Минюк С.А., Ровба Е.А. Высшая математика

Подождите немного. Документ загружается.

231

∑∑∑

+===

∆+∆=∆

xfxfxf

111

)()()(

ξξξ

Переходя к пределу в этом равенстве, получим соотношение (5).

. Оценки интегралов. Теорема о среднем значении. Теперь

рассмотрим некоторые свойства определенных интегралов, описываемые

с помощью неравенств.

1) Если f (x) ≥0 на отрезке [a; b], то

0)( ≥

∫

dxxf

Доказательство. Действительно, интегральная сумма

∑

∆ξ=σ

)(

для такой функции является неотрицательной, так как

f (ξ

) ≥0, ∆x

≥0, k=1, 2, ..., n. Следовательно, предел интегральных сумм

при λ→0 , т.е.

∫

dxxf

)(

, также будет неотрицательным.

2) Если для f и g на отрезке [a; b] справедливо неравенство

f (x) ≤g(x), то

∫∫

≤

dxxgdxxf

)()(

Доказательство. Рассмотрим функцию g(x) –f(x). Очевидно,

∀x ∈[a; b] : g(x) –f(x) ≥0 и в соответствии с предыдущим свойством

0))()(( ≥−

∫

dxxfxg

Это означает, что

0))()(( ≥−

∫

dxxfxg

. Остается применить свойство

3 из предыдущего пункта.

3) Для любой интегрируемой на отрезке [a; b] функции f имеет

место неравенство:

∫∫

≤

dxxfdxxf

)()(

. (6)

232

Доказательство. Действительно,

∀x ∈[a, b] :

)()()( xfxfxf ≤≤−

Следовательно,

∫∫∫

≤≤−

dxxfdxxfdxxf

)()()(

т.е. справедливо неравенство (6).

4) Если ∀x ∈[a; b]

: m ≤f (x) ≤M, то

∫

−≤≤−

abMdxxfabm

)()()(

. (7)

Доказательство. Воспользовавшись свойством 2) этого пунк-

та, имеем:

∫∫∫

≤≤

dxMdxxfdxm

)(

или

∫∫∫

≤≤

dxMdxxfdxm

)(

Так как

abdx

−=

∫

, то получим неравенства (7).

5) Теорема о среднем значении определенного

интеграла.

Если функция f непрерывна на отрезке [a; b], то существует

точка c∈[a; b], такая, что

))(()( abcfdxxf

−=

∫

. (8)

Выясним геометрический смысл формулы (8). Если предполо-

жить, что f(x) ≥0 ∀x ∈[a; b], то интеграл слева в (8) есть площадь

криволинейной трапеции, ограниченной графиком функции у =f(x),

прямыми х = а, х =b и осью Ox.

В правой части равенства (8) стоит площадь прямоугольника с

основанием b–а и высотой f (с), т.е. площадь криволинейной трапе-

ции равна площади некоторого прямоугольника (рис. 2).

Доказательство теоремы. Так как функция f непрерывна на

233

отрезке [a; b], то (по второй теореме Вейерштрасса) она достигает своего

наименьшего и наибольшего значений (см. Л. 26), т.е. ∀x ∈[a; b]:

m ≤f (x) ≤M,

где

)(min

];[

xfm

bax

∈

)(max

];[

xfM

bax

∈

Тогда в соответствии с предыдущим свойством

)()()( abMdxxfabm

−≤≤−

∫

Отсюда имеем

Mdxxf

≤

−

≤

∫

)(

Теперь воспользуемся теоремой Больцано – Коши о промежуточ-

ном значении непрерывной функции (см. Л.26), получим , что существу-

ет точка с ∈[a; b] такая, что

∫

−

dxxf

)(

т.е. справедлива формула (8).

Пример 2. Доказать, что функция Дирихлe







ое,рациональнесли,1

ьное;иррационалесли,0

)(

не интегрируема на любом отрезке [a; b].

Рис. 2

234

Решение. Произведем разбиение отрезка [a; b]:

a=x

< ... < x

k-1

< ... < x

=b.

Составим интегральную сумму

∆ξ=σ

∑

)(

. (9)

Покажем, что предел интегральных сумм (9) при

0)(max

→−=λ

−

≤≤

не существует. Действительно, если выбрать

все ξ

иррациональными, то σ= 0, если же выбрать все ξ

рациональ-

ными, то

≠−=∆=σ

∑

abx

Это означает, что не существует числа А, удовлетворяющего

определению определенного интеграла.

! Задания для самостоятельной работы

1. Составить интегральную сумму для функции f (x) = 1 +x на

отрезке [2; 8], деля отрезок на n равных частей и выбирая точки ξ

совпадающими с левыми концами отрезков [x

k–1

; x

Чему равен предел таких интегральных сумм? Сделать то же

самое в случае, когда ξ

= x

, k = 1, 2, ..., n.

2. Найти оценки снизу и сверху для интеграла

∫

dxx

3. Выяснить, какой из интегралов больше:

а)

∫

dxx

или

∫

dxx

; б)

∫

dxe

или

∫

dxe

4. Определить знак интеграла

∫

−

dxx

235

Лекция 38

Условия существования определенного

интеграла. Нахождение определенного

интеграла

Приводятся необходимые, а также достаточные условия

интегрируемости функций. Рассматриваются свойства

интеграла с переменным верхним пределом, и с его

помощью выводится основная формула интегрального

исчисления – формула Ньютона-Лейбница. Выводятся

формулы замены переменной и интегрирования по частям

в определенном интеграле.

. Необходимое условие интегрируемости функции.

Теорема 1.

Если функция f интегрируема на отрезке [a; b], то она ограни-

чена на [a; b] .

Действительно, предположим, что f неограничена на отрезке

[a; b]. Тогда при любом разбиении отрезка [a; b] точками a

< ... < x

=b функция будет неограниченной хотя бы на одном

отрезке, например, [x

j–1

; x

]. Следовательно, можно выбрать точку

∈[x

j–1

; x

] и точки

∈[x

k–1

; x

] , k=1, 2, ..., j–1, j+1, ..., n так, чтобы

величина f (ξ

)∆x

, а с ней и вся сумма

∑

∆ξ=σ

)(

, были сколь

угодно большими. Таким образом, не будет существовать конечного

предела интегральных сумм, т.е. функция f не является интегрируемой

на отрезке [a; b].

Следовательно, интегрируемая функция ограничена на

[a, b]. Теорема 1 доказана.

Условие ограниченности является необходимым, но не является

достаточным. Например, функция Дирихле (пример 2, Л. 37) являет-

ся ограниченной на любом отрезке, но не является интегрируемой.

. Достаточные условия интегрируемости.

Справедлива следующая

236

Теорема 2.

Если функция f непрерывна на отрезке [a; b], то она интегрируе-

ма на [a; b] .

Доказательство этой теоремы приводить не будем, так как оно дос-

таточно сложно.

Заметим лишь, что условие непрерывности функции является

достаточным условием, но не необходимым.

Можно показать, в частности, что если функция f ограничена на

отрезке [a; b] и имеет конечное число точек разрыва, то она также

интегрируема на отрезке [a; b]. Интегрируемыми являются и ограни-

ченные монотонные на отрезке [a; b] функции.

Например, функция f (x) =xcos

x+e

является интегрируемой

на любом отрезке [a; b], так как она непрерывна на R. Функция

f (x) = sign x (см. Л.23) является интегрируемой на отрезке

[–1; 1], так как только в точке х = 0 она имеет точку разрыва

1-го рода. Функция f (x) =

при x ∈(0; 1] и f (0) = 0 не является

интегрируемой на отрезке, потому что она не ограничена на [0; 1].

. Интеграл с переменным верхним пределом.

Существование первообразной для непрерывной функ-

ции. Важную роль в интегральном исчислении имеет связь между опре-

деленным и неопределенным интегралами. Перейдем к ее исследованию.

Пусть функция f является интегрируемой на отрезке [a; b]. Фик-

сируем произвольное x ∈[a; b].

Функция f будет интегрируемой на отрезке [a; x], т.е. существу-

ет интеграл

∫

dttf

)(

Теперь каждому x∈[a; b] поставим в соответствие число, равное

∫

dttf

)(

. Это означает, что на отрезке [a; b] будет определена функция

∫

dttfxF

)()(

. (1)

Функция F (x), определенная формулой (1), называется интегралом

с переменным верхним пределом. Его основное свойство описывается

следующей теоремой.

237

Теорема 3.

Если ф ункция f непрерывна на отре зке [a; b], то функция F, опреде ля-

емая формулой (1), является дифференцируе мой на [a; b], приче м

)())(()( xfdttfxF

′

∫

. (2)

Иначе говоря, производная от интеграла с переменным верхним

пределом равна значению подынтегральной функции в точке, равной

верхнему пределу.

Доказательство. Достаточно доказать, что существует

];[),(

)()(

lim

baxxf

xFxxF

∈=

∆

−∆+

→∆

Из определения функции F (x) и свойств интегралов следует:

∫∫∫

∆+∆+

+==∆+

dttfdttfdttfxxF

)()()()(

Значит,

∫∫∫∫

∆+∆+

=−+==−∆+

dttfdttfdttfdttfxFxxF

)()()()()()(

К полученному интегралу применим теорему о среднем значе-

нии. Будем иметь

F (x + ∆x)–F (x)=f (c)∆x,

где с – некоторая точка, заключенная между х и x + ∆x.

Тогда

)(

)()(

xFxxF

∆

−∆+

)()(lim

)()(

lim

xfcf

xFxxF

∆

−∆+

→∆→∆

так как при ∆x →0 имеем c

→

x и функция f непрерывна в точке

x ∈[a; b].

Теорема доказана.

Теорему 3 можно переформулировать следующим образом: если

функция f непрерывна на отрезке [a; b], то функция

∫

dttfxF

)()(

явля-

ется ее первообразной на [a; b]. Следовательно,

238

CxFdxxf +=

∫

)()(

. Формула Ньютона-Лейбница. Названная формула счита-

ется основной формулой интегра льного исчисления.

Теорема 4.

Если функция f(x) непрерывна на отрезке [a; b] и Ф(х) – какая-

либо ее первообразная, то справедлива формула Ньютона-Лейбница

)()()( abdxxf

Φ−Φ=

∫

. (3)

Таким образом, формула (3) сводит вычисление определенного

интеграла от непрерывной функции к вычислению разности значений

любой ее первообразной на верхнем и нижнем пределах интегрирования.

Доказательство теоремы 4. Пусть Φ(х) – какая-либо перво-

образная для непрерывной функции f на [a; b]. Тогда по теореме 3

функция

∫

dttfxF

)()(

также является первообразной для f на [a; b].

По теореме 1 из Л. 34 две любые первообразные для функции f могут

отличаться лишь на постоянную:

F (x) = Φ(x) +C, C – const, x ∈[a; b]. (4)

Положив в (4) х = а, получим

F (a) = Φ(a) +C.

Но, очевидно, F(a) = 0. Значит, C=–Φ(a).

Поэтому равенство (4) можно записать в виде

)()()( axdttf

Φ−Φ=

∫

Теперь положим здесь х =b и получим формулу Ньютона-Лейб-

ница (3).

Разность Φ(b) – Φ(а) принято обозначать

)(Φ

. Поэтому фор-

мулу Ньютона-Лейбница можно записать в виде:

xdxxf

)()( Φ=

∫

Пример 1. Вычислить следующие определенные интегралы:

239

а)

∫

2sin

dxx

; б)

∫

dxxe

; в)

∫

−

Решение. а) Одной из первообразных для функции f (x) = sin 2x

является функция

()

xx 2cos

−=Φ

Поэтому, применяя формулу Ньютона-Лейбница, имеем:

а)

)0cos

(cos

2cos

2sin

=−

−=−=

∫

xdxx

;

б)

)1(

−==

∫

eedxxe

;

в)

0arctg1arctg)1(arctg

1)1(22

=−=+=

−

−−

∫∫

. Замена переменной и интегрирование по час-

тям в определенном интеграле.

Теорема 5.

Пусть функция f(x) непрерывна на отрезке [a; b], а функция

x=ϕ(t) имеет непрерывную производную на отрезке [

;

], причем

отрезок [a; b] является множеством значений функции x=ϕ(t) и

ϕ(

) = a, ϕ(

) = b. Тогда справедлива формула

∫∫

′

ϕ=

dtttfdxxf

)())(()(

. (5)

Формула (5) называется формулой замены переменной в опреде-

ленном интеграле.

Доказательство. Пусть F – первообразная для функции f, т.е.

)()( xfxF =

′

, x∈[a; b].

Тогда имеем:

)()()( aFbFdxxf

−=

∫

. (6)

240

Положим G (t) =F(ϕ(t)). По правилу дифференцирования сложной

функции получим, что

)())(()())(()( ttfttFtG ϕ

′

ϕ=ϕ

′

Следовательно, функция G (t) есть первообразная для функции

)())(( ttf ϕ

′

на отрезке [α; β], и по формуле Ньютона-Лейбница найдем:

)()())(())(()()()())(( aFbFFFGGdtttf −=αϕ−βϕ=α−β=ϕ

′

∫

. (7)

Правые части равенств (6) и (7) совпадают. Сравнивая их левые час-

ти, получим формулу (5).

Теорема 6.

Если функции u=u(x) и v=v(x) имеют непрерывные производные

на отрезке [a; b], то справедлива формула:

∫∫

−=

duudu

vvv

. (8)

Доказательство. Очевидно, функция u(x)v(x) является перво-

образной для функции

)()()()( xxuxux

′

)()()()())()(( xxuxuxxxu

vvv

′

. Cледовательно,

xxudxxxuxux

))()(())()()()((

vvv

′

∫

′

или

∫∫

′

−=

′

dxxuxxxudxxxu

)()())()(()()(

vvv

Так как

dudxxu =

′

)(

ddxx =

′

)(

, то эту формулу можно запи-

сать в виде (8).

Формулу (8) называют формулой интегрирования по частям в

определенном интеграле.

Пример 2. Найти интеграл

∫

−

Решение. Воспользуемся формулой замены переменной. По-

ложим x=sin t, dx = cos tdt. Очевидно, sin 0 = 0,

sin =

. Отрезок [0; 1]

является множеством значений функции x=sin t, t ∈[0;

]. По форму-

ле (5) получим: