Минюк С.А., Ровба Е.А. Высшая математика
Подождите немного. Документ загружается.
341
ся дикритическим (для а >0 см. рис. 2). Если λ
1
= λ
2
, ранг матрицы
λ−
λ−
2
1
dc
ba
равен 1, то узел называется вырожденным (в случае
0
21
>λ=λ
см. рис. 3).
Если корни уравнения (3) действительные числа и λ
1
λ
2
< 0, то поло-
жение равнов есия – седло (рис. 4). Если корни уравнения (3) ко мплексно-
сопряженные, т.е. λ
1,2
= α± i β, то положение равновесия – фокус при α≠0
(рис. 5) и центр при α=0 (рис. 6).
Чтобы по строить фазовые кривые системы (2) на пло с ко сти Oxy
в случае узла, седла и вырожденного узла, нужно прежде всего найти
те фазовые кривые, которые лежат на прямых, проходящих чере з нача-
ло координат. Эти прямые все гда направлены вдоль собственных век-
торов матрицы А. В случае узла фазовые кривые касаются той пря-
Рис. 1 Рис. 2 Рис. 3
Рис. 4 Рис. 5
342
мой, которая направлена вдоль собственного вектора, соответству ю-
щего меньшему по абсолютной величине значению λ.
В случае особой точки типа фокус надо определить направление
закручивания траекторий. Для этого надо, во-первых, исследовать устой-
чивость этой точки по знаку Re λ, и, во-вторых, определить, в каком на-
правлении вокруг особой точки происходит движение по траекториям.
Для этого достаточно построить в как ой-нибудь точке col(х; у) вектор ско-
рости col
dt
dy
dt
dx
;
, определяемый системой (2).
Аналогично исследуется направление движения в случае вырож-
денного узла.
Пример 1. Исследовать поведение фазовых кривых системы урав-
нений
yx
dt
dx
23 +−=
,
yx
dt
dy
4−=
. Сделать схематический чертеж.
Решение. Составим и решим характеристическое уравнение:
0
41
23
=
λ−−
λ−−
,
0107
2
=+λ+λ
,
2
1
−=λ
,
5
2
−=λ
.
Корни х арактеристического уравнения действительные и отрицатель-
ные; следовательно, положение равновесия – устойчивый узел.
Прямые, содержащие фазовые кривые системы, ищем в виде y = kx.
Подставляя y = kx в уравнение
yx
yx
dx
dy
23
4
+−
−
=
, получим уравнения для
определения k:
k
k
k
23
41
+−
−
=
, 2k
2
+ k – 1 =0, k
1
=–1, k
2
=
2
1
.
Рис. 6
343
Значит, у = – х и y=
2
x
– искомые прямые. Остальные фазовые кри-
вые – части парабол, касающихся в нач але координат прямой y=
2
x
. Tо,
что эти параболы касаются именно прямой y=
2
x
, следует из того, что
собственный вектор col(2; 1) матрицы коэффициентов данной системы,
соответствующий собственному числу λ
1
= – 2, параллелен прямой
y=
2
x
(рис. 7).
Пример 2. Определить тип положения равновесия системы
y
dt
dx
2=
,
yx
dt
dy
32 +=
и исследовать поведение фазовых кривых.
Решение. Составим и решим характеристическое уравнение:
0
32
2
=
λ−
λ−
,
043
2
=−λ−λ
, λ
1
=–1, λ
2
=4.
Корни характеристического уравнения действительны и имеют
разные знаки, следовательно, положение равновесия – седло. Найдем
сепаратрисы седла, т.е. прямые, разделяющие гиперболы разных ти-
пов, которые являются фазовыми кривыми системы.
Ищем их в виде y = kx. Для определения k имеем уравнение
k =
k
k
2
32 +
, 2k
2
–3k –2=0, k
1
=
2
1
−
, k
2
=2.
Следовательно, y =
2
x
−
и y =2x – искомые прямые. Каждая из
них состоит из трех фазовых кривых. На прямой y =
2
x
−
исходная
система принимает вид
xx
−=
′
,
yy −=
′
. Значит, вдоль прямой
y =
2
x
−
фазовая точка col(x(t); y(t)) движется по закону x(t)=x
0
e
–t
,
y(t)=y
0
e
–t
, т.е. движение точки с ростом t происходит по направле-
нию к началу координат. Аналогично определяем направление движения
вдоль прямой y =2x. Используя полученную информацию, схематически
изображаем фазовые кривые исходной системы и указываем направле-
ние движения по этим кривым (рис. 8).
344
Пример 3. Исследовать поведение фазовых кривых системы урав-
нений
yx
dt
dx
+α=
,
yx
dt
dy
α+−=
, где
R∈α
.
Решение. Характеристическое уравнение
0
1
1
=
λ−α−
λ−α
,
012
22
=+α+αλ−λ
имеет комплек сные корни λ
1,2
= α± i. Если α= 0, то положение равнов есия
– центр. В этом случае исходная система имеет вид
yx −=
′
,
xy −=
′
, и находим, что x
2
+ y
2
= c
2
, т.е. фазовые кривые –
окружности радиуса |c | >0 с центром в точке О(0; 0) и сама точка О
(рис. 9). При α≠0 положение равновесия – фокус, причем устойчивый,
если α< 0, и неустойчивый, если α> 0. В этом случае фазовые кри-
вые – спирали, наматывающиеся на точку О(0; 0).
