Минюк С.А., Ровба Е.А. Высшая математика
Подождите немного. Документ загружается.
211
3
0
. Приведем таблицу основных интегралов. Часть
формул этой т аблицы является непо средственным следствием из
определения неопределенных интегралов и таблицы производных.
Другую часть формул проверим ниже.
1.
C
a
x
dxx
a
a
+
+
=
+
∫
1
1
,
1
−≠
a
.
2.
Cx
x
dx
+=
∫
ln
.
3.
1,0,
ln
≠>+=
∫
aaC
a
a
dxa
x
x
.
4.
Cedxe
xx
+=
∫
.
5.
Cxdxx +−=
∫
cossin
.
6.
Cxdxx +=
∫
sincos
.
7.
Cx
x
dx
+=
∫
tg
cos
2
.
8.
Cx
x
dx
+−=
∫
ctg
sin
2
.
9.
0;
1
22
≠+=
+
∫
aC
a
x
a
xa
dx
arctg
.
10.
0;
22
≠+=
−
∫
aC
a
x
xa
dx
arcsin
.
11.
0,ln
2
1
22
≠+
+
−
=
−
∫
aC
ax
ax
a
ax
dx
.
12.
0,ln
22
22
≠+−+=
−
∫
aCaxx
ax
dx
.
13.
0,ln
22
22
≠+++=
+
∫
aCaxx
ax
dx
.
Проверим, например, справедливость 11 и 12. Имеем:
212
=
−
+
⋅
+
−−+
=
+
−
′
+
−
=
′
+
+
−
ax
ax
ax
axax
aax
ax
ax
ax
a
C
ax
ax
a
2
)(
)(
2
1
2
1
ln
2
1
0,
2
2
1
22
≠
−
= a
ax
a
a
;
2222
22
22
22
22
11
ln
axaxx
axx
axx
axx
Caxx
−
=
−+
−+
=
−+
′
−+
=
′
+−+
.
Используя свойства неопределенных интегралов и таблицу
основных интегралов, можно интегрировать некоторые элементар-
ные функции. Такое вычисление неопределенных интегралов называется
непосредственным интегрированием.
Пример 2. Найти следующие интегралы:
а)
∫
−
dx
x
xx
2
3
2
; б)
∫
−
dx
x
xx
nm
2
)(
; в)
∫
dxx
2
ctg
.
Решение. Имеем:
а)
∫∫∫∫∫
−=−=
−
−
dxxdxxdx
x
x
dx
x
x
dx
x
xx
2
22
2
3
2
3
22
3
.
Здесь мы применили свойства 4) и 5) неопределенного интегра-
ла. Воспользуемся формулой 1 из таблицы основных интегралов:
=
+−+
+−
=
−
+−
∫
2
2
1
1
2
3
2
3
2
2
1
2
3
2
C
x
C
x
dx
x
xx
Cx
x
CCx
x
+−
−
=−+−
−
=
−
2
21
2
2
1
2
2
2
1
.
Часто, имея сумму нескольких неопределенных интегралов, не
выписывают все произвольные постоянные, а обозначают их одной.
б) Поступая аналогично, как в примере а), получим
∫∫∫
=
+−=
+−
=
−
−−+−
+
dxxxxdx
x
xxx
dx
x
xx
nnmm
nnmmnm
2
1
2
2
1
2
1
2
222
2
2)(
213
=+−=
∫∫∫
−−+−
dxxdxxdxx
nnmm
2
1
2
2
1
2
1
2
2
=+
+
+
++
−
+
=
++++
Cx
n
x
nm
x
m
nnmm
2
1
2
2
1
2
1
2
2
1
2
1
2
1
1
2
2
1
2
1
Cx
n
x
nm
x
m
x
nnmm
+
+
+
++
−
+
=
+
22
14
1
122
2
14
1
2
.
в) Имеем
∫∫∫∫
=
−=
−
==
dx
x
dx
x
x
dx
x
x
dxx 1
sin
1
sin
sin1
sin
cos
ctg
22
2
2
2
2
∫∫
++−=−=
Cxxdx
x
dx
ctg
sin
2
.
В следующей лекции мы познакомимся с другими методами ин-
тегрирования.
Здесь заметим лишь, что в Л.27 отмечалось, что операция диффе-
ренцирования не выводит из класса элементарных функций, а именно,
производная элементарной функции снова есть элементарная функция.
Иначе обстоит дело с интегрированием. Суще ствуют элементарные фун-
кции, первообразная которых не выражается через элементарные фун-
кции. Такими являются, например, интегралы
∫
−
dxe
x
2
,
∫
dxx
2
cos
,
∫
dxx
2
sin
,
∫
dx
x
xsin
,
∫
dx
x
xcos
и др.
! Задания для самостоятельной работы
1. Найти интегралы:
а)
∫
−
dxx
32
)3(
; б)
∫
++
−
dx
x
xx
3
44
2
; в )
∫
−
+
dx
x
x
1
3
2
2
;
г)
∫
−+
−
dx
xx
)52(
11
; д)
∫
+
dx
xx
2
)32(
; е)
∫
dxx
2
tg
; ж)
∫
−
2
8
x
dx
.
214
Лекция 35
Методы интегрирования. Интегрирование
простейших рациональных дробей
Рассматриваются метод замены переменной инте-
грирования и интегрирование по частям. Изучается инте-
грирование простейших рациональных дробей.
1
0
. Метод замены переменной интегрирования.
Часто под знаком интеграла может оказаться функция, для которой
не имеется табличного интеграла и непосредственное интегрирование
невозможно. Тогда применяются другие методы интегрирования, в
частности, метод замены переменной.
Теорема 1.
Пусть функция x=ϕ(t) определена и дифференцируема на про-
межутке Т и Х – множество ее значений. Пусть функция у = f(х)
определена на множестве Х и имеет на этом промежутке первооб-
разную. Тогда справедлива формула
()
∫∫
ϕ
′
ϕ=
ϕ=
dtttfdxxf
tx
)()()(
)(
. (1)
Формула (1) называет ся формулой замены переменной в неопреде-
ленном интеграле. Естественно, что ее целесообразно применять, удачно
выбрав замену x=ϕ(t) в том случае, когда в ре зультате в правой части
получается более простой интеграл.
Доказательство. Пусть функция F (х) является первообразной
для функции f (x). Тогда имеем:
() ()
CtFCxFdxxf
tx
tx
+ϕ=+=
ϕ=
ϕ=
∫
)()()(
)(
)(
. (2)
С другой стороны, рассмотрим на промежутке Т сложную функ-
цию F (ϕ(t)). Очевидно,
()
)()()()())(( txftxFtF
ϕ
′
=ϕ
′′
=
′
ϕ
и
() ()
CtFdtttf
+ϕ=ϕ
′
ϕ
∫
)()()(
. (3)
Сравнивая правые части формул (2) и (3), получаем формулу
(1).
215
Пример 1. Вычислить интеграл
∫
x
dx
x
5
ln
.
Решение. В таблице основных интегралов этот интеграл отсут-
ствует. Поэтому в данном случае постараемся подобрать подходящую
замену переменной, чтобы прийти к та бличному интегралу. Положим
ln x=t , т.е. x=e
t
.
Тогда
dtedteeddx
ttt
=
′
== )()(
, и по формуле (1) имеем:
C
t
dttdte
e
t
x
dx
x
t
t
+==⋅=
∫∫∫
6
1
ln
6
555
.
Перейдем обратно к переменной х:
C
x
x
dx
x +=
∫
6
ln
ln
6
5
.
Отметим, что иногда, как в этом примере, первоначально удобно
задавать не х как функцию t, а, наоборот, задавать t как функцию х.
Теперь приведем несколько другой подход к решению этого при-
мера. Заметив, что
)(ln
1
′
= x
x
, получим:
Cxxdxdxxx
x
dx
x +==
′
=
∫∫∫
6555
)(ln
6
1
lnln)(lnlnln
.
На последнем шаге мы неявно воспользовались заменой
ln x=t. Безусловно, интегрирование с помощью замены переменной
часто является непростым делом и требует определенных навыков.
Пример 2. Показать, что если F есть первообразная для
функции f, то
0,,,)(
1
)( ≠∈++=+
∫
aRbaCbaxF
a
dxbaxf
.
Решение. В рассматриваемом интеграле сделаем замену:
ax+b=t,
bt
a
x −=
1
,
dt
a
dx
1
=
и
()
CbaxF
a
CtF
a
dttf
a
dt
a
tfdxbaxf
++=+===+
∫∫∫
)(
1
)(
1
)(
11
)()(
1
.
В данном случае можно поступить и так:
216
=
′
++=+
∫∫
dxbax
a
baxfdxbaxf )(
1
)()(
CbaxF
a
baxdbaxf
a
++=++=
∫
)(
1
)()(
1
.
2
0
. Интегрирование по частям.
Теорема 2.
Пусть функции u = u(x) и v = v(x) дифференцируемы на промежут-
ке Х и пусть существует
∫
′
dx(x)u(x)v
. Tогда
∫
′
dxu(x)(x)v
также
существует и справедлива формула:
∫∫
′
−⋅=
′
dx(x)u(x)(x)u(x)dx(x)u(x) vvv
. (4)
Доказательство. По правилу дифференцирования произ-
ведения имеем:
)()()()())()(( xxuxxuxxu vvv
′
+
′
=
′
.
Отсюда получим:
)()())()(()()( xxuxxuxxu vvv
′
−
′
=
′
. (5)
Первообразной для функции
))()((
′
xxu v
является функция
u(x)v(x). По условию теоремы функция
)()( xxu v
′
также имеет перво-
образную. Тогда и левая часть равенства (5), функция
)()( xxu v
′
, имеют первообразную, причем,
[]
=
′
−
′
=
′
∫∫
dxxxuxxudxxxu )()())()(()()( vvv
∫∫∫
′
−=
′
−
′
=
dxxxuxxudxxxudxxxu )()()()()()())()(( vvvv
.
Учитывая, что
dudxxu =
′
)(
и
vv ddxx =
′
)(
, формулу (4) можно
записать в виде:
∫∫
−⋅=
duuud vvv
. (6)
Пример 3. Найти интеграл
∫
dxxe
x
.
Решение. Основная трудно сть применения интегрирования по
частям состоит в правильном выборе функций u и v, т.е. в таком
выборе, чтобы интеграл справа в формуле (4) или (6) оказался проще,
217
чем интеграл слева. Так в данном случае удобно положить х =u, а
e
x
dx = dv. Найдем функцию v (точнее, одну из функций v):
xx
edxed
==
∫∫
vv ,
.
Применяя формулу (6), находим:
Cexedxexedexdxxe
xxxxxx
+−=−==
∫∫∫
.
При наличии определенных навыков интегрирования по частям
можно не выписывать функции u и v, а только подразумевать их.
Например,
Cexedxexedexdxexdxxe
xxxxxxx
+−=−==
′
=
∫∫∫∫
)(
.
3
0
. Интегрирование простейших рациональных дро-
бей. С помощью приведенных выше методов можно найти следую-
щие неопределенные интегралы:
1)
∫
−
ax
dx
;2)
N∈>
−
∫
kk
ax
dx
k
,1,
)(
;3)
∫
++
+
dx
qpxx
NMx
2
2
;
4)
N∈>
++
+
∫
kkdx
qpxx
NMx
k
,1,
)2(
2
.
В интегралах 3) и 4) считаем, что p
2
–q<0, т.е. многочлен
x
2
+ 2px + q не имеет действительных корней.
Подынтегральные функции этих интегралов называют простей-
шими рациональными дробями.
Очевидно, что
()
Caxdxax
ax
dx
+−=
′
−=
−
∫∫
lnln
,
(7)
∫∫
−−=
−
−
)()(
)(
axdax
ax
dx
k
k
.
Мы воспользовались тем, что
dxdxaxaxd =
′
−=− )()(
.
Если теперь применить табличный интеграл для степенной функ-
ции, то получим
=+−
−
−=−−=
−
+−−
∫∫
Cax
k
axdax
ax
dx
kk
k
1
)(
1
1
)()(
)(
(8)
1,
)(
1
1
1
1
>+
−
−
−=
−
kC
ax
k
k
.
218
Обратимся к интегралу 3). Выделим в т рехчлене x
2
+px+q полный
квадрат:
x
2
+ 2px + q = (x+p)
2
+q–p
2
= (x+p)
2
+h
2
,
где h
2
=q–p
2
> 0 (считаем h>0) . Тогда в интеграле 3) сделаем замену
x + p = t, x = t – p, dx = dt и получим:
=
+
−+
+
=
+
+−
=
++
+
∫∫∫∫
2222222
)(
)(
2
ht
dt
MpN
ht
tdt
Mdt
ht
NptM
dx
qpxx
NMx
=
+
−+
+
′
+
=
∫∫
2
222
22
1
1
)(
)(
2
h
t
h
t
d
h
MpN
ht
dthtM
=+−++= C
h
t
h
MpNht
M
arctg
1
)(ln
2
22
C
pq
px
pq
MpN
qpxx
M
+
−
+
−
−
+++=
22
2
arctg2ln
2
. (9)
Несколько сложнее вычисляется интеграл 4). Не будем приво-
дить здесь соответствующее решение. Этот результат можно найти, в
частности, в различных справочниках с расширенной таблицей ин-
тегралов. Заметим лишь, что и интеграл 4) выражается через про-
стейшие рациональные дроби, логарифмы и арктангенсы.
Пример 4. Найти интеграл
∫
++
52
2
xx
dx
.
Решение. Можно воспользоваться формулой (9), положив
М = 0, N = 1, p = 1, q = 5. Однако проще непосредственно интегриро-
вать, используя аналогичные приемы.
Выделим полный квадрат и получим
∫∫
++
=
++
4)1(52
22
x
dx
xx
dx
.
Сделаем замену x+1 = t, x = t – 1, dx = dt. Имеем
C
x
C
t
t
td
t
dt
xx
dx
+
+
=+=
+
=
+
=
++
∫∫∫
2
1
arctg
2
1
2
arctg
2
1
)2/(1
)2/(
2
1
452
222
.
Пример 5. Найти интеграл
∫
+−
106
2
2
xx
dxx
.
219
Решение. Имеем:
∫∫∫
=
+−
−
+=
+−
−++−
=
+−
dx
xx
x
dx
xx
xxx
xx
dxx
106
106
1
106
)106()106(
106
22
2
2
2
∫∫∫
=
+−
+−
+=
+−
−
+=
dx
xx
x
xdx
xx
x
dx
106
3/8)62(
3
106
53
2
22
=
+−
+
+−
′
+−
+=
∫∫
1)3(
8
106
)106(
3
22
2
x
dx
xx
dxxx
x
Cxxxx +−++−+= )3(arctg8)106ln(3
2
.
! Задания для самостоятельной работы
1. Найти следующие интегралы, воспользовавшись указанной
заменой переменной:
а)
t
x
xx
dx 1
,
4
2
=
−
∫
; б)
2,
2
+=
+
∫
xtdx
x
x
.
2. Применяя подходящие подстановки, найти интегралы:
а)
∫
+
12xx
dx
; б)
∫
dx
x
x
sin
cos
3
; в)
∫
−
dx
x
x
2
2
1
)(arccos
.
3. Применяя формулу интегрирования по частям, найти следу-
ющие интегралы:
а)
∫
dxxarctg
; б)
∫
dxxx sin
; в)
∫
dxex
x
2
;
г)
∫
dxxx 3arctg
; д)
∫
dxxx 2ln
2
.
4. Применяя различные методы, найти следующие интегралы:
а)
∫
dxe
x
; б)
∫
+−
dxxxx ln)52(
2
; в)
∫
+−
123
2
xx
dx
;
г)
∫
dxxx 3arctg
2
; д)
∫
++
−
dx
xx
x
43
)1(
2
2
; е)
∫
−
dxxa
22
.
220
Лекция 36
Интегрирование рациональных,
иррациональных и трансцендентных функций
Рассматриваются простейшие методы интегрирования
рациональных функций и функций вида
+
+
n
dcx
bax
xR
,
,
вида
++ cbxaxxR
2
,
, вида
()
cosxsinx,R
, где R(u, v) –
рациональная функция переменных u и v.
1
0
. Интегрирование рациональных функций. Позна-
комимся с методами интегрирования рациональных функций, т.е.
функций вида
()
()
xQ
xP
, где P и Q – алгебраические многочлены :
P(x) =a
0
x
m
+a
1
x
m–1
+ ... + a
m–1
x+a
m
,
Q(x) =b
0
x
n
+b
1
x
n–1
+ ... + b
n–1
x+b
n
.
Если m<n, то функция
()
()
xQ
xP
называется правильной рациональной
функцией, если же m ≥n, то – неправильной рациональной функцией.
В случае неправильной рациональной функции производят деление и
получают
)(
)(
)(
)(
)(
1
xQ
xP
xS
xQ
xP
+=
,
где S(x) – некоторый многочлен и
()
()
xQ
xP
1
– правильная рациональная
функция.
Например,
1
1
2
1
122)(
1
12
22
23
2
23
+
−+=
+
−+++
=
+
+++
x
x
x
xxx
x
xxx
.
Поэтому в дальнейшем будем полагать, что
()
()
xQ
xP
есть пра-
вильная рациональная функция.
Можно доказать, что любой многочлен можно преобразовать к
произведению простейших многочленов, а именно: