Поляк Б.Т., Щербаков П.С. Робастная устойчивость и управление

Подождите немного. Документ загружается.

5.1. Линейно-квадратичный регулятор 131

где остаточный член ε допускает оценку |ε| ≤ Ckδuk

; здесь kδuk

(δu, δu)dt

1/2

— норма в L

(0, T ). Поскольку u — точка минимума J(u), то J(u) ≤ J(u) для любого u,

и из вышеприведенного выражения следует, что при малых kδuk

имеем

δJ

(Rx, δx) + (Su, δu)

dt ≥ 0.

Рассмотрим теперь так называемую сопряженную систему

ψ = −A

ψ − Rx, ψ(T ) = 0.

Подставляя в δJ значение Rx из этой системы и проводя преобразования, получаем

δJ =

(−

ψ − A

ψ, δx) + (Su, δu)

(ψ, δ ˙x) − (ψ, Aδx) + (Su, δu)

(ψ, Bδu) + (Su, δu)

ψ + Su, δu)dt.

Здесь мы осуществили интегрирование по частям с учетом граничных условий ψ(T ) =

0, δx(0) = 0 и подставили δ ˙x из уравнения (5.6). Линейный функционал

(a, δu)dt

может быть одного знака для всех малых δu, лишь если a = 0. Поэтому из условия

δJ ≥ 0 получаем

ψ + Su = 0,

т.е.

u = −S

−1

ψ. (5.7)

Итак, оптимальное решение u, x является решением краевой задачи

˙x = Ax − BS

−1

ψ, x(0) = x

ψ = −A

ψ − Rx, ψ(T ) = 0.

(5.8)

Таким образом, отыскание оптимального программного управления u(t) задачи (5.5)

свелось к решению краевой задачи (5.8) для системы 2n линейных обыкновенных диф-

ференциальных уравнений относительно переменных x, ψ; тогда u находится из (5.7).

Если вернуться к исходной задаче (5.1), (5.2), (5.4) на интервале [0, ∞), то можно ожи-

дать, что ее решение u

∞

, x

∞

находится из системы

˙x

∞

= Ax

∞

− BS

−1

ψ, x

∞

(0) = x

ψ = −A

ψ − Rx

∞

, ψ(∞) = 0,

132 Глава 5. Оптимальное управление

однако предельный переход T → ∞ нуждается в обосновании (мы дадим его несколько

позже, в следующем разделе).

Описанный выше подход может быть применен для гораздо более общей задачи

оптимального управления с нелинейным нестационарным уравнением, неквадратичным

функционалом и при наличии ограничений на управление:

min

F (x, u, t)dt

˙x = f(x, u, t), x(0) = x

u(t) ∈ U, 0 ≤ t ≤ T.

В этом случае рассматривается сопряженное уравнение

ψ = −f

, u

, t)

ψ + F

, u

, t), ψ(T ) = 0, (5.9)

где нижний индекс x означает дифференцирование по x, и составляется функция (часто

называемая гамильтонианом)

H(x, u, t)

= f(x, u, t)

ψ − F (x, u, t)

Тогда, если x

, u

— решение задачи (5.9), то

H(x

, u

, t) = max

u∈U

H(x

, u, t) (5.10)

для всех 0 ≤ t ≤ T . Это утверждение называется принципом максимума; его приме-

нение к линейно-квадратичной задаче (5.5) приводит к оптимальному решению (5.7),

(5.8).

5.1.2 Уравнение Риккати

Задача (5.8) представляет определенные трудности. Это не обычная задача Ко-

ши для линейных дифференциальных уравнений, а краевая задача, так как условия

для x(t) и ψ(t) заданы в граничных точках t = 0 и t = T . Попробуем ее решить с по-

мощью специального приема; такой же прием применяется в методе прогонки, исполь-

зуемом в вычислительной математике для решения линейных краевых задач. Именно,

попробуем искать линейную зависимость между ψ и x:

ψ(t) = P (t)x(t), (5.11)

где симметричная матрица P (t) ∈ R

n×n

подлежит определению. Подставляя это в урав-

нения (5.8), получаем

˙x = Ax − BS

−1

P x, x(0) = x

P x + P ˙x = −A

P x − Rx, P (T )x(T ) = 0.

Исключая ˙x, находим

P x + P Ax − P BS

−1

P x + A

P x + Rx = 0, P (T )x(T ) = 0.

