Поляк Б.Т., Щербаков П.С. Робастная устойчивость и управление

Подождите немного. Документ загружается.

БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ КОММЕНТАРИЙ 251

К Главе 4

Стабилизация минимальнофазовых систем с помощью большого коэффициента уси-

ления (Теорема 24) была обоснована М. В. Мееровым в 1947 г., см. также [53]. Идея D-

разбиения в частном случае полиномов третьей степени была высказана еще И. А. Выш-

неградским в 1896 г. (“диаграмма Вышнеградского”, см. [51]); в полной общности тех-

нику D-разбиения развил Ю. И. Неймарк [56].

Описание всех стабилизирующих регуляторов обычно называется “параметризацией

Юлы” или “параметризацией Юлы–Кучеры”, при этом ссылаются на работы [104, 181]

и [138]. Однако история этого открытия заметно выходит за пределы данных работ.

Прежде всего, в [104] дана лишь параметризация в форме (4.9); мы отмечали ее недо-

статки. Современная формулировка (Теорема 27) была придана этому результату в

статье [113]. Кроме того, В. М. Ларин, К. И. Науменко и В. Н. Сунцев получили близ-

кие результаты несколько раньше, в 1971 г. [43], см. комментарии в [4]. Для дискрет-

ных систем описание всех стабилизирующих регуляторов (Теорема 28) использовалось

Л. Н. Волгиным еще в 1962 г. [22], см. также [23]. Самая ранняя ссылка, которую

нам удалось разыскать — это статья А. М. Каца [35] 1955 г., в которой предложена

параметризация (4.9). В настоящее время параметризация Юлы излагается во многих

зарубежных учебниках [120, 144, 176, 183]; на русском языке ей посвящены книги [4, 71].

Теорема 30 о возможности произвольного размещения полюсов для управляемой

системы обычно связывается с именем Калмана, хотя сам Калман [34] указывает на

приоритет Дж. Бертрама. Теорема 33, характеризующая эффект “всплеска” при удале-

нии полюсов в левую полуплоскость, принадлежит Р. Н. Измайлову [32]. Способ оценки

состояния, приведенный в Теореме 34, часто называется наблюдателем Люенбергера;

он был предложен в [142], см. также [34, 143].

Идея квадратичной стабилизации была выдвинута в 1980-е годы Дж. Лейтманом

и Б. Бармишем [92, 140]; впрочем, корни этой идеи могут быть прослежены много

раньше. Техника сведения к линейным матричным неравенствам описана в книге [106].

Использование сверхустойчивости для целей стабилизации предложено в [155].

К Главе 5

Идея оптимальности в теории управления возникла сравнительно поздно, в 1950-е

годы. До этого в центр исследований ставились задачи анализа систем и обеспече-

ния их устойчивости; проблемы качества процессов играли меньшую роль. Ситуация

кардинально изменилась к 1960-м годам, когда вся наука об управлении стала ассо-

циироваться с оптимальным управлением, тогда как раньше она обычно называлась

теорией автоматического регулирования. В таком смещении акцентов ключевую роль

сыграли работы Беллмана, Калмана, Понтрягина, А. А. Фельдбаума и других круп-

ных ученых того времени [15, 34, 66, 77]. Задача о линейно-квадратичном регуляторе

(в русской литературе часто называвшаяся задачей об аналитическом конструирова-

нии регуляторов) была одной из первых решенных задач оптимального управления;

основной вклад в ее решение внесли Р. Калман [133] и А. М. Летов [45]. Это решение

было воспринято специалистами по теории автоматического регулирования, так как оно

252 БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ КОММЕНТАРИЙ

формулировалось в привычных для них терминах обратной связи (в отличие от задачи

о релейном быстродействии, в которой решение является программным управлением).

В настоящее время теория линейно-квадратичной оптимизации развита очень глубоко,

включая анализ всевозможных вырожденных случаев; есть ряд монографий, специаль-

но посвященных этому направлению, например, [36, 90]. Подход, приводящий к краевой

задаче (5.8), опирается на принцип максимума [66]. Способ решения последней путем

подстановки (5.11), широко применяется в вычислительной математике под названием

“метод прогонки”. Уравнение Риккати играет ключевую роль в линейно-квадратичном

регулировании и неоднократно встречается в последующих главах; подробные сведения

о нем и его связи с LQR-задачей можно найти в [179, 180]. Подход, описанный в раз-

деле 5.1.3 и основанный на использовании функций Ляпунова, тесно связан с методом

динамического программирования [14].

Термин “линейные матричные неравенства” введен в теорию управления В. А. Яку-

бовичем [86] (хотя первым линейным матричным неравенством может считаться нера-

венство Ляпунова, сформулированное в 1892 г. в связи с анализом устойчивости [50]).

В настоящее время этот аппарат получил широкое развитие; в [106] дано его система-

тическое изложение и показано, что многие задачи теории управления могут формули-

роваться в виде линейных матричных неравенств. Мощные и эффективные численные

методы решения таких неравенств разработаны Ю. В. Нестеровым и А. С. Немировским

[149].

Использование H

∞

-нормы в оптимальном управлении обычно связывают с работой

Дж. Зеймса 1981 года [182], однако в частных случаях подобные равномерно-частотные

критерии использовались и ранее. В настоящее время H

∞

-оптимизация составляет ядро

теории управления [12, 60, 96, 115, 117, 120, 124, 127, 128, 144, 146, 147, 183]. Первона-

чально задача была решена в частотной области с использованием таких средств теории

функций комплексного переменного, как теорема Неванлинны-Пика [117, 120, 146]. В

1989 г. появилась статья [118], в которой было дано полное решение в пространстве со-

стояний (так называемый “2-Риккати подход”). Этот метод в основном и используется

сейчас для численного решения проблемы H

∞

-оптимизации в пакетах Control System

Toolbox и Robust Control Toolbox системы Matlab.

Задача об оптимальном подавлении внешних возмущений является одной из ос-

новных в теории управления. Однако ею занимались преимущественно в стохастиче-

ской постановке, где решением является LQG (Linear Quadratic Gaussian — линейно-

квадратично-гауссовский) регулятор, аналогичный линейно-квадратичному регулято-

ру из раздела 5.1; мы не останавливаемся на стохастических задачах в этой книге.

Другая модель внешних возмущений — гармонические с неизвестной частотой; в этом

случае их подавление возможно с помощью H

∞

-оптимизации. Задача же о произволь-

ных ограниченных помехах, рассматриваемая в разделе 5.3, была решена сравнительно

недавно. Еще в 1940-е годы возникла так называемая задача о накоплении возмущений

Б. В. Булгакова [20], однако основной интерес проявлялся к проблеме анализа: како-

во максимальное отклонение, вызываемое произвольными ограниченными внешними

воздействиями. Такая задача, по сути, является задачей программного оптимального

управления, в которой внешние возмущения рассматриваются как управления. Позже

БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ КОММЕНТАРИЙ 253

появились работы по компенсации ограниченных возмущений, не содержавшие, впро-

чем, общих методов синтеза оптимальных регуляторов [75]. Задача об оптимальном

подавлении произвольных ограниченных возмущений для дискретных одномерных си-

стем была четко поставлена в [87] (на Западе — в [177]); позже она получила название

-оптимизации. Ее решение для частных случаев было получено в [9, 87, 177]. Полное

решение было построено в [11] и затем в [112]. В несколько модифицированном виде

этот результат приведен в Теореме 40. Развитие теории и методов l

-оптимизации дано в

книгах [10, 111, 167]. Синтез регуляторов заданного порядка для задач с ограниченными

помехами осуществлен в [21, 99, 155]. Результаты, использующие множество достижи-

мости для синтеза регуляторов, можно найти в [106]; Теорема 42 является уточнением

этих результатов.

