Поляк Б.Т., Щербаков П.С. Робастная устойчивость и управление

Подождите немного. Документ загружается.

4. S-ТЕОРЕМА 231

4 S-теорема

Заданы квадратичные формы

(x) = (A

x, x), i = 0, 1, . . . , m,

где x ∈ R

, A

= A

∈ R

n×n

, и числа α

, α

, . . . , α

. Пусть неравенства

(x) ≤ α

, i = 1, . . . , m, (П.1)

влекут неравенство

(x) ≤ α

, (П.2)

т.е. для всякого x, удовлетворяющего (П.1), выполняется и (П.2). Нас интересует соот-

ношение между матрицами A

и числами α

, i = 0, 1, . . . , m.

Теорема П.2 (S-теорема) Если найдутся λ

≥ 0, i = 1, . . . , m, такие, что

≤

i=1

, α

≥

i=1

, (П.3)

то из (П.1) следует (П.2). Обратно, если из (П.1) следует (П.2) и выполняется любое

из условий

а). m = 1;

б). m = 2, n ≥ 3 и существуют x

∈ R

, µ

, такие, что

) < α

, f

) < α

, µ

+ µ

> 0,

то найдутся λ

≥ 0, i = 1, . . . , m, такие, что справедливо (П.3).

Нетривиальной частью этого утверждения является, конечно, необходимость усло-

вия (П.3) при m = 1, 2. Можно показать, что при m > 2 аналогичный результат не

имеет места.

Частным случаем S-теоремы является

Лемма П.2 (Финслер) Пусть (A

x, x) > 0 для всех x ∈ R

, x 6= 0, таких, что

x, x) = 0 для некоторой A

. Тогда найдется такое γ ∈ R, что A

+ γA

> 0.

5 Нормы матриц

Рассматриваются квадратные матрицы A = (a

) ∈ C

n×n

. Функция k · k : C

n×n

→ R

называется матричной нормой, если для любых A, B ∈ C

n×n

выполнены следующие

аксиомы:

1. kAk ≥ 0;

2. kAk = 0 ⇐⇒ A = 0;

3. kαAk = |α|kAk для любого α ∈ C;

232 ПРИЛОЖЕНИЕ

4. kA + Bk ≤ kAk + kBk;

5. kABk ≤ kAk · kBk.

Два полезных свойства, вытекающих непосредственно из аксиомы 5:

1) kIk ≥ 1, и 2) если A обратима, то kAk · kA

−1

k ≥ 1.

Наиболее употребимы следующие явно задаваемые нормы:

—спектральная норма:

kAk

= max

1≤i≤n

1/2

∗

A);

—строчная норма:

kAk

= max

1≤i≤n

j=1

;

—столбцовая норма:

kAk

∞

= max

1≤j≤n

i=1

;

—фробениусова норма:

kAk

i,j=1

1/2

;

между ними имеются следующие соотношения:

√

kAk

≤ kAk

≤

√

nkAk

;

√

kAk

∞

≤ kAk

≤

√

nkAk

∞

;

√

kAk

≤ kAk

;

kAk

∞

≤ kAk

≤ nkAk

∞

;

√

kAk

≤ kAk

≤

√

nkAk

;

√

kAk

≤ kAk

∞

≤

√

nkAk

и эти оценки достижимы (т.е., например, max

A6=0

(kAk

/kAk

) = kIk

/kIk

√

n).

Если в C

n×n

ввести скалярное произведение по правилу hA, Bi = tr A

∗

B, то оно

порождает фробениусову матричную норму:

kAk

= hA, Ai

1/2

= (tr A

∗

1/2

i,j=1

1/2

в частности, при A = A

∈ R

n×n

будет kAk

= tr

1/2

Пусть задана векторная норма | · |; функция

kAk

= max

|x|6=0

|Ax|

|x|

= max

|x|≤1

|Ax| = max

|x|=1

|Ax|

6. МАТРИЧНЫЕ РАЗЛОЖЕНИЯ 233

удовлетворяет всем аксиомам, и поэтому является матричной нормой. Она называется

подчиненнной данной векторной норме | · | (индуцированной нормой). Иногда исполь-

зуют термин операторная норма (в частности, для таких норм kIk = 1). Матричные

нормы k·k

, k·k

∞

подчинены векторным нормами |·|

∞

, |·|

соответственно

т.е.

kAk

= max

|x|

|Ax|

, kAk

= max

|x|

∞

|Ax|

∞

, kAk

∞

= max

|x|

|Ax|

а k · k

не является подчиненной нормой.

Матричная норма k · k называется согласованной с векторной нормой | · |, если

|Ax| ≤ kAk|x|;

это свойство удобно при оценивании сходимости векторных последовательностей. Под-

чиненые нормы согласованы с соответствующими (индуцирующими их) векторными

нормами и поэтому наиболее употребимы.

Величина

ρ(A)

= max

|λ

(A)|

называется спектральным радиусом матрицы A. Для любой матричной нормы спра-

ведливо неравенство ρ(A) ≤ kAk. Хотя спектральный радиус и не является матричной

нормой, он оказывается точной нижней гранью значений всевозможных матричных

норм:

Лемма П.3 Для любой A ∈ C

n×n

и любого ε > 0 существует норма k · k, удовлетво-

ряющая

ρ(A) ≤ kAk ≤ ρ(A) + ε.

Следующая лемма характеризует асимптотическое поведение степеней A

Лемма П.4 Для любой матрицы A ∈ C

n×n

и любой нормы k · k справедливо

ρ(A) = lim

k→∞

1/k

6 Матричные разложения

6.1 Приведение к диагональной форме

Лемма П.5 Если все собственные значения λ

матрицы A ∈ R

n×n

различны, то она

приводится преобразованием подобия к диагональному виду, т.е. найдется невырож-

денная матрица T ∈ C

n×n

такая, что

−1

AT = Λ

= diag (λ

, . . . , λ

В “матричной” литературе строчную матричную норму обычно обозначают через k·k

∞

, а столбцо-

вую — через k·k

(в таких обозначениях k·k

∞

индуцируется векторной ∞-нормой, а k·k

— векторной

1-нормой). Мы же следуем обозачениям, принятым в l

-оптимизации (раздел 5.3), где 1-норма опера-

тора определяется через ∞-нормы сигналов.

234 ПРИЛОЖЕНИЕ

При этом λ

— собственные значения A, T — матрица, столбцы x

которой являются

правыми собственными векторами A: Ax

= λ

, а строки y

матрицы T

−1

являются

левыми собственными векторами A: y

∗

A = λ

∗

, i = 1, . . . , n.

В действительности, этот результат верен и для некоторых матриц с кратными

собственными значениями (именно, для так называемых матриц простой структуры,

все n собственных векторов которых линейно независимы). В частности, для симмет-

ричных матриц верно гораздо более сильное утверждение.

Лемма П.6 Если A = A

∈ R

n×n

, то она приводится к диагональной форме веще-

ственным ортогональным преобразованием подобия, т.е. найдется такая U ∈ R

n×n

что U

= U

−1

AU = Λ

= diag (λ

, . . . , λ

и все собственные значения λ

вещественны.

6.2 Приведение к жордановой форме

Лемма П.7 Для любой матрицы A ∈ C

n×n

существует невырожденная матрица

T ∈ C

n×n

такая, что

−1

AT = J,

где J — жорданова форма матрицы A:

J = diag (J

, . . . , J

), J







1 . . . 0

0 . . . . . . λ







∈ C

×n

i=1

= n.

Здесь λ

— собственные значения A, а J

— жордановы блоки; при этом одному

собственному значению может соответствовать, вообще говоря, больше одного блока,

и размерности n

этих блоков могут быть различны. Например, в качестве J может

возникнуть матрица

J =







λ 1







;

она имеет одно собственное значение λ кратности 6, которому соответствуют три жор-

дановых блока размерностей 1 , 2 и 3.

Отметим, что левые собственные векторы иногда удобнее определять как правые собственные

векторы матрицы A

∗

6. МАТРИЧНЫЕ РАЗЛОЖЕНИЯ 235

6.3 Приведение к фробениусовой форме

Если для матрицы A ∈ C

n×n

найдется такой вектор b ∈ C

, что векторы b, Ab, . . . , A

n−1

линейно независимы, то A называется циклической матрицей (а вектор b — ее цикли-

ческим генератором).

Говорят, что матрица A ∈ C

n×n

приведена к фробениусовой форме, если она имеет

вид

A =







0 1 . . . 0

0 0

−a

. . . −a

n−1







, (П.4)

где a

, . . . , a

n−1

∈ C. Нетрудно проверить, что характеристический полином A равен

P (λ) = λ

+ a

n−1

+ . . . + a

λ + a

. (П.5)

Иногда матрицу вида (П.4) называют матрицей Фробениуса для полинома (П.5).