5.1. Линейно-квадратичный регулятор 133

Такое уравнение заведомо выполняется (при любых x), если

P + A

P + P A − P BS

−1

P + R = 0, P (T ) = 0. (5.12)

Это матричное обыкновенное дифференциальное уравнение (с начальным условием при

t = T ). Оно называется дифференциальным матричным уравнением Риккати. Отме-

тим, что это уравнение нелинейно по P . Таким образом, процедура построения опти-

мального управления u в данном подходе следующая:

а) Решается уравнение (5.12) и находится P (t).

б) Управление u находится из (5.7), (5.11):

u(t) = −S

−1

P (t)x(t)

= K(t)x(t). (5.13)

Итак, в данном случае оказалось, что оптимальное программное управление можно

выразить в форме обратной связи по состоянию, однако матричный коэффициент уси-

ления K(t) зависит от времени t. Можно показать (см. Теорему П.5 из Приложения),

что при сделанных предположениях (пара (A, B) невырождена, R > 0, S > 0) решение

уравнения Риккати обладает следующими свойствами:

1. При любом T > 0 оно существует и единственно для всех t ∈ [0, T ];

2. P (t) ≥ 0 для любых 0 ≤ t ≤ T ;

3. Если P

(t) — решение уравнения при заданном T , то P

(t) < P

(t) при T

> T

;

4. При T → ∞ будет P

(t) → P

∞

, где (не зависящая от t) матрица P

∞

является

единственным положительно определенным решением алгебраического матрич-

ного уравнения Риккати

P A + A

P − P BS

−1

P + R = 0. (5.14)

С учетом свойств 3 и 4 и формулы (5.13), мы получаем, что при T = ∞ оптимальное

управление приобретает форму стационарной обратной связи

u(t) = Kx(t), K = −S

−1

P, (5.15)

где P — решение (5.14). Итак, для решения исходной задачи (5.1), (5.2), (5.4) о линейно-

квадратичном регуляторе достаточно решить алгебраическое уравнение Риккати (5.14)

и с помощью найденной матрицы P > 0 построить оптимальную обратную связь в

виде (5.15).

Оптимальность управления (5.15) может быть доказана и “в лоб”; именно, если обо-

значить его через u

∗

(t), то для любого другого (даже программного) управления u(t)

можно путем несложных преобразований получить формулу

J = x

P x

∞

¯u(t) − u

∗

(t)

dt.

134 Глава 5. Оптимальное управление

Отсюда следует важный вывод: оптимальное значение функционала J равно

min

= x

P x

и является квадратичной функцией от начальных значений состояния.

Сопутствующие функции Matlab:

care, dare (CST) — решение алгебраического уравнения Риккати в непрерывном и

дискретном случаях.

5.1.3 Функция Ляпунова и линейные матричные неравенства

Результат предыдущего раздела можно интепретировать с иной точки зрения. Рас-

смотрим функцию

V (x) = x

P x; (5.16)

тогда для оптимальной замкнутой системы

˙x = Ax + Bu, u = −S

−1

P x (5.17)

значение этой функции на траектории x(t) равно

V (t) = V

x(t)

∞

Rx + u

dτ

т.е. монотонно убывает. Таким образом, (5.16) является функцией Ляпунова для опти-

мальной системы. Попробуем, не связывая P с уравнением Риккати (5.14), найти такие

матрицы P > 0, что для системы, замкнутой той же обратной связью, что и выше

u = −S

−1

P x,

квадратичная функция V (x) = x

P x являлась бы функцией Ляпунова. Тогда

˙x = (A − BS

−1

P )x

= A

V (x(t)) =

(P A

+ A

P )x, x

и условие

V < 0 выполняется, если

P A

+ A

P < 0.

Раскрывая это соотношение, получаем

P A + A

P − 2P BS

−1

P < 0.

Умножив это выражение слева и справа на Q

= P

−1

(неравенства U < 0 и QUQ < 0

эквивалентны для невырожденной матрицы Q), получаем

AQ + QA

− 2BS

−1

< 0, Q > 0. (5.18)

5.1. Линейно-квадратичный регулятор 135

Итак, чтобы найти любую функцию Ляпунова (5.16) для замкнутой системы (5.17),

нужно найти матрицу Q, удовлетворяющую (5.18), и взять P = Q

−1

. Таким образом,

мы вновь решили задачу стабилизации исходной линейной системы ˙x = Ax + Bu (см.

