Минюк С.А., Ровба Е.А. Высшая математика
Подождите немного. Документ загружается.
361
1
1
1
1lim
1
lim
1
−
∞→
∞→
=
+
==
e
n
c
R
n
n
n
n
n
.
Интервалом сходимости является | x – 1|<e
—1
, или (1 –e
—1
, 1+ e
–1
).
Пример 4. Найти интервал сходимости следующих степенных ря-
дов и исследовать сходимость на концах интервала сходимости:
а)
∑
∞
=
1
3
n
n
n
n
x
; б)
∑
∞
=
+
1
1
n
n
x
n
n
.
Решение. а) Имеем:
3
1
)1(3
lim
3)1(
3
limlim
1
1
=
+
=
+
==
∞→
+
∞→
+
∞→
n
n
n
n
c
c
l
n
n
n
n
n
n
n
, R =3.
Значит, интервал сходимости есть (–3, 3). Исследуем поведение
ряда в граничных точках. Пусть х = 3, имеем
∑
∞
=
1
3
3
n
n
n
n
, т.е.
∑
∞
=
1
1
n
n
.
Это гармонический ряд, и он расходится.
Пусть теперь х = – 3. Имеем:
∑
∞
=
−
1
3
)3(
n
n
n
n
или
∑
∞
=
−
1
)1(
n
n
n
.
Это знакочередующийся ряд, по признаку Лейбница он сходит-
ся. Таким образом, степенной ряд
∑
∞
=
1
3
n
n
n
n
x
сходится на промежутке
[–3, 3).
б) Имеем:
1
2
lim
12
1
lim
1
lim
1
1
=
+
=
++
+
==
∞→
∞→
+
∞→
n
n
n
n
n
n
c
c
R
n
n
n
n
n
,
интервал сходимости – (–1, 1).
Если x =±1, то
0)1(
1
limlim ≠±
+
=
∞→∞→
n
n
n
n
n
n
a
.
362
Согласно необходимому условию, ряд
n
n
x
n
n
1
lim
+
∞→
в точках
x =±1 расходится.
! Задания для самостоятельной работы
1. Найти область сходимости следующих функциональных рядов:
а)
∑
∞
=
1
2
2
cos
n
n
nx
; б)
∑
∞
=
−
1
)12(
1
n
n
xn
; в)
∑
∞
=
0
2
2
sin2
n
n
n
x
.
2. Исследовать на равномерную сходимость следующие функ-
циональные ряды в области их сходимости:
а)
∑
∞
=
+
1
2
2
1
n
n
n
x
; б)
∑
∞
=
+
1
3
sin1
n
n
nx
.
3. Найти интервал сходимости следующих степенных рядов и
исследовать сходимость на его концах:
а)
∑
∞
=
−
0
)1(
n
nn
x
; б)
∑
∞
=
1n
n
n
n
x
; в)
∑
∞
=
1
!
n
n
n
x
n
n
; г)
∑
∞
=
−
−
1
1
)1(
n
nn
n
x
;
д)
∑
∞
=
+
1
2
)1(
n
n
n
x
; е)
∑
∞
=
−
−
1
)1(
)3(
n
n
nn
x
; ж)
∑
∞
=
−
−
1
2)12(
)2(
n
n
n
n
x
.
363
Лекция 58
Разложение функций в степенные ряды.
Приближение функций с помощью рядов
Изучаются свойства степенных рядов, ряды Тейлора и
Маклорена, разложения функций в степенные ряды.
Рассматриваются методы приближенного вычисления
значений функций.
1
o
. Свойства степенных рядов. Пусть дан степенной ряд
∑
∞
=
0n
n
n
xc
, (1)
интервал сходимости которого равен (–R; R), R> 0. На этом интерва-
ле ряд (1) имеет сумму, обозначим ее через f (x), т.е.
∑
∞
=
=
0
)(
n
n
n
xcxf
,
);( RRx −∈
.
Сумма степенного ряда обладает интересными свойствами, во-
первых, сумма f (x) степенного ряда
∑
∞
=
0n
n
n
xc
является функцией, непре-
рывной на интервале сходимости (–R; R).
Во-вторых, сумма f (x) степенного ряда (1) является функцией,
дифференцируемой на (–R; R), причем производную
)(xf
′
, x∈(–R; R)
можно найти по формуле:
∑∑
∞
=
−
∞
=
=
′
=
′
1
1
0
)()(
n
n
n
n
n
n
xncxcxf
. (2)
В этом случае говорят, что степенной ряд можно почленно диффе-
ренцировать на интервале сходимости.
Заметим также, что это утверждение можно применять к степен-
ному ряду (2). Это означает, что сумма степенного ряда является функ-
цией, бесконечно дифференцируемой на (–R; R).
Наконец, в-третьих, при любых а, b
⊂
(–R; R) справедлив а фор мула
∫
∑∑
∫∫
∞
=
∞
=
==
b
a
n
n
n
n
b
a
n
n
b
a
dxxcdxxcdxxf
00
)(
, (3)
т.е. интеграл от су ммы степенного ряда по любому отрезку [а; b]
⊂
(–R; R)
может быть вычислен почленным интегрированием ряда (1).
364
Эти утверждения приводим без доказательства.
Все вышеизложенное справедливо для рядов вида
∑
∞
=
−
0
)(
n
n
n
axc
(4)
на интервале (а –R; а +R), где R – радиус сходимости ряда (4).
Если функция f (x) является суммой ряда (4), то говорят, что фун-
кция f (x) разлагается в степенной ряд по степеням (х – а). Разложение
функции в степенные ряды является одной из важнейших задач курса
высшей математики.
2
o
. Разложение функций в степенные ряды. Пусть
функция f (x) разлагается в степенной ряд:
...)(...)()()(
2
210
+−++−+−+=
n
n
axcaxcaxccxf
,
Rax <−
.
()
4
′
Тогда ряд (
4
′
) можно почленно дифференцировать сколь угод-
но раз на интервале (a–R; a+R):
...)(...)(3)(21)(
12
321
+−⋅⋅++−⋅+−⋅+⋅=
′
−
n
n
axncaxcaxccxf
;
...))(1(...)(2312)(
2
32
+−−⋅⋅++−⋅⋅+⋅⋅=
′′
−
n
n
axnncaxccxf
;
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
...)(23)1(12)1()(
1
)(
+−⋅⋅⋅⋅⋅++⋅⋅⋅⋅−⋅⋅=
+
axnncnncxf
nn
n
.
Полагаем в каждом из этих равенств х = а. Тогда из первого
находим
!1
)(
1
af
c
′
=
, из второго –
!2
)(
2
af
c
′′
=
,
!
)(
)(
n
af
c
n
n
=
, ... . Оче-
видно, из (
4
′
) следует, что c
0
= f (a).
Таким образом, если функция f (x) разлагается в степенной ряд
(
4
′
), то он имеет вид:
...)(
!
)(
...)(
!2
)(
)(
!1
)(
)()(
)(
2
+−++−
′′
+−
′
+=
n
n
ax
n
af
ax
af
ax
af
afxf
. (5)
Ряд (5) называется рядом Тейлора функции f (x) в окрестности
точки х = а. Если а = 0, то ряд (5) называется рядом Маклорена.
Из приведенных выше рассуждений следует, что разложение в ряд
Тейлора единственно, т.е. если имеются два такие разложения по сте-
пеням (х – а) одной и той же функции f (x), то эти разложения имеют
равные коэффициенты при одинаковых степенях х – а, и они равны:
365
!
)(
)(
n
af
c
n
n
=
, n =0,1, ... . (6)
(здесь предполагается, что f
(0)
(a)=f(a), 0! = 1).
Теперь предположим, что функция f (x) имеет в окрестности точ-
ки х = а производные любого порядка, т.е. бесконечно дифференциру-
ема в окрестности точки х = а. Составим ряд Тейлора функции f (x) в
окрестности точки х = а:
∑
∞
=
−
0
)(
)(
!
)(
n
n
n
ax
n
af
. (7)
Спрашивается, при каких условиях этот ряд Тейлора сходится. Бу-
дет ли его суммой функция f (x)?
Теорема 1.
Если функция f(x) является бесконечно дифференцируемой на
интервале (a–R; a+R) и все ее производные ограничены одной и той
же постоянной М на (a–R; a+R), то ряд Тейлора (7) сходится к
функции f(x) на (a–R; a+R).
Доказательство. Пусть S
n+1
(x) – частичная сумма ряда (7),
n
n
n
ax
n
af
ax
af
afxS
)(
!
)(
...)(
!1
)(
)()(
)(
1
−++−
′
+=
+
. Тогда, пользуясь
формулой Тейлора с остаточным членом в форме Лагранжа (см.
Л.31), имеем:
1
)1(
1
)(
)!1(
)(
)()(
+
+
+
−
+
ξ
+=
n
n
n
ax
n
f
xSxf
,
);( xa∈
ξ
.
Отсю да получим, что
1
1
)1(
1
)!1()!1(
)(
)()(
+
+
+
+
+
≤−
+
ξ
=−
n
n
n
n
R
n
M
ax
n
f
xSxf
,
);( RaRax +−∈
. (8)
Числовой ряд
∑
∞
=
+
+
0
1
)!1(
n
n
R
n
M
сходится по признаку Даламбера:
10
2
lim
1)!1(
)!2(
lim
1
2
<=
+
=
⋅
+
⋅
+
∞→
+
+
∞→
n
R
R
M
n
R
n
M
n
n
n
n
.
366
Следовательно,
0
)!1(
lim
1
=
+
+
∞→
n
n
R
n
M
(в соответствии с необходимым
условием сходимо сти числовых рядов).
Тогда из (8) вытекает, что в каждой точке x ∈(a–R; a+R)
0))()((lim
1
=−
+
∞→
xSxf
n
n
или
)()(lim
1
xfxS
n
n
=
+
∞→
,
т.е.
∑
∞
=
−=
0
)(
)(
!
)(
)(
n
n
n
ax
n
af
xf
,
);( RaRax +−∈
.
3
0
. Разложение элементарных функций в ряд Мак-
лорена.
а) Пусть f (x)=e
x
. Тогда f
(n)
(x)=e
x
, n ∈N, и f
(n)
(0) = 1, n ∈N.
Ряд Маклорена будет иметь вид (см. (7), а =0)
∑
∞
=
0
!
n
n
n
x
.
Возьмем любое x ∈R и покажем, что
∑
∞
=
=
0
!
n
n
x
n
x
e
. (9)
Действительно, пусть число R >0 такое, что |x |<R. Тогда на
интервале (–R; R):
Meexf
Rxn
=≤=)(
)(
, n ∈N, и по теореме 1 ряд
(8) сходится на (–R; R), и его суммой является функция e
x
.
б) Пусть f (x) = sin x. Имеем
π
+=
2
sin)(
)(
n
xxf
n
, n ∈N (см. фор-
мулу (2) Л.29). Полагая х = а = 0, получаем:
0)0( =f
,
1)0( =
′
f
,
0)0( =
′′
f
,
1)0( −=
′′′
f
,
0)0(
)4(
=f
, ... .
Ряд Маклорена будет иметь вид:
∑
∞
=
+
+
+
+
+
−
=+
+
−
+−+−
0
12
1
12
153
)!12(
)1(
...
)!12(
)1(
...
!5!3
n
n
n
n
n
x
n
x
n
xx
x
.
Так как
1
2
sin)(
)(
≤
π
+=
n
xxf
n
, x ∈R, n∈N то по теореме 1
имеем:
367
∑
∞
=
+
+
+
−
=
0
12
1
)!12(
)1(
sin
n
n
n
x
n
x
, x ∈R. (10)
в) Аналогично можно показать, что
...
)!2(
)1(
...
!4!2
1cos
2
42
+
−
+−+−=
n
n
x
n
xx
x
, x ∈R. (11)
Формулы (10) и (11) можно рассматривать как новые определе-
ния известных тригонометрических функций sin x и cos x.
г) Разложим функцию f (x)=ln(1 + x) в ряд Маклорена. Посту-
пим следующим образом. Очевидно,
......1
1
1
2
+++++=
−
n
xxx
x
, x∈(–1; 1)
Сделаем замену х =–t и получим:
...)1(...1
1
1
32
+−++−+−=
+
nn
tttt
t
, t ∈(–1; 1). (12)
Фиксируем x ∈(–1, 1) и найдем
dt
t
x
∫
+
0
1
1
, проинтегрировав ряд (12)
почленно:
∑∑∑
∫∫
∞
=
+
∞
=
+
∞
=
+
−=
+
−=−=
+
0
1
0
0
1
0
00
1
)1(
1
)1()1(
1
n
n
n
n
x
n
n
n
x
nn
x
n
x
n
t
dtt
t
dt
.
С другой стороны,
)1ln(
1
0
x
t
dt
x
+=
+
∫
.
Следовательно,
...)1(...
32
)1ln(
1
32
+−+−+−=+
−
n
xxx
xx
n
n
, x∈(–1 ; 1). (13)
Таким образом, разложение (13) функции ln (1 + x) получено с
помощью почленного интегрирования степенного ряда (12).
д) С помощью этого метода легко получить ряд Маклорена для
функции arctg x. Действительно, полагая в (12) t
2
вместо t, имеем:
...)1(...1
1
1
242
2
+−+−+−=
+
nn
ttt
t
, t ∈(–1; 1).
Проинтегрируем почленно этот ряд в пределах от 0 до х, x∈(–1; 1):
∑
∫∫
∞
=
−=
+
0
0
2
0
2
)1(
1
n
x
nn
x
dtt
x
dx
368
или
∑
∞
=
+
+
−=
0
12
12
)1(arctg
n
n
n
n
x
x
, x ∈(–1; 1).
Существуют и другие методы разложений элементарных функ-
ций в ряды Маклорена и Тейлора.
4
0
. Приближенное вычисление значений функции.
Как следует из предыдущего, степенные ряды являются формой пред-
ставления функций, причем представление функций степенным рядом
во многих случаях весьма удобно в приложениях, в частности, при
приближенных вычислениях значений функций.
Рассмотрим функцию
∫
=
x
dt
t
t
xJ
0
sin
)(
, x ∈R.
Эта функция называется интегральным синусом. Как известно,
первообразная для функции
t
tsin
существует, однако, не выражается
через элементарные функции. Представим функцию J(x) степенным
рядом. Имеем:
...
)!12(
)1(...
!5!3
sin
12
1
53
+
+
−+−+−=
+
+
n
ttt
tt
n
n
,
...
)!12(
)1(...
!5!3
1
sin
2
1
42
+
+
−+−+−=
+
n
ttt
t
t
n
n
.
Применяя почленное интегрирование, получим:
...
)12()!12(
)1(...
5!53!3
sin
12
1
53
0
+
++
−+−+−=
+
+
∫
nn
xxx
xdt
t
t
n
n
x
, x ∈R. (14)
Представление функции J(x) степенным рядом (14) эффективно
используется для приближенного вычисления J(x). Так, например,
...
)12()!12(
1
)1(...
5!5
1
3!3
1
1)1(
1
+
++
−+−+−=
+
nn
J
n
.
Отсюда
18
17
3!3
1
1)1( =−≈J
, причем абсолютная погрешность в
369
данном случае меньше
600
1
5!5
1
=
, так как отбрасываемый остаток
...
7!7
1
5!5
1
+−
является рядом Лейбница и сумма меньше первого члена.
Пример 1. Вычислить °18sin с точностью ε= 10
–4
.
Решение. Воспользуемся разложением (10). Так как
18° =
10
π
, то
n
n
n
R
n
+
−
π
−++
π
−
π
=°
−
−
)!12(
1
10
)1(...
!3
1
1010
18sin
12
1
,
где R
n
– соответствующий остаток ряда (10). Так как остаток ряда
также является знакочередующимся рядом, то по признаку Лейбница
)!12(
1
10
12
+
π
≤
+
n
R
n
n
.
Согласно условию, число n нужно выбрать таким, чтобы выполня-
лось неравенство
10000
1
)!12(
1
10
12
≤
+
π
+
n
n
. (15)
Неравенство (15) справедливо при любом n ≥2, в частности,
10000
1
!5
1
10
5
<
π
.
Зна чит,
30899,000517,031416,0
!3
1
1010
18sin
3
=−≈⋅
π
−
π
š
,
3090,018sin š
.
На практике промежуточные вычисления производят с одним
дополнительным знаком (в данном случае с точностью до 10
–5
), чтобы
избежать ошибок округления.
370
! Задания для самостоятельной работы
1. Написать разложения в ряд Маклорена следующих функций и
указать интервалы сходимости рядов:
а)
2
x
e
; б) cos 2x; в) cos 3x + x sin 3x; г)
x
x
+4
;
д) (1 + x)e
–x
; е)
∫
−
x
t
dte
0
2
; ж)
∫
−
x
t
dt
0
4
1
.
2. Разложить функцию ln x в ряд по степеням х – 1.
3. Разложить функцию cos x в ряд по степеням
2
π
−x
.
4. При каких значениях x приближенная формула
2
1cos
2
x
x −≈
дает ошибку, не превышающую 0,001?
5. Вычислить
∫
1
0
sin
dx
x
x
с точностью до 0,001.
6. Вычислить
∫
9
1
0
dxex
x
с точностью до 0,001.