Лемма П.8 Матрица может быть приведены к фробениусовой форме невырожден-

ным преобразованием подобия с матрицей T ∈ C

n×n

тогда и только тогда, когда она

циклична.

Матрица является циклической тогда и только тогда, когда каждому ее собстенному

значению соответствует ровно один жорданов блок; эквивалентно, когда ее характери-

стический полином совпадает с минимальным.

6.4 Приведение к вещественной блочно-диагональной форме

Отметим, что в Леммах П.5 и П.7 как матрица T , так и матрицы Λ и J могут быть

комплексными, даже если A вещественна. Более того, эти матрицы заведомо комплекс-

ные, если у A есть комплексные собственные значения. Оставаться в области веще-

ственных чисел позволяет следующий результат.

Лемма П.9 Пусть собственные значения λ

2k−1

= u

+ jv

, λ

= u

− jv

, v

6= 0,

k = 1, . . . , p, λ

∈ R, i = 2p + 1, . . . , n, матрицы A ∈ R

n×n

различны. Тогда существует

невырожденная матрица T ∈ R

n×n

такая, что

−1

AT = Λ

= diag (J

, . . . , J

, λ

2p+1

, . . . , λ

), (П.6)

где матрицы J

∈ R

2×2

, k = 1, . . . , p, имеют вид

−v

При этом говорят, что Λ имеет вещественную блочно-диагональную форму .

Это есть частный случай приведения произвольной матрицы к вещественной жор-

дановой форме с помощью преобразования подобия с вещественной матрицей T .

236 ПРИЛОЖЕНИЕ

6.5 Сингулярное разложение

Напомним, что унитарной матрицей называется матрица V ∈ C

n×n

, удовлетворя-

ющая условию

∗

V = I.

В вещественном случае (V ∈ R

n×n

) для таких матриц V

V = I, и они называются

ортогональными.

Лемма П.10 Пусть A ∈ C

m×n

. Тогда найдутся унитарные матрицы U ∈ C

m×m

V ∈ C

n×n

такие, что

∗

AV = Λ, Λ =

0 0

, Λ

= diag (σ

, . . . , σ

), p = min{m, n}. (П.7)

Представление (П.7) называется сингулярным разложением матрицы A. Здесь 0 ≤

≤ . . . ≤ σ

— сингулярные числа A, т.е. σ

= σ

(A) = λ

1/2

∗

A), где λ

— собственные

значения неотрицательно определенной матрицы A

∗

A. Если при этом A ∈ R

m×n

, то U

и V — ортогональные матрицы. Наконец, если m = n, то Λ = diag (σ

, . . . , σ

Если обозначить (транспонированные) строки матриц U и V через u

, v

, то из (П.7)

следует

∗

= σ

, AA

∗

= σ

т.е. σ

— собственные числа матриц A

∗

A и AA

∗

, а v

, u

— соответствующие собствен-

ные векторы. В частности, для вещественных A будет A

A ≥ 0, AA

≥ 0, а v

, u

—

вещественные взаимно ортогональные собственные векторы.

Наименьшее и наибольшее сингулярные числа выражаются через спектральную

норму матрицы A ∈ C

n×n

(A) = max

|x|=1

|Ax| = kAk, σ

(A) = min

|x|=1

|Ax| = 1/kA

−1

Второе равенство справедливо лишь для невырожденных матриц; в вырожденном слу-

чае σ

= 0.

6.6 Каноническая управляемая форма. Управляемость

Каноническая управляемая форма: Рассмотрим систему

˙x = Ax + bu, A ∈ R

n×n

, b ∈ R

, u ∈ R

y = c

x, c ∈ R

(П.8)

и пусть P (s)

= s

+ a

n−1

+ . . . + a

— характеристический полином матрицы A.

Лемма П.11 Если векторы b, Ab, . . . , A

n−1

b линейно независимы (т.е. пара (A, b)

управляема), то линейной заменой переменных

x = T x, T

−1

n−1

b . . . Ab b







1 0 . . . 0

n−1

. . . a

n−1







(П.9)

7. ФУНКЦИИ ОТ МАТРИЦ 237

система (П.8) приводится к канонической управляемой форме

x =

x +

b u, y =

A = T AT

−1

b = T b,

= c

−1

, (П.10)

A =







0 1 . . . 0

0 0

−a

. . . −a

n−1







b =













. (П.11)

При этом матрица A преобразованием подобия приведена к фробениусовой форме.

Теорема П.3 (управляемость) Следующие условия эквивалентны:

1 Система

˙x = Ax + Bu, x ∈ R

, u ∈ R

управляема.

2. Грамиан управляемости

(t)

Aτ

dτ

является положительно-определенной матрицей для любого t > 0.

3. Матрица управляемости U

= [B AB . . . A

n−1

B] имеет ранг n.

4. Матрица Хаутуса [A − λI B] имеет ранг n для любого λ ∈ C.

5. Для любого левого собственного вектора v матрицы A (т.е. ненулевого вектора

v ∈ C

, удовлетворяющего v

∗

A = λv

∗

при некотором λ ∈ C) справедливо v

∗

B 6= 0.

6. Выбором матрицы K ∈ R

m×n

можно добиться произвольного расположения соб-

ственных значений матрицы A + BK.

7 Функции от матриц

7.1 Функции от матричного аргумента

Для функции f(s) комплексной переменной s определим соответствующую функ-

цию от матричного аргумента A ∈ R

n×n

Если p(s) — полином степени m с вещественными коэффициентами

p(s) = a

+ . . . + a

s + a

то положим

p(A)

= a

+ . . . + a

+ a

238 ПРИЛОЖЕНИЕ

Заметим, что согласно следствию из теоремы Кэли-Гамильтона, для любой n × n мат-

рицы A и любого полинома p

степени n и выше существует полином p

степени (n −1)

такой, что p

(A) = p

(A).

Для числовой функции f(s) общего вида (не полинома) имеется несколько способов

определения соответствующей функции от матрицы. Дадим лишь два наиболее употре-

бимых; оба они представляют f(A) в виде полинома от A.

Первый способ основан на теореме Кэли-Гамильтона и определяет f(A) как значение

интерполяционного полинома от матрицы A. Предположим, что функция f : C → C

определена на спектре матрицы A, т.е. она аналитична в собственных значениях A.

Пусть, как и раньше, λ

, i = 1, . . . , m — все различные собственные значения матри-

цы A, а n

, i = 1, . . . , m — их кратности. Для функции f (s) построим полином g(s)

степени n − 1

g(s) = γ

+ γ

s + . . . + γ

n−1

коэффициенты которого найдем из следующих условий:

(k)

(λ

) = f

(k)

(λ

), k = 0, 1 . . . , n

− 1, i = 1, . . . , m,

где правые части равенств определены в силу аналитичности f(s) в точках λ

. Эти усло-

вия представляют собой систему n линейных уравнений относительно n неизвестных γ

;

можно показать, что матрица этой системы невырождена, так что всегда существует

единственное решение γ

, . . . , γ

n−1

. Таким образом, построенный интерполяционный по-

лином g(s) и функция f(s) совпадают на спектре матрицы A, т.е. в точках λ

совпа-

дают их значения и значения их производных вплоть до (n

− 1)-й. Определим теперь

f(A)

= g(A).

Итак, функция от матрицы определяется как значение конечного степенного ряда от

матрицы. Отметим, что f(A) можно было бы определять исходя не из характеристиче-

ского полинома, а из минимального, степень которого ниже, однако соответствующие

интерполяционные условия (порядки производных) сформулировать сложнее. Впро-

чем, оба определения приводят к одному результату.

Иногда бывает удобно определять функцию от матрицы в виде бесконечного сте-

пенного ряда. Так, пусть f(s) аналитична в s = s

с радиусом сходимости r = r(s

);

тогда для всех s из круга сходимости, т.е. для |s − s

| < r выполнено

f(s) =

∞

k=0

(s − s

)

причем ряд сходится аболютно. Пусть все собственные значения λ

матрицы A лежат

в круге сходимости: |λ

− s

| < r; тогда определим

f(A)

∞

k=0

(A − s

причем сходимость матричного ряда — абсолютная (в смысле матричной нормы). В

частности, при s

= 0

f(A)

∞

k=0

8. ПОЛИНОМИАЛЬНЫЕ И РОДСТВЕННЫЕ УРАВНЕНИЯ 239

В приложениях часто r = ∞, т.е. f(s) аналитична на всей плоскости, и f(A) определена

для всех A.

Такое представление функций от матриц часто предпочтительнее с вычислительной

точки зрения (в практических задачах соответствующие степенные матричные ряды,

как правило, сходятся быстро); кроме того, оно позволяет пользоваться многими удоб-

ными свойствами матричных функций.

Разумеется, значения f(A), полученные двумя описанными способами, совпадают

(для тех матриц, на которых оба эти способа определены).

7.2 Матричная экспонента

При анализе дифференциальных уравнений наиболее часто встречающейся матрич-

ной функцией является экспонента. Поскольку f(s) = e

аналитична на всей комплекс-

ной плоскости, то бывает удобнее пользоваться определением матричной экспоненты в

виде ряда:

= I + A +

+ . . .

Приведем несколько свойств этой функции.

1. e

∞

k=0

= I.

2. Если A = diag (a

, . . . , a

), то e

= diag (e

, . . . , e

). В частности, если A = aI, то

= e

3. Если матрицы A и B коммутируют, то e

= e

A+B

(обратное, вообще говоря,

неверно).

С другой стороны, если e

(A+B)t

= e

для всех t ∈ (t

, t

), то AB = BA.

4. e

−A

= e

A−A

= e

= I вследствие коммутативности. Поэтому, в частности,

)

−1

= e

−A

для любой (вырожденной или нет) матрицы A.

5. Ae

= e

A вследствие коммутативности.

= Ae

7. Если A обратима, то

dt = A

−1

+C, где C — некоторая постоянная матрица.

В частности,

Aτ

dτ = A

−1

− I

, и

∞

Aτ

dτ = −A

−1

для устойчивых A.

8 Решение полиномиальных и родственных уравне-

ний

Пусть полиномы a(s), b(s) — взаимно просты (т.е. не имеют общих корней).

240 ПРИЛОЖЕНИЕ

Теорема П.4 (Теорема Безу) Полиномиальное уравнение

ax + by = 1 (П.12)

(где неизвестные — полиномы x(s), y(s)) всегда имеет решение x

, y

такое, что

deg x

≤ deg b − 1, deg y

≤ deg a − 1,

причем общее решение (П.12) имеет вид

x = x

+ br, y = y

− ar, (П.13)

где r(s) — произвольный полином.

Решение минимальной степени x

, y

можно найти с помощью любого из следующих

алгоритмов.

Алгоритм 1 (решение системы линейных уравнений). Возьмем

x(s)

= x

+ x

s + . . . + x

, y(s)

= y

+ y

s + . . . + y

где N = deg b−1, M = deg a−1. Тогда, приравнивая в (П.12) коэффициенты полиномов

ax + by и 1 от свободного члена до степени N + M + 1, получим систему N + M + 2

линейных уравнений относительно N + M + 2 переменных x

, x

, . . . , x

, y

, . . . , y

Эта система невырождена в силу взаимной простоты a и b.

Алгоритм 2 (использование корней a и b). Пусть нам известны корни λ

поли-

нома a(s) и корни µ

полинома b(s). Рассматривая уравнение (П.12) в точке s = λ

получаем

b(λ

)y(λ

) = 1, i = 1, . . . , deg a.

Относительно коэффициентов y

, . . . , y

это дает нам M + 1 уравнение с M + 1 пере-

менной. Аналогично, подставляя µ

в (П.12), получаем N + 1 уравнение относительно

переменных x

, . . . , x

Алгоритм 3 (Евклида). Используем алгоритм Евклида для нахождения наиболь-

шего общего делителя полиномов a(s) и b (s) — он полностью совпадает с таким же

алгоритмом для целых чисел. В силу предположения, наибольший общий делитель ра-

вен единице. Зная получающиеся в процессе применения алгоритма частные и остатки,

легко восстановить x

, y

Близкие результаты можно получить, когда уравнение (П.12) относится не к полино-

мам, а к элементам какого-либо иного кольца. В западной литературе такое уравнение

называют равенством Безу; в отечественной литературе часто используют термин дио-

фантово уравнение. В частности, важным для теории управления является случай, ко-

гда a, b, x, y — устойчивые правильные дробно-рациональные функции (скалярные или

матричные), т.е. элементы пространства RH

∞

. При этом, однако, заметно более труд-

но записать условие взаимной простоты a и b, и часто оно формулируется просто как