Минюк С.А., Ровба Е.А. Высшая математика

Подождите немного. Документ загружается.

371

Лекция 59

Конечные разности и обыкновенные

разностные уравнения

При описании развития экономики во времени, если вре-

мя меняется дискретно, широко используются разно-

стные уравнения. Дано понятие конечных разностей и

обыкновенных разностных уравнений, изучены некоторые

разностные уравнения и свойства их решений.

. Понятие о конечных разностях. Пусть известны значения

некоторой функции x = f (t) для равноотстоящих значений аргумента

= t

+ k⋅h, где k = 0, 1, 2, ... N, h > 0, т.е. x

= f (t

), x

= f (t

)=f (t

+ h),

= f (t

)=f (t

+2h), ..., x

= f (t

)=f (t

+ N⋅h). Выбирая соответствующую

единицу измерения для аргумента t, в сегда мо жно добиться того, что h = 1.

Поэто му дальше будем с читать h = 1.

Отметим, что в динамических экономических моделях обычно

интервал h = 1 отождествляется с единичным периодом времени, например,

один год.

К оне чными разностями первого порядка функции x=f (t) назыв ают числа

)0(

xxx −=∆

)1(

xxx −=∆

)2(

xxx −=∆

, ...,

)1(

−

−=−∆

xxNx

В общем случае ∆x(t)=x(t + 1)–x(t), t = 0, 1, 2 ... .

Конечные разности второго порядка определяются так:

∆

x(0) = ∆x(1) – ∆x(0) =x

– x

–(x

– x

)=x

–2x

+ x

∆

x(1)=∆x(2) – ∆x(1) =x

– x

–(x

– x

)=x

–2x

+ x

т.е.

∆

x(t)=∆x(t + 1) – ∆x(t) =x(t + 2) – 2x(t + 1)+x(t)

Разности порядка k определяются следующим образом:

∆

x(0) = ∆

k–1

x(1) – ∆

k–1

x(0), ∆

x(1) = ∆

k–1

x(2) – ∆

k–1

x(1), ... .

Например, при N =6 значения функции x = f (t) и ее конечных раз-

ностей можно записать в следующую таблицу.

372

Пример 1. Построить т аблицу конечных разностей для функции

x = f (t)=t

–2t

+ t + 4, t ∈[0, 5], с шагом h = 1.

Вычислим:

1. Значения функции x = f (t) при t = 0, 1, 2, 3, 4, 5. Имеем:

= 4, x

=4, x

=6, x

= 16, x

= 40, x

= 84.

2. Разности первого порядка:

∆x(0) = x

– x

= 0, ∆x(1)=x

– x

= 2, ∆x(2) = 10, ∆x(3) = 24, ∆x(4) = 44.

3. Разности второго порядка:

2)0()1()0(

=∆−∆=∆ xxx

8)1()2()1(

=∆−∆=∆ xxx

14)2()3()2(

=∆−∆=∆ xxx

20)3()4()3(

=∆−∆=∆ xxx

4. Разности третьего порядка:

6)0()1()0(

223

=∆−∆=∆ xxx

6)1()2()1(

223

=∆−∆=∆ xxx

6)2()3()2(

223

=∆−∆=∆ xxx

Так как разности третьего порядка равны между собой, то раз-

ности четвертого и пятого порядков будут равны нулю. Результаты

вычислений запишем в таблицу 2.

В дальнейшем конечные разности функции x = f (t) будем запи-

сывать ∆x, ∆

x, ∆

x и т.д.

Свойства конечных разностей.

1. Конечная разность порядка k алгебраической суммы двух

функций F (t)=f (t)±ϕ(t) равна алгебраической сумме конечных раз-

но стей слагаемых, т.е.

ϕ∆±∆=∆

kkk

Таблица 1

373

2. Конечная разность порядка k одна и та же для функций, отлича-

ющихся на константу, т.е. если x = f (t), а z = f (t)+α, то

∆=∆

3. Если F (t)=Af (t), где А – постоянная, то

fAF

∆⋅=∆

4. Конечная разность порядка n от многочлена p

(t)=a

+ a

n–1

+ ... + a

t + a

равна постоянной величине.

. Понятие об обыкновенных разностных уравнениях.

Под обыкновенным разностным уравнением понимают соотно-

шение, которое устанавливает связь между значениями одного неиз-

вестного t, функцией x = x(t) и разностями различных порядков

x∆

∆

, ...,

∆

, этой функции, т.е. соотношение вида

0)...,,,),(,(

=∆∆∆Φ xxxtxt

. (1)

Порядком разностного уравнения (1) называют порядок наивыс-

шей разности, входящей в это уравнение.

Так, разностное уравнение первого порядка имеет вид

0)),(,( =∆Φ xtxt

а разностное уравнение второго порядка

0),),(,(

=∆∆Φ xxtxt

Ясно, что, используя определение конечных разностей, разностное

уравнение n-го порядка всегда можно записать в форме

0))(...,),2(),1(),(,( =+++Ψ ntxtxtxtxt

, (2)

где порядок уравнения равен разности между последним и первым

моментами времени, т.е. n =(t + n)–t.

Таблица 2

374

Так, разностное уравнение первого порядка

0)),(,( =∆Φ xtxt

при-

мет вид

0))1(),(,( =+Ψ txtxt

, если заменить

)()1( txtxx −+=∆

. Разно-

стное уравнение второго порядка

0),),(,(

=∆∆Φ xxtxt

примет вид

0))2(),1(),(,( =++Ψ txtxtxt

, если заменить

)()1( txtxx −+=∆

)()1(2)2(

txtxtxx ++−+=∆

Пример 2. Записать в виде (2) разностное уравнение

0374

=++∆−∆ txxx

Решение. Заменив

)()1( txtxx −+=∆

, а

++−+=∆ )1(2)2(

txtxx

)(tx+

, получим форму вида (2) этого уравнения:

03)(12)1(6)2(

=+++−+ ttxtxtx

Отметим, что иногда равностоящие значения t отсчитываются в

противоположном направлении t, t – 1, t – 2, ..., t – n.

Тогда разностное уравнение n-го порядка имеет вид

0))(...,),1(),(,( =−−Ψ ntxtxtxt

Заменив

tnt

′

=−

, это уравнение можно записать в виде

0))(...,),1(),(,( =

′

−+

′

′′

Ψ txntxntxt

Очевидно, что форма записи разностного уравнения не имеет зна-

чения, и в практике используют ту форму, которая наиболее удобна в

рассматриваемой ситуации.

Если разностное уравнение можно записать в виде

)...,,),(,(

xxtxtFx

−

∆∆=∆

то тогда говорят, что оно записано в явной форме. От этой явной

формы всегда можно перейти к другой явной форме:

))1(...,),1(),(,()( −++Ψ=+ ntxtxtxtntx

. (3)

Замечание 1. Если имеется несколько функций x

, ..., x

аргумента t,

то по аналогии с теорией обыкновенных дифференциальных уравнений

можно определить также систему обыкновенных разностных уравнений.

. О решении обыкновенных разностных уравнений.

Если разностное уравнение записано в явной форме (3) и заданы на-

чальные условия x

, x

, ..., x

n–1

, то, полагая t = 0, можно вычислить x

затем, полагая t = 1, можно найти x

n+1

и т.д. Таким образом, получа-

ем значения неизвестной функции x(t), входящей в разностное уравне-

ние, для последовательных значений аргумента t = 0, 1, 2, ... . Найденные

375

таким образом значения функции образуют так называемое частное диск-

ретное решение данного разностного уравнения, определенное заданны-

ми начальными условиями. Выбирая другие начальные условия, получаем

новые частные дискретные решения данного разностного уравнения.

Можно поставить задачу нахождения общего дискретного решения раз-

но стного уравнения, т.е. такого решения, из которого можно получить

любое частное дискретное решение.

Рассмотрим, например, уравнение x(t + 1)=4x(t)+2t. Полагая

x(0) = x

, получим последовательные значения искомой функции:

xx =

21624

012

+=+= xxx

12644)216(444

0023

+=++=+= xxxx

542566)1264(464

0034

+=++=+= xxxx

и т.д.

Общее дискретное решение получаем в виде следующей после-

довательности:

, 4x

, 16x

+ 2, 64x

+ 12, 256x

+ 54, ...,

задающей значения искомой функции x(t) при t = 0, 1, 2, 3, 4, ... .

Из изложенного выше вытекает, что если заданы начальные ус-

ловия, то можно решить разностное уравнение численным способом.

Но возникает естественный вопрос: как выразить решение x(t) через t

в явной форме. Этот вопрос в общем случае достаточно сложный, и

ответ на него будет дан в дальнейшем только для линейных уравне-

ний с постоянными коэффициентами.

Отметим также, что общее дискретное решение обыкновенного раз-

ностного уравнения n-го порядка представляет собой функцию аргумента

t (t = 0, 1, 2, ...), содержащую ровно n произвольных постоянных, т.е.

имеет вид x(t, C

, C

, ..., C

). Если известно общее дискретное решение,

то для получения частного дискретного решения уравнения n-го порядка

нужно задать n начальных условий, с помощью которых находим значе-

ние произвольных постоянных из системы уравнений











=−

−

.)...,,,,1(

...........