Движение фазовой точки по этим спиралям происходит в направ-
лении к положению равновесия, если α<0 (рис. 10), и от него, если
α>0 (рис. 11).
2
0
. Исследование положения равновесия системы
(1). Для исследования положения равновесия общей системы (1) надо
перенести начало координат в исследуемое положение равновесия и
разложить функции f (x, y) и g(x, y) в окрестности этой точки по формуле
Тейлора, ограничиваясь членами первого порядка. Тогда система (1) (см.
Л. 54) примет вид:
Рис. 7
Рис. 8
345
),(
1
yxRbyax
dt
dx
++=
,
),(
2
yxRdycx
dt
dy
++=
. (4)
Если вещественные части корней х арактеристическог о уравнения (3)
отличны от нуля, то положение равновесия х = у =0 системы (1) имеет тот
же тип, что и положение равновесия системы (2), получаемой из (4) при
R
1
(x, y)=0, R
2
(x, y)=0.
Пример 4. Исследовать положения равновесия системы уравне-
ний:
x
dt
dx
sin=
,
y
dt
dy
sin=
.
Решение. Правые части этой системы уравнений периодичны по
х и у с периодом 2π, поэтому достаточно исследовать систему в квад-
рате
K ={(x, y): 0≤x <2π , 0 ≤y <2π}.
Этот квадрат содержит четыре положения равновесия системы
O(0; 0), O
1
(0; π), O
2
(π; 0), O
3
(π; π). Составляем и решаем характеристи-
ческое уравнение, соответствующее положению равновесия col(x
0
; y
0
):
0
cos0
0cos
0
0
=
λ−
λ−
y
x
,
01
cos
x=λ
,
02
cos
y=λ
.
Значит, положения равновесия O и O
3
– узлы, причем О – неус-
тойчивый, а O
3
– устойчивый узел. Корни характеристического урав-
нения, соответствующего точкам O
1
и O
2
, действительны и имеют раз-
ные знаки, т.е. O
1
и O
2
– седла. Поведение фазовых кривых изображено на
рис. 12.
Рис. 9 Рис. 10 Рис. 11
346
! Задания для самостоятельной работы
1. Исследовать поведение фазовых кривых систем уравнений:
а)
−=
+−=
;4
,23
yx
dt
dy
yx
dt
dx
б)
+=
−−=
;22
,52
yx
dt
dy
yx
dt
dx
в )
+=
−=
;43
,2
yx
dt
dy
yx
dt
dx
г)
−=
−=
.32
,2
yx
dt
dy
yx
dt
dx
2. Выяснить типы положений равновесия систем уравнений:
а)
−+−=
−=
;824
,4
22
xyx
dt
dy
yx
dt
dx
б)
−+=
−−=
.2
,)(2
2
yx
dt
dy
yyx
dt
dx
Рис. 12
347
Лекция 56
Числовые ряды
Вводится понятие числового ряда. Исследуются признаки
сходимости числовых рядов.
1
0
. Понятие числового ряда. Пусть {a
n
} – числовая
последовательность a
n
∈R, n ∈N.
Выражение вида
∑
∞
=
=+++++
1
321
......
n
nn
aaaaa
(1)
называется числовым рядом. Числа a
1
, a
2
, a
3
, ..., a
n
, ... называются
членами ряда, а a
n
– n-ым или общим членом ряда (1).
Сумма первых n членов ряда (1) называется n-ой частичной сум-
мой данного ряда и обозначается S
n
,
∑
=
=++++=
n
k
knn
aaaaaS
1
321
...
.
Будем иметь
S
1
= a
1
, S
2
= a
1
+ a
2
, S
3
= a
1
+ a
2
+ a
3
, ... , S
n
= a
1
+ a
2
+ ... + a
n
, ... .
Получим последовательность частичных сумм ряда (1)
S
1
, S
2
, ... , S
n
, ... .
Если последовательность частичных сумм {S
n
} имеет конечный
предел S, то числовой ряд (1) называется сходящимся и число S назы-
вается суммой ряда (1 ),
S = a
1
+ a
2
+ ... + a
n
+... или
∑
∞
=
=
1n
n
aS
.
Если же предел последовательности {S
n
}не существует или бес-
конечен, то ряд (1) называется расходящимся.
Пример 1. Исследовать на сходимость ряд:
1 + q + q
2
+ ... + q
n
+ ..., q∈R.
Решение. Составим n-ую частичную сумму
S
n
= 1 + q + q
2
+... + q
n–1
.
Легко найти, что
q
q
S
n
n
−
−
=
1
1
,
1≠q
,
348
и
)1(lim
1
1
1
1
limlim
n
n
n
n
n
n
q
qq
q
S
−
−
=
−
−
=
∞→∞→∞→
.
Если
1<q
,
1)1(lim =−
∞→
n
n
q
и
q
SS
n
n
−
==
∞→
1
1
lim
, т.е.
q
qqq
n
−
=+++++
1
1
......1
2
,
1<q
.