К Главе 6

Идея о необходимости учета неопределенности при конструировании систем управ-

ления являлась фундаментальной в теории управления на всех ее этапах. Если бы

объект и внешние сигналы были бы известны точно, возможно было бы программное

управление или использование прямой (а не обратной) связи. Об основополагающей ро-

ли неопределенности и преимуществах обратной связи в те периоды успехов оптималь-

ного управления, когда значение этих факторов несколько забывалось, неоднократно

напоминал И. Горовиц [27]. Одна из первых моделей неопределенности (нелинейная

секторная) была предложена в теории абсолютной устойчивости в пионерских работах

А. И. Лурье, М. А. Айзермана, Ф. Р. Гантмахера [1, 48, 49].

Модели параметрической неопределенности в линейных системах появились значи-

тельно позже; по-видимому, их систематическое исследование начал также Горовиц [27],

впоследствии создавший специальные полуэвристические методы для работы с ними —

так называемую QFT (Qualitative Feedback Theory) — качественную теорию обратной

связи [130].

Важное направление в анализе неопределенности связано с моделью “неизвестных

но ограниченных” (“unknown-but-bounded”) возмущений, восходящей к [168]; большой

вклад в развитие этого направления внесли отечественные ученые А. Б. Куржанский [42]

и Ф. Л. Черноусько [84]. Близкие идеи использовались в минимаксной теории управле-

ния [10, 85, 96].

Модели частотной неопределенности, использующие H

∞

-норму для возмущений,

интенсивно разрабатывались в 1980-е годы. Все развитие H

∞

-оптимизации и робаст-

ной теории происходило параллельно, с использованием одного и того же аппарата

[109, 116, 118, 121, 126, 166, 182].

Вероятностный подход к робастности получил распространение в последние годы,

когда выяснились теоретические и вычислительные трудности, стоящие перед детер-

минированным (минимаксным) описанием неопределенности [65, 94, 170, 173].

Очень полный обзор результатов по робастности содержится в монографии [178].

254 БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ КОММЕНТАРИЙ

К Главе 7

Впервые задачу об устойчивости интервального семейства полиномов рассмотрел

С. Фаедо в 1953 г. [119]. Он предложил достаточные условия робастной устойчивости,

основанные на интервальном аналоге алгоритма Рауса. Еще один ранний результат по

робастной устойчивости приведен в книге Заде и Дезоера [30] (Гл. 9, с. 481). Теоре-

ма 44 доказана В. Л. Харитоновым в 1978 г. [79], но несколько лет не привлекала к

себе внимания. После 1984 г., когда этот результат стал известен на Западе, начал-

ся настоящий бум публикаций на тему робастной устойчивости при параметрической

неопределенности. Общая Теорема 43 (принцип исключения нуля) тесно связана с идея-

ми D-разбиения [56], но, по-видимому, она восходит к работе [122] 1929 года. Теорема 45

(графический критерий робастной устойчивости полиномов) доказана в [63]. Реберная

теорема получена в работе [95]. В настоящее время опубликовано несколько книг, спе-

циально посвященных проблеме робастной устойчивости полиномов [89, 91, 98, 137].

Эти проблемы освещены в ряде сборников [162, 163, 164]. На русском языке имеется

обзор [83].

После появления теоремы Харитонова казалось, что ее обобщение на случай интер-

вальных матриц должно последовать немедленно и такие работы действительно появи-

лись. Однако они оказались ошибочными; были построены контрпримеры, показыва-

ющие, что устойчивость всех вершин или ребер семейства не обеспечивает робастной

устойчивости. Позже было доказано [148], что эта задача NP -сложная. Теорему о воз-

мущениях (Теорема 49) можно найти, например, в книгах [74, 80]; основанный на ней

численный метод проверки робастной устойчивости матриц предложен в [156]. Переход

к робастной квадратичной устойчивости (линейное матричное неравенство (7.20)) и ме-

тоды решения последнего предложены в [106, 107]. Оценки радиуса сверхустойчивости

интервальных матриц приведены в [61].

