Тевяшев А.Д., Литвин О.Г., Кривошеєва Г.М. т а ін. Вища математика у прикладах та задачах. Ч 3
Подождите немного. Документ загружается.
§4.
Інтегрування функцій комплексної змінної
351
|2|=
2
(г
+ 1)
2
=
тс;'
•
сп
г\ ,
=
_, = л/
•
сЬ
1
спг
2л/ ,
!4
=2
(
г
+
1)
3
2!
і=
_,
Нарешті одержимо
2тс/'-сп1 2л;-сп1 2л/-5Ь1
л/сЬ1 _
(ізпі-спі)л/_
л/
~
8 8 4 2 ~ 2
_
~2е"
Спосіб
2.
Побудуємо
два
кола
Уі і "Уг
3
центрами
в
точках
2 = -1 і
2 =
1
достатньо малих радіусів, таких,
щоб
кола
не
перетинались
і
цілком
містились
в
крузі
121
< 2 . В
тризв'язній області, обмеженій колами
| г | = 2,
у,
і у
2
,
підінтегральна функція всюди аналітична.
За
теоремою Коші
для
многозв'язної області маємо:
г
спг , г сЬ2 ,
г
сЬг
аг
= аг
+
аг .
|4
=2
(2 + 1)
3
(2-1) ^(2 + 1)
3
(2-1) ^(2 + 1)
3
(2-1)
До першого інтеграла застосуємо формулу
с
(2-2
0
)"
+І
ПІ
,
СЬ2 7-1
представивши підштегральну функцію
у
вигляді
; = —
(2 + 1)
3
(2-1) (2 +1)
3
1
г сЬ: . 1 ; ск ,
г- 02
т-02
.
До перших двох інтегралів застосовуємо інтегральну формулу Коші
/.Лїі * =
2л//(*
0
):
с
2
—
2
0
^
-^-
2
- сЬ = 2л/ сЬ 1; | аг =
2я/сп1.
|2|=2
2_1
І-І=2
2
+ І
Третій
і
четвертий інтеграли обчислюємо
за
допомогою формули,
що
є наслідком формули
для п - ї
похідної аналітичної функції
Г
Л
2
) ^
=
2
л/^>,
де беремо відповідно
л =
1
та п = 2 .
г
о!г
=
2л/(сЬ2)1.=_1
=
2яг-зЬг
І
,
=
_, =
-2л/-5п1;
352
Глава
3.
Функції комплексної змінної
СІ12
Функція аналітична всередині
у,,
тому поклавши
п = 2,
отримуємо
СП2
г
сп
2 г
т
—
1
, 2л; (спг
N
т
ск =
——сіг
=
I
(2
+
1)4^-1)
І(2
+
1)'
2!
2-1
сЬг
-•Лі
'
5І1
2
СП
2
^"(2-1)2
= 71/
СЬ
2
25І12
2сП2
2-1
(2-І)
2
(2-І)
3
-І
.(
сКІ
•ЛІ
І
2
зЬІ
сЬЦ .
2зп1-ЗсЬ1
.
2(зЬ
1-сЬ
1)-сЬ
І
+
—
= ЛІ = пі —
2
4 4 4
=
Л/
-лі
2(-е~')-сЬ1
4
4
До другого інтеграла застосуємо інтегральну формулу Коші
і -Л^-сіг =
2ліДг
0
):
спг
І(2+1)
3
(2-1)
I 2
Нарешті отримуємо
(:
+
\У , . . спг
-
ск
= 2л/
•
сЬ;
/(2
+ іГ(2-1)
.2е~'+сЬ1
се
= —лі \-ЛІ
4
4
(-+1)
сЬ
1
:
ЛІ
сЬ
1
Л<
"2е
Приклад
11. Обчислити інтеграл
^
сЬе'
:-2
=3
2
3
-42
2
•
Знаменник
2
3
-42
підінтегральної функції перетворюється
в
нуль
в точках
2=0 і 2 = 4, що
містяться всередині круга 12
-
21
< 3
(рис.3.21).
Рис.3.21
§4.
Інтегрування функцій комплексної змінної
353
За теоремою Коші для многозв'язної області маємо:
сЬе
пв
спе'
ю
^
(
2
3
-42
2
|г
і
=3
2
2
(2-4)
ог=|
2
~
4
сІ:+\—£
а2 =
/,+/
2
.
12-21=3 *
|г-2| =
3 ^
^-Ч)
71
2
Ї2
2_4
Кожний з двох інтегралів, що знаходяться справа, обчислюється за
інтегральною формулою Коші.