Теорему 35). Выражение (5.18) является линейным матричным неравенством. В нем

переменной является симметричная матрица Q, а неравенства понимаются в матричном

смысле. Мы будем оперировать линейными матричными неравенствами на протяжении

всей книги; в частности, мы уже встречались с ними в разделах 3.5 и 4.4. Попытаемся

теперь оценить, какое значение критерия J мы получим при выборе того или иного

стабилизирующего управления. Для этого введем параметр γ > 0 и рассмотрим более

сильное неравенство, чем (5.18), включающее квадратичные члены:

AQ + QA

− 2BS

−1

+ γ(BS

−1

+ QRQ) ≤ 0, Q > 0. (5.19)

(оно совпадает с (5.18) при γ = 0). Если мы возьмем какое-либо решение Q этого

неравенства и выберем обратную связь u = −S

−1

x, то можно воспользоваться

Леммой П.14 из Приложения: Если матрица A устойчива, x(t) — решение системы

˙x = Ax, x(0) = x

, то значение функционала J

∞

W xdt (при W > 0) равно x

где — решение уравнения Ляпунова A

+ XA = −W . Заменяя здесь A на матрицу

замкнутой системы

−

−1

на

−1

, получаем

J = x

X + XA

= −(R + Q

−1

). (5.20)

С другой стороны, если умножить неравенство (5.19) слева и справа на Q

−1

, то получим

−1

A + A

−1

− 2Q

−1

≤ −γ(Q

−1

+ R),

что может быть переписано как

−1

≤ −R − Q

−1

Вычитая теперь отсюда равенство (5.20) для , получаем

−1

− X

−1

− X

≤ 0.

Матрица A

устойчива (это было доказано выше для матрицы Q, являющейся решени-

ем (5.18), но решение (5.19) тем более удовлетворяет (5.18)). Поэтому (см. Лемму П.15

из Приложения) Q

−1

/γ − X ≥ 0, т.е. ≤ Q

−1

/γ. Таким образом,

J = x

≤

−1

Итак, для любого решения Q неравенства (5.19) и обратной связи u = −S

−1

мы получили оценку функционала

J ≤ γ

−1

136 Глава 5. Оптимальное управление

Сделаем еще один шаг — заменим квадратичное неравенство (5.19) линейным с помо-

щью леммы Шура (Лемма П.1 из Приложения):







AQ + QA

+ (γ − 2)BS

−1

1/2

Q − I







≤ 0, Q > 0. (5.21)

Окончательно получаем следующий результат. Решим линейное матричное неравен-

ство (5.21). Если для данного γ > 0 найдется его решение Q, то взяв обратную связь

u = −S

−1

мы обеспечим в исходной задаче (5.1)–(5.4) значение функционала

J =

∞

Rx + u

dt ≤ γ

−1

Таким образом, решение линейно-квадратичной задачи при данном подходе сводится к

решению линейных матричных неравенств. Величина γ играет роль параметра; ее оп-

тимальное значение (отвечающее минимуму функционала J), можно найти с помощью

одномерного поиска. Конечно, такой путь выглядит более громоздким, чем описанные

выше способы решения, но, как мы увидим позже (раздел 8.2), он допускает “робасти-

зацию” задачи — обобщение на случай неопределенных систем.

Сопутствующие функции Matlab:

feasp (LMIC) — решение общей задачи линейных матричных неравенств;

lyap (CST) — решение уравнения Ляпунова;

sqrtm (CST) — вычисление квадратного корня от матрицы.

5.2 H

∞

-оптимизация

Проблема H

∞

-оптимизации возникает при различных постановках задач управле-

ния. Сейчас мы познакомимся с двумя из них; другие будут рассмотрены позже, в

части II, в связи с идеями робастности.

