Поляк Б.Т., Щербаков П.С. Робастная устойчивость и управление

Подождите немного. Документ загружается.

5.2. H

∞

-оптимизация 141

Таким образом, задача записывается так:

˙x = A

x + Dw, kwk

≤ 1, x(0) = 0, A

= A + BK;

J =

∞

Rxdt, где R = C

C + K

SK, S = B

На основании Теоремы 17 заключаем, что если неравенство

P + P A

P DD

P + R ≤ 0 (5.31)

имеет решение P > 0, то J ≤ γ

. Умножим это неравенство слева и справа на Q

= P

−1

Q(A + BK)

+ (A + BK)Q +

+ QC

CQ + QK

SKQ ≤ 0

и сделаем замену Y

= KQ:

+ AQ + QC

CQ + Y

+ BY + Y

SY +

≤ 0. (5.32)

Преобразуем члены, зависящие от Y (дополнением до полного квадрата):

+ BY + Y

SY = (S

1/2

Y + S

−1/2

)

1/2

Y + S

−1/2

) − BS

−1

≥ −BS

−1

причем равенство достигается при Y = −S

−1

. Итак, неравенство (5.32) выполня-

ется при некоторых Q > 0, Y тогда и только тогда, когда выполняется неравенство

относительно Q > 0:

+ AQ + QC

CQ − BS

−1

≤ 0.

В свою очередь, оно имеет положительно-определенное решение Q > 0, если такое ре-

шение имеет уравнение Риккати, полученное заменой неравенства на равенство (Лем-

ма П.23, Приложение). По этому решению Q мы можем восстановить соответствующий

регулятор:

K = Y Q

−1

= −S

−1

и этот регулятор будет стабилизирующим, т.е. A

= A + BK устойчива. Итак, мы

пришли к следующему результату.

Теорема 39 Пусть B

C = 0, S

= B

> 0. Если уравнение Риккати

+ AQ + QC

CQ − BS

−1

= 0

имеет решение Q > 0 при данном γ, то найдется регулятор

K = −S

−1

такой, что в задаче (5.29)–(5.30) будет

kH(s)k

∞

≤ γ,

где H(s) = (C + B

sI −(A + BK)

−1

D — передаточная функция замкнутой систе-

мы.

142 Глава 5. Оптимальное управление

Отсюда следует алгоритм подбора γ, который позволяет оценить минимальную H

∞

норму передаточной функции системы и синтезировать соответствующий оптимальный

регулятор. Он основан на пересчете γ и последовательном решении уравнения Риккати.

Выше мы рассматривали задачу H

∞

-оптимизации в предположении, что известно

состояние системы. Аналогичная техника возможна и в задаче управления по выходу. В

этом случае для отыскания H

∞

-оптимального регулятора приходится решать два урав-

нения Риккати. Кроме того, возможен и ряд других, более общих постановок задачи,

а также ее дискретные аналоги. Не будем на этом останавливаться, так как выкладки

становятся значительно сложнее, а идейная сторона решения мало меняется.

Сопутствующие функции Matlab:

hinf, linf, hinfopt (RCT) — H

∞

-оптимальный синтез;

care, dare (CST) — решение уравнения Риккати.

5.3 Подавление ограниченных возмущений

Обратим внимание на то, какого рода внешние возмущения считались допустимыми

в приведенных выше постановках задач оптимального управления. В линейно-квадра-

тичной задаче (раздел 5.1) внешние возмущения предполагались отсутствующими (в

действительности возможно обобщение на задачу со случайными гауссовскими помеха-

ми; это так называемая линейно-квадратичная гауссовская задача — LQG). Проблема

∞

-оптимизации (раздел 5.2) была связана либо с синусоидальными внешними воз-

действиями, либо с ограниченными в L

помехами (т.е. убывающими с течением вре-

мени). Впрочем, возможна формулировка H

∞

-оптимизационных задач и в ситуации

со случайными гауссовскими помехами. Итак, во всех рассмотренных выше подходах

внешние воздействия предполагались либо случайными, либо гармоническими, либо

затухающими на бесконечности.

Однако во многих случаях возмущения являются просто ограниченными; какая-

либо иная информация о них отсутствует. В такой ситуации требуется выбрать закон

управления, который давал бы наилучший возможный результат при наихудшем огра-

ниченном возмущении. Это связано с минимизацией L

-нормы (в непрерывном случае)

или l

-нормы (в дискретном случае) оператора, задающего замкнутую систему. Поэто-

му выбор наилучшего управления по такому критерию называется l

(или L

) опти-

мизацией. При этом иногда говорят о проблеме подавления ограниченных возмущений.