,)...,,,,1(

,)...,,,,0(

121

021

xCCCnx

xCCCx

Дальше слово «дискретное» опускаем.

376

. Линейные разностные уравнения и свойства их

решений.

Линейным обыкновенным разностным уравнением n-го порядка

называют уравнение вида

)()()()(...)()(

tftxtaxtaxtaxta

=+∆++∆+∆

−

где a

(t),

ni ,0=

и f (t) – заданные функции от t, t =0,

....

Это уравнение можно записать также в следующей форме:

)()()()1()(...)1()()()(

110

tftxtbtxtbntxtbntxtb

=++++−+++

−

Если правая часть f (t) не равна тождественно нулю, то уравне-

ние называется неоднородным, а если f (t) ≡0, то такое уравнение на-

зывается однородным.

Например, x(t +2)+2x(t + 1)–3x(t)=2

– линейное разностное

неоднородное уравнение второго порядка, а

0)(2 =+∆ txx

– линей-

ное разностное однородное уравнение первого порядка.

Перечислим основные свойства дискретных решений линейных

разностных уравнений.

1. Если x

(t) и x

(t) – решения однородного линейного уравне-

ния, то их линейная комбинация α

(t)+α

(t) (α

и α

– заданные

постоянные) также являются дискретным решением этого уравнения.

2. Если x

(t) – частное решение неоднородного уравнения, а

x(t, C

, C

, ..., C

) – общее решение однородного уравнения, соответ-

ствующего данному неоднородному уравнению, то общее решение

)(tx

линейного неоднородного разностного уравнения имеет вид:

)...,,,,()()(

CCCtxtxtx

3. Пусть x

(t), x

(t), ..., x

(t) – n независимых решений линейного

однородного разностного уравнения. Тогда общее решение этого урав-

нения имеет вид:

x(t, C

, C

, ..., C

)=C

(t)+C

(t) + ... +C

(t),

где C

, C

, ..., C

– произвольные по стоянные.

Пример 3. Найти общее решение уравнения

x(t + 1)–ax(t)=0, a = const. (4)

Решение уравнения (4) ищем в виде показательной функции

x(t)=λ

где λ – постоянная, которая подлежит определению.

Подстановка решения в указанном виде в уравнение (4) дает

377

t+1

= aλ

. (5)

Откуда получаем, что λ= a.

Тогда общее решение уравнения (4) имеет вид

x(t)=Ca

где С – произвольная постоянная.

Заметим, что возможно значение λ=0 для уравнения (5). Оно

приводит к частному решению x(t)=0 для всех значений t.

Замечание 2. Частное решение x

(t) неоднородного линейного

уравнения

x(t + 1)–ax(t)=f (t) (6)

зависит от вида функции f (t). Если f (t)=b(const), то частное решение уравнения

(6) ищем в виде x

(t)=A, где А – константа, подлежащая определению. Если

правая часть f (t) в (6) имеет вид многочлена, например, f (t)=bt + d, то частное

решение x

(t) уравнения (6) ищем в виде многочлена той же степени с неизвест-

ными коэффициентами, которые подлежат определению.

. Динамическое планирование производства.

Рассмотрим пример экономической системы, в математ ическом

описании которой участвуют разностные уравнения. Считаем, что время

изменяется дискретно, по циклам, и циклом в зависимости от масшта-

бов производства может быть выбран день, неделя, месяц, квартал, год

и т.д. Планировать производство предполагается цикличе ски. Рассмот-

рим случай, когда выпускается один вид продукции в количестве ϖ

Пусть на срок Т циклов известен спро с на нее v

(t). Требуется заплани-

ровать такие объемы ϖ

(t) выпуска этой продукции, что спрос будет

удовлетворен, т.е. будет выполняться u

(t)=v

(t), но не будет слиш-

ком много нереализованной продукции и не будет больших колебаний

∆ϖ

(t)=ϖ

(t + 1)–ϖ

(t) выпуска продукции (u

(t) – поставки продукции).

Запасы z

(t) продукции подчиняются уравнению z

(t + 1)=z

(t)+ϖ

(t)–u

(t).

Так как любое число можно представить в виде разности двух неотрица-

тельных чисел, поэто му, введя переменные α(t) ≥0 β(t) ≥0 и можно напи-

сать ϖ

(t+ 1)–ϖ

(t)=α(t)–β(t).

Таким образом, получаем систему разностных уравнений:







−+=+

).()()()1(

),()()()1(

1111

tttt

tuttztz

βαϖϖ

(7)

Если целью является ограничение резких наращиваний производства,

то на траекториях системы (7) нужно минимизировать функцию

378

∑∑

αγ+γ=α

ttzzf

111

)()(),(

где γ

– стоимость хранения единицы продукции, а γ

– некоторая

неотрицательная величина.

! Задания для самостоятельной работы

1. Построить таблицы конечных разностей с шагом h = 1 для

функций:

а)

43)(

+−= tttx

]7;0[∈t

; б)

37)(

−+= tttx

]5;0[∈t

;

в)

)(

]6;0[∈t

; г)

)1ln()( += ttx

]5;0[∈t

2. Записать в виде (2) следующие разностные уравнения:

а)

0sin5

=+−∆+∆ txxx

; б)

=−+∆−∆ txxx

;

в)

0cos2

=−+∆−∆ txxx

; г)

0245

=+−+∆−∆ txxx

3. Записать общее дискретное решение в виде последова-

тельности (вычислить не менее пяти членов) уравнений:

а)

1)()()1(

++=+ txtxtx

; б)

ttxtx +=+ )(5)1(

;

в)

)1ln()(

)1( +−=+ ttxtx

; г)

ttxtx sin)(

)1(

−=+

4. Решить уравнения:

а)

23)(2)1( +=−+ ttxtx

;

б)

)(3)1(

ttxtx =++

;

в)

)(4)1(

−=−+ ttxtx

;

г)

57)(5)1( −=++ ttxtx

379

Лекция 60

Линейные разностные уравнения

с постоянными коэффициентами

Изучены решения однородных и неоднородных линейных

разностных уравнений второго и произвольного порядков

с постоянными коэффициентами.

. Линейные разностные уравнения с постоянны-

ми коэффициентами. Линейное разностное уравнение n-го

порядка

)()()(...)()(

tfxtaxtaxtaxta

=+∆++∆+∆

−

называется линейным разностным уравнением с постоянными коэф-

фициентами, если коэффициенты a

(t), a

(t), ..., a

(t) – постоянные числа,

причем

≠a .

Если правая часть f (t) не равна тождественно нулю, то уравнение

называется нео днородным с посто янными коэф фициентами, а если f (t) ≡0,

то однородным с постоянными ко эффициентами.

Рассматриваемое уравнение можно записать с помощью конеч-

ных разностей

)(...

tfxaxaxa

=++∆+∆

−

или же в форме

)()()1(...)1()(

110

tftxbtxbntxbntxb

=++++−+++

−

. (1)

Согласно Л.59, общее решение уравнения (1) имеет вид

)()(...)()()...,,,,(

221121

txtxCtxCtxCCCCtx

nnn

++++=

где x

(t), x

(t), ..., x

(t) – n линейно независимых частных решений ли-

нейного однородного уравнения с постоянными коэффициентами, со-

ответствующего данному неоднородному уравнению (1), а x

(t) – ча-

стное решение неоднородного уравнения (1).

Изучим частные случаи уравнения (1).

. Линейное разностное уравнение второго по-

рядка с постоянными коэффициентами. Общий вид такого

уравнения следующий:

x(t +2)+a

x(t + 1)+a

x(t)=f (t). (2)

Соответствующее (2) однородное уравнение запишется

380

x(t +2)+a

x(t + 1)+a

x(t)=0, (3)

где a

, a

– конст анты , причем a

≠0.

Будем искать решение однородного уравнения (3) в виде показа-

тельной функции, т .е. x = λ

, где λ – постоянная, подлежащая опреде-

лению.

Подставляя это решение в уравнение (3), получаем

=λ+λ+λ

ttt

или

=+λ+λ aa

. (4)

Уравнение (4) называется характеристическим уравнением для

однородного уравнения (3).

Корни характеристического уравнения имеют вид

aaa −+−

=λ

aaa −−−

=λ

Общее решение однородного разностного уравнения зависит от

корней характеристического уравнения.

Возможны следующие три случая.

>−= aaD

. В этом случае корни характеристического

уравнения (4) λ

и λ

действительные и различные. Получаем два ли-

нейно-независимых решения

однородного разностного урав-

нения. Общее решение однородного разностного уравнения имеет вид

CCtx

2211

)(

λ+λ=

а неоднородного

)()(

2211

txCCtx

+λ+λ=

где C

и C

– произвольные постоянные, а x

(t) – частное решение не-

однородного уравнения (2). Значения постоянных C

и C

могут быть

определены, если задать начальные условия x(0) = x

, x(1)=x

=−= aaD

. Тогда

−=λ=λ

. Одно из частных реше-

ний однородного разностного уравнения (3) имеет вид













−=

)(

а второе линейно-независимое решение имеет вид

ttx













−=

)(

, и об-

щее решение однородного уравнения (3) будет