Минюк С.А., Ровба Е.А. Высшая математика
Подождите немного. Документ загружается.
381
tt
a
tС
a
Сtx
−+
−=
22
)(
1
2
1
1
,
а неоднородного
)(
22
)(
*
1
2
1
1
tx
a
tС
a
Сtx
tt
+
−+
−=
,
где C
1
и C
2
– произвольные постоянные, значения которых можно
определить, если заданы начальные условия x (0) = x
0
, x (1)=x
1
.
3.
04
2
2
1
<−= aaD
. В этом случае характеристическое уравне-
ние (4) имеет пару комплексно-сопряженных корней
β+α=λ i
1
,
β−α=λ i
2
,
где
2
1
a
−=α
,
04
2
1
2
12
>−=β aa
.
Запишем корни
β±α
i
в тригонометрической форме
)sin(cos ϕ±ϕ=β±α iri
, где
22
β+α=r
– модуль корней,
−
−=
α
β
=ϕ
1
2
12
4
arctgarctg
a
aa
.
Тогда общее решение однородного разностного уравнения (3)
имеет вид
)sincos()(
21
tCtCrtx
t
ϕ+ϕ=
,
а общее решение неоднородного уравнения (2)
)()sincos()(
*
21
txtCtCrtx
t
+ϕ+ϕ=
.
Полагая
01
sin
ϕ= AC
,
02
cos
ϕ= AC
,
где
2
2
2
1
CCA +=
, а
2
1
0
arctg
C
C
=ϕ
, будем иметь
)sin(sincoscossinsincos
00021
tAtAtAtCtC ϕ+ϕ=ϕϕ+ϕϕ=ϕ+ϕ
,
а общее решение неоднородного уравнения (2) будет
)()sin()(
*
0
txtArtx
t
+ϕ+ϕ=
.
382
Произвольные постоянные C
1
и C
2
или A и ϕ
0
определяются, если
заданы начальные условия x(0) = x
0
, x(1)=x
1
.
3
0
. Простейшая модель экономического цикла.
Составляющие основу многих моделей экономического цикла меха-
низмы мультипликатора и акселератора в действительности тесно свя-
заны, и как только приходит в действие один, начинает функциониро-
вать и другой. (Напомним, что, согласно механизму мультипликатора,
первонача льное изменение постоянных расходов, в том числе инвести-
ций, вызывает целую серию последующих изменений спроса, а,
следовательно, и национального дохода; любой рост (сокращение) на-
ционального дохода вызывает рост (сокращение) инвестиций, пропор-
циональный изменению национального дохода, что и составляет суть
принципа акселерации или акселератора).
Рассмотрим один из простых вариантов модели экономического
цикла, сочетающего оба указанных фактора. Пусть
I(t)=v(Y(t – 1)–Y(t – 2)) + I
0
,
где I(t) – инвестиции в период t, Y(t) – национальный доход в период t,
Y(t – 1), Y(t – 2) – национальный доход в периоды t – 1 и t –2 соответ-
ственно, v – акселератор , I
0
– автономные инвестиции , время t меня-
ется дискретно.
Расходы в сфере потребления имеют вид
0
)()(
CtcYtC +=
,
где 0<c < 1 – склонность к потреблению. Из условия равновесия спро-
са и потребления имеем, что
)()()( tItCtY +=
.
Подставляя выражения для C(t) и I(t), получаем уравнение дина-
мики национального дохода
00
))2()1(()()(
ItYtYCtcYtY +−−−++= v
,
или
AICtYtYtsY =+=−+−−
00
)2()1()(
vv
,
где s = 1 – c – склонность к сбережениям (норма накопления), A = C
0
+ I
0
.
Полученное уравнение запишем в виде
s
A
tY
s
tY
s
tY +−−−= )2()1()(
vv
. (5)
383
Оно является линейным разностным уравнением второго порядка с
постоянными коэффициентами. Это и есть модель динамики националь-
ного дохода с мультипликатором и акселератором.
Положим в (5) Y(t)=Y
*
+ Z(t), где
s
A
Y =
*
. Тогда полученное
уравнение динамики национального дохода
s
A
tZ
s
Y
s
tZ
s
Y
s
tZY =−++−−−+ )2()1()(
***
vvvv
.
С учетом
s
A
Y =
*
получаем уравнение
0)2()1()( =−+−− tZ
s
tZ
s
tZ
vv
, (6)
которое представляет собой частный случай линейного однородного раз-
но стного уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами,
изученного в пункте 2
0
(нужно положить
2−=
′
tt
,
s
a
v
−=
1
,
s
a
v
=
2
).
4
0
. Линейное разностное уравнение n-го порядка с
постоянными коэффициентами. Линейное разностное урав-
нение n-го порядка с постоянными коэффициентами имеет вид
)()()1(...)1()(
110
tftxatxantxantxa
nn
=++++−+++
−
,
0
0
≠⋅
n
aa
. (7)
Соответствующее ему однородное уравнение
0)()1(...)1()(
110
=++++−+++
−
txatxantxantxa
nn
. (8)
Решение однородного уравнения (8) ищем в виде x(t)=λ
t
, где λ –
постоянная. Подставляя это решение в (8), получим
0...
1
1
1
10
=λ+λ++λ+λ
+
−
−++
t
n
t
n
ntnt
aaaa
.
Отсюда получаем алгебраическое уравнение
0...
1
1
10
=+λ++λ+λ
−
−
nn
nn
aaaa
, (9)
которое называется характеристическим для данного разностного
уравнения. Это уравнение имеет ровно n корней, которые могут быть
вещественными или попарно комплексными сопряженными числами.
Если, например, к орни λ
1
, λ
2
, ..., λ
n
характеристическ ого уравнения (9) все веще-
ственные и различные, то общее решение однородного уравнения (8) имеет вид
384
t
nn
tt
CCCtx
λ++λ+λ= ...)(
2211
,
а неоднородного (7) принимает форму
)(...)(
*
2211
txCCCtx
t
nn
tt
+λ++λ+λ=
,
где C
1
, C
2
, ..., C
n
– произвольные постоянные, которые могут быть
определены, если заданы начальные условия x(0) = x
0
, x(1)=x
1
, ...,
x(n – 1)=x
n–1
, а x
*
(t) – частное решение неоднородного уравнения.
Пример 1. Решить разностное уравнение
x(t +3)+2x(t +2)–2x(t + 1)–x(t)=0.
Решение. Характеристическое уравнение имеет вид
λ
3
+2λ
2
–2λ– 1 =0.
Запишем это уравнение в виде
0)1(2)1(
3
=−λλ+−λ
или
0)21)(1(
2
=λ++λ+λ−λ
.
Отсюда λ
1
=1, λ
2
+3λ+1=0. Решая по следнее квадратное уравне-
ние, получим
2
53
2
+−
=λ
,
2
53
3
−−
=λ
.
Общее решение данного однородного уравнения будет
tt
ttt
CCCCCCtx
−−
+
+−
+=λ+λ+λ=
2
53
2
53
)(
321332211
.
Если некоторый корень, например, λ
1
имеет кратность m,
то для этого корня в общее решение входит член
()
tm
m
tCtCtCC
1
12
321
λ+…+++
−
. Если же имеется пара сопряженных
корней α± iβ, то в общем решении этой паре соответствует член
)sincos(
21
tCtCr
t
ϕ+ϕ
, где
22
β+α=r
,
α
β
=ϕ arctg
.
Поскольку общее решение неоднородного разностного уравне-
ния (7) есть сумма общего решения соответствующего однородного
уравнения (8) и частного решения x
*
(t) неоднородного, то для решения
неоднородного уравнения (7) необходимо:
385
1) найти общее решение соответствующего однородного уравне-
ния;
2) найти како е -нибудь частно е решение данного неоднородного
уравнения, которое зависит от вида функции f (t).
Пример 2. Решить разностное уравнение
x(t +3)–x(t +2)+2x(t)=t + 1.
Решение. Найдем вначале общее решение соответствующего
однородного уравнения
x(t +3)–x(t +2)+2x(t)=0.
Характеристическое уравнение λ
3
– λ
2
+2=0. Запишем его в виде
(λ
3
+ 1)–λ
2
+ 1 =(λ+1)(λ
2
–2λ+2)=0.
Отсюда λ
1
=–1, λ
2
= 1 + i, λ
3
= 1 – i.
Общее решение однородного уравнения имеет вид
π
+
π
+−⋅= tCtCCtx
tt
4
sin
4
cos)2()1()(
321
,
где
211
=+=
r
,
4
1arctg
π
=
.
Найдем теперь частное решение неоднородного уравнения.
Ищем его в виде x = Ct + D, т.е. в той форме, какую имеет функция
f (t), которая в данном случае линейная. Подставляя это решение f (t)
в уравнение, получим
C(t +3)+D – C(t +2)–D +2Ct +2D = t + 1.
Отсюда получаем систему уравнений для определения C и D:
=+
=
.12
,12
DC
C
Ее решение
2
1
=C
,
4
1
=D
.
Таким образом, частное решение такого неоднородного уравне-
ния имеет вид
4
1
2
1
)(
*
+= ttx
.
Общее решение рассматриваемого неоднородного уравнения запи-
шется так:
386
4
1
2
1
4
sin
4
cos)2()1()(
321
++
π
+
π
+−⋅= ttCtCCtx
tt
.
В заключение отметим, что теория линейных разностных уравнений
с постоянными коэффициентами во многом похожа на теорию линейных
дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами.
! Задания для самостоятельной работы
1. Решить однородные линейные разностные уравнения:
а)
0)(2)1(3)2( =++−+ txtxtx
;
б)
0)(4)1(2)2( =++++ txtxtx
;
в)
0)(6)1(5)2( =++−+ txtxtx
;
г)
0)(4)1(8)2(5)3( =−+++−+ txtxtxtx
;
д)
0)(9)1(15)2(7)3( =++++++ txtxtxtx
;
е)
0)()2(2)4( =++++ txtxtx
.
2. Решить неоднородные линейные разностные уравнения:
а)
1)(6)1(5)2( =++−+ txtxtx
;
б)
t
ttxtxtx
2)(4)1(4)2( =++−+
;
в)
4)(2)2()3(
2
+−=++−+ tttxtxtx
;
г)
t
ttxtxtx
2)(2)1(3)2( +=++−+
.
387
ЧАСТЬ IV
ДОПОЛНЕНИЕ
Материал, изложенный в лекциях 20* и 46*, применяется в матема-
тической экономике и предлагается студентам для самостоятельного изу-
чения. Эти лекции можно читать вместо лекций 20 и 46, но в таком слу-
чае самостоятельному изучению подлежит материал, изложенный в
лекциях 20 и 46. Полезен также материал, изложенный в лекции 59*.
Лекция 20*
Блочные матрицы.
Неотрицательные матрицы
Даны определения и основные свойства блочных и неотри-
цательных матриц, приведена простая модель трех вза-
имодействующих отраслей производственного процесса.
1
0
. Блочные матрицы. Иногда матрицу вертикальными и
горизонтальными прямыми разбивают на отдельные блоки, так что
каждый блок является отдельной матрицей меньших размеров, чем
исходная. Такую матрицу называют блочной. В случае, когда верти-
кальных и горизонтальных прямых по одной, блочная матрица может
быть записана в следующем виде:
=
2221
1211
AA
AA
A
.
Основное свойство блочных матриц состоит в том, что все опе-
рации с блочными матрицами такие же, как если бы на месте блоков
стояли числа.
Вычислим определитель квадратной матрицы А. Пусть
A
11
– квадратная матрица и det A
11
≠0. Имеет место равенство:
)(detdet
0
detdet
12
1
11212211
12
1
112122
1211
AAAAA
AAAA
AA
A
−
−
−⋅=
−
=
.
Аналогично в случае det A
22
≠0 имеем
388
)(detdet
0
detdet
21
1
22121122
2221
21
1
221211
AAAAA
AA
AAAA
A
−
−
−⋅=
−
=
.
Отсюда следуют утверждения: а) если матрицы A и A
22
не вырождены, то не вырождена и матрица
21
1
221211
AAAAK
−
−=
; б) если
не вырождены матрицы A и A
11
, то не вырождена и матрица
12
1
112122
AAAAH
−
−=
; в) если матрицы A и A
11
не вырождены, то имеет
место формула Фробениуса:
−
−+
=
−−−
−−−−−−
−
11
1121
1
1
12
1
11
1
1121
1
12
1
11
1
11
1
HAAH
HAAAAHAAA
A
. (1)
Формула Фробениуса (1) сводит обращение матрицы порядка
n + m ×n + m к обращению двух матриц порядков n ×n и m ×m и опера-
циям сложения и умножения матриц с размерами n ×n, m ×m, n ×m,
m ×n.