Мы получаем известную формулу суммы бесконечной геомет-
рической прогрессии.
Если
1>q
или q = 1, то, очевидно, последовательность {S
n
}
является ББП, если же q =–1, то предел {S
n
} не существует.
Выражение вида
∑
∞
+=
++
=++
1
21
...
ik
kii
aaa
(2)
также представляет собой ряд, и он называется i-ым остатком ряда (1)
(обозначается r
i
).
Теорема 1.
Числовой ряд и любой его остаток сходятся или расходятся
одновременно.
Доказательство. По определению n-ая частичная сумма ряда (1)
S
n
= a
1
+ a
2
+ ... + a
n
,
а m-ая частичная сумма ряда (2)
miiim
aaa
+++
+++=σ
...
21
.
Следовательно,
imim
SS
−=σ
+
.
Так как i фиксировано, то предел {σ
m
} существует тогда и толь-
ко тогда, когда существует
mi
m
S
+
∞→
lim
, т.е. имеет предел последова-
тельность S
1
, S
2
, ... , S
n
, ... . Теорема доказана.
Из этой теоремы следует, что сходимость не нарушается, если
изменить конечное число его членов.
Заметим также, что если ряд (1) сходится, то
∑∑
∞
+==
+=
11 nk
k
n
k
k
aaS
или S = S
n
+ r
n
, (3)
где S
n
– частичная сумма ряда (1), r
n
– его n-ый остаток.
349
Теорема 2.
Если ряд
∑
∞
=
1n
n
a
сходится, то сходится ряд
∑
∞
=
1n
n
ka
,
const
=
k
и
∑
∞
=
=
1n
k
kakS
. Если же сходятся ряды
∑
∞
=
1n
n
a
и
∑
∞
=
1n
n
b
и их сумма равна S
и σ соответственно, то сходится ряд
∑
∞
=
±
1
)(
n
nn
ba
, и его сумма равна
σ±S
.
Докажем, например, второе утверждение. Пусть
∑
=
=
n
k
kn
aS
1
и
∑
=σ
=
n
k
kn
b
1
. Тогда:
=±=±=±
∑∑∑∑
=
∞→
=
∞→
=
∞→
∞
=
n
k
k
n
n
k
k
n
n
k
kk
n
n
nn
bababa
1111
limlim)(lim)(
σ+=σ±=
∞→∞→
SS
n
n
n
n
limlim
.
Подчеркнем, что утверждение, обратное только что доказанно-
му, вообще говоря, неверно. Например, ряд
∑
∞
=
−
1
)11(
n
сходится, а ряды
∑
∞
=
1
1
n
,
∑
∞
=
−
1
)1(
n
расходятся.
2
0
. Необходимое условие сходимости числового
ряда. Исследование сходимости ряда является важнейшей задачей
теории числовых рядов.
Теорема 3 (необходимое условие).
Если ряд
∑
∞
=
1n
n
a
сходится, то
0lim =
∞→
n
n
a
. (4)
Доказательство. Пусть ряд
∑
∞
=
1n
n
a
сходится. Тогда
SS
n
n
=
∞→
lim
.
Очевидно,
nnn
aSS
=−
−
1
и
0limlimlim
1
=−=−=
−
∞→∞→∞→
SSSSa
n
n
n
n
n
n
.
Теорема доказана.
350
Итак, если ряд сх о дится, то его общий член стремится к ну лю при n→∞.
Отсю да сле ду ет, что если
0lim ≠
∞→
n
n
a
или не с ущес т вует, то ряд
∑
∞
=
1n
n
a
рас хо-
дится. О днако подчеркнем, что условие (4) не является достаточным, т.е. если
оно выполняется, то эт о не означает, что ряд сходится.
Пример 2. Исследовать на сходимость ряд
∑
∞+
=
=+++++
1
1
...
1
...
3
1
2
1
1
n
nn
, (5)
называемый гармоническим.
Решение. Очевидно, необходимое условие сходимости число-
вых рядов выполняется
0
1
lim =
∞→
n
n
. Однако это ряд расходится. Дей-
ствительно, предположим противное. Пусть ряд (5) сходится и
SS
n
n
=
∞→
lim
. Тогда:
0limlim)(lim
22
=−=−=−
∞→∞→∞→
SSSSSS
n
n
n
n
nn
n
. (6)
С другой стороны,
2
1
2
1
2
1
...
2
1
1
1
2
=≥++
+
+
+
=−
n
n
nnn
SS
nn
,
что противоречит (6). Таким образом, гармонический ряд расхо-
дится.
Пример 3. Исследовать сходимость ряда
∑
∞
=
1
1
sin
n
n
n
. (7)
Решение. Проверим выполнение необходимого условия,
01
1
1
sin
lim
1
sinlim ≠==
∞→∞→
n
n
n
n
nn
, т.е. ряд (7) расходится.
3
0
. Достаточные условия сходимости. Вначале доста-
точные условия сходимости будем искать для рядов с неотрицатель-
ными членами, т.е. будем рассматривать ряды: