределу. Этот предел и есть
∫
+∞
a
dxxf
)(
. Подчеркнем,
что площадь фигуры, заключенной между графиком функции у =f(x)
и осью Ox вправо от точки х = а, может быть конечной, несмотря на
то, что эта фигура является неограниченной.
Пример 1. Вычислить несобственные интегралы (или устано-
вить их расходимость):
а)
∫
+∞
−
0
dxe
x
; б)
∫
+∞
1
x
dx
; в)
∫
+∞
α
≠α
1
1,
x
dx
.
Решение. а) По определению (см. (2)) имеем:
1)1(limlimlim
0
00
=−=
−==
−
+∞→
−
+∞→
−
+∞→
+∞
−
∫∫
A
A
A
x
A
A
x
A
x
eedxedxe
.
б)
()
+∞====
+∞→+∞→+∞→
+∞
∫∫
Ax
x
dx
x
dx
A
A
A
A
A
lnlimlnlimlim
1
11
.
Следовательно, этот интеграл расходится.
в)
=
α−
==
α−
+∞→
α−
+∞→
+∞
α
∫∫
A
A
A
A
xdxx
x
dx
1
1
11
1
1
limlim
1),1(lim
1
1
1
≠α−
α−
=
α−
+∞→
A
A
.
Рис. 2
256
Предположим, что 1–α < 0, т.е. α > 1. Тогда имеем, что
1)1(lim
1
−=−
α−
+∞→
A
A
и
α−
−
=
∫
+∞
α
1
1
1
x
dx
, т.е. несобственный интеграл
∫
+∞
α
1
x
dx
сходится при α>1 и его значение равно (α–1)
–1
.
Пусть теперь 1–α> 0, т.е . α< 1. Тогда
+∞=−
α−
+∞→
)1(lim
1
A
A
и
интеграл расходится. Учитывая пример б), заключаем, что интеграл
∫
+∞
α
1
x
dx
расходится при α≤1.
Этот пример свидетельствует о том, что функция f (x)=
α
x
1
в
случае α >1 достаточно быстро стремится к нулю при x →+∞, и это
обеспечивает существование несобственного интеграла
∫
+∞
α
1
x
dx
. Если
же α≤1, то f(x)=
α
x
1
стремится к нулю медленно при
x →+∞ или совсем не стремится к нулю, и поэтому рассматриваемый
интеграл расходится.
Аналогично вводится понятие несобственного интеграла по про-
межутку (−∞; b),
∫∫
−∞→
∞−
=
b
B
B
b
dxxfdxxf
)(lim)(
.
Если же функция f определена на всей числовой прямой
(−∞;+∞), то полагают:
∫∫∫
+∞
∞−
+∞
∞−
+=
c
c
dxxfdxxfdxxf
)()()(
, (3)
где с – произвольное число, при условии суще ствования обоих интегра-
лов в правой части этого равенства.
2.2. Несобственные интегралы от неограниченных
функций. Пусть теперь не выполняется условие б) (см. начало пун-
кта 2
0
), т.е. функция f неограничена на [a; b]. Построим обобщение
интеграла на этот случай.
Пусть функция f определена на промежутке [a; b). В любой окре-
стности точки х =b функция f может быть неограниченной. Предпо-
ложим, что функция f интегрируема на любом отрезке [a; c] ⊂[a; b) ,
т.е. существует интеграл
257
∫
c
a
dxxf
)(
, c ∈[a; b). (4)
Тогда по определению полагают:
∫∫
−→
=
c
a
bc
b
a
dxxfdxxf
)(lim)(
0
.
Так, определенный
∫
b
a
dxxf
)(
называют несобственным интегра-
лом второго рода или несобственным интегралом от неограниченной
функции.
Если предел справа в (4) существует и конечен, то рассматрива-
емый интеграл называется сходящимся, в противном случае – расхо-
дящимся.
Если функция f определена на промежутке (а; b] и неограничена
в окрестности точки х = а, то полагают:
∫∫
+→
=
b
c
ac
b
a
dxxfdxxf
)(lim)(
0
.
Наконец, если функция f определена на интерв але (а; b) и неограни-
чена и в окрестности точки а, и в окрестности точки b, то поступают так
же, как в (3).
Пример 3. Вычислить несобственные интегралы (или устано-
вить их расходимость):
а)
∫
−
1
0
2
1
x
dx
; б)
R∈α
∫
α
,
1
0
x
dx
.
Решение. а) Это есть несобственный интеграл второго рода,
функция
2
1
1
)(
x
xf
−
=
является неограниченной в любой окрестнос-
ти точки х = 1. Поэтому по формуле (4) имеем:
2
1arcsinarcsinlim)arcsin(lim
1
01
0
01
1
0
2
π
====
−
−→−→
∫
cx
x
dx
c
c
c
.
б) В этом интеграле функция f (x)=
α
x
1
может быть неограни-
ченной в окрестности точки х =0.
По определению имеем
∫∫
α
+→
α
=
1
0
1
0
lim
c
c
x
dx
x
dx
.
258
Теперь рассмотрим два случая: α= 1, α≠1.
Если α= 1, то
(
)
+∞=−===
+→+→+→
∫∫
cx
x
dx
x
dx
c
c
c
c
c
lnlimlnlimlim
0
1
0
1
0
1
0
,
т.е. интеграл расходится.