Пусть на вход устойчивой системы

˙x = Ax + Bw ,

y = Cx,

подается гармонический сигнал

w(t) = ae

jωt

Тогда, как мы знаем (раздел 1.2) установившийся сигнал на выходе будет равен

y(t) = H(jω)w(t), H(s) = C(sI − A)

−1

5.2. H

∞

-оптимизация 137

Если мы хотим, чтобы амплитуда этого сигнала была достаточно мала для всех ча-

стот ω, то мерой этого может служить величина

sup

|H(jω)| = kH(s)k

∞

т.е. H

∞

-норма передаточной функции (см. раздел 1.3). Несколько более общая задача

возникает, когда нам желательна малость выхода в какой-то полосе частот или, более

общо, когда есть весовая функция W (s), и критерий качества процесса имеет вид

sup

|W (jω)H(jω)| = kW (s)H(s)k

∞

Иначе, пусть на вход той же системы поступает любое возмущение, ограниченное

в L

-норме:

kwk

∞

(t)w(t)dt ≤ 1. (5.22)

Тогда, как мы знаем (см. (1.34) и раздел 3.5)

sup kyk

= kH(s)k

∞

где супремум берется по всем входным возмущениям, удовлетворяющим (5.22). Итак,

в обеих постановках задачи естественным показателем качества процесса является

величина

= kH(s)k

∞

Пусть теперь в системе присутствует управление:

˙x = Ax + Bu + Dw,

y = Cx.

Тогда задача H

∞

-оптимизации заключается в выборе регулятора в форме обратной

связи по состоянию

u = Kx,

который минимизирует H

∞

-норму передаточной функции H(s) замкнутой системы, т.е.

min

kH(s)k

∞

, H(s) = C(sI − (A + BK))

−1

в предположении, что K — стабилизирующий регулятор.

Мы дадим два различных решения этой важной задачи. Одно будет проведено в

пространстве состояний и будет опираться на описание достижимого множества из раз-

дела 3.5. Другое будет связано с описанием исходной системы с помощью передаточных

функций и будет дано в частотной области.

138 Глава 5. Оптимальное управление

5.2.1 Решение в частотной области

Начнем с последнего подхода; для простоты ограничимся одномерным случаем. За-

дана линейная непрерывная система (см. раздел 2.4):

a(s)y(t) = b(s)u(t) + w(t),

где a(s), b(s) — полиномы от оператора дифференцирования s =

; ищется регулятор

в форме линейной обратной связи

u(t) = −C(s)y(t) = −

f(s)

g(s)

y(t)

(где f(s), g(s) — полиномы), который, во-первых, стабилизирует систему, а во-вторых,

минимизирует H

∞

-норму передаточной функции H(s) от входа w к выходу y.

Прежде всего, мы знаем, как записать все стабилизирующие регуляторы. Имен-

но, введем некоторый устойчивый полином ϕ(s), удовлетворяющий условию deg ϕ =

max{deg a, deg b} и рассмотрим

A(s)

a(s)

ϕ(s)

, B(s)

b(s)

ϕ(s)

, D(s)

ϕ(s)

— функции из RH

∞

(напомним, что RH

∞

— пространство устойчивых реализуемых

дробно-рациональных функций). Предположим, что полиномы a(s) и b(s) не имеют об-

щих неустойчивых нулей, т.е. функции A(s) и B(s) взаимно-просты. Тогда по Теореме 27

уравнение

AX + BY = 1

имеет решение X

(s), Y

(s) ∈ RH

∞

, и общий вид стабилизирующего регулятора дается

выражением

C(s) =

+ AQ

− BQ

, (5.23)

где Q = Q(s) — произвольная функция из RH

∞

. Передаточная функция нашей систе-

мы, замкнутой таким регулятором, примет вид (см. (2.14))

H(s) =

g(s)

a(s)g(s) + b(s)f(s)

D(s)

A(s) + B(s)C(s)

= D(s)

(s) − B(s)Q(s)

(s) −

B(s)Q(s), (5.24)

где обозначено

= DX

ϕ(s)

= DB =

ϕ(s)

B (подчеркнем, что ϕ(s) — устойчи-

вый полином). Итак, для всякой Q ∈ RH

∞

регулятор (5.23) является стабилизирующим.

Следовательно, задача минимизации kH(s)k

∞

свелась к минимизации

min k

(s) −

B(s)Q(s)k

∞

по Q ∈ RH

∞

. Вспоминая определение H

∞

-нормы (раздел 1.3), эту задачу можно рас-

сматривать как задачу наилучшего приближения: заданы функции

(jω),

B(jω), най-

ти Q(jω), минимизирующую

max

(jω) −

B(jω)Q(jω)|.

5.2. H

∞

-оптимизация 139

В некоторых случаях решение находится совсем просто. Пусть, например, полином b(s)

устойчив (иначе говоря, разомкнутая система — минимально-фазовая), тогда можно

взять

Q(s)

(s)

B(s)

(s)

B(s)

Действительно, тогда Q(s) имеет устойчивый знаменатель и Q(s) ∈ RH

∞

, при этом

kH(s)k

∞

= 0.

Явное решение можно найти и в случае, когда b(s) имеет один неустойчивый ко-

рень s

, Re s

> 0. Для этого выберем

Q(s)

(s) −

)

B(s)

(s) − X

)

B(s)

. (5.25)

Тогда Q ∈ RH

∞

(считаем, что в (5.25) единственный неустойчивый корень s

знаменате-

ля сокращен с корнем s

в числителе), и H(s) =

) = const, т.е. kH(s)k

∞

= |

)|.

С другой стороны, при любой Q ∈ RH

∞

, H(s) — аналитическая функция в правой по-

луплоскости (по построению, ибо C (5.23) — стабилизирующий регулятор), поэтому по

известной теореме теории аналитических функций, ее максимум модуля достигается

на границе, т.е. для любой Q будет kH(s)k

∞

≥ |H(s

)| = |

)| (последнее равенство

следует из (5.24), поскольку

B(s

) = 0). Поэтому Q(s) (5.25) минимизирует H

∞

-норму

передаточной функции.

Общий случай произвольных нулей полинома b(s) анализируется следующим обра-

зом. Пусть s

, . . . , s

— корни b(s), лежащие в правой полуплоскости:

B(s

) = 0, i = 1, . . . , n, Re s

> 0.

Введем число γ > 0; нас интересует, можно ли найти Q ∈ RH

∞

, такое, что

−

BQk

∞

≤ γ. (5.26)

Обозначим

(

−

BQ), (5.27)

тогда G

∈ RH

∞

, и

) =

)

= n

, i = 1, . . . , n;

в остальном G

(s) произвольна. Поэтому задача записывается так: найти (если таковое

существует) G

∈ RH

∞

из условий

∞

≤ 1,

) = n

, i = 1, . . . , n.

(5.28)

Решение этой проблемы дается следующей теоремой Неванлинны-Пика.

140 Глава 5. Оптимальное управление

Теорема 38 (Неванлинна-Пик) Составим матрицу P размерности n×n (матрицу

Пика) с элементами

1 − n

∗

+ s

∗

;

это эрмитова матрица. Задача (5.28) разрешима тогда и только тогда, когда P ≥ 0.

Существует также простой рекуррентный алгоритм, позволяющий в случае P ≥ 0

построить G

, удовлетворяющее (5.28). Тогда из формулы (5.27) можно найти Q, для

которой верно (5.26), а затем и регулятор C из формулы (5.23). Подбором γ можно

решить и задачу отыскания минимального γ, для которого задача (5.28) разрешима;

соответствующий регулятор будет обеспечивать минимум kH(s)k

∞

Существуют и иные способы решения задачи минимизации H

∞

-нормы для систем,

заданных с помощью передаточных функций. Не будем на них останавливаться, а пе-

рейдем к иному подходу — решению задач H

∞

-оптимизации в пространстве состояний.

5.2.2 Решение в пространстве состояний

Итак, мы рассматриваем систему с внешним возмущением w, ограниченным в L

норме:

˙x = Ax + Bu + Dw, kwk

≤ 1, x(0) = 0,

y = Cx + B

(5.29)

и ищем управление

u = Kx, (5.30)

которое минимизирует

= sup

kyk

Обратим внимание, что в (5.29) управление u включено в уравнение для выхода для то-

го, чтобы ограничить величину используемого управления. В противном случае можно

добиться сколь угодно маленького значения J с помощью достаточно больших u (с той

же целью управление было введено в критерий J (5.4) в задаче о линейно-квадратичном

регуляторе из раздела 5.1).

Как мы знаем, J = kH(s)k

∞

где H(s) — передаточная функция замкнутой си-

стемы от возмущения w к выходу y , т.е. минимизация J эквивалентна задаче H

∞

оптимизации. Преобразуем предварительно kyk

kyk

∞

(Cx + B

u)dt =

∞

Cx + 2u

Cx + u

u)dt.

Предположим, для простоты выкладок, что B

C = 0, тогда смешанное произведение

отсутствует:

kyk

∞

Cx + u

Su)dt, S

= B