Формула для комплексного радиуса устойчивости матриц (Теорема 50) получена

Хинриксеном и Причардом [129]. Для вещественного радиуса устойчивости в течение

долгого времени существовали лишь оценки снизу; наконец, в 1995 году эта проблема

была разрешена совместными усилиями шести авторов [160]; этот результат приведен

в Теореме 52.

Теорему 53 (о стабилизации интервального объекта регулятором первого порядка и

ряд близких результатов) можно найти в [93]. Робастный критерий Найквиста по суще-

ству получен Розенброком [165]; графическая интерпретация в форме Теоремы 55 ему

придана в [64]. Теорема 56 о малом коэффициенте усиления — один из фундаменталь-

ных результатов робастной теории — была получена в [176]; ее обобщения и варианты

(в частности, Теорема 57) могут быть найдены в [183].

Понятие структурного сингулярного числа (µ) матрицы было введено Дойлом [116];

основанная на этом техника µ-анализа (включающая верхние и нижние границы для µ,

критерий робастной устойчивости и алгоритмы вычисления оценок для µ) могут быть

найдены в книге [183] и ряде статей, см., например, [151].

Вероятностный подход к анализу робастной устойчивости, как уже отмечалось, стал

весьма популярным в последние годы. Метод Монте-Карло для этих целей применили

Стенгел и Рэй [170]. Оценки числа требуемых испытаний приведены в [173]. Подход,

связанный с вероятностной аппроксимацией условий устойчивости (раздел 7.5.2), пред-

БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ КОММЕНТАРИЙ 255

ложен в [94]. Наконец, Теорема 60 использована для анализа робастной устойчивости

интервальных матриц в [62]. Из работ, посвященным вероятностным методам синтеза,

отметим [157, 158].

К Главе 8

Задача о робастной стабилизации с помощью регуляторов низкого порядка в общем

виде весьма трудна (см. ниже, в разделе 9.1). Здесь приводятся ее решения лишь для

частных случаев. Теоремы 61 и 62 (робастная стабилизация с помощью малых и боль-

ших коэффициентов усиления) можно найти в [175]. Техника робастного D-разбиения

описана в [59]. Численный подход к синтезу робастных регуляторов, зависящих от двух

параметров, развит в [37, 89, 93]. Другие подходы к робастной стабилизации при пара-

метрической неопределенности можно найти в [97, 98, 135].

Задача о робастной квадратичной стабилизации, вероятно, впервые рассматрива-

лась А. М. Мейлахсом [54]; более подробно техника, основанная на линейных матрич-

ных неравенствах, описана в книге [106]. Сведение проблемы о гарантированном квад-

ратичном показателе качества для систем с неопределенностью к линейным матричным

неравенствам (Теорема 64) осуществлено в ряде работ, см., например, [106, 153, 154].

Робастная стабилизация при неопределенностях, заданных H

∞

-нормой, сводится к

стандартной задаче H

∞

-оптимизации. Это было осуществлено еще в первых работах,

посвященных H

∞

-теории, см. [120, 136, 146, 182]. То, что другие виды неопределен-

ностей также могут учитываться с помощью техники H

∞

, показано в различных ис-

следованиях. Случай комплексных параметров (Теорема 65) изучен в [88]. Модель с

вещественными неопределенностями, ограниченными в l

норме (дискретный случай),

предложена в [155]. Возможность сведения проблемы стабилизации для интервальных

объектов к выпуклой задаче (Теорема 66) обоснована в [161].

Проблемам µ-синтеза посвящен ряд работ [151, 183]; соответствующие алгоритмы

включены в пакет µ-Analysis and Synthesis Toolbox системы Matlab.

К Главе 9

Нерешенным задачам теории управления посвящена книга [102]; на интернетовском

сайте, посвященном ей, можно найти обсуждение содержащихся в ней задач и последние

результаты в их решении. Впрочем, большинство проблем в [102] относятся к нелиней-

ной теории и к другим областям, не затрагиваемым в нашей книге.

Теория сложности задач управления обсуждается в большом обзоре [103]; там можно

найти пояснение таких терминов как “NP -сложные задачи” и ссылки на литературу.

Задача о стабилизации линейного объекта регулятором заданной структуры и род-

ственные ей задачи возникают во множестве разделов теории управления и в разнооб-

разных приложениях. Однако ни аналитического решения, ни эффективных методов

для них не известно (за исключением некоторых частных случаев). Стабилизации с по-

мощью статической обратной связи по выходу посвящено много работ, см., например,

[171]. NP -сложность проблемы доказана в [148]. Задача об одновременной стабилиза-

ции линейных систем (Проблема 7 или 8), давно привлекает внимание исследователей;

256 БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ КОММЕНТАРИЙ

последние результаты см. в [131]. Результат об одновременной стабилизации двух объ-

ектов получен в ряде работ; подробности можно найти в книге [100], специально по-

священной этому кругу вопросов. Случай трех объектов рассмотрен в [101] и признан

очень трудным; в частности, в [101] приведен конкретный пример, за решение которого

(т.е. за ответ на вопрос, стабилизируемы ли три данных объекта), авторы предлагали

бутылку хорошего французского шампанского.

Задача о робастной неустойчивости интервального семейства полиномов (Пробле-

ма 2) впервые поставлена в статье [152]. Ее NP -сложность доказана А. С. Немировским

[148]. Однако попытки ее решения продолжаются [159]. Приведенные оценки вероятно-

сти устойчивости заимствованы из [57]. Градиентный метод (9.15) решения Проблемы 9

предложен в статье [141].

К Приложению

Хорошими справочниками по теории матриц являются [16, 26, 74, 80].

Список литературы

[1] Айзерман М. А., Гантмахер Ф. Р., Абсолютная устойчивость регулируемых си-

стем, М.: Изд-во АН СССР, 1963.

[2] Александров А. Г., Оптимальные и адаптивные системы, М.: Высшая школа,

1989.

[3] Алексеев В. М., Тихомиров В. М., Фомин С. В., Оптимальное управление, М.:

Наука, 1979.

[4] Алиев Ф. А., Бордюг Б. А., Ларин В. Б., H

-оптимизация и метод пространства

состояний в задаче синтеза оптимальных регуляторов, Баку: ЭЛМ, 1991.

[5] Андреев Ю. Н., Управление конечномерными линейными объектами, М.: Наука,

1976.

[6] Андриевский Б. Р., Фрадков А. Л., Избранные главы теории автоматического

управления, С.-Пб.: Наука, 1999.

[7] Андриевский Б. Р., Фрадков А. Л., Элементы математического моделирования

в программных средах Matlab 5 и Scilab, С.-Пб.: Наука, 2001.

[8] Афанасьев В. Н., Колмановский В. Б., Носов В. Р., Математическая теория

конструирования систем управления, М.: Высшая школа, 1998.

[9] Барабанов А. Е., Оптимальное управление неминимально-фазовым дискретным

объектом с произвольным ограниченным шумом, Вестн. ЛГУ, Сер. мат., 1980,

13, 119–120.

[10] Барабанов А. Е., Синтез минимаксных регуляторов, С.-Пб., С.-Петерб. Унив.,

1996.

[11] Барабанов А. Е., Граничин О. Н., Оптимальный регулятор для линейных объектов

с ограниченным шумом, Автом. телемех., 1984, 5, 39–46.

[12] Барабанов А. Е., Первозванский А. А., Оптимизация по равномерно-частотным

показателям, Автом. телемех., 1992, 9, 3–32.

[13] Беллман Р., Теория устойчивости решений дифференциальных уравнений, М.:

ИЛ, 1954.

257

258 СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

[14] Беллман Р., Динамическое программирование, М.: ИЛ, 1960.

[15] Беллман Р., Гликсберг И., Гросс О., Некоторые вопросы математической теории

процессов управления, М.: ИЛ, 1962.

[16] Беллман Р., Введение в теорию матриц, М., Наука, 1969.

[17] Бесекерский В. А., Попов Е. П., Теория систем автоматического регулирования,

М.: Наука, 1966.

[18] Бобылева О. Н., Пятницкий Е. С. Системы с кусочно-линейными функциями Ля-

пунова, Автом. телемех., 2001, 9, 25–36.

[19] Болтянский В. Г., Оптимальное управление дискретными системами, М.: Наука,

1973.

[20] Булгаков Б. В., О накоплениях возмущений в линейных колебательных системах

с постоянными параметрами, ДАН СССР, 1946, 5, 5, 339–342.

[21] Вишняков А. Н., Поляк Б. Т., Синтез регуляторов низкого порядка для дискрет-

ных систем управления при наличии неслучайных возмущений, Автом. телемех.,

2000, 9, 112–119.

[22] Волгин Л. Н., Элементы теории управляющих машин, М.: Сов. Радио, 1962.

[23] Волгин Л. Н., Оптимальное дискретное управление динамическими системами,

М.: Наука, 1986.

[24] Воронов А. А., Устойчивость, управляемость, наблюдаемость, М.: Наука, 1979.

[25] Воронов А. А., Основы теории автоматического управления. Автоматическое

регулирование непрерывных линейных систем, М.: Энергия, 1980.

[26] Голуб Дж., Ван Лоун Ч., Матричные вычисления, М.: Мир, 1999.

[27] Горовиц И., Синтез систем с обратной связью, М.: Советское радио, 1970.

[28] Джури Э., Импульсные системы автоматического регулирования, М.: Физмат-

гиз, 1963.

[29] Емельянов С. В., Коровин С. К., Новые типы обратной связи, М.: Наука, 1997.

[30] Заде Л., Дезоер Ч., Теория линейных систем, М.: Наука, 1970.

[31] Изерман Р., Цифровые системы управления, М.: Мир, 1984.

[32] Измайлов Р. Н., Эффект “всплеска” в стационарных линейных системах со ска-

лярными входами и выходами, Автом. телемех., 1987, 8, 56–62.

[33] Калман Р. Е., Об общей теории систем управления, Труды Междунар. Конгресса

ИФАК , М.: АН СССР, 1961, 2, 521–547.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ 259

[34] Калман Р., Фалб П., Арбиб М., Очерки по математической теории систем, М.:

Мир, 1971.

[35] Кац А. М., Определение параметров регулятора по желаемому характеристиче-

скому уравнению системы регулирования, Автом. телемех., 1955, 3, 269–272.

[36] Квакернаак Х., Сиван Р., Линейные оптимальные системы управления, М.: Мир,

1977.

[37] Киселев О. Н., Поляк Б. Т., Синтез регуляторов низкого порядка по критерию H

∞

и по критерию максимальной робастности, Автом. телемех., 1999, 3, 113–119.

[38] Красовский Н. Н., Теория управления движением, М.: Физматгиз, 1968.

[39] Красовский А. А., Поспелов Г. С., Основы автоматики и технической киберне-

тики, М.: Госэнергоиздат, 1962.

[40] Кротов В. Ф., Гурман В. И., Методы и задачи оптимального управления, М.:

Наука, 1974.

[41] Куо Б., Теория и проектирование цифровых систем управления, М.: Машино-

строение, 1986.

[42] Куржанский А. Б., Управление и наблюдение в условиях неопределенности, М.:

Наука, 1977.

[43] Ларин В. М., Науменко К. И., Сунцев В. Н., Спектральные методы синтеза

линейных систем с обратной связью, Киев: Наукова думка, 1971.

[44] Ла-Салль Ж., Лефшец С., Исследование устойчивости прямым методом Ляпу-

нова, М.: ИЛ, 1964.

[45] Летов А. М., Аналитическое конструирование регуляторов I–IV, Автом. теле-

мех., 1960, 4, 436–441; 5, 561–568; 6, 661–665; 1961, 4, 425–435.

[46] Ли Э., Маркус Л., Основы теории оптимального управления, М.: Наука, 1972.

[47] Лозинский С. М., Оценка погрешностей приближенного решения систем обыкно-

венных дифференциальных уравнений, ДАН СССР, 1953, 92, 2, 225–228.

[48] Лурье А. И., Некоторые нелинейные задачи теории автоматического регулиро-

вания, М.: Гостехиздат, 1951.

[49] Лурье А. И., Постников В. Н., К теории устойчивости регулируемых систем, При-

кл. матем. мех., 1944, VIII, 3, ??–??.

[50] Ляпунов А. М., Общая задача об устойчивости движения, Л.-М.: ОНТИ, 1935.

[51] Максвелл Д. К., Вышнеградский И. А., Стодола А., Теория автоматического

регулирования, М.: АН СССР, 1949.

260 СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

[52] Медведев В. С., Потемкин В. Г., Control System Toolbox: Matlab 5 для студентов,

М.: Диалог-МИФИ, 1999.

[53] Мееров М. В., Исследование и оптимизация многосвязных систем управления,

М.: Наука, 1986.

[54] Мейлахс А. М., О стабилизации линейных управляемых систем в условиях неопре-

деленности, Автом. телемех., 1975, 2, 182–184.

[55] Методы классической и современной теории автоматического управления, Н.

Д. Егупов, ред., М.: МГТУ им. Н. Э. Баумана, 2000, т. I: Анализ и статистиче-

ская динамика систем автоматического управления; т. II: Синтез регуляторов

и теория оптимизации систем автоматического управления; т. III: Методы со-

временной теории автоматического управления.

[56] Неймарк Ю. И., Устойчивость линеаризованных систем, Л.: ЛКВВИА, 1949.

[57] Немировский А. С., Поляк Б. Т., Необходимые условия устойчивости полиномов

и их использование, Автом. телемех., 1994, 11, 113–119.

[58] Первозванский А. А., Курс теории автоматического управления, М.: Наука,

1986.

[59] Петров Н. П., Поляк Б. Т., Робастное D-разбиение, Автом. телемех., 1991, 11,

41–53.

[60] Позняк А. С., Серебряков Г. Г., Семенов А. В., Федосов Е. А., H

∞

-теория управле-

ния: феномен, достижения, перспективы, открытые проблемы, М.: ГосНИИАС,

1990.

[61] Поляк Б. Т., Сверхустойчивые системы управления, Пленарные доклады 12-й Бай-

кальской междунар. конф. “Методы оптимизации и их приложения”, Иркутск,

2001, 209–218.

[62] Поляк Б. Т., Панченко О. Б., Вероятностный подход к проблеме устойчивости

интервальных матриц, Доклады РАН , 1997, 353, 4, 456–458.

[63] Поляк Б. Т., Цыпкин Я. З., Частотные критерии робастной устойчивости и апе-

риодичности линейных систем, Автом. телемех., 1990, 9, 45–54.

[64] Поляк Б. Т., Цыпкин Я. З., Робастный критерий Найквиста, Автом. телемех.,

1992, 7, 25–31.

[65] Поляк Б. Т., Щербаков П. С., Вероятностный подход к робастной устойчивости

систем с запаздыванием, Автом. телемех., 1996, 12, 97–108.

[66] Понтрягин Л. С., Болтянский В. Г., Гамкрелидзе Р. В., Мищенко Е. Ф., Матема-

тическая теория оптимальных процессов, М.: Наука, 1961.