Поляк Б.Т., Щербаков П.С. Робастная устойчивость и управление

Подождите немного. Документ загружается.

6.2. Частотная неопределенность 161

для всех ω при заданной функции W (s), W

−1

(s) ∈ RH

∞

. Иными словами,

−1

∆Hk

∞

≤ 1.

Кроме того, предполагается, что число устойчивых полюсов H

(s) + ∆H(s) одинаково

для всех допустимых ∆H(s).

Для матричной передаточной функции существует гораздо большее разнообразие

форм, в которых может быть задана неопределенность. Например, передаточная функ-

ция может иметь вид

H(s) = H

(s) + W

(s)∆(s)W

(s),

где W

(s), W

(s) ∈ RH

∞

— заданные функции, а

∆(s) ∈ RH

∞

, k∆(s)k

∞

≤ 1,

— это так называемая аддитивная модель ошибок. Наряду с ней может рассматриваться

мультипликативная модель:

H(s) = H

(s)

I + W

(s)∆(s)W

(s)

и ряд других. Несколько иная модель связана с записью объекта в виде G(s) = N(s)M

−1

(s),

где N(s), M(s) ∈ RH

∞

(см. 4.15); тогда неопределенность может быть учтена в форме

G(s) =

N(s) + ∆N(s)

´³

M(s) + ∆M(s)

−1

Наконец, весьма общий способ учета неопределенностей связан с так называемой дробно-

линейной формой. Пусть M — матрица, которая имеет блочную форму:

M =

где матрицы M

, M

— квадратные (возможно, разных размерностей). Нижним (со-

ответственно верхним) дробно-линейным преобразованием называются матрицы

(M, ∆

)

= M

+ M

∆

(I −M

∆

)

−1

, (6.11)

(M, ∆

)

= M

+ M

∆

(I −M

∆

)

−1

, (6.12)

при условии, что обратные матрицы существуют. Модели, использующие F

и F

, могут

охватывать большое число способов учета неопределенности ∆. Например, можно пока-

зать, что если A, B, C, D — матрицы соответствующих размерностей и C

−1

существует,

то

(A + B∆)(C + D∆)

−1

= F

(M, ∆), M =

−1

B − AC

−1

−C

−1

. (6.13)

Дробно-линейное описание неопределенности весьма естественно возникает в зада-

чах с так называемой M–∆ конфигурацией. Это общая схема анализа задач с неопреде-

ленностями, получившая широкое распространение в современных исследованиях. Она

заключается в том, что система приводится к виду, изображенному на рис. 6.1, где

162 Глава 6. Виды неопределенности

∆

Рис. 6.1: M–∆ конфигурация.

w — внешние входы, z — выход, M = M(s) — матричная передаточная функция, а

∆(s) — матричная функция, отвечающая разного рода неопределенностям. Иначе го-

воря, неопределенность включается в цепь обратной связи. Более подробно, система

записывается в виде

= M

+ M

w, e

= ∆e

z = M

+ M

Формально исключая отсюда e

, e

, получаем:

= M

∆e

+ M

w, e

= (I −M

∆)

−1

z = M

∆e

+ M

w =

∆(I −M

∆)

−1

+ M

или иначе говоря,

z = F

(M, ∆)w. (6.14)

В невозмущенной системе ∆ = 0 и F

(M, ∆) = M

, т.е. M

(s) — передаточная функ-

ция невозмущенной системы.