Рассмотрим эти задачи подробнее.

5.3.1 l

-оптимизация

Начнем с одномерных дискретных систем, описываемых скалярным разностным

уравнением

a(z)y

= b(z)u

+ w

, (5.33)

где

a(z) = 1 + a

z + . . . + a

, b(z) = b

z + . . . + b

(5.34)

5.3. Подавление ограниченных возмущений 143

— полиномы (согласно практике, установившейся в l

теории, в этом разделе будем

обозначать полиномы строчными буквами), а z — оператор сдвига назад, т.е. z

k−i

. Отметим, что b(0) = 0, т.е. y

зависит от u

k−1

, . . . , u

k−m

, y

k−1

, . . . , y

k−n

, а полином

a(z) всегда можно отнормировать так, чтобы a(0) = 1. Относительно помехи w будем

предполагать лишь ее ограниченность для всех моментов k, т.е.

| ≤ r, k = 0, 1, . . . , (5.35)

где r > 0 — некоторая константа, или, иначе говоря, kwk

∞

≤ r. Нас интересует выбор

управления u в форме обратной связи:

= −

f(z)

g(z)

;

иными словами, u

находится из разностного уравнения

g(z)u

= −f(z)y

где f(z), g(z) — некоторые полиномы от z. Обратим внимание, что степени этих полино-

мов могут быть любыми — во всех случаях u

выражается через предыдущие управле-

ния и выходы, а при подстановке этого u

в (5.33) благодаря условию b(0) = 0 окажется,

что выход y

замкнутой системы выражается только через прошлые значения входов и

выходов. Итак, имеем

a(z) +

f(z)

g(z)

b(z)

= w

или

= h(z)w

где

h(z) =

g(z)

a(z)g(z) + b(z)f (z)

. (5.36)

Прежде всего, нам нужно, чтобы замкнутая система была устойчивой, т.е. чтобы ха-

рактеристический полином

p(z) = a(z)g(z) + b(z)f(z)

имел все корни вне единичного круга. В этом случае h(z) аналитична внутри круга,

представима там в виде ряда h(z) = h

+ h

z + . . . + h

+ . . . (см. раздел 1.3), и

справедлива оценка

kyk

∞

≤ kh(z)k

kwk

∞

≤ rkh(z)k

где

kh(z)k

∞

i=0

| < ∞.

Таким образом, минимизируя критерий

= kh(z)k

= sup

kwk

∞

≤r

kyk

∞

144 Глава 5. Оптимальное управление

мы тем самым минимизируем l

∞

-норму выхода при любых входах w, удовлетворяющих

∞

-ограничениям (5.35). Задача оптимального управления свелась к проблеме миними-

зации kh(z)k

по регулятору

C(z)

= −

f(z)

g(z)

при условии, что этот регулятор является стабилизирующим. В некоторых случаях

решение такой задачи находится без труда.

Пусть, например, b(z) = z, т.е. исходная задача имеет вид

= −a

k−1

− . . . − a

k−n

+ u

k−1

+ w

Если взять u

k−1

= a

k−1

+ . . . + a

k−n

, то будет y

= w

, т.е. |y

| ≤ |w

| ≤ r, kyk

∞

≤ r.

Ясно, что лучшего результата достичь нельзя — каким бы ни было управление u

k−1

оно не может зависеть от w

(потому что оно зависит лишь от y

k−1

, . . . , y

k−n

, а те не

зависят от w

). Поэтому для любой величины ε

= u

k−1

− a

k−1

− . . . − a

k−n

6= 0

можно взять w

= rsign ε

и тогда |y

| = |ε

| + r > r.

Аналогичное простое решение получается, если z

−1

b(z) — устойчивый полином; то-

гда достаточно взять

−1

(a(z) − 1)

−1

b(z)

Тогда p(z) = z

−1

b(z) устойчив, а y

= w

. Однако в общем случае для произвольного

полинома b(z) решение более сложно. Чтобы его получить, нам, во-первых, потребуется

общий вид стабилизирующего регулятора (см. раздел 4.2) и, во-вторых, некоторые фак-

ты из теории оптимизации. Напомним, что все стабилизирующие регуляторы даются

формулой (4.14):

C(z) =

(z) + a(z)q(z)

(z) − b(z)q(z)

, (5.37)

где x

(z), y

(z) — полиномы минимальной степени, являющиеся решением уравнения

by + ax = 1, (5.38)

а q(z) — произвольная устойчивая дробно-рациональная функция (т.е. не имеющая

полюсов в единичном круге). Вычисляя передаточную функцию h(z) по формуле (5.36),

получаем

h(z) = x

− bq.

