Тевяшев А.Д., Литвин О.Г., Кривошеєва Г.М. т а ін. Вища математика у прикладах та задачах. Ч 3

Подождите немного. Документ загружается.

§5.

Комплексні ряди

361

Мають місце такі твердження.

Для

того,

щоб

точка

була

усувною особливою точкою

функції

/(г), необхідно

та

достатньо,

щоб

лоранів розклад

/(г) в

околі точки

не містив головної частини.

Для

того,

щоб

точка

була

полюсом

функції

/(г) ,

необхідно

та

достатньо,

щоб

головна частина лоранового розкладу

/(і) в

околі точки

містила лише скінченне число членів, тобто

№=

+.,. + -?=!-+Хс

(г-*

)

с_

*0.

Найбільший показник степенів різниць

—

, які

знаходяться

знамен-

никах членів головної частини ряду Лорана, співпадає

порядком полюса.'

Точка

годі

тільки тоді

є істотно особливою точкою

функції

У(2),

коли головна частина

її

лоранового розкладу

околі точки

містить

нескінченну кількість членів.

//.

Контрольні питання та завдання

Дайте означення ряду

комплексними членами.

Що

називається сумою ряду?

Який

ряд

називається збіжним?

Який

ряд

називається степеневим?

Де

збігається степеневий ряд? Сформулюйте теорему

Абеля.

Що є

областю збіжності степеневого ряду?

За якими формулами визначається радіус збіжності сте-

пеневого ряду?

8. Запишіть

ряд

Тейлора.

Як

визначаються коефіцієнти ряду Тейлора?

10.

Як

визначається радіус збіжності ряду Тейлора?

11.

Де

збігаються ряди

для

функцій зіп

соз

§1і

сЬ

12.

Який

ряд

називається рядом Лорана?

13.

Які

назви мають частини ряду Лорана

додатними

та

ВІД'ЄМНИМИ

СТеПеНЯМИ

2 - 2

362

Глава

Функції комплексної змінної

14.

Як

знаходяться коефіцієнти ряду Лорана?

15.

Що є

областю збіжності ряду Лорана?

16.

Що

називається нулем функції?

17.

Що

називається простим нулем функції?

18.

Що

називається нулем

-го порядку функції?

19.

Дайте означення ізольованої особливої точки функції.

20.

Яка точка називається усувною особливою?

21.

Що таке полюс?

22.

Яка

точка називається істотно особливою ізольованою

точкою?

23.

Сформулюйте необхідну

та

достатню умову існування

полюса.

24.

Сформулюйте необхідну та достатню умову усувної особ-

ливості.

25.

Сформулюйте необхідну

та

достатню умову істотно

особливої ізольованої точки.

///.

Приклади розв 'язання задач

У цьому пункті розглянуто

прикладів розв'язання

за-

дач,

які за

своєю тематикою розподілились так:

Числові ряди: приклад

Степеневі ряди: приклад

Ряди Тейлора

та

Лорана: приклади

З - 10.

Нулі

та

ізольовані особливі точки: приклади 11

- 15.

Числові ряди

Приклад

Дослідити

на

збіжність задані ряди.

б)

Г,

СОйШ

§5.

Комплексні ряди

363

•а)

X-

я =

Скористаємось

тим, що е'" =

сози

ів'тп

Тоді

оо / П

оо оо •

V-Є

•е-'СОЗИ

.-^ЗІПЛ

І—=Х—•

и = 1

п = 1

Тому

для

дослідження збіжності даного ряду, треба з'ясувати збіж-

СОЗИ ^ЗІПЯ

ність рядів

2_,—2~

та

2^——

• Кожний

з них

збігається абсолютно

за

озна-

„ = 1

°°

кою порівняння. Порівнюємо зазначені ряди

рядом

Х~,

який збіжний

\П~

як узагальнений гармонічний

ряд при р = 2 > 1.

Звідси даний

ряд

абсолют-

но збіжний.

созш

п = 1

Перетворимо заданий

ряд

С05Ш

_ сЬ я _ е" + е~"

Цей

ряд

розбіжний, оскільки

не

виконується необхідна ознака збіжності

Ііт

е"

+е

—

Ііт

л-*°<

2"'

(2е)

)

Степеневі ряди

Приклад

Знайти радіуси збіжності заданих

рядів.

а)

£со8ш-г

;

б)

£(!

/)"

г";

в)

л=0

и=0

•

а) У^С05,Ш-2

я=0

Л~

Маємо,

що с. =

созш

= = сЬ п .

Тоді

у \

А у ,•

= Ііт .' ', = Ііт — = Ііт

спи

"-»

|с„

»->~

сЬ(«

и->~

списпІ

зпи-зНІ

364

Глава 3, Функції комплексної змінної

= Ііт

сЬ

+ т п

•

зЬ

сЬ

+ зіі

•

= е

+е-

\ + е

оскільки Ііт хЬ п = Ііт = Ііт

-2п

] .

Отже, радіус збіжності заданого степеневого ряду К = 1.

б) £(і+о"г".

п = 0

Масмо с

= (1 + і)" . Тоді |с„| = |(1 + ()"|=|і + /|" =(л/2)" =2"'

'/2

Л= Ііт

= пт

Отже, радіус збіжності заданого степеневого ряду Я = -4=-.

>/2

в) І

« = і

у 1П /Я

Маємо с„

(Іпш)"

•. Тоді

(Іпш)"

Іп

іп

\пп +

, 2 ТС

Іп пл

К = Ііт

= Ііт ,/1п п +

Отже, радіус збіжності заданого степеневого ряду Я = +» . -4

Ряди Тейлора та Лорана

Приклад 3. Розкласти функцію

/(2)

= соз

в ряд за сте-

пенями 2 +

—

• Перетворимо задану функцію.

( *0

СОХ 2 = СОЗ 2 + —

їх ] тс . ( тс \ . л

: СОЗІ ХЛ С05—+ 81П :Л 51П—=

4 4 4 4

к\ . ( к

С05 2 4 +51П 2 + —

4) { 4

§5.

Комплексні ряди

365

Далі використовуємо формули (3.57)

та

(3.56) розкладу функцій созг

та

зіп 2 в ряд за

степенями

2 ,

замінивши

в них 2 на 2 + —.

Маємо

С052

= -

4Ї

і-

•

- +

...+

+ 2

+ -

-+...

З!

Радіус збіжності даного ряду

/? =

+°°,

бо

функція

/(г) = соз 2 не має

особливих точок.

Приклад 4. Розкласти задану функцію в ряд за степенями

а)

-Г—

2+42-5

б) /(2) = 1п(2 +

2-2

•3)

/(2):

2+1

2^+42-5

Перетворимо задану функцію,

що є

правильним раціональним дро-

бом,

на

суму найпростіших дробів:

/у

2 + 1

г +

/00

= -2 =

2^+42-5

(2 + 5)(2-1)

+ 5)(2-1) 2 + 5 2-1

2+1 =

Л(2-1)+£(2

+ 5),

А+ В

\-А +

5В = \ З

Отже,

366

Глава 3. Функції комплексної змінної

З 2 + 5 З

1 ~3-5

1 1

1+-

3 1-2

Останнє перетворення виконано для того, щоб застосувати формули

(3.64) та (3.65) розкладу в ряд за степенями г функцій — та -——. Прицьо-

+ 2

1-2

му в першій з них слід замінити 2 на —, другу - використати безпосередньо.

5 5

+ 2 + 2^ +...)

_9_ __4_1_

125

Радіус збіжності даного ряду К = 1, бо найближчою до точки 2

= 0

особливою точкою є точка 2 = 1.

б) /(2) = 1п(2 + 2-2

Перетворимо задану функцію.

/(2)=1п(2

2-2

)=1п[-(2

-2-2)]=1п[-(2-2)(1

2)]=1п(2-2)

1п(1+2).

Далі перетворимо кожний з доданків з метою застосування формул

(3.61) та (3.60) розкладу в ряд за степенями 2 функцій Іп

—

г) та 1п(1 +

г):

ІП(2-2)

= ІП

2 1

1п2 + Іп

1—

=1п2-

-2

3 4

^ 2 2

1п(1 + 2) = 2 + +....

2 3 4

Огже,

2} 2 2

-2 2

-3 2

-4

/(2)

= 1п2 + --—- +

2 8 3-8

Знайдемо радіус збіжності отриманого ряду. З цією метою знайдемо

особливі точки даної функції з рівняння 2 + 2- 2

= 0. Корені цього рівнян-

ня 2=2, 2 = -1 є особливими точками. Найближчою до точки 2

=0 є особ-

лива точка 2 = -1. Отже, радіус збіжності Я = 1. А

Приклад

5. Знайти декілька перших членів розкладу в ряд

за

степенями г функції

/(2)

= -—— та знайти радіус збіж-

зіп

ності

цього ряду.

§5.

Комплексні ряди

367

Де

•

Шуканий ряд має вигляд

ж>=І>„

(о

л = 0

с„ =

^, « = 0,1,2,.... (2)

Знаходимо послідовно /

<п)

(2) та /

<п)

(0)

Лг) =

—Л—=

(2 +

зіп2Г

/(0)

і;

2 +ЗІП 2 2

/'(г) = -(2 + зіп

2)"

созг, /'(0) = - і ;

= 2 (2 + зіп г)~

соз

2 + (2 + зіп

2)"

зіп 2 , /'(О) = 2

•

- = -;

8 4

/"(г) = -6(2 +

зіп2)~

соз

2-2(2 +

зіпг)"

2соз2зіп2-

-2(2 + 5ІП2)

С052 5ІП2

+ (2 + 5ІП2)~

С052 , /"(0) = -6- —+ — = -—.

16 4 8

Далі знаходимо значення коефіцієнтів с

за формулою (2) та, підста-

вляючи ці значення в ряд (1), отримуємо

2 4"

2! 2

Знайдемо радіус збіжності К . Для цього знаходимо особливі точки

функції Лг) і

як

коренями рівняння

2 +зіп 2 =0 ,

е'

-е~'

2 + - — = 0,

-е~