Поляк Б.Т., Щербаков П.С. Робастная устойчивость и управление

Подождите немного. Документ загружается.

5.3. Подавление ограниченных возмущений 151

На основе Лемм П.18 и П.16 из Приложения заключаем, что решение в задаче (5.53)

достигается на Y = −γB

и при замене знака неравенства на равенство. Таким образом,

P = P (α, γ) является решением уравнения Ляпунова

AP + P A

− γBB

+ αP + α

−1

= 0, P > 0. (5.54)

Окончательное решение находится путем минимизации

min

α,γ>0

ϕ(α, γ), ϕ(α, γ) = tr CP (α, γ)C

, (5.55)

при этом рассматриваются такие значения α, γ, что P (α, γ) > 0. Предположим, что мы

решили задачу (5.55) и нашли оптимальные α, γ, а тем самым и P, Y . Тогда регулятор

u = Y P

−1

обеспечивает неравенство

(t)CP C

y(t) ≤ 1

для выхода y(t) системы (5.52) с таким регулятором при любом kwk

∞

≤ 1, причем это

неравенство — наилучшее из возможных такого типа. В частности, если выход y(t) —

скалярный (m = 1), то C = c

— вектор-строка, и мы получаем

|y(t)|

≤

P c

т.е.

kyk

∞

≤

P c

−1/2

и величина в правой части оценивает kyk

∞

. Иначе говоря, решение задачи (5.54)–(5.55)

дает наилучший регулятор по состоянию, оптимизирующий эту оценку.

Сформулируем окончательно полученный результат для скалярного выхода (т.е. для

m = 1, C = c

Теорема 42 Пусть P (α, γ) — решение уравнения Ляпунова (5.54); рассматриваются

лишь такие α , γ, что P (α, γ) > 0. Решим двумерную задачу оптимизации (5.55) и

обозначим ее решение через α

, γ

. Вычислим

= −γ

P (α

, γ

)

−1

Тогда управление u = K

x обеспечивает оценку

kyk

∞

≤ µ

P (α

, γ

1/2

для системы (5.52) с m = 1, C = c

при любых kwk

∞

≤ 1, и эта оценка — наилучшая

из возможных при произвольных обратных связях вида u = Kx.

Нужно ясно представлять возможности и ограничения предлагаемого подхода. С

вычислительной точки зрения он не очень сложен. В то же время инвариантный эл-

липсоид — лишь оценка для выхода системы; эта оценка может быть и завышенной.

Практически почти без всяких изменений метод переносится и на дискретные си-

стемы, и мы не будем на этом останавливаться.

Сопутствующие функции Matlab:

linprog — решение задачи линейного программирования.

152 Глава 5. Оптимальное управление

5.4 Выводы

• Задача оптимального управления заключается в построении такого стабилизиру-

ющего управления, которое минимизирует некоторый критерий качества.

• Одной из основных является LQR, — задача о линейно-квадратичном регуляторе

(иначе — задача об аналитическом конструировании регуляторов), возникающая

при описании системы в пространстве состояний

˙x = Ax + Bu, x(0) = x

и выборе управления в форме линейной обратной связи по состоянию u = Kx,

которое минимизирует квадратичный критерий

∞

(Rx, x) + (Su, u)

с некоторыми весовыми матрицами R > 0, S > 0. Для ее решения можно поль-

зоваться следующими методами:

1). Исходя из принципа максимума, решить краевую задачу

˙x = Ax − BS

−1

ψ, x(0) = x

ψ = −A

ψ − Rx, ψ(∞) = 0

относительно x, ψ. Оптимальным будет программное управление u = −S

−1

ψ.

2). Решить уравнение Риккати

P + P A − P BS

−1

P + R = 0

и взять статическую обратную связь u = −S

−1

P x. При этом оптимальное зна-

чение критерия равно J

min

= x

P x

3). Решить задачу минимизации с ограничениями в форме линейных матричных

неравенств

min γ

−1







AQ + QA

+ (γ − 2)BS

−1

1/2

Q − I







< 0, Q > 0

и взять обратную связь u = −S

−1

• Задача H

∞

-оптимизации заключается в построении стабилизирующего регуля-

тора для систем с возмущениями, ограниченными в L

-норме, а показателем ка-

чества является величина H

∞

-нормы передаточной функции замкнутой системы.

При описании системы в частотной области

a(s)y(t) = b(s)u(t) + w(t), kw(t)k

≤ 1,

5.4. Выводы 153

и выборе регулятора в форме обратной связи

u = C(s)y,

используется параметризация всех стабилизирующих регуляторов с последующей

оптимизацией критерия по параметру. В ряде частных случаев (полином b(s)

устойчив либо имеет один неустойчивый корень) решение может быть найдено

в явной форме. Для общего случая решение дается теоремой Неванлинны-Пика

(Теорема 38), и имеются конструктивные численные алгоритмы построения H

∞

оптимального регулятора, опирающиеся на этот результат.

При описании в пространстве состояний

˙x = Ax + Bu + Dw, kwk

≤ 1, x(0) = 0,

y = Cx + B

ищется управление u = Kx, которое минимизирует критерий

= kH(s)k

∞

= sup

kwk

≤1

kyk

где H(s) = (C + B

sI − (A + BK)

−1

D — передаточная функция замкнутой

системы. Решение дается Теоремой 39, которая использует связь между величиной

kyk

и существованием положительно определенного решения уравнения Риккати

+ AQ + QC

CQ − BS

−1

= 0 S = B

;

а именно, если при некотором значении γ уравнение имеет положительно опреде-

ленное решение Q, то использование регулятора

K = −S

−1

дает оценку J ≤ γ. Наилучшую оценку можно получить последовательно переби-

рая γ и решая соответствующее уравнение Риккати.

• Если о присутствующем в системе возмущении известно лишь то, что оно огра-

ничено, то стабилизация такой системы и минимизация ∞-нормы выхода (состо-

яния) приводит к задаче l

-оптимизации.

В случае одномерной дискретной системы

a(z)y

= b(z)u

+ w

, |w

| ≤ r, k = 0, 1, . . . ,

где a(z), b(z) — полиномы от оператора задержки а kwk

∞

< r, ищем управление

в форме

= −

f(z)

g(z)

154 Глава 5. Оптимальное управление

которое минимизирует ∞-норму выхода kyk

∞

. Решение основано на параметри-

зации всех стабилизирующих регуляторов с последующей оптимизацией по пара-

метру (функции из RH

∞

). Задача сводится к бесконечномерной задаче линейного

программирования; решение достигается на конечномерном векторе (Теорема 40),

по которому восстанавливается оптимальный регулятор. Основная трудность —

высокий порядок получаемого оптимального регулятора.

• Если встать на позиции сверхстабилизации, то задача упрощается, так как сво-

дится к обычному линейному программированию (Теорема 41), и легко анализи-

руется случай многомерных непрерывных и дискретных систем. При этом реше-

ние (если оно существует) будет субоптимальным, однако такой субоптимальный

регулятор — регулятор фиксированной структуры и, кроме того, он гарантиру-

ет монотонность убывания нормы состояния, т.е. предотвращает нежелательные

эффекты всплеска.

При использовании оценок множества достижимости также возможно обоб-

щение на многомерный случай и непрерывное время. Регулятор по состоянию

выражается через решение уравнения Ляпунова, зависящего от двух параметров;

это решение определяет размер инвариантного множества. Последующая оптими-

зация регулятора по параметрам дает минимальный размер инвариантного мно-

жества (Теорема 42). Такой подход прост с вычислительной точки зрения, но при-

водит лишь к оценкам нормы выхода системы, т.е. получаемый регулятор также

субоптимален.

5.4. Выводы 155

ЧАСТЬ II

Системы с неопределенностью

(робастная теория)

В первой части книги рассматривались системы управления, для которых было до-

ступно точное математическое описание. Однако, как уже неоднократно указывалось,

такая ситуация является идеализированной. В реальных задачах неизбежно присут-

ствует неопределенность, а используемое управление должно быть работоспособно при

наличии неопределенности. Такое управление называется робастным, и мы переходим

к изучению робастной теории управления.

156 Глава 5. Оптимальное управление

Глава 6

Виды неопределенности

6.1 Параметрическая неопределенность

Если модель описывает физический объект (механический, электрический, эконо-

мический и т.п.) то, как правило, его параметры не известны точно, причем во многих

случаях их значения в принципе не могут быть доступны, поскольку они могут ме-

няться в процессе эксплуатации. Например, при управлении автомобилем мы не знаем

заранее его массу (она зависит от загрузки), скорость, коэффициент трения (он зави-

сит от состояния дороги и износа шин) и т.д. При этом сами уравнения, описываю-

щие движение, известны точно. В таких ситуациях можно говорить о параметрической

неопределенности. Линейная система (1.1) при этом заменяется на семейство систем

(иногда используют термин неопределенная система)

˙x = A(q)x + B(q)u + D

(q)w, q ∈ Q,

y = C(q)x + D

(q)w,

(6.1)

где все матрицы A, B, C, D

, D

зависят от параметров q ∈ R

, которые принадлежат за-

данному допустимому множеству Q ⊂ R

(множеству неопределенности). Подчерк-

нем, что система (6.1) остается стационарной, — параметры q не меняются во времени,

однако априори известно лишь то, что они лежат во множестве Q.

Аналогичным образом при описании системы с помощью передаточных функций

ее элементы могут зависеть от параметров, т.е. передаточная функция объекта (пусть,

для простоты, в одномерном случае) приобретает вид

H(s, q) =

A(s, q)

B(s, q)

, q ∈ Q, (6.2)

где A (s, q), B(s, q) — неопределенные полиномы, коэффициенты a

(q), b

(q) которых за-

висят от q ∈ Q. В этом случае говорят о неопределенном объекте H(s, q). Напри-

мер, при последовательном соединении ` простых звеньев с передаточными функциями

/(1+T

s) и неопределенными постоянными времени T

и коэффициентами усиления k

мы получаем семейство передаточных функций

H(s, T, k) =

···k

(1 + T

s) ···(1 + T

, T = (T

, . . . , T

)

∈ Q

, k = (k

, . . . , k

)

∈ Q

157

158 Глава 6. Виды неопределенности

где роль параметров играют постоянные времени и коэффициенты усиления. Заметим,

что в H(s, T, k) числитель и знаменатель зависят каждый от своего вектора парамет-

ров, что на первый взгляд не укладывается в модель неопределенности (6.2). Однако,

объединяя T и k в вектор q

= (T k) ∈ R

, прийдем к записи (6.2), которая, таким

образом, является общей моделью.

Мы будем рассматривать различные виды ограничений на неопределенные пара-

метры, т.е. на форму множества Q. В принципе, допустимое множество может иметь

произвольный вид и даже совпадать с R

, но чаще всего (по соображениям природы

задачи, когда неопределенные физические параметры имеют некоторые допуски) мы

будем иметь дело с параллелепипедом, когда каждый из параметров меняется незави-

симо в своем диапазоне (интервале неопределенности):

Q = {q ∈ R

: q

≤ q

}, (6.3)

в частности, с единичным кубом в ∞-норме:

Q = {q ∈ R

: |q|

∞

≤ 1}. (6.4)

При этом вершинным элементом семейства (или просто вершиной) называется эле-

мент (матрица, полином, передаточная функция), определяемый крайними допустимы-

ми значениями параметров: q

= q

либо q

= q

, i = 1, . . . , `, в случае (6.3) или q

= ±1,

i = 1, . . . , `, в случае (6.4). Таким образом, всего имеется 2

вершинных элементов — по

числу вершин `-мерного параллелепипеда (куба) Q.

Однако параметры могут не быть независимыми, а иметь некоторые совместные

ограничения; простейший из таких случаев: допустимое множеств Q является шаром

{q ∈ R

: |q|

≤ 1} в 2-норме или эллипсоидом вида

Q = {q ∈ R

: q

−1

q ≤ 1, M > 0}

или

Q =

q ∈ R

i=1

− q

)

≤ 1

, (6.5)

где q

= (q

, . . . , q

) — некоторое значение параметра, соответствующее номинальной

системе, α

— масштабные множители. В этом случае говорим о сферических (эллип-

тических) ограничениях на параметры. Вообще, в качестве Q обычно рассматривается

множество, ограниченное в какой-нибудь норме.

Мы будем рассматривать также различные структуры неопределенности, т.е. типы

функциональной зависимости от параметра q; главным образом, линейную неопределен-

ность. При этом коэффициенты a

(q) неопределенного полинома (или элементы a

(q)

матрицы A(q)) есть линейные функции от q. Особо выделяют следующие случаи:

1. Интервальная неопределенность. Например, интервальный полином задается так:

P(s) =

P (s) = a

+ a

s + . . . + a

: a

≤ a

, a

> 0, i = 0, . . . , n

; (6.6)

в нем сами коэффициенты являются неопределенными параметрами, которые могут

независимо принимать значения в своих интервалах неопределенности [a

, a

]. Условие

6.1. Параметрическая неопределенность 159

> 0 обычно накладывается для того, чтобы обеспечить неизменность степени n

полинома при всех a

≤ a

. Иногда бывает удобнее следующая форма записи

интервального семейства полиномов:

P(s) =

P (s) = a

+ a

s + . . . + a

: |a

− a

| ≤ γα

, i = 0, 1, . . . , n

. (6.7)

Здесь a

— коэффициенты номинального полинома P

(s) = a

+ a

s + . . . + a

, α

≥ 0

— масштабы изменения коэффициентов a

, γ > 0 — размах неопределенности. В этой

записи a

= a

− γα

, a

= a

+ γα

Таким же образом определяется интервальное семейство матриц:

A = ((a

)) : a

≤ a

, i, j = 1, . . . , n, (6.8)

которое часто записывают в форме, аналогичной (6.7):

A = A

+ γ∆, (6.9)

где, соответственно, A

= ((a

)) — номинальное значение, ∆ = ((∆

)), |∆

| ≤ δ

— неопределенность, матрица δ = ((δ

)) задает масштабы изменения элементов a

матрицы A, а γ > 0 — размах неопределенности.

2. Аффинная неопределенность. Описанная выше ситуация, когда неопределенными па-

раметрами являются сами коэффициенты полиномов, достаточно редкая, ибо обычно

коэффициенты характеристического полинома не имеют непосредственного физическо-

го смысла и зависят от параметров q более сложным образом. Аффинная неопределен-

ность является простейшей моделью такой зависимой структуры неопределенности.

Аффинное семейство полиномов задается так:

P(s, Q) =

P (s, q) = P

(s) + q

(s) + . . . + q

(s), q ∈ Q

где полиномы P

(s), i = 0, . . . , `, фиксированы и известны (P (s, 0) = P

(s) также назы-

вают номинальным полиномом семейства). В этом случае коэффициенты a

(q) полино-

ма P (s, q) зависят аффинным образом от параметров q:

(q) = a

j=1

где a

— коэффициент P

(s) при s

. Иными словами, коэффициенты a

(q) не могут

меняться независимо друг от друга при изменении q. Аналогично задается и матричное

аффинное семейство:

A(q) = A

+ q

+ . . . + q

, q ∈ Q,

где A

, i = 0, . . . , `, — известные матрицы.

Линейная зависимость от неопределеных параметров представляет собой удобную

модель параметрической неопределенности; чаще, однако, встречается случай мульти-

линейной зависимости. Скалярная функция a(q), q ∈ R

, называется мультилинейной,

160 Глава 6. Виды неопределенности

если она линейна по каждой компоненте при фиксированных значениях всех остальных

компонент. Мы уже встречали характеристические полиномы, коэффициенты которых

являются мультилинейными функциями. Таковым, например, будет характеристиче-

ский полином уже упоминавшейся цепочки простых звеньев вида k

/(1+T

s), замкнутой

единичной обратной связью:

P (s, T, k) = (1 + T

s) · . . . · (1 + T

s) + k

· . . . · k

, (6.10)

если рассматривать постоянные времени T

и коэффициенты усиления k

как неопре-

деленные параметры (T, k) ∈ Q. Характеристический полином интервальной матри-

цы (6.9) также является мультилинейной функцией переменных ∆

Отметим также встречающуюся полиномиальную зависимость от параметров; при-

мером может служить характеристический полином аффинного матричного семейства:

P (s, q) = det(sI − A(q)), A(q) = A

i=1

, q ∈ Q,

и другие.

При описании в пространстве состояний часто используется модель матричной неопре-

деленности, когда не физические параметры, а непосредственно матрицы, описываю-

щие систему, допускают неопределенность. Например,

˙x = Ax, A = A

+ ∆,

где A

— известная матрица, а ∆ — возмущение, удовлетворяющее условию типа

k∆k ≤ γ.

Здесь k · k означает некоторую норму матрицы, а γ — диапазон возможных возму-

щений. Типичной является модель, иногда называемая структурированной матрич-

ной неопределенностью. Например, при наличии неопределенности в матрице усиления

K = K

+ ∆, k∆k ≤ γ, соответствующая неопределенность в матрице замкнутой систе-

мы A + BKC будет иметь структурированную форму B∆C, k∆k ≤ γ, а номинальное

значение матрицы замкнутой системы равно A + BK

6.2 Частотная неопределенность

В тех случаях, когда исходным является описание системы с помощью частотных

характеристик, естественно описывать и неопределенность в тех же терминах. Так,

передаточная функция одномерной системы может иметь вид

H(s) = H

(s) + ∆H(s),

где частотная неопределенность ∆H(s) принадлежит тому или иному классу. Напри-

мер, нередко считают, что

|∆H(jω)| ≤ |W (jω)|