С другой стороны, техника таких преобразований бывает полезна и в задачах без

неопределенности. Например, в системе

˙x = Ax + Bu,

y = Cx + Du

передаточная функция от u к y

G(s) = C(sI − A)

−1

B + D

может быть записана в виде

G(s) = F

(M,

I), M =

A B

C D

Если же рассматривать систему с внешним возмущением

˙x = Ax + Bu + w,

y = Cx + Du,

6.3. Нестационарные и нелинейные возмущения 163

и решать задачу H

∞

-оптимизации, т.е. искать регулятор u = Kx, который минимизи-

рует H

∞

-норму передаточной функции замкнутой системы

G(s) = (C + DK)(sI − A − BK)

−1

то, пользуясь (6.13), G(s) можно записать как

G(s) = F

(M, K), M =

C(sI − A)

−1

D + C(sI − A)

−1

(sI −A)

−1

(sI −A)

−1

Тогда задача H

∞

-оптимизации приобретает вид

min

(M, K)k

∞

. (6.15)

Аналогичным образом полином

P (s) = a

+ a

s + . . . + a

представ´им в виде

P (s) = F

(M, sI), M =







. . . a

n−1

1 0 . . . 0 0

0 0 . . . 1 0







где

= a

, M

= (a

, . . . , a

), M

= (1, 0, . . . , 0)

Заметим, что M представляет собой одну из форм записи матрицы Фробениуса для

полинома, ср. с (1.44).

Сопутствующие функции Matlab:

lft (CST) — дробно-линейное преобразование

6.3 Нестационарные и нелинейные возмущения

В рассмотренной выше модели

˙x = (A

+ ∆)x

мы предполагали, что ∆ — постоянная матрица. Однако иногда возмущения меняются

во времени, и мы приходим к модели нестационарных возмущений

∆ = ∆(t).

При этом предполагается, что для всех t матрицы ∆(t) принадлежат какому-либо за-

данному семейству, например,

k∆(t)k ≤ γ

164 Глава 6. Виды неопределенности

для некоторой матричной нормы k · k или интервальному семейству

∆

≤ ∆

(t) ≤ ∆

, i, j = 1, . . . , n.

Более того, в ряде случаев возмущения зависят и от состояния системы, и мы можем

рассматривать системы типа

˙x =

+ ∆(t, x(t))

и множество других вариантов вхождения нелинейных и нестационарных возмущений.

Хотя в этой книге мы в основном ограничиваемся линейными стационарными задачами,

тем не менее в ряде случаев развитый аппарат (например, квадратичная стабилизация,

раздел 4.4; сверхустойчивость, раздел 3.6) позволяет решать задачи и при наличии

нестационарных и нелинейных возмущений.

6.4 Вероятностный подход к робастности

Для всех описанных выше моделей неопределенности в последующих разделах бу-

дет применяться минимаксный подход. Нас будут интересовать вопросы типа: можно

ли гарантировать какое-либо свойство системы для всех допустимых значений неопре-

деленности? Например, будут ли все возмущенные системы устойчивыми (робастная

устойчивость)? Или обеспечивают ли они все некоторое заданное значение выбран-

ного показателя качества (робастное качество)? Можно ли выбрать такой регулятор,

который для всех систем гарантирует устойчивость (робастная стабилизация)?

Однако можно стать и на несколько иную точку зрения. Пусть мы имеем дело с па-

раметрической неопределенностью; будем считать, что параметр q выбирается из допу-

стимого множества Q случайным образом, в соответствии с некоторым заданным на Q

вероятностным распределением (например, равномерным). Тогда можно оценить веро-

ятность того, что выбранная случайно система будет обладать требуемым свойством.

Если эта вероятность близка к единице, то с практической точки зрения поведение

системы будет удовлетворительным (мы пренебрегаем маловероятными событиями).

Есть несколько причин, по которым такой подход кажется оправданным. Во-первых,

точное решение проблемы о робастности часто сложно или вообще невозможно. Напри-

мер, для задачи о робастной устойчивости интервальных матриц алгоритм решения

отсутствует. Равным образом очень трудны задачи робастного синтеза при параметри-

ческой неопределенности. Вероятностный подход часто позволяет снять эти трудности.

Во-вторых, детерминированный подход часто является слишком пессимистическим, —

рассчитывая на самые худшие ситуации, мы занижаем размах допустимых возмуще-

ний. Если же пренебречь событиями малой вероятности, то диапазон неопределенности

можно значительно увеличить. В-третьих, во многих практических задачах неопре-

деленные параметры действительно имеют вероятностную природу по своему проис-

хождению или по способу их оценки. Например, параметры стандартных элементов

электрической сети (емкости, сопротивления и т.д.) имеют разбросы, подчиняющиеся

вероятностным законам. Значения параметров могут быть также получены в резуль-

тате идентификации по измерениям, содержащим случайные ошибки, или они связаны

6.5. Выводы 165

с процессом производства и допускают случайный разброс вокруг номинальных значе-

ний и т.д. Ясно, что тогда и сами оценки имеют вероятностный смысл и вероятностные

показатели точности, и устанавливать жесткие верхние и нижние границы для пара-

метров в этих условиях представляется неоправданным.

Вероятностные модели для неопределенностей могут быть различными, мы позна-

комимся с ними детальнее позже.

6.5 Выводы

• При параметрической неопределенности под семейством систем (неопределен-

ной системой) понимают запись вида

˙x = A(q)x + B(q)u + D

(q)w, q ∈ Q,

y = C(q)x + D

(q)w,

где все матрицы зависят от параметров q ∈ R

, принадлежащих допустимому мо-

жеству (множеству неопределенности) Q ⊂ R

. При этом говорят о парамет-

рических семействах матриц {A(q), q ∈ Q} (неопределенной матрице). Анало-

гичное понятие вводится для полиномов P(s, q) и передаточных функций H(s, q),

коэффициенты (элементы) которых зависят от параметров.

Допустимое множество Q, как правило, задается в виде ограничений на норму

вектора q неопределенных параметров. Наиболее часто используемая ∞-норма

приводит к кубу или параллелепипеду в R

, при этом каждый параметр меняется

независимо в своем интервале неопределенности: q

≤ q

. В этом случае

вершинным элементом семейства называется элемент, определяемый крайними

допустимыми значениями параметров. Часто используется 2-норма, приводящая

к шару или эллипсоиду — сферическая неопределенность.

Рассматриваются различные структуры неопределенности — типы функциональ-

ной зависимости от параметра q. При линейной зависимости коэффициенты a

(q)

неопределенного полинома являются линейными функциями от q. Особо выделя-

ют случаи интервальной неопределенности и аффинной неопределенности. Под

интервальным полиномом понимают

P(s) =

P (s) = a

+ a

s + . . . + a

: a

≤ a

, a

> 0, i = 0, . . . , n

;

иногда используют другую форму записи:

P(s) =

P (s) = a

+ a

s + . . . + a

: |a

− a

| ≤ γα

, i = 0, 1, . . . , n

где a

— коэффициенты номинального полинома P

(s) = a

s+. . .+a

, α

≥ 0

— масштабы изменения коэффициентов a

, γ > 0 — размах неопределенности.

Таким же образом определяется интервальное семейство матриц:

A = ((a

)) : a

≤ a

, i, j = 1, . . . , n,

или

A = A

+ γ∆,

166 Глава 6. Виды неопределенности

где A

= ((a

)) — номинальное значение, ∆

= ((∆

)), |∆

| ≤ δ

— неопределен-

ность, δ = ((δ

)) задает масштабы изменения элементов a

матрицы A, а γ > 0 —

размах неопределенности. Под аффинным семейством полиномов понимают

P(s, Q) =

P (s, q) = P

(s) + q

(s) + . . . + q

(s), q ∈ Q

где полиномы P

(s), i = 0, . . . , `, фиксированы и известны. Аналогично задается

и матричное аффинное семейство.

О мультилинейной структуре неопределенности говорят, когда коэффициенты

полинома являются мультилинейными функциями от q ∈ Q — они линейны по

каждой компоненте q при фиксированных значениях всех остальных компонент.

• Часто используется модель матричной неопределенности, ограниченной по норме:

A = A

+ ∆, k∆k ≤ γ,

где A

— номинальное значение, ∆ — возмущение, а γ — диапазон возмущений. Ти-

пичным является случай структурированной матричной неопределенности вида

A = A

+ B∆C, k∆k ≤ γ.

• Неопределенность в передаточной функции учитывается в аддитивной или муль-

типликативной форме:

H(s) = H

(s) + W

(s)∆(s)W

(s) или H(s) = H

(s)

I + W

(s)∆(s)W

(s)

где матричные функции W

(s), W

(s) ∈ RH

∞

заданы, а ∆(s) ∈ RH

∞

удовлетво-

ряет k∆(s)k

∞

≤ 1. В одномерном случае типичной является форма записи

H(s) = H

(s) + ∆H(s), kW

−1

∆Hk

∞

≤ 1,

где W (s) — заданная функция, W

−1

(s) ∈ RH

∞

При записи объекта в виде G(s) = N(s)M

−1

(s), где N(s), M(s) ∈ RH

∞

, неопреде-

ленность может быть учтена в форме

G(s) =

N(s) + ∆N(s)

´³

M(s) + ∆M(s)

−1

• Нижним и верхним дробно-линейным преобразованием матриц M и ∆, где M

имеет блочную структуру

M =

, M

— квадратные матрицы), называются матрицы

(M, ∆)

= M

+ M

∆(I −M

∆)

−1

(M, ∆)

= M

+ M

∆(I −M

∆)

−1

6.5. Выводы 167

Такой способ учета неопределенности ∆ назывется дробно-линейной формой; он

возникает в задачах с M–∆ конфигурацией, при которой неопределенность вклю-

чается в цепь обратной связи.

Дробно-линейное преобразование применяется и в задачах без неопределенности.

В частности, для системы

˙x = Ax + Bu + w,

y = Cx + Du,

задаче H

∞

-оптимизации можно придать вид

min

(M, K)k

∞

, M =

C(sI − A)

−1

D + C(sI − A)

−1

(sI −A)

−1

(sI −A)

−1

• В рамках вероятностной модели параметрической неопределенности считают,

что параметр q имеет некоторое заданное вероятностное распределение на допу-

стимом множестве Q. Тогда задачи робастности можно ставить не в минимаксном

смысле, а оценивать вероятность того, что неопределенная система обладает тре-

буемым свойством. Если эта вероятность близка к единице, то с практической

точки зрения поведение системы можно считать удовлетворительным.

168 Глава 6. Виды неопределенности

Глава 7

Робастная устойчивость

В отличие от Главы 3, где исследовались устойчивость одной заданной линейной

системы, здесь мы будем заниматься устойчивостью целого семейства систем, соответ-

ствующих исходной (номинальной) системе при наличии неопределенности.

7.1 Робастная устойчивость полиномов

Задано семейство полиномов

P(s, Q)

P (s, q) = a

(q) + a

(q)s + . . . + a

(q)s

, q ∈ Q

, (7.1)

коэффициенты a

(q) которых зависят от параметров q ∈ R

, изменяющихся в допусти-

мом множестве Q ⊂ R

. Это семейство называется робастно устойчивым, если P (s, q)

устойчивы при всех q ∈ Q, т.е.

Re s

(q) < 0, i = 1, . . . , n, q ∈ Q,

где s

(q) — корни P (s, q). Таким образом, здесь мы имеем дело с непрерывной устойчи-

востью; проблема дискретной устойчивости будет обсуждена ниже. Ясно, что в данной

ситуации мы не можем непосредственно воспользоваться критериями устойчивости из

Главы 3, так как множество Q, вообще говоря, содержит бесконечно много элементов.

Наша цель — получить робастные аналоги этих критериев.

Приведем сначала один общий принцип (часто называемый принципом исключения

нуля), позволяющий строить конструктивные алгоритмы проверки робастной устойчи-

вости.

Теорема 43 (принцип исключения нуля) Пусть P (s, q

) устойчив для некоторо-

го q

∈ Q, множество Q связно, и a

(q) 6= 0 для всех q ∈ Q. Тогда условие

0 /∈ S(ω)

P (jω, q): q ∈ Q

, ∀ 0 ≤ ω < ∞ (7.2)

необходимо и достаточно для робастной устойчивости семейства (7.1).

169

170 Глава 7. Робастная устойчивость

Множество S(ω) называется областью значений полиномиального семейства (7.1);

это двумерный образ множества Q при преобразовании P (jω, ·).

Доказательство. Необходимость условия (7.2) очевидна: если 0 = P (jω

∗

, q

∗

) для неко-

торого ω

∗

и некоторого q

∗

∈ Q, то полином P (s, q

∗

) имеет чисто мнимый корень jω

∗

потому не является устойчивым. Докажем достаточность условия (7.2); пусть оно вы-

полняется, но найдется полином P (s, q

), q

∈ Q, являющийся неустойчивым. Рассмот-

рим непрерывную кривую q(t) ∈ Q, 0 ≤ t ≤ 1, q(0) = q

, q(1) = q

; она существует в

силу связности Q. Пусть s

(t) — корни полинома P (s, q(t)). Поскольку a

(q(t)) 6= 0, то по

теореме о непрерывной зависимости корней полинома n-ой степени от параметров (см.

Приложение, раздел 10.1) корни могут быть занумерованы так, что функции s

(t) непре-

рывны. Однако по меньшей мере один корень (например, первый) полинома P ( s, q

)

лежит в правой полуплоскости: Re s

(1) ≥ 0, в то время как Re s

(0) < 0 в силу устой-

чивости P (s, q

). Поэтому найдется 0 ≤ t

∗

≤ 1 и q

∗

= q(t

∗

) ∈ Q, такое что Re s

∗

) = 0.

Но это значит, что P (s, q

∗

) имеет чисто мнимый корень jω

∗

; можно считать, что ω

∗

≥ 0

(так как если ω

∗

6= 0, то имеется два сопряженных корня ±jω

∗

). Итак, мы получили,

что 0 = P (jω

∗

, q

∗

) для некоторых q

∗

∈ Q и ω

∗

≥ 0; это противоречит условию (7.2).

Идея доказательства теоремы очень проста: при переходе от устойчивости к неустой-

чивости один из корней должен пересечь мнимую ось, при этом нарушится условие (7.2).

Заметим, что мы уже пользовались такого рода рассуждениями при осуществлении D-

разбиения (раздел 4.1). Там точка зрения была несколько иной — нас интересовала вся

область устойчивости в пространстве двух параметров. При исследовании робастной

устойчивости мы пытаемся выяснить, лежит ли заданная область Q целиком в области

устойчивости. При этом, как будет видно из дальнейшего, удается рассмотреть случай

большого числа параметров.

Для того, чтобы конструктивно пользоваться Теоремой 43, нам нужно, во-первых,

строить множества S(ω), а, во-вторых, уметь эффективно проверять условие (7.2). И то,

и другое возможно для ряда важных частных случаев задачи о робастной устойчивости.

Приступим к их анализу.

Начнем с интервального полинома

P(s) = {P (s) = a

+ a

s + . . . + a

, a

≤ a

, i = 0, . . . , n, a

> 0, a

> 0},

(7.3)

параметрами которого являются сами коэффициенты полинома, изменяющиеся в па-

раллелепипеде. Рассмотрим четыре полинома, составленных из крайних значений ко-

эффициентов, чередующихся парами (два нижних значения — два верхних):

(s) = a

+ a

s + a

+ a

+ . . . ,

(s) = a

+ a

s + a

+ a

+ . . . ,

(s) = a

+ a

s + a

+ a

+ . . . ,

(s) = a

+ a

s + a

+ a

+ . . .

Эти полиномы называются полиномами Харитонова.