Поляк Б.Т., Щербаков П.С. Робастная устойчивость и управление

Подождите немного. Документ загружается.

9. МАТРИЧНЫЕ УРАВНЕНИЯ И НЕРАВЕНСТВА 241

разрешимость в RH

∞

уравнения (П.12). В одномерном случае имеется конструктивное

определение: скалярные функции a( s) и b(s) из RH

∞

называются взаимно простыми,

если они не имеют общих неустойчивых нулей и одновременно не обращаются в нуль

на бесконечности.

Отсюда, в частности, следует, что если функции a и b взаимно про-

сты, то по крайней мере у одной из них степень числителя равна степени знаменателя.

Нетрудно показать, что эти условия необходимы и достаточны для разрешимости в

∞

уравнения (П.12), т.е. имеет место следующий аналог Теоремы П.4.

Лемма П.12 Пусть a и b — взаимно простые скалярные функции из RH

∞

, тогда

уравнение (П.12) имеет решение x

, y

∈ RH

∞

а общее решение имеет вид (П.13), где

r(s) — произвольная функция из RH

∞

Заметим, что здесь, в отличие от Теоремы П.4, не говорится о решении минимальной

степени. Что касается многомерных функций A, B ∈ R H

∞

, то для них уравнение (П.12)

приобретает вид

AX + BY = I,

и его разрешимость в RH

∞

берется за определение взаимной простоты A и B.

9 Матричные уравнения и неравенства

9.1 Уравнение Ляпунова

Лемма П.13 (непрерывный случай) Матричное уравнение Ляпунова

AP + P A

= −Q (П.14)

при Q = Q

имеет единственное решение P = P

тогда и только тогда, когда Re (λ

) 6= 0 для всех собственных значений λ

матрицы A. При этом

P =

∞

dt > 0 (П.15)

тогда и только тогда, когда A гурвицева и либо

1. Q > 0 (если Q ≥ 0, то существует положительно полуопределенное решение

P ≥ 0),

либо

2. Q = BB

и пара (A, B) управляема.

В литературе также используется следующее эквивалентное определение взаимной простоты.

Функции a, b ∈ RH

∞

называются взаимно простыми, если любой общий делитель a и b обратим в

∞

, т.е. из h ∈ RH

∞

, ah

−1

∈ RH

∞

, bh

−1

∈ RH

∞

следует h

−1

∈ RH

∞

. Оно, однако, представляется

менее удобным.

242 ПРИЛОЖЕНИЕ

Отсюда в частности следует, что если уравнение (П.14) с Q > 0 имеет решение

P > 0, то A устойчива; мы часто пользуемся этим выводом.

Поскольку решение системы ˙x = Ax, x(0) = x

, есть x(t) = e

, то получаем

следствие:

Лемма П.14 (значение квадратичного функционала) Пусть x(t) — решение си-

стемы ˙x = Ax, x(0) = x

, с устойчивой матрицей A, а Q > 0 — некоторая поло-

жительно определенная матрица. Тогда значение функционала J

∞

Qxdt равно

W x

, где W — решение уравнения Ляпунова A

W + W A = −Q.

Лемма П.15 (неравенство Ляпунова) Пусть A гурвицева, пара (A, B) управляе-

ма, и P

−

> 0 — решение уравнения Ляпунова (П.14) с Q = B

B. Тогда матричное

неравенство Ляпунова

AP + P A

≤ −BB

(П.16)

разрешимо, причем для любого решения P неравенства (П.16) справедливо P ≥ P

−

(т.е. P

−

— минимальное решение (П.16)).

Получаем следствие:

Лемма П.16 При сделанных предположениях, для любой матрицы C решение задачи

min tr (CP C

)

при ограничении AP + P A

+ BB

≤ 0

достигается на решении P

−

уравнения Ляпунова

AP + P A

+ BB

= 0.

Иногда представляет интерес неравенство Ляпунова с неотрицательно определенной

правой частью.

Лемма П.17 Если Re (λ

+ λ

) 6= 0 для всех собственных значений λ

матрицы A и

пара (A, B) управляема, то неравенство Ляпунова

AP + P A

≤ BB

имеет решение P > 0.

Если в неравенстве Ляпунова не накладывать требования к симметрии решения, то

всегда некоторое решение может быть найдено в явной форме.

Лемма П.18 Если решение матричного неравенства

+ BY ≤ Q

существует, то оно достигается при Y = −γB

, т.е. решение существует, если при

некотором γ ≥ 0 выполняется −γBB

≤ Q.

9. МАТРИЧНЫЕ УРАВНЕНИЯ И НЕРАВЕНСТВА 243

Лемма П.19 (уравнение Ляпунова, дискретный случай) Дискретное матричное

уравнение Ляпунова

AP A

− P = −Q

при Q = Q

имеет единственное симметричное решение P = P

тогда и только

тогда, когда λ

6= 1 для всех собственных значений A. При этом

P =

∞

k=0

Q(A

)

> 0

тогда и только тогда, когда A — шуровская матрица (|λ

| < 1) и либо

1) Q > 0 (при Q ≥ 0 будет P ≥ 0),

либо

2) Q = BB

и пара (A, B) управляема.

9.2 Уравнение Риккати

Теорема П.5 (дифференциальное уравнение Риккати) Если пара (A, B) управ-

ляема, а матрицы R > 0, S > 0, то решение дифференциального уравнения Риккати

P + A

P + P A − P BS

−1

P + R = 0, P (T ) = 0

обладает следующими свойствами:

1. При любом T > 0 оно существует и единственно для всех t ∈ [0, T ];

2. P (t) ≥ 0 для любых 0 ≤ t ≤ T ;

3. Если P

(t) — решение уравнения при заданном T , то P

(t) < P

(t) при T

> T

;

4. При T → ∞ будет P

(t) → P

∞

, где (не зависящая от T и t) матрица P

∞

яв-

ляется единственным положительно определенным решением алгебраического

матричного уравнения Риккати

P + P A − P BS

−1

P + R = 0. (П.17)

Алгебраическое уравнение Риккати (П.17) часто возникает в несколько иной форме

P + P A − P BB

P + C

C = 0. (П.18)

Лемма П.20 Если пара (A, B) управляема, а пара (A, C) наблюдаема, то уравнение (П.18)

имеет единственное решение P > 0, причем матрица A − BB

P устойчива.

В уравнениях (П.17), (П.18) перед квадратичным членом стоит знак минус, а перед

свободным членом — плюс. Однако можно изменить знаки.

Лемма П.21 В предположениях Теоремы П.5 уравнение

+ AQ + QRQ − BS

−1

= 0 (П.19)

имеет единственное решение Q > 0, причем Q = P

−1

, где P > 0 — решение (П.17).

244 ПРИЛОЖЕНИЕ

Действительно, достаточно умножить (П.17) слева и справа на Q = P

−1

. Уравне-

ния (П.17) и (П.19) называются двойственными.

Можно рассмотреть и уравнение Риккати с отрицательным коэффициентом при

свободном члене

P + P A − P BB

P − γC

C = 0. (П.20)

Лемма П.22 В предположениях Леммы П.20 уравнение (П.20) имеет решение P > 0

тогда и только тогда, когда

γ <

kG(s)k

∞

, G(s) = C(sI −A)

−1

B. (П.21)

Имеется связь между решениями уравнения и неравенства Риккати; следующая лем-

ма аналогична Лемме П.15.

Лемма П.23 (неравенство Риккати)

1. Пусть R ≥ 0, пара (A, R) управляема, и матричное неравенство Риккати

P + P A + P RP + L ≤ 0 (П.22)

имеет решение. Тогда уравнение Риккати

P + P A + P RP + L = 0 (П.23)

имеет решение P

−

, причем P

−

— минимальное решение (П.22), т.е. для любого ре-

шения P неравенства (П.22) справедливо P ≥ P

−

. Кроме того, матрица A + RP

−

устойчива.

2. Пусть R ≤ 0, пара (A, R) управляема, и матричное неравенство Риккати

P + P A + P RP + L ≥ 0 (П.24)

имеет решение. Тогда уравнение Риккати (П.23) имеет решение P

, причем P

—

максимальное решение (П.24), т.е. для любого решения P неравенства (П.24) справед-

ливо P ≤ P

. Кроме того, матрица A + RP

устойчива.

10 Теория возмущений

10.1 Непрерывная зависимость корней полинома от коэффици-

ентов

Пусть P (s, q) — полином n-й степени, коэффициенты которого непрерывно зависят

от параметров q ∈ R

P (s, q) = a

(q) + a

(q)s + . . . + a

(q)s

причем a

(0) 6= 0. Обозначим его корни через s

(q), i = 1, . . . , n.

10. ТЕОРИЯ ВОЗМУЩЕНИЙ 245

Теорема П.6 Для всякого ε > 0 найдется δ > 0 такое, что при |q| ≤ δ корни s

(q)

полинома P (s, q) можно перенумеровать так, чтобы

(q) − s

(0)| ≤ ε, i = 1, . . . , n.

Этой теореме можно придать следующую форму для случая одномерного параметра

q ∈ [0, 1].

Лемма П.24 Пусть a

(q) 6= 0 для всех q ∈ [0, 1]. Тогда корни s

(q) можно так

упорядочить, что s

(q) — непрерывная функция на [0, 1] для всех i = 1, . . . , n.

Часто представляет интерес более конструктивная оценка близости корней по бли-

зости коэффициентов. Типичным является следующий результат об относительной по-

грешности.

Теорема П.7 Пусть ε > 0, ε < (1/4n)

(q) − a

(0)| ≤ ε|a

(0)|, i = 1, . . . , n.

Тогда корни s

(q) можно перенумеровать так, что

(q) − s

(0)

< 8nε

1/n

Этот результат выглядит не очень обнадеживающим — во-первых, он справедлив

лишь для очень малых ε, во-вторых, близость корней оказывается порядка ε

1/n

, т.е.

медленно убывает как функция от ε. Однако, в общем случае кратных корней лучших

оценок, вообще говоря, получить нельзя. Ситуация значительно упрощается лишь в

случае простых корней, см. ниже.

10.2 Непрерывная зависимость собственных значений матрицы

от ее элементов

Пусть A(q) — матрица из C

n×n

, элементы a

(q) которой непрерывно зависят от

параметров q ∈ R

. Обозначим через λ

(0), i = 1, . . . , n, собственные значения матрицы

A(0).

Теорема П.8 Для всякого ε > 0 найдется δ > 0 такое, что при |q| ≤ δ собственные

значения λ

(q) матрицы A(q) можно упорядочить так, что

|λ

(q) − λ

(0)| ≤ ε, i = 1, . . . , n.

Близость λ

(q) к λ

(0) в общем случае можно оценить. Приведем типичный резуль-

тат.

Теорема П.9 Пусть A = ((a

)), |a

| ≤ 1, B = ((b

)), |b

| ≤ ε, i, j = 1, . . . , n,

и пусть λ

— собственные значения A, а

— собственные значения A + B. Тогда

последние можно упорядочить так, чтобы

− λ

| ≤ 2(n + 1)

ε)

1/n

, i = 1, . . . , n.

246 ПРИЛОЖЕНИЕ

Вновь эта оценка показывает очень сильное влияние возмущения матрицы на ее соб-

ственные значения (порядка ε

1/n

), однако в общем случае от множителя ε

1/n

избавиться

нельзя, как показывает следующий пример: при

A =







λ 1 . . . 0

0 . . . . . . λ







, B =







0 . . . 0 ε

. 0

0 . . . . . . 0







получаем

= λ,

= λ +

cos

k − 1

π + j sin

k − 1

1/n

, k = 1, . . . , n.

10.3 Линейная теория возмущений

Для случая простых (не кратных) корней и собственных значений предыдущие оцен-

ки могут быть существенно уточнены.

Лемма П.25 Пусть s

— простой корень полинома P

(s), и P

(s) — некоторый поли-

ном. Тогда полином

P (s, q)

= P

(s) + qP

(s), q ∈ R

имеет корень s

(q), удовлетворяющий условию

(q) = s

− q

)

+ o(q).

Аналогичный результат для матриц формулируется следующим образом.

Лемма П.26 Пусть λ — простое собственное значение матрицы A ∈ C

n×n

, а x и y

— соответствующие ему левый и правый собственные векторы: Ax = λx , y

∗

A = λy

∗

Тогда для матрицы A(q)

= A + qB найдется собственное значение λ(q) такое, что

λ(q) = λ + q

∗

+ o(q).

10.4 Круги Гершгорина

Теорема П.10 (Гершгорин) Любое собственное значение матрицы A = ((a

)) ∈

n×n

лежит в одном из кругов с центрами в a

и радиусами

j6=i

Следствие. Пусть все собственные значения λ

матрицы A ∈ C

n×n

различны, T

−1

AT =

= diag (λ

, . . . , λ

), и |b

| ≤ 1, i, j, = 1, . . . , n, для элементов матрицы B ∈ C

n×n

. Тогда

11. ТЕОРЕМА ДВОЙСТВЕННОСТИ 247

для собственных значений λ

(ε) матрицы A + εB при достаточно малом ε справедливы

оценки

|λ

(ε) − λ

| ≤

n(n − 1)ε

, s

= y

где x

— i-й столбец матрицы T , а y

— i-й столбец матрицы T

−1

, причем они нормиро-

ваны условиями |x

| = |y

| = 1, i = 1, . . . , n.

Можно получить и более точный результат (ср. с Леммой П.26).

Лемма П.27 В условиях Леммы П.26

(ε) − λ

− ε

∗

≤

(n − 1)ε

max

j6=i

|λ

− λ

||s

11 Одна теорема двойственности

Пусть A ∈ R

m×n

, b ∈ R

, x ∈ R

, y ∈ R

, p, q ∈ R — сопряженные числа, т.е.

1/p + 1/q = 1, 1 ≤ p ≤ ∞, 1 ≤ q ≤ ∞, а |x|

, |y|

— соответствующие l

и l

нормы

векторов, т.е. |x|

i=1

1/p

, |y|

i=1

1/q

Теорема П.11 Рассмотрим прямую задачу выпуклого программирования

α = min

x=1

|Ax|

и двойственную к ней

β = min

y=b

|y|

Тогда их оптимальные значения α и β связаны соотношением

α = 1/β.

Если взять p = 1, q = ∞, b = (1, 0, . . . , 0)

, первый столбец матрицы A обозначить

через c ∈ R

, вектор (x

, x

, . . . , x

)

вновь обозначить через x, а оставшуюся после

удаления первого столбца часть матрицы A вновь через A, то получим

Лемма П.28

min

|Ax + c|

min

y=0, c

y=1

|y|

∞

248 ПРИЛОЖЕНИЕ

Библиографический комментарий

На русском языке в период 1955–1985 г.г. было издано большое число учебников и

монографий, достаточно полно отражавших состояние теории управления в те годы.

Так, много учебников посвящено частотному подходу к линейным системам [17, 25, 39,

53, 67, 82]; оригинальные работы собраны в сборнике [123]. Описание в пространстве

состояний и задачи оптимального управления освещены в работах [2, 3, 5, 24, 25, 30,

34, 36, 38, 40, 45, 46, 70, 76, 77]. Большое внимание уделялось управлению дискретными

системами [19, 23, 28, 31, 41, 73, 78, 81]. В целом основные результаты теории управления

на начало 80-х годов отражены в справочнике под редакцией А. А. Красовского [72] и

в фундаментальном учебнике А. А. Первозванского [58]. За последние годы издано

относительно немного учебной и научной литературы на русском языке [6, 7, 8, 29, 55];

как правило, эти книги посвящены отдельным проблемам теории.

Совершенно иная ситуация с публикациями на Западе. Помимо стандартных учеб-

ников по линейным системам, которые выходят все новыми изданиями [108, 132, 139],

появляются публикации, которые отражают прогресс в развитии науки об управле-

нии за последние десятилетия. Одним из первых стал учебник [144]; кроме того, из-

дано много книг, которые можно рассматривать и как учебники, и как монографии

[105, 117, 120, 125, 127, 146, 147, 166, 183]. Наиболее интересные статьи из журналов,

связанные со становлением новых направлений, переизданы в сборниках [162, 163]. Вы-

пущена энциклопедия по управлению [172] и справочник [174], содержащий обзорные

статьи по всем основным разделам теории и практики управления.

К Главе 1

Содержание разделов 1.1, 1.2 и 1.4 достаточно стандартное. Язык передаточных

функций стал общеупотребительным в 1930-х годах, после работ Х. Боде и Г. Найк-

виста. Описание в пространстве состояний широко распространилось в конце 1950-х

годов, под влиянием пионерских работ Л. С. Понтрягина [66] и Р. Калмана [33, 133].

Взгляд на линейную систему как на линейный оператор, преобразующий пространство

входных сигналов в пространство выходных сигналов, стал основным значительно поз-

же, в 1970-е годы, главным образом благодаря трудам М. Видьясагара [114, 176]. До

середины прошлого века исследовались в основном одномерные (односвязные) систе-

мы, интерес к многомерным (многосвязным) системам возник позже, причем основным

аппаратом для их анализа и синтеза стало описание в пространстве состояний. Техника

многомерных (матричных) передаточных функций для таких систем получила значи-

тельный импульс благодаря исследованиям Г. Розенброка [165], позже эта техника ста-

249

250 БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ КОММЕНТАРИЙ

ла доминирующей. Первые работы по дискретным импульсным системам принадлежат

Я. З. Цыпкину [81] и Э. Джури [28]. Сейчас параллельное исследование всех основных

подходов теории линейных систем как для непрерывного, так и для дискретного случая

является общепринятым.

К Главе 2

Идея программного управления появилась сравнительно поздно, в 1950-е годы, в

связи с интересом к задачам космонавтики и управления летательными аппаратами.

До этого доминировал подход, основывающийся на идеях обратной связи, наиболее

естественный в задачах электротехники и радиотехники, исследовавшихся в то время.

Понятия управляемости и наблюдаемости введены Калманом [33]; теперь они стали

ключевыми в теории линейных систем.

К Главе 3

Условия устойчивости линейных дискретных и непрерывных систем, заданных в

пространстве состояний, известны давно, см., например, [13, 44, 110]; их основы за-

ложил еще А. М. Ляпунов [50] в работе 1892 г. Мы приводим несколько различных

доказательств, так как используемая при этом техника очень важна и применяется в

гораздо более общих ситуациях.

Графический критерий устойчивости полиномов в форме условия 2 Теоремы 9 пред-

ложен А. В. Михайловым в 1938 г.; в форме условия 4 он был получен Ш. Эрмитом и

Билером гораздо раньше, в 1856 г. Алгебраический критерий устойчивости был предло-

жен в 1896 г. А. Гурвицем и доведен до удобной вычислительной формы Э. Раусом. На

дискретный случай алгоритм был перенесен И. Шуром (1920 г.). Достаточное условие

устойчивости (3.19) было предложено Коном в 1922 г. Много сопутствующих резуль-

татов и обобщений можно найти в [68, 145]. Знаменитый критерий Найквиста (1932)

оказал большое влияние на развитие частотной теории. Многомерный аналог критерия

Найквиста был сначала получен Розенброком в 1974 г. [165] в форме так называемого

корневого годографа; Теорема 13, в которой фигурирует лишь один годограф, доказана

Видьясагаром [176].

Структура множества достижимости для различных ситуаций описывается в книгах

А. Б. Куржанского [42], Ф. Швеппе [168] и С. Бойда с соавторами [106].

Термин “сверхустойчивость” является новым. Теорема 18 впервые получена, по-

видимому, С. М. Лозинским в 1953 г. [47]. Использование матриц с “отрицательным

диагональным доминированием” (в нашей терминологии — сверхустойчивых) для ана-

лиза линейных систем управления встречалось ранее в ряде работ, см., в частности,

[25, 134, 150, 165, 169]. Результат о расположении спектра сверхустойчивых матриц

(Лемма 6) получен в [18].