Если предположить, что матрицы A и A
22
не вырождены, то мож-
но получить другой вид формулы Фробениуса:
+−
−
=
−−−−−−
−−−
−
1
2212
1
21
1
22
1
22
1
21
1
22
1
2212
11
1
AAKAAAKAA
AAKK
A
. (2)
Пример 1. С помощью формулы Фробениуса построить обрат-
ную матрицу для
−−
−
=
2102
1020
0121
1011
A
.
Решение. Полагаем:
−
−
=
21
11
11
A
,
−
=
01
10
12
A
,
=
02
20
21
A
,
=
21
10
22
A
.
Последовательно находим:
=
−
11
12
1
11
A
,
=
=
−
24
22
11
12
02
20
1
1121
AA
,
=−=
−
12
1
112122
AAAAH
389
−
−
=
−
−
−
=
−
−=
23
12
42
22
21
10
01
10
24
22
22
A
,
−
−
=
−
23
12
1
H
,
−
−
=
−
=
−
11
21
01
10
11
12
12
1
11
AA
,
−
−
=
−
−
−
−
=
−−
11
34
23
12
11
21
1
12
1
11
HAA
,
−
−
=
−
−
=
−−−
02
24
24
22
11
34
1
1121
1
12
1
11
AAHAA
,
−
−
=+
−−−−
11
32
1
1121
1
12
1
11
1
11
AAHAAA
,
−
=
−
−
=
−−
22
20
24
22
23
12
1
2212
1
AAH
.
По формуле (1) находим
−−
−−
−−
−−
=
−
2322
1220
1111
3432
1
A
.
Также имеет место утверждение: если прямоугольная матрица A
представима в блочном виде:
=
2221
1211
AA
AA
A
, где A
11
– квадратная
невырожденная матрица порядка n ×n (det A
11
≠0), то ранг матрицы А
равен n в том и только в том случае, когда
12
1
112122
AAAA
−
=
.
2
0
. Неотрицательные мат рицы. Прямоугольную матрицу
A =(a
ij
),
mi ,1=
;
nj ,1=
с вещественными элементами назовем
неотрицательной (обозначение: A≥0), если все элементы матрицы А
неотрицательны: a
ij
≥0. Если все элементы матрицы А положительны:
a
ij
>0, то такую матрицу будем называть положительной (обозначе-
ние: A > 0).
Квадратная матрица A =(a
ij
);
nji ,1, =
называется разложимой, если
390
при некотором разбиении всех индексов 1, 2, ..., n на две дополни-
тельные системы ( без общих индексов) i
1
, i
2
, ..., i
s
; k
1
, k
2
, ..., k
p
( s + p = n ):
0=
βα
ki
a
,
s...,,2,1=α
;
p...,,2,1=β
.
В противном случае матрицу А назовем неразложимой.
Под одновременной перестановкой строк и столбцов матрицы А
понимаем соединение перестановки строк с такой же перестановкой
столбцов. Тогда определение разложимой и неразложимой матриц
можно сформулировать так: матрица А называется разложимой, если
одновременной перестановкой строк и столбцов ее можно привести к
виду
=
DC
B
A
0
~
, где B и D – квадратные матрицы. В противном
случае матрица А называется неразложимой.
Например,
=
52
31
A
– неразложимая положительная матрица,
а
=
40
21
A
– разложимая неотрицательная матрица,
=
510
654
321
A
–
неразложимая неотрицательная матрица.
Некоторые свойства неразложимых матриц:
1. Неразложимая матрица не имеет нулевых строк и столбцов.
2. Если А – неразложимая матрица и z > 0, то Az >0.
3. Если A ≥ 0 – неразложимая матрица порядка n ×n, то
(E + A)
n–1
>0.
4. Пусть А – неразложимая матрица, m – натуральное число.
Тогда в матрице A
m
нет нулевых строк и нулевых столбцов.
Для положительных матриц имеет место
Теорема 1 (Перрона).
Если А – положительная матрица, то существует единствен-
ное характеристическое число λ(A) матрицы А с наибольшей
абсолютной величиной. Это характеристическое число положитель-
ное и простое, а соответствующий ему собственный вектор может
быть выбран положительным.