Если α≠1, то
)1(lim
1
1
1
limlim
1
0
1
1
0
1
0
1
0
α−
+→
α−
+→
α−
+→
α
−
α−
=
α−
==
∫∫
c
x
dxx
x
dx
c
c
c
c
c
.
Здесь тоже рассмотрим два случая: α< 1, α> 1. Если α<1,
то
1)1(lim
1
0
=−
α−
+→
c
c
и
α−
=
∫
α
1
1
1
0
x
dx
. Если же α > 1, то
−∞=
−=−
−α
+→
α−
+→
1
0
1
0
1
1lim)1(lim
c
c
cc
. Следовательно, интеграл
∫
α
1
0
x
dx
схо-
дится, если α< 1, и расходится, если α≥1.
Заметим, что несобственный интеграл второго рода также легко
интерпретируется геометрически.
Мы рассмотрели понятие несобственных интегралов. В расши-
ренном курсе высшей математики подробно рассматриваются условия
их сходимости и устанавливаются соответствующие признаки.
Задания для самостоятельной работы
1. Вычислить приближенно
∫
−
2
0
2
)43(
dxxx
по формуле трапеций,
полагая n = 6. Вычислить этот интеграл и сравнить найденные значения.
2. Вычислить приближенно
∫
+
1
0
2
1
x
dx
по формуле трапеций, пола-
гая n =5.
3. Вычислить несобственные интегралы или установить их рас-
ходимость:
а)
∫
+∞
0
sin
dxx
; б)
∫
+∞
+
1
2
41
x
dx
; в)
∫
−
2
0
2
4
x
dx
;
г)
∫
2
1
0
2
)(ln
xx
dx
; д)
∫
+∞
∞−
++
32
2
xx
dx
; е)
∫
+∞
∞−
+
dx
x
x
2
1
arctg
.
259
Часть III
ФУНКЦИИ МНОГИХ ПЕРЕМЕННЫХ.
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ И РАЗНОСТНЫЕ
УРАВНЕНИЯ. РЯДЫ
Лекция 41
Функции многих переменных,
частные производные
Дано понятие функции нескольких переменных, ее преде-
ла и непрерывности, рассмотрены частные производные
функций многих переменных.
1
0
. Понятие функции нескольких переменных. Пусть
D – некоторое множество точек плоскости Oxy, Z – некоторое множе-
ство из R. Если каждой упорядоченной паре чисел (х; у) из области D
поставлено в соответствие определенное число z ∈Z ⊂R, то говорят,
что z есть функция двух переменных х и у. Переменные х и у называ-
ются независимыми переменными (или аргументами), D – областью
определения или существования функции, множество Z всех значе-
ний функции – областью ее значений.
Функциональную зависимость z от х и у записывают в виде
z = f (x, y) или z= z (x, y), z= F (x, y) и т.д.
Частное значение с функции z = f (x, y) при x=x
0
, y= y
0
обознача-
ется так: c= f (x
0
, y
0
).
Геометрически область определения функции D представляет
конечную или бесконечную часть плоскости Oxy, ограниченную ли-
ниями, которые могут принадлежать или не принадлежать этой обла-
сти. В первом случае область D называется замкнутой и обозначается
D
, во втором – открытой.
Аналогично определяется функция n независимых переменных
()()
xfxxxfz
n
!
"
==
,,,
21
, где
()
n
xxxx
,,,
21
"
!
col
=
.
Пример 1. Найти область определения функции
22
1
yxz −−=
.
260
Решение. Область определения этой функции D состоит из всех
точек (х; у) плоскости, для которых 1–x
2
–y
2
≥ 0, т.е.
x
2
+y
2
≤1. Значит, искомая область есть круг с центром в начале ко-
ординат и радиуса 1. Об ласть D является (
D
), т.к. включает свою границу
– окружность.
2
0
. Предел и непрерывность функции нескольких
переменных. Число А назовем пределом функции z=f(x, y) в
точке M
0
(x
0
; y
0
), если функция определена в окрестности этой точки
(некоторой открытой области ∆, содержащей точку M
0
) и для ∀ε>0
найдется такое δ(ε) > 0, что для всех точек М(х; у), отстоящих от M
0
меньше, чем на δ (обозначение ρ(M, M
0
)<δ), выполняется неравен-
ство
ε<−Ayxf ),(
.
Если А – предел функции f (х, у) в точке M
0
(x
0
; y
0
), то записывают:
),(lim),(lim
0
0
0
yxfyxfA
MM
yy
xx
→
→
→
==
. (1)
Отметим, что предел существует, если он не зависит от пути
устремления точки М к M
0
.
Пример 2. Найти
x
xy
y
x
sin
lim
2
0
→
→
.
Решение.
2
sin
limlim
sin
lim
2
0
2
0
2
0
==
→
→
→
→
→
→
xy
xy
y
x
xy
y
x
y
x
y
x
, т.к.
1
sin
lim
0
=
α
α
→α
.
Пример 3. Найти
22
22
0
0
lim
yx
yx
y
x
+
−
→
→
.
Решение. Возьмем две последовательности точек, стремящих-
ся к точке O(0; 0):
n
M
n
1
;0
,
0;
1
1
n
M
n
, для которых:
1)(lim,1
10
10
)(
2
2
−=−=
+
−
=
∞→
n
n
n
Mf
n
n
Mf
,
1)(lim,1
01
01
)(
1
2
2
1
==
+
−
=
∞→
n
n
n
Mf
n
n
Mf
.