Для інтеграла /,, в якому підінтегральна функція аналітична всюди в
крузі у, , крім 2 = 0, використовуємо формулу
г
№ ,2 =
2л/^М,
(2-*0)"
поклавши п •
спе"
/,=/^і4_
й
Ь = 2ї£/
1
'(0) = 2
Я
і
2-4
:2Л/
(2-4)
2
=
2л/
2=0
$Ь1 /я(-4)-сп1
\6
л БЬІ
/ЛСЬІ
2 8
Для інтеграла /
2
застосовуємо формулу
№
спе"
2
сЬ
2
02=2л/-^-
2-4
:
2л,
сЬ е
4/тс
2=4
сЬ!
= л/
16 8
Нарешті одержимо
/
= /,+/
2
Л
2
5І1І
/ЛСЬІ /ЛСЬІ Л
2
5І1І
/\У
Задачі
для
практичних занять
У
задачах 3.90 - 3.97 обчислити інтеграли від заданих функ-
цій
вздовж заданих ліній.
354
Глава
3. Функції комплексної змінної
3.90.
|
(1
-
іг) сіг, де
С -
відрізок прямої, що з'єднує точки
с
г
х
— 1
та 2
2
=
~і
•
3.91.
|((Ке2)
2
+
/(Ітг)
2
)сІ2,
де С -
відрізок прямої,
що
с
з'єднує точки 2,
=
1
+ / та 2
2
=
2
+ Зі.
3.92. ^
(Іт 2 + / Ке
і)сіі,
де С - ламана з вершинами у точ-
с
ках
2, =
0,
2
2
= /, 2
3
=
1
+ і.
3.93.
|е-'
г
'
Ке2сіг,де
С -
відрізок прямої, що з'єднує точ-
с
ки
2, = 0 та г
2
=
1
+ /.
3.94. 12
Ке 2
сІ2
, де С -
коло
І
21
=
1. Обхід проти годин-
с
никової стрілки.
3.95.
12
•
2 сіг,
де С -
коло
І
21
=
1. Обхід проти годинни-
с
кової стрілки.
3.96.
І
Ке
2
<І2
,
де
с
а)
С -
відрізок прямої
2 =
(2
+
/) і
(0 < / < 1);
б)
С -
ламана, що складається
з
відрізка
[0, 2]
дійсної осі
і відрізка, який з'єднує точки 2,
= 2 та 2
2
= 2 + /.
3.97.
12
сіг,
де С -
коло
х =
соз /,
у -
зіп і,
0 < / < 2л.
с
У задачах 3.98-3.103 обчислити задані інтеграли.
-1-і
і+і
3.98.
\(І2 +
Х)сІ2.
3.99.
\2
г
сІ2.
1+/
о
З.ЮО.а)
\(32
А
-2г
г
)сІ2;
О)
\{3г
2
+2г)сІ2.
1
1-;
§4.
Інтегрування функцій комплексної змінної
355
3.101.
^гйпгсіг. 3.102.
і)е
''сіг.
3.103.
|зіп2С08
2й?2.
о
У
задачах 3.104
-
3.107
обчислити інтеграли
від заданих
функцій вздовж заданих ліній.
3.104. [
,
де С -
верхня половина
кола
1г
| = 1;
вибира-
ється
та
вітка функції
4г, для
якої
4Ї = 1.
Г
ІП
3
2
3.105. І сіг
вздовж дуги кола
|
21
=
1
(1п 2 -
головне
значення логарифма, 1п
1
= 0).
•ІП(2
+ 1)
1
3.106. [— -сіг
вздовж дуги кола
І2І
= 1,
Ке2>0.
\
2+1
ІГП2>0.
' ІП
2
3.107.
[ ііг
вздовж відрізка прямої,
що
з'єднує точки
1
"
2, = 1,
2
2
=І.
У
задачах 3.108-3.116 обчислити задані інтеграли
за
до-
помогою
інтегральної формули Коші.
3.108.
[
-^—сіг. 3.109.
[
е
'
003712
&.
\ЛЛ
2
+2
іі«
2+22
3.110.
\
-^сіг. 3.111.
І
™
К{2
-
Х)
<іг.
|г-2|=2
2
~
1
|;-1-/|=1
2
-2^+2
3.112.
|
-Ц-сІг. 3.113. Г
С05(2
+
Ш
^2.
І-І=і
ге
:+2
356
Глава
3.
Функції комплексної змінної
ЗЛ14.
[-г^-.
3.115.
[-5—^
3.116.
] -сіг.
У задачах 3.117
-
3.124 обчислити задані інтеграли.
3.117.
| ^2.
3.118.
| *^сІг.
І=І=і
г
1=1=1
г
.
тг
81П—2
,
3.119.
[ ф- сіг.
3.120.
[ \* \сіг.
к
-,,=,(г-і)
2
и-з)
м^-іу
гаг
3.121.
[ = сіг.
3.122.
[ , -сіг
!4
=6
(2-2)
3
(2
+
4)
|Д=3
2
3
-42
2
3.123.
[ ,с1г.
3.124.
(
Х
~*™
2
сіг.
|--2|=і(
г
+
4
) ,ІІ
Г
§5. Комплексні ряди
І. Короткі теоретичні відомості
Числові ряди
Числовий ряд вигляду
г
х
+ і
г
+К + г„ +К = ,
(3.46)
де
2„ = х„ + /
_у„
,
називається числовим рядом
з
комплексними членами.
Цей ряд збіжний тоді
і
тільки тоді, коли збігаються ряди
х,+х
2
+К
+
.х„+К
= ^х
л
(3.47)
и = 1
та
у
і+
у
2+
К
+
у
п+
К=^у
п
.
(3.48)
л = 1
§5.
Комплексні ряди
357
Ряд (3.46) називається абсолютно збіжним, коли збігається ряд
І-*іІ+І*2І+-+|2„|+...
=
£к|.
<
3
-
49
)
л = 1
Ряди (3.47), (3.48), (3.49)
є
рядами
з
дійсними членами
і
питання
про
їхню збіжність вирішується
за
допомогою відомих ознак збіжності рядів
у
дійсній області.
Степеневі ряди
Ряд вигляду
с
0
+С|2 + с
2
2
2
+ ...
+
с„г" +...= £с„2
п
,
(3.50)
я = 0
де
с
0
, с,с
п
-
комплексні сталі,
а і -
комплексна змінна, називаєть-
ся степеневим рядом.
Теорема Абеля. Якщо степеневий ряд збіжний при деякому значенні
2
= 2
0
, то
він збігається абсолютно для всіх
г ,
для яких
| г | < |
2
0
|.
Якщо
ж
ряд розбіжний
при 2 =
2
0
,
то він
розбіжний
при
будь-якому
2 , для
якого
Область збіжності ряду
-
круг
з
центром
на
початку координат.
Ра-
діус збіжності
Я
визначається
за
формулою
Л=
Ііт у^Ц-
(3.51)
або
К=
Ііт -=!=.
(3.52)
Ряди Тейлора
та
Лорана
Функція
1(2),
однозначна
і
аналітична
в
точці
2 = 2
0
,
може бути роз-
кладена
в
околі цієї точки
в
степеневий
ряд
Тейлора
/(2)=
£с
я
(2-2о)"
- £^т^(--*о)
й
.
(3-53)
/1=0
/7=0
п
•
коефіцієнти якого обчислюються
за
формулою
с
«=Т-.\,
ЛГ
і
+
і
« =
0,1,2,..., (3.54)
де
Г -
коло
з
центром
у
точці
2 = 2
0
, яке
міститься
в
околі точки
2
0
, де
функція
/(г)
аналітична. Центр круга збіжності знаходиться'в точці
2
0
;
коло проходить через особливу точку функції
/(2),
найближчу до точки
2
0
,
тобто радіус збіжності ряду Тейлора дорівнює відстані від точки
2
0
до
най-
ближчої особливої точки функції /(2).
358
Глава 3. Функції комплексної змінної
На практиці застосування формули (3.54)
для
обчислення коефіцієн-
тів
с
п
призводить
до
громіздких обчислень. Тому часто використовують
ві-
домі формули розкладу
в ряд
Тейлора елементарних функцій.
е7
=
£4'
І
г
І
< +
°°>
(3-55)
«>
2и+І
5ІП2=
Х(-1)
л
-
-,
\г\< + °°, (3.56)
„=о
(2«
+
1)!
2и
со
8г
=ХН)
я
—-,
|
2
|< + °°,
(3.57)
я
=о
(
2
">
!
2
2«+1
ЗН2=У
,
І2І<
+
°°,
(3.58)
СП2
=І7ГТ7'
І
2
І
< +
~'
(3-59)
л
=о
(
2
")
!
Іп(ї +
г
)=Х(-іГ
+1
А
|
-
|
< 1,
(3.60)
и = 1
П
1п(1-*)
= -Х—,
|г|<1,
(3.61)
я = 1
П
2
2
"
+
'
агсІ§7
= К-1Г-
|г|<1,
(3.62)
я
=о
2л+1
(1
+ г)
" = 1
+
І
а(а
-
1)(а
-
2)
-
(а
-"
+ 1)
2
",
|
г
|<1,
(3.63)
«=і
«!
1
=£(-1)"
2
",
|*|<1,
(3.64)
1+2
и=0
1~
2
я = 0
Далі розглядаємо
ряд
вигляду
1
=£2",
|
2
|<1.
(3.65)
(з.бб)
2-2
0
(
Г
-2
0
)
2
(*-2
0
)
Я
",(г-2
0
)
Я
Якщо
с_„ * 0 і
існує скінченна границя
л-
= Ііт
(3.67)
§5.
Комплексні ряди
359
то
ряд
(3.66) збігається
в
області
|г-г
0
|>г. (3.68)
Ряд вигляду
Хс„(г-
го
г
=
і--^-+І
с
Лг-го)
и
=
л =
-~
л =
і(
2
~г
0
)
„=о
=
-+,
С
~" ,„ +... + -^- +
с
0
+с
і
{
2
-2
0
)
+ ... +
с
и
(г-2
0
У+...
(3.69)
збігається
в
області,
в
якій збігаються ряди
^
с_„
п =
\(2-2
й
)"
та
(3.70)
2>
л
(*-2о)
л
.
(
3
-
71
)
л=0
Нехай
ряд
(3.70) збігається
в
області
12
- 2
0
\ > г,
тобто зовні круга
з
центром
у
точці
2 = 2
0
радіуса
г, а ряд
(3.71)
- у
крузі
12
- 2
0
1 < К .
Тоді,
якщо
1)
г > К , то ряд
(3.69) розбігається всюди,
2)
г < К, то ряд
(3.69) збігається
в
кільці
г <
12
- г
0
\
< К .
Тут
г>0, 0<
Я< +
°°.
Функція
/(г),
однозначна
і
аналітична
в
кільці
г <
|
г -
2
0
1
< К
(вклю-
чаючи випадки, коли
г = 0 і К =
), розкладається
в
цьому кільці врядЛорана
Д
2
)=
£с
и
(2-г
0
)
И
=
Іс
п
(
2
-гоГ + £с
я
(
2
-г
0
)" =
П = -оо /) = — оо
П =
0
=
І7-^Т7
+
£^(г-^о)
л
. (3-72)
я =
і(2-2
0
)
и=
0
де коефіцієнти
с„
обчислюються
за
формулою
с_=—Г—^—сІ2,
« = 0, ±1,
+2,.... (3.73)
2Ю^
Г(
2-2
0
Г'
Тут
Г -
довільне коло
з
центром
у
точці
2
0
, що
міститься всередині
даного кільця.
-і
с
_
Ряд
Хс„(2-2
0
)"
= £ ——
називають головною частиною
И=-°°
п =
|(2 — 2д)
ряду Лорана,
ряд 2^
с
п (
2 _ 2
о)"
~~
правильною частиною.
и=0
360
Глава
3.
Функції комплексної змінної
На практиці застосування формули (3.73) призводить
до
громіздких
обчислень. Тому, якщо
це
можливо, намагаються використовувати відомі
розклади функцій
у
ряди,
або
зводити
до них.
Нулі
та
ізольовані особливі точки функцій
Припустимо,
що
функція
/(г)
аналітична
в
точці
2
0
.
Точка
2
0
нази-
вається нулем функції
/(2)
порядку
(або
кратності)
п,
якщо виконуються
умови
/(2
0
)
=
0,/'(2о)
=
0,..., /
(
"~
1)
(2
0
)
= 0, /
<п)
(2о)*0.
(3.74)
Якщо
п = 1, то
точка
і
0
—
простий нуль.
Точка
2
0
тоді
і
тільки тоді буде нулем
п -го
порядку функції
/(2) ,
аналітичної
в
точці
2
0
,
коли
в
деякому околі цієї точки
мас
місце рівність
/(2) =
(2-2
0
)"ф(2), (3.75)
де
функція
ф(г)
аналітична
а
точці
2
0
і
ф(2
0
)^0.
Точка
2 = 2
0
називається ізольованою особливою точкою функції
/(2),
якщо існує окіл цієї точки,
в
якому функція
/(2)
аналітична всюди,
крім самої точки
2 = 2
0
.
Точка
2 = 2
0
називається усувною особливою точкою функції
/(2) ,
якщо існує скінченна границя функції
/(2) в
точці
2 = 2
0
.
Точка
2
0
називається полюсом функції
/(2) ,
якщо
Ііт / (2) = °° .
Для того,
щоб
точка
г
0
була полюсом функції
/(:),
необхідно
та
достатньо,
щоб ця
точка була нулем
для
функції
ф(2) = —-— .
/і
2
)
Точка
2
0
називається полюсом порядку
п (п>\)
функції
/(2),
якщо
ця точка
є
нулем порядку
п для
функції ф(г)
= —-— .
/ОО
У випадку
п =
1
полюс називається простим.
Для того,
щоб
точка
2
0
була полюсом порядку
п
функції
/(2) ,
необ-
хідно
та
достатньо,
щоб
функцію
/(2)
можна було представити
у
вигляді
/(2)=—
1
—,
де
функція
ф(г)
аналітична
в
точці
2
0
і
ф(2
0
)*0.
(2-2
0
)"
Точка
2
0
називається істотно особливою точкою функції
/(2),
якщо
в точці
2
0
функція
не має
границі
ні
скінченної,
ні
нескінченної.