Поляк Б.Т., Щербаков П.С. Робастная устойчивость и управление

Подождите немного. Документ загружается.

9.1. Стабилизация регулятором заданной структуры 221

где A

, . . . , A

— заданные n ×n матрицы. Существует ли в этом семействе хотя бы

одна устойчивая матрица?

К этой же проблеме сводятся и другие задачи стабилизации регуляторами заданной

структуры, отличные от статического регулирования по выходу. Более того, в эти же

рамки укладываются аналогичные задачи для дискретных систем — просто термин

“устойчивая матрица” понимается в этом случае как матрица Шура.

Теоретическое решение Проблемы 4 неизвестно. Более того, оно не может быть про-

стым, так как Проблема 1 для полиномов, очевидным образом, является частным слу-

чаем Проблемы 4 (достаточно в качестве A

рассматривать матрицы во фробениусовой

форме). Аналогичным образом переносятся на матричный случай Проблемы 2 и 3:

Проблема 5. Существует ли в семействе A(q) (9.7), q ∈ Q (например, при Q вида

(9.3)) хотя бы одна устойчивая матрица?

Проблема 6. Задана неустойчивая матрица A. Найти ближайшую устойчивую мат-

рицу.

Для некоторых частных случаев все эти проблемы допускают простое решение. На-

пример, пусть матрицы A

, . . . , A

симметричны. Тогда и все матрицы A(q) симметрич-

ны. Для симметричной матрицы устойчивость эквивалентна отрицательной определен-

ности. Таким образом, Проблема 4 сводится к линейному матричному неравенству:

найти q ∈ R

, удовлетворяющее условию

i=1

< 0.

Это — выпуклая задача, и для нее существуют хорошо разработанные методы решения

(в частности, соответствующий пакет в системе Matlab). Таким образом, Проблема 4

(и родственная ей Проблема 5) допускают эффективное решение для симметричных

матриц. Для этого же случая удается найти явное решение Проблемы 6. Именно, пусть

A — симметричная матрица, и нас интересует ее расстояние до множества устойчивых

симметричных матриц. Приведем A к диагональному виду с помощью невырожденного

преобразования T (это всегда возможно для симметричных матриц):

T AT

−1

= Λ = diag (λ

, . . . , λ

где λ

— вещественные собственные значения A. Построим матрицу Λ

−

, заменив поло-

жительные собственные значения нулями:

−

= diag (λ

−

, . . . , λ

−

), λ

−

= min{0, λ

Тогда матрица

−

= T

−1

−

— это ближайшая (в смысле фробениусовой нормы) к A симметричная неотрицательно

определенная матрица. Поэтому расстояние от A до множества устойчивых симметрич-

ных матриц равно

∗

= kA − A

−

222 Глава 9. Нерешенные задачи

Таким образом, все задачи резко упрощаются, если иметь дело лишь с симметричными

матрицами.

Один из возможных подходов к Проблемам 4–6, связанный с концепцией сверхустой-

чивости, мы уже обсуждали ранее (раздел 3.6). Он основывается на достаточном усло-

вии устойчивости, формулируемом как “сверхустойчивость” матрицы. Напомним, что

мы ввели обозначение

σ(A) = min

−a

−

j6=i

и если σ(A) > 0, то A называется сверхустойчивой матрицей; отсюда следует и ее устой-

чивость (гурвицевость). Для семейства (9.7) элементы a

(q) матрицы A(q) являются

аффинными функциями от q, и система неравенств

min

−a

(q) −

j6=i

(q)|

> 0,

|q − q

∞

≤ γ

(9.8)

сводится к обычной системе линейных неравенств относительно q (мы предполагаем,

что множество Q в Проблеме 5 имеет вид (9.4)). Таким образом, если система (9.8)

имеет решение q

∗

, то матрица A(q

∗

) является сверхустойчивой, а тем самым и устой-

чивой. В этом случае вопрос о существовании устойчивой матрицы в семействе (9.7)

(Проблема 5) заведомо имеет положительный ответ.

Покажем еще, как решается Проблема 6 при замене устойчивости на сверхустойчи-

вость. Пусть a

— элементы A, а x

— элементы искомой матрицы X, принадлежащей

замыканию множества сверхустойчивых матриц и ближайшей к A во фробениусовой

норме. Тогда X является решением задачи квадратичного программирования

min

i,j

− x

)

j6=i

| ≤ 0, i = 1, . . . , n.

(9.9)

Если обозначить минимум в этой задаче через γ

∗

, то ясно, что γ ≤ γ

∗

, где γ — расстояние

от A до множества устойчивых матриц.

9.2 Одновременная стабилизация

Задача об одновременной стабилизации возникает во многих практических ситуа-

циях. Пусть объект может работать в нескольких режимах. Переход от одного режима

к другому происходит независимо от нашего желания и информация об этом может от-

сутствовать, например, такой переход может вызываться отказом какого-либо элемента

объекта. Цель управления — выбрать регулятор, обеспечивающий работоспособность (и

в первую очередь устойчивость) системы в любом из возможных режимов. Формали-

зацией такой задачи может служить следующая проблема.

9.2. Одновременная стабилизация 223

Проблема 7. Имеется m одномерных объектов с передаточными функциями

(s) =

(s)

, i = 1, . . . , m.

Существует ли регулятор

C(s) =

N(s)

D(s)

который одновременно стабилизирует все эти объекты?

Иначе говоря, можно ли найти полиномы N(s), D(s), так, чтобы все характеристи-

ческие полиномы

(s) = A

(s)N(s) + B

(s)D(s), i = 1, . . . , m,

были гурвицевыми? Как мы знаем (раздел 4.2), для m = 1 при A

, B

, не имеющих

общих неустойчивых корней, решение всегда возможно; более того, можно описать все

стабилизирующие регуляторы с помощью параметризации Юлы.

Для двух объектов решение также может быть получено; оказывается проблему

можно свести к задаче стабилизации одного объекта с помощью устойчивого регулято-

ра. В свою очередь, последняя задача допускает полное решение в терминах перемежа-

емости нулей и полюсов объекта. Более общая многомерная проблема одновременной

стабилизации двух объектов также поддается исчерпывающему исследованию.

Однако уже для m = 3 методы решения проблемы неизвестны. Более того, суще-

ствуют косвенные подтверждения отсутствия “простого” решения.

Задача об одновременной стабилизации возникает и в матричном варианте.

Проблема 8. Даны m линейных систем в пространстве состояний:

˙x = A

x + B

u, i = 1, . . . , m. (9.10)

Существует ли один регулятор в форме обратной связи по состоянию

u = Kx, (9.11)

стабилизирующий все эти системы?

Иначе говоря, существует ли матрица K такая, что все матрицы

= A

+ B

K, i = 1, . . . , m,

устойчивы? Совершенно аналогично формулируется задача для дискретных систем;

единственное отличие в том, что устойчивость понимается как устойчивость дискрет-

ных систем, т.е. матрицы A

должны быть шуровские. Общий метод решения Про-

блемы 8 неизвестен; ясно лишь, что он не может быть простым, поскольку трудная

Проблема 7 является здесь частным случаем. Простое достаточное условие существо-

вания решения (для случая B

≡ B) основывается на идее квадратичной робастной

стабилизации и дается Теоремой 63: если у системы линейных матричных неравенств

X + XA

− 2BB

< 0, i = 1, . . . , m, X > 0,

224 Глава 9. Нерешенные задачи

существует решение X, то обратная связь вида (9.11) с

K = −B

−1

одновременно стабилизирует все системы (9.10). Однако одновременная стабилизация

может быть возможна и тогда, когда не существует общей квадратичной функции Ля-

пунова, так что приведенное решение является лишь достаточным.

Еще одно достаточное условие разрешимости проблемы связано с понятием свер-

хустойчивости. Именно, если удается найти матрицу K, которая делает все замкнутые

системы сверхустойчивыми, то проблема одновременной стабилизации имеет решение.

В свою очередь, проверка одновременной сверхстабилизации возможна на основе линей-

ного программирования (см. раздел 4.5). Действительно, используя обозначение σ(A)

из раздела 3.6 и замечая, что условие σ(A + BK) > 0 является системой линейных

неравенств относительно элементов K, мы заключаем, что если у системы линейных

неравенств

σ(A

+ B

K) > 0, i = 1, . . . , m,

имеется решение K, то регулятор u = Kx одновременно стабилизирует все m систем.

Заметим, что проблема одновременной стабилизации является частным случаем за-

дачи робастной стабилизации, упоминавшейся в Главе 8: для семейства полиномов

P (s, q, k),

зависящих от параметров q ∈ Q и коэффициентов k регулятора выяснить, найдется ли

такой k

∗

, что все полиномы

P (s, q, k

∗

), q ∈ Q,

устойчивы. Задача одновременной стабилизации соответствует случаю, когда множе-

ство Q конечно, а размерность вектора коэффициентов k не ограничена заранее. Ана-

логичным образом, более общая задача робастной матричной стабилизации относится

к семейству матриц

A(q) + B(q)K, q ∈ Q.

Проблема 8 соответствует случаю конечного множества Q. Для решения таких задач

можно применять численные методы, основанные на идеях теории возмущений (ср.

выше (9.5)), однако они не дают гарантии отыскания решения.

9.3 Линейно-квадратичная оптимизация: регуляторы

заданной структуры и робастность

В предыдущих разделах речь шла о проблемах стабилизации; отмечалось, что неко-

торые из них очень трудны. Предположим, однако, что стабилизация возможна, тогда

естественно предъявить требования к качеству системы, т.е. поставить задачу опти-

мального управления. Будем для определенности говорить о простейшей задаче линейно-

квадратичной оптимизации, рассмотренной в разделе 5.1. Она была решена там в ситу-

ации, когда описание системы задано полностью, а состояние системы предполагается

9.3 ЛИНЕЙНО-КВАДРАТИЧНАЯ ОПТИМИЗАЦИЯ 225

известным (тогда регулятор ищется в виде u = Kx). Обсудим возможный отход от

каждого из этих предположений.

Прежде всего, пусть доступен лишь выход системы y, а не ее состояние x:

˙x = Ax + Bu, y = Cx,

и требуется минимизировать стандартный квадратичный показатель качества

∞

(Rx, x) + (Su, u)

dt. (9.12)

Решение такой задачи (часто называемое H

-оптимизацией) может быть получено с

помощью динамической обратной связи вида

u = K

где

x — оценка вектора состояния x, получаемая с помощью наблюдателя (см. разделы

2.3, 4.3). Предположим, однако, что структура регулятора задана, например, ищется

статическая обратная связь

u = Ky. (9.13)

Таким образом, нужно найти K в (9.13), которое стабилизирует систему и для которого

показатель качества (9.12) принимает наименьшее значение:

J −→ min .

Мы уже знаем (раздел 9.1, Проблема 4), что даже вопрос о существовании стабилизиру-

ющего K весьма сложен. Пусть, однако, выполнены какие-либо достаточные условия,

гарантирующие наличие стабилизирующих регуляторов вида (9.13) (или найден какой-

либо стабилизирующий регулятор K

). Тогда возникает проблема выбора оптимального

по критерию (9.12) регулятора.

Проблема 9. Найти регулятор u = Ky, который стабилизирует систему ˙x = Ax +

Bu, y = Cx, и минимизирует функционал (9.12).

Покольку для системы

˙x = A

x, A

= A + BKC, x(0) = x

при устойчивой матрице A

значение квадратичного функционала

J =

∞

(Qx, x)dt, Q = R + C

SKC

равно (см. П.14)

J = x

−1

, A

X + XA

= −Q, (9.14)

то для каждого стабилизирующего K можно найти значение J(K) из (9.14), решив

уравнение Ляпунова для X. Далее можно вычислить градиент J(K):

∇J(K) = 2(B

X + SKC)V C

, (9.15)

226 Глава 9. Нерешенные задачи

где V ≥ 0 — решение другого уравнения Ляпунова:

V A

+ A

V = −x

и, в принципе, можно применить градиентный метод минимизации J(K). Однако, та-

кой путь не гарантирует отыскания решения. Во-первых, J(K) — невыпуклый по K

функционал, и градиентный метод может привести к локальному (а не глобальному)

минимуму. Во-вторых, множество стабилизирующих регуляторов также невыпукло, т.е.

область определения функционала J(K) невыпукла, поэтому градиентный метод следу-

ет модифицировать так, чтобы не выходить из указанной области. Последнее, впрочем,

нетрудно обеспечить — если J(K) монотонно убывает, то каждое новое полученное K

автоматически является стабилизирующим.

Выше мы рассматривали задачу оптимального управления для статического регуля-

тора по выходу. Однако, сходные проблемы возникают и при попытках решить линейно-

квадратичную задачу для других регуляторов заданной структуры. Например, если в

одномерной системе

A(s)x = u

с устойчивым полиномом A (s) степени n выбирать регулятор в виде

u = k

x + k

˙x,

то замкнутая система будет заведомо устойчива при малых k

, k

, и квадратичный

функционал вида

∞

n−1

i=0

(i)

можно выразить через коэффициенты полинома A(s) и регулятора k

= (k

, k

). Однако

и в этой постановке как зависимость J(k), так и область определения J(k), вообще

говоря, невыпуклы, и минимизация по k представляет трудности. Эти трудности можно

обойти, если k ∈ R

(как в вышеприведенной задаче), но с ростом размерности k они

существенно возрастают.

В связи с задачей о линейно-квадратичном регуляторе рассмотрим близкую задачу

оптимального управления, в которой показатель качества линейный.

Проблема 10. Найти линейную обратную связь по состоянию u = Kx, которая ста-

билизирует систему ˙x = Ax + Bu, x(0) = x

, и минимизирует линейный функционал

J =

∞

|x|

∞

+ α|u|

∞

dt.

Такую задачу естественно называть задачей о линейно-линейном регуляторе; она

возникает, например, в некоторых постановках задачи l

-оптимизации, но системати-

ческие методы ее решения неизвестны. Однако, как и во многих проблемах, рассмот-

ренных выше, решение легко получить, заменив устойчивость на сверхустойчивость.

9.4. Другие проблемы 227

Действительно, потребовав, чтобы матрица A

= A + BK замкнутой системы была

сверхустойчивой и воспользовавшись оценкой |x(t)| ≤ e

−σ(A

| (см. (3.39)), получаем

J ≤

1 + αkKk

σ(A + BK)

Теперь можно минимизировать по правую часть этого неравенства, представляющую

собой верхнюю границу для J. Эта задача, в свою очередь, сводится к параметрическо-

му линейному программированию (см. раздел 5.3.2):

min

K,σ

1 + αkKk

σ(A + BK) ≥ σ > 0.

9.4 Другие проблемы

Не нужно думать, что приведенными выше проблемами исчерпывается круг труд-

ных и нерешенных задач линейной теории управления. Эта теория — живая и дина-

мичная область исследований, и в ней постоянно возникают многие новые постановки

задач и соответствующие проблемы. Более того, многие вопросы классической теории

управления остаются открытыми.

Прежде всего, большинство инженерных требований к качеству реальных систем

управления формулируются не в терминах современной теории оптимального управ-

ления (линейно-квадратичная оптимизация, H

∞

-теория и т.д., см. Гл. 5), а в терминах

простых свойств желаемой системы, таких как перерегулирование, время установле-

ния, степень устойчивости, колебательность процесса и т.д. (некоторые из этих тер-

минов были определены выше). Существует множество инженерных приемов синтеза

регуляторов, позволяющих приближенно достигать желаемого качества проектируемой

системы по этим показателям. Однако четкие аналитические методы решения таких за-

дач (подобных, например, “аналитическим методам синтеза регуляторов”, т.е. методам

линейно-квадратичной оптимизации), как правило, отсутствуют.

Во-вторых, мы, в основном, рассматривали задачи, в которых ставилась лишь одна

цель управления (стабилизация, робастная стабилизация, оптимизация по какому-либо

критерию и т.д.). Однако обычно имеется ряд требований к качеству системы, которые

должны быть выполнены (например, обеспечить при данной неопределенности задан-

ный уровень критерия качества). Такие задачи часто весьма трудны, и их аналитиче-

ское решение доступно лишь в немногих случаях.

Наконец, сами линейные задачи управления — лишь маленький островок в океане

нелинейных проблем. Как правило, линейные модели являются лишь аппроксимацией

реальных задач, которым всегда свойственны отклонения от линейности. Задачи управ-

ления для нелинейных систем гораздо более трудны, чем в линейном случае, но мы не

имеем возможности даже затронуть эти темы.

228 Глава 9. Нерешенные задачи

Приложение

1 Определитель, характеристический полином, след

Свойства определителя матриц из C

n×n

1. det AB = det BA = det A det B.

2. Если A невырождена, то det A

−1

det A

−1

3. det A = λ

· . . . · λ

, где λ

— собственные значения A.

4. Для любых A ∈ C

m×n

, B ∈ C

n×m

справедливо det(I + AB) = det(I + BA).

5. Для любых x, y ∈ C

выполняется det(I + xy

∗

) = 1 + y

∗

6. Объем эллипсоида E

= {x ∈ R

: x

−1

x ≤ 1, P > 0} равен Vol(E) = c

det P , где

— объем единичного шара в R

Характеристическим полиномом матрицы A ∈ C

n×n

называется полином

P (λ) = det(λI − A) = λ

+ a

n−1

+ . . . + a

λ + a

корни λ

которого — собственные значения A.

Важным свойством характеристического полинома матрицы A является то, что он

является аннулирующим для A, т.е. имеет место

Теорема П.1 (Кэли-Гамильтон) Матрица A ∈ R

n×n

удовлетворяет своему харак-

теристическому уравнению: если P (λ)

= det(λI − A) = λ

+ a

n−1

+ . . . + a

λ + a

то

P (A)

= A

+ a

n−1

+ . . . + a

I = 0.

Следствие. Видно, что A

, а, следовательно, и A

при m ≥ n, выражается как линей-

ная комбинация низших степеней A

, k = 0, 1, . . . , n−1. Для данной матрицы существу-

ет много аннулирующих полиномов; тот из них, который имеет наинизшую степень µ

(и старший коэффициент, равный единице), называется минимальным полиномом. Со-

ответственно, любая степень A представима как линейная комбинация I, A, . . . , A

µ−1

Из других свойств характеристического полинома выделим

1. a

n−1

= −tr A,

2. a

= det A.

Свойства следа матриц из C

n×n

229

230 ПРИЛОЖЕНИЕ

1. tr AB = tr BA.

2. tr A = λ

+ . . . + λ

, где λ

— собственные значения A.

3. tr (A + B) = tr A + tr B.

2 Положительно определенные матрицы

Матрица A называется положительно (неотрицательно) определенной, если

(Ax, x) > 0 (≥ 0)

для всех x ∈ R

, x 6= 0. Это обозначается A > 0 (A ≥ 0), а запись A > B означает,

что A − B > 0. Без ограничения общности можно считать, что A = A

(поскольку

квадратичная форма (Ax, x) не меняется при при замене A на симметричную матрицу

(A + A

)/2). Всюду в книге запись A > 0 (или A ≥ 0) подразумевает и равенство

A = A

. У положительно определенных матриц все собственные значения вещественны

и положительны. Некоторые свойства таких матриц:

1. Для A ∈ R

n×m

имеем A

A ≥ 0, AA

≥ 0, при этом если n = m и A невырождена,

то A

A > 0, AA

> 0.

2. Если A > 0 и B невырождена, то BAB

> 0, т.е. матричное неравенство можно

умножать слева на B и справа на B

3. Если A ≥ B > 0, то обратные матрицы существуют, и 0 < A

−1

≤ B

−1

4. Для матрицы A > 0 существует единственная матрица B > 0 такая, что BB = A;

она называется квадратным корнем из A и обозначается B = A

1/2

3 Блочные матрицы и лемма Шура

Лемма П.1 (Шур) Пусть

A =

B C

D E

∈ R

n×n

где B ∈ R

m×m

, E ∈ R

l×l

, n = m + l.

1. Если E невырождена, то A невырождена если и только если ∆

= B − CE

−1

невырождена, при этом

det A = det E det ∆.

2. Если B = B

, D = C

, E = E

, то

A > 0 ⇐⇒ E > 0, ∆ > 0.

Отметим, что в пункте 2 Леммы нестрогое неравенство A ≥ 0 при C 6= 0, E = βI

справедливо тогда и только тогда, когда β > 0, ∆ ≥ 0.