Пусть полином b(z) не имеет нулей на единичной окружности, тогда он представим в

виде

b(z)

= b

(z)b

−

(z), (5.39)

где все нули b

(z) лежат вне, а все нули b

−

(z) — внутри единичного круга. Обозначим

k(z)

= q(z)b

(z), тогда k(z) — произвольная устойчивая дробно-рациональная функция

(по k(z) восстанавливается q(z) = k(z)/b

(z), также являющаяся устойчивой). Итак,

наша задача принимает вид

min

k(z)

(z) − k(z)b

−

(z)k

, (5.40)

5.3. Подавление ограниченных возмущений 145

где x

— заданный полином (решение уравнения (5.38) минимальной степени), b

−

(z)

— полином со всеми нулями внутри единичного круга, а минимум берется по всем

устойчивым k(z). В силу устойчивости функция k (z) аналитична в единичном круге, а

потому она допускает разложение

k(z) = k

+ k

z + . . . + k

+ . . .

Относительно коэффициентов разложения k

задача (5.40) является задачей оптимиза-

ции вида

min kc − Akk

, (5.41)

где коэффициенты полиномов

(z)

= c

+ c

z + . . . + c

, b

−

(z)

= d

+ d

z + . . . + d

порождают вектор c и матрицу A:

c =













, A =







0 . . . 0 . . .

. . . 0 . . .

m−1

. . . d

. . .

0 d

. . . d

. . .







, k =













Здесь k — бесконечномерный вектор, A — матрица с бесконечным числом строк и столб-

цов. Рассмотрим конечномерный вариант задачи, в котором берутся N + 1 компонент

вектора k и N × (N + 1) усеченная матрица A:

min

i=0

− A

k|,

где k = (k

, . . . , k

)

, а A

— первые N + 1 элементов i-й строки матрицы A. Эта задача

эквивалентна обычной конечномерной задаче линейного программирования:

min

i=0

−t

≤ c

− A

k ≤ t

(5.42)

Численное решение может быть получено с помощью любого пакета линейного про-

граммирования, например, процедуры linprog в пакете Optimization Toolbox системы

Matlab.

Обозначим решение этой задачи через k

, а минимальное значение целевой функции

— как J

; ясно что J

≥ J

i+1

для любого i.

Теорема 40 Существует такое N, что J

≥ J

для всех i; иначе говоря, решение

бесконечномерной задачи (5.41) достигается на конечномерном векторе k

146 Глава 5. Оптимальное управление

Доказательство. В силу теоремы двойственности для задач вида (5.42) (см. Прило-

жение, раздел 11) имеем

min kc − Akk

min

u∈U

kuk

∞

, U = {u: c

u = 1, A

u = 0}.

Иначе говоря, двойственной к (5.42) является задача

min kuk

∞

, c

u = 1, A

u = 0,

которая с учетом вида матрицы A в нашем случае записывается как

min

max

t=0

= 1, d(z)u

= 0,

d(z) = d

+ d

m−1

z + . . . + d

m−1

(5.43)

Здесь d(z) — полином, получающийся из b

−

(z) изменением порядка переменных. По-

этому у d(z) корни обратны корням b

−

(z) и, следовательно, они лежат вне единичного

круга. Отсюда следует, что u

→ 0 при t → ∞. Таким образом, max

| достигается для

некоторого конечного t = N, и значение минимума в (5.43) не меняется при достаточно

больших N. В силу соотношения двойственности это же относится и к задаче (5.42).

Подытожим полученный алгоритм решения задачи l

-оптимизации.

Алгоритм.

1. Произведем факторизацию (5.39) полинома b(z).

2. Решим полиномиальное уравнение (5.38), найдем решение x

, y

наименьшей сте-

пени.

3. Решим задачу линейного программирования (5.42) для достаточно большого N;

убедимся, что решение не изменяется при увеличении N.

4. По полученному k

= (k

, k

, . . . , k

)

построим

(z) = k

+ k

z + . . . + k

и найдем

q(z) =

(z)

5. Оптимальный регулятор дается формулой (5.37):

C(z) =

(z) + a(z)q(z)

(z) − b(z)q(z)

Отметим, что если на шаге 3 алгоритма решать двойственную задачу (5.43), то

требуемое N удается найти сразу; при этом, однако, возникает небольшое усложнение,

связанное с переходом от решения двойственной задачи к исходной.

5.3. Подавление ограниченных возмущений 147

Итак, решение проблемы l

-оптимизации удается получить численно, путем реше-

ния задач линейного программирования. К сожалению, число N (и, тем самым, по-

рядок оптимального регулятора C(z)) нельзя оценить заранее. Существуют примеры,

для которых этот порядок очень велик для совсем простых объектов. Например, можно

показать, что для дискретной системы

− εy

k−1

= u

k−1

+ εu

k−2

+ w

порядок оптимального регулятора неограниченно возрастает при ε → 0. Один из спо-

собов преодолеть этот недостаток заключается в поиске субоптимального решения —

мы можем заранее ограничить порядок N полинома k(z) и решить задачу линейного

программирования для фиксированного N; тогда порядок субоптимального регулятора

тоже будет априори ограничен.

Еще хуже ситуация для непрерывных одномерных систем

a(s)y(t) = b(s)u(t) + w(t), |w(t)| ≤ r.

Здесь оптимальный (в смысле минимума kyk

∞

) линейный регулятор

u(t) = C(s)y(t)

может оказаться бесконечномерным, т.е. оптимальная функция C(s) не является дробно-

рациональной. Мы не будем более подробно изучать эту задачу (называющуюся L

оптимизацией), равно как и многомерные аналоги l

и L

, а обсудим иные подходы к

проблеме подавления ограниченных возмущений.

5.3.2 Использование сверхустойчивости

Один из подходов связан с использованием сверхустойчивости вместо устойчивости

и возникающих при этом оценок выхода системы. Рассмотрим ту же модель (5.33)–

(5.35) дискретной одномерной системы, что и ранее:

a(z)y

= b(z)u

+ w

, |w

| ≤ r,

a(z) = 1 + a

z + . . . + a

, b(z) = b

z + . . . + b

и линейный регулятор

g(z)u

= −f(z)y

Как уже отмечалось, характеристический полином равен

p(z) = a(z)g(z) + b(z)f(z),

а замкнутая система принимает вид

p(z)y

= g(z)w

Аналогично a(z), мы можем отнормировать полином g(z) так, чтобы g(0) = 1; в сочета-

нии с условиями a(0) = 1, b(0) = 0 это дает p(0) = 1, т.е. характеристический полином

равен

p(z) = 1 + p

z + . . . + p

148 Глава 5. Оптимальное управление

Потребуем, чтобы он был сверхустойчивым (см. (3.45)), т.е.

i=1

| < 1

(в другой форме записи это означает, что kp(z) − 1k

< 1), тогда согласно Теореме 22

имеем

| ≤

kgk

1 − kp − 1k

для всех k. Таким образом, чтобы минимизировать kyk

∞

— максимум модуля выхода

— можно минимизировать (по f(z) и g(z)) величину

γ(f, g)

kgk

1 − kp − 1k

r (5.44)

в предположении, что знаменатель этого выражения положителен. Вводя параметр µ,

0 ≤ µ < 1, мы приходим к задаче

min

f,g

kgk

/(1 − µ)

kag + bf − 1k

≤ µ, g(0) = 1.

(5.45)

Если зафиксировать степени F и G полиномов f(z) и g(z):

f(z) = f

+ f

z + . . . + f

, g(z) = 1 + g

z + . . . + g

то при фиксированном µ задача (5.45) с помощью стандартных приемов может быть

преобразована в задачу линейного программирования относительно переменных f

, f

, . . . , f

, . . . , g

(см. раздел 4.5). Решая ее при различных 0 ≤ µ < 1 и оптимизируя по µ, мы

находим минимум γ

∗

величины (5.44), а сам регулятор C(z) = f(z)/g(z) гарантирует

оценку

kyk

∞

≤ rγ

∗

(5.46)

для замкнутой системы. Может оказаться, что при слишком малых F и G решение

задачи (5.45) не существует даже при µ ≈ 1, т.е. полином p(z) не может быть сде-

лан сверхустойчивым; тогда порядки F и G полиномов регулятора следует увеличить.

Отметим, что здесь не возникает проблем с высокими порядками, так как в предполо-

жении взаимной простоты a(z), b(z) уравнение ag + bf − 1 = 0 разрешимо с G ≤ n − 1,

F ≤ m − 1 (см. Теорему П.4 из Приложения), и ограничения в (5.45) совместны при

µ = 0, т.е. задача (5.45) заведомо имеет решение при G = n − 1, F = m − 1.

Описанный способ проще, чем l

-оптимизация. Более того, он позволяет строить оп-

тимальный регулятор заданного порядка. Однако оценка (5.46) является лишь верхней

гранью kyk

∞

, поэтому l

-оптимизация может дать лучшее значение этого критерия.

Отметим, что такой подход к задаче подавления ограниченных возмущений допус-

кает обобщение на многомерные системы, причем охватываются случаи и дискретного,

5.3. Подавление ограниченных возмущений 149

и непрерывного времени. Например, рассмотрим непрерывную систему, заданную в

пространстве состояний (везде ниже используем ∞-норму для векторов):

˙x = Ax + Bu + D

w, x(0) = x

y = Cx + D

w |w(t)| ≤ 1, t ≥ 0.

(5.47)

Ищем регулятор по выходу u = Ky и прежде всего требуем, чтобы он сверхстабилизи-

ровал замкнутую систему

˙x = A

x + Dw, A

= A + BKC, D

= D

+ BKD

т.е. чтобы

σ(A

)>0,

где σ(A

) определяется (3.38). Среди всех таких регуляторов ищем тот, который мини-

мизирует критерий

J = max

kwk

∞

≤1

max

|x(t)|

(в более общей постановке можно интересоваться не состоянием x(t), а какой-нибудь

линейной функцией от него).

Воспользуемся оценкой (3.40), справедливой для сверхустойчивых систем:

|x(t)| ≤

+ BKD

σ(A + BKC)

и будем минимизировать ее по всем K при условии, что регулятор K — сверхстабили-

зирующий. Вводя параметр σ > 0, приходим к задаче

min

K,σ

+ BKD

(5.48)

σ(A + BKC) ≥ σ > 0. (5.49)

Как и выше, при фиксированном σ такую задачу нетрудно преобразовать к системе

линейных неравенств относительно элементов матрицы регулятора K.

Теорема 41 Если задача параметрического линейного программирования (5.48)–(5.49)

имеет решение K, σ с оптимальным значением J

∗

критерия (5.48), то регулятор u =

Ky сверхстабилизирует систему (5.47), и при любых начальных условиях |x(0)| ≤ J

∗

будет |x(t)| ≤ J

∗

, t > 0.

Таким образом, полученный регулятор минимизирует норму вектора состояний рав-

номерно по t, что предотвращает нежелательные эффекты типа всплеска (см. раз-

дел 4.3).

Выше (раздел 4.5) отмечалось, что не всякая система может быть сверхстабилизи-

рована. Поэтому решения в задаче (5.48)–(5.49) может и не существовать, однако, если

она и разрешима, то величина J

∗

дает лишь верхнюю оценку оптимального значения

критерия.

150 Глава 5. Оптимальное управление

5.3.3 Использование инвариантных множеств

Совсем другой подход связан с оценками множества достижимости, полученными в

разделе 3.5. При этом сложный случай многомерных непрерывных систем также ана-

лизируется легко.

Напомним (несколько изменяя обозначения), что в Теореме 16 мы получили следу-

ющий результат. Пусть замкнутая система имеет вид

˙x = A

x + Dw, x(0) = 0,

y = Cx, w

(t)w(t) ≤ 1, 0 ≤ t < ∞,

(5.50)

где матрица C — полного ранга и для простоты считаем, что матрица D квадратная

и невырожденная. Тогда в предположении устойчивости A

для всех t выполняется

неравенство

(t)CP C

y(t) ≤ 1,

где P = P (α) > 0 — решение задачи

min

α>0

tr CP (α)C

P + P A

+ αP + α

−1

≤ 0, P > 0

(5.51)

(в Теореме 16 неравенство было заменено на равенство в соответствии с Леммой П.15,

но мы сделаем это чуть позже). Пусть теперь исходная система содержит управление u:

˙x = Ax + Bu + Dw,

y = Cx,

(5.52)

и это управление ищется в форме статической обратной связи по состоянию:

u = Kx.

Тогда замкнутая система принимает вид (5.50) с A

= A + BK. Подставляя это выра-

жение в (5.51), получаем матричное неравенство для P и K:

AP + P A

+ P K

+ BKP + αP + α

−1

≤ 0.

Здесь две матричных переменных P и K, которые входят нелинейным образом. Введем

новую матричную переменную Y

= KP ; тогда получаем линейное матричное неравен-

ство

AP + P A

+ Y

+ BY + αP + α

−1

≤ 0.

Таким образом, если мы хотим найти минимальный эллипсоид (в смысле следа соот-

ветствующей матрицы), в котором содержатся выходы y(t) при любых ограниченных

возмущениях w(t), то нужно решить следующую задачу:

min

α,P,Y

tr CP C

AP + P A

+ Y

+ BY + αP + α

−1

≤ 0, α > 0, P > 0.

(5.53)