Минюк С.А., Ровба Е.А. Высшая математика

Подождите немного. Документ загружается.

351

∑

∞+

, a

≥0, n ∈N. (8)

Теорема 4.

Для того, чтобы ряд (8) сходился, необходимо и достаточно, что-

бы последовательность его частичных сумм была ограниченной.

Докажем, например, достаточность. Пусть последовательность

{}

ограничена. Заметим, что

nnnn

SaSS

≥+=

, n ∈N, так как a

≥0, т.е.

{}

– неубывающая и ограничена. Тогда по теореме из Л.22 она имеет

предел.

Теорема 5 (признак сравнения).

Пусть даны два ряда с неотрицательными членами

)(

∑

∞

)(

∑

∞

и пусть

∀n ∈N a

≤b

Тогда из сходимости ряда (В) следует сходимость ряда (А), а

из расходимости ряда (А) – расходимость ряда В.

Образно говоря, признак сравнения свидетельствует о том, если

сходится некоторый ряд с неотрицательными членами, то ряд с мень-

шими неотрицательными членами также сходится. Наоборот, если ряд

с неотрицательными членами расходится, то ряд с большими неотри-

цательными членами также расходится.

Пример 4. Исследовать сходимость ряда

∑

∞

, 0 < p < 1.

Решение. Применим признак сравнения, воспользовавшись тем,

что гармонический ряд (см. пример 2) расходится. Очевидно,

≥

, ∀n ∈N, 0 < p ≤1,

ряд

∑

∞

расходится. Поэтому расходится и ряд

∑

∞

, 0 < p < 1.

352

Заметим, что можно показать, что этот ряд

∑

∞

при р >1 сходится.

Это объясняется тем, что при р>1 общий член

стремится к нулю

достаточно быстро.

Теорема 6 (признак Даламбера).

Пусть дан ряд с неотрицательными числами

∑

∞

и существует

предел

∞→

lim

. Тогда, если q<1, то ряд сходится, если q>1, то

ряд расходится. Если q=1, то ряд может сходиться, а может и

расходиться.

Доказательство. Пусть q < 1. Выберем число ε>0 так, чтобы

q + ε< 1. Тогда по определению предела последовательности ∃

∈

ΝΝ

такой, что ∀n > N

ε<−

или

ε+<<ε−

. Таким образом,

∀n > N

имеем

aqa

)(

ε+<

. Отсюда получим:

)(

ε+<

aqa

000

)()(

+++

ε+<ε+<

NNN

aqaqa

000

)()(

+++

ε+<ε+<

NNN

aqaqa

и т.д.

Ряд

...)()()(

000

+ε++ε++ε+

+++

NNN

aqaqaq

сходится, так как

q + ε∈(0, 1). Следовательно, по признаку сравнения сходится и ряд

∑

∞

, а с ним и ряд

∑

∞+

(применим теорему 1).

Случай q > 1 рассматривается аналогично. Если же q = 1, то мож-

но привести примеры и сходящихся, и расходящихся рядов.

Приведем без доказательства еще один признак.

Теорема 7 (признак Коши).

Пусть дан ряд

∑

∞

с неотрицательными членами и существует

предел

∞→

lim

. Тогда, если q<1, то ряд сходится, если q>1, то

ряд расходится. Если q=1, то ряд может сходиться, а может и

расходиться.

353

Пример 5. Исследовать сходимость следующих рядов:

а)

∑

∞

; б)

∑

∞













Решение. а) Применим признак Даламбера. Имеем:

)!1(

lim

)!1(

limlim

∞→

Ряд сходится.

б) К данному ряду удобно применить признак Коши:

lim

limlim

























∞→∞→∞→∞→

Ряд расходится.

Приведенные выше достаточные условия сходимости относятся

к рядам с неотрицательными членами. Теперь рассмотрим еще один

тип рядов – знакочередующиеся ряды.

Знакочередующимся рядом называется ряд вида

...)1(...

321

+−+−+−

−

aaaa

, (9)

где a

> 0, n ∈N.

Теорема 8 (признак Лейбница).

Если члены ряда (9) удовлетворяют условиям:

1) ∀n ∈N : a

≥a

n+1

; 2)

0lim =

∞→

то ряд (9) сходится и его сумма S не превосходит a

, т.е. S ≤a

Пример 6. Ряд

∑

∞

−

)1(

является знакочередующимся. Он удов-

летворяет условиям признака Лейбница, так как

, n ∈N,

lim =

∞→

. Абсолютная и условная сходимость. Рассмотрим

теперь числовые ряды с членами произвольных знаков. Такие ряды

называются знакопеременными.

354

Пусть имеем знакопеременный ряд

∑

∞

. Знакопеременный ряд

∑

∞

называется абсолютно сходящимся, если сходится ряд

∑

∞

Имеет место

Теорема 9.

Если ряд

∑

∞

сходится, то сходится и ряд

∑

∞

Однако может случиться так, что ряд

∑

∞

расходится, а ряд

∑

∞

сходится. Такие ряды

∑

∞

называются условно сходящимися.

Например, ряд

∑

∞

−

)1(

является условно сходящимся.

Заметим, что исследование знакопеременных рядов на абсолют-

ную сходимость можно провести с помощью признаков Даламбера,

Коши и признаков сравнения, так как ряд

∑

∞

является рядом с

неотрицательными членами.

! Задания для самостоятельной работы

1. Исследовать сходимость следующих рядов:

а)

∑

∞













; б)

∑

∞

−

)1(

; в)

∑

∞

; г)

∑

∞













;

д)

∑

∞

; е)

∑

∞

)!2(

)!(

2. Исследовать сходимость следующих рядов:

а)

...

)1(...

−

−+−+−

−

; б)

∑

∞

−

)1(

;

в)

∑

∞

−

)1(

; г)

...

432

−++−−

355

Лекция 57

Функциональные ряды. Степенные ряды

Вводятся понятия функциональных рядов. Рассмат-

риваются вопросы сходимости степенных рядов.

. В прошлой лекции рассматривались числовые ряды

∑

∞

т.е. ряды, членами которых являются числа. Теперь будем изучать

ряды вида:

∑

∞

=++++

)(...)(...)()(

xfxfxfxf

, (1)

где f

(x), n ∈N – некоторые функции аргумента х, заданные на мно-

жестве Х. В этом случае говорят, что на множестве Х задан функцио-

нальный ряд.

Если фиксировать какое-либо x = x

∈X, то ряд

∑

∞

)(

(2)

является числовым рядом. Если числовой ряд (2) сходится, то говорят,

что функциональный ряд (1) сходится в точке x=x

. Множество всех

точек сходимости функционального ряда называется его областью схо-

димости. Область сходимости может совпадать с множеством Х, но

может и не совпадать, в частности, может быть пустым множеством.

Пусть D – область сходимости ряда (1). Тогда для каждого

фиксированного x ∈D соответствующий числовой ряд

∑

∞

)(

сходится

и имеет сумму. Если каждому x ∈D поставить в соответствие число,

равное этой сумме, то на множестве D будет определена некоторая

функция S = S(x), называемая суммой функционального ряда (1). Тог-

да записывают:

...)(...)()()(

++++= xfxfxfxS

, x∈D.

Пример 1. Найти область сходимости функционального ряда

∑

∞

Решение. В данном случае f

(x)=x

, n =0,1, .... Эти функции опре-

делены на R. Из примера 1 Л. 56 следует, что этот функциональный ряд

сходится в любой точке x ∈R, для которой |x |<1. Если же |x| ≥1, то

356

соответствующий числовой ряд расходится. Таким образом, областью

сходимости ряда

∑

∞

является интервал (–1, 1).

Очевидно, суммой этого функционального ряда является функция

−

)(

)1,1(−∈x

......1

+++++=

−

xxx

, x ∈(–1, 1).

Функциональный ряд (1) назыв ается абсо лютно сх одящимся на мно-

жестве D

, если в каждой точке x ∈D

сходится ряд

∑

∞

)(

Так как абсолютно cходящийся ряд сходится, то D

⊂D .

Образуем n-ую частичную сумму ряда (1):

)(...)()()(

xfxfxfxS

+++=

, n = 1, 2, ..., x ∈D.

Очевидно, если фиксировать x = x

, x

∈D, то

{}

)(

есть чис-

ловая последовательность. Если существует конечный

)(lim

∞→

, то

он равен S(x

). По определению предела это означает, что ∀ε>0 су-

ществует номер N

такой, что ∀n > N

ε<− )()(

xSxS

Подчеркнем, что здесь номер N

зависит, вообще говоря, и от ε,

и от точки x

. Особый интерес представляет случай, когда можно ука-

зать номер N

такой, что он зависит только от ε и не зависит от выбора

точки x

, x

∈D.

Если для ∀ε>0 ∃N

, N

∈N, зависящий лишь от ε и не зависящий

от x, x∈D, такой, что ∀x ∈D и ∀n > N

ε<− )()( xSxS

, то говорят,

что функциональный ряд (1) равномерно сходится в области D.

Весьма удобным для иссле дования ряда на равномерную сходимость

является следующий признак Вейерштрасса.

Теорема 1.

Если члены ряда удовлетворяют неравенствaм

axf

≤)(

, ∀n ∈N, ∀x ∈D,

и числовой ряд

∑

∞

сходится, то ряд (1) равномерно сходится в D.

357

Пример 2. Исследовать на равномерную сходимость ряд

∑

∞

sin

Решение. Очевидно, ∀n ∈N, ∀x ∈R

sin

≤

ряд

∑

∞

сходится. Значит, ряд

∑

∞

sin

сходится равномерно на R.

Если предположить, что члены ряда (1) являются функциями не-

прерывными в области его сходимости D, то возникает вопрос, будет

ли непрерывной его сумма S(x) в D. Ответ дает следующая

Теорема 2.

Если члены функционального ряда (1) являются непрерывными в

области D функциями и ряд (1) равномерно сходится в D, то его

сумма является функцией, непрерывной в D.

Например, сумма ряда

∑

∞

sin

является функцией, непрерывной

на R.

. Степенные ряды.

Функциональный ряд вида

∑

∞

−=+−++−+−+

210

)(...)(...)()(

axcaxcaxcaxcc

, (3)

где c

∈R, n = 0, 1, ... , a ∈R, называется степенным рядом.

Числа с

, с

, ... , с

назыв аю тся коэффициентами степенного ряда (3).

Если а = 0, то ряд (3) имеет вид

∑

∞

. (4)

Именно такие степенные ряды будем изучать. Если в (3) положить

х – а = у, то придем к ряду вида (4).

Степенной ряд (4) всегда сходится в точке х = 0. Если x ≠0, то ряд (4)

может сходиться, а может и расходиться.

Важную роль в теории степенных рядов играет следующая

теорема.

358

Теорема 3 (Абеля).

Если степенной ряд (3) сходится в точке x

≠

0, то он сходится

абсолютно в любой точке х, | x | < | x

Доказательство. По условию теоремы числовой ряд

∑

∞

сходится. Согласно необходимому условию,

0lim

∞→

. Следова-

тельно, последовательность

{}

является ограниченной , т.е. ∃M >0

такое, что

Mqxc

≤

, n = 0, 1... . Пусть х такое, что |x|<|x

|. Тогда

xcxc

≤⋅≤

, n =0,1 ...,

где

. Но ряд

∑

∞

при таких q сходится. Тогда по при-

знаку сравнения сходится и ряд

∑

∞

. Теорема доказана.

Следствие.

Если в точке x

≠0 степенной ряд (4) расходится, то он расходит-

ся во всех точках х таких, что | x |>|x

Действительно, если бы ряд (4) сходился в точке х, | x |>|x

|, то по

теореме Абеля он схо дился бы в точке x

, что противоре чит условию.

Теорема Абеля и ее следствие дают ясное представление об об-

ласти сходимости степенного ряда. Для наглядности воспользуемся

следующим приемом. Окрасим мысленно в зеленый цвет каждую точку

сходимости ряда (4), а в красный цвет – любую точку расходимости ряда

(4). Ясно, что то чка х=0 всегда будет зеленой. Если степенной ряд схо дит-

ся всюду на R, то вся числовая ось будет зеленой. Если степенной ряд

везде расходится, то вся ось, за исключением точки х = 0, будет красной.

Если какая-нибудь точка x

≠0 будет зеленой, то зелеными будут и все

точки, лежащие ближе к точке х =0 по обе стороны от нее. Если какая-

либо точка x

≠0 будет красной, то будут красными все точки, лежащие

дальше от точки х =0 по обе стороны от нее.

359

Так как каждая точка числовой оси является либо зеленой, либо

красной, то, идя от точки х =0 вправо по числовой оси, снача ла будем

встречать только зеленые точки, а затем – только красные точки, причем

граничная или разделяющая эти разноцветные участки точка R может

быть или зеленого, или красного цвета. То же самое можно сказать, если

идти налево от точки х = 0, в частности, в точке х =–R ряд может или

сходиться, или расходиться (рис. 1).

Указанное число называется радиусо м сходимости ряда (4), интервал

(–R, R) – интервалом сх одимости. Если ряд (4) сходится т олько в точк е х =0,

то R = 0; если ряд сходится для всех x ∈R , то R = ∞.

Подчеркнем, что в каждой точке x ∈R ряд (4) будет сходиться абсо-

лютно, в точках x =±R может сходиться, а может и расходиться.

Теорема 4.

Если существует предел

∞→

lim

, то радиус сходимости R

ряда (3) равен

, т .е. R =

Доказательство. Рассмотрим ряд

∑

∞

. Применим к нему

признак Даламбера (см. предыдущую лекцию). Имеем:

xlx

=⋅=

∞→

limlim

Отсюда следу е т, что если

1<xl

, то ряд

∑

∞

сходится, и

ряд (4) cходится абсолютно.

Если l|x|>1, то ряд (4) расходится, так как

1lim

∞→

и,

следовательно, общий член ряда c

не стремится к нулю при n →∞.

Рис. 1

360

Заметим, что если l = 0, то R=∞ , если же l = ∞, то R =0.

Теорема 5.

Если существует предел

∞→

lim

, то радиус сходимости ряда

(4) R=

Доказательство этой теоремы аналогично доказательству теоремы 4.

Пример 3. Найти радиус сходимости и интервал сходимости сле-

дующих степенных рядов:

а)

∑

∞

; б)

∑

∞

; в)

∑

∞

; г)

∑

∞

−













)1(

Решение. а) Для отыскания радиуса сходимости в данном слу-

чае применим формулу теоремы 5:

22lim2limlim ====

∞→∞→∞→

Степенной ряд

∑

∞

сходится абсолютно на интервале













−

;

б) Здесь воспользуемся формулой теоремы 4:

∞=+=

∞→∞→

∞→

)1(lim

)!1(

limlim

, R =0,

т.е. степенной ряд сходится только в точке х =0.

в) Поступаем аналогично, как в примере б):

lim

)!1(

limlim

∞→∞→

∞→

, R = ∞,

т.е. ряд сходится на всей числовой прямой (−∞, +∞).

г) Этот ряд имеет вид (3). Найдем радиус сходимости по формуле

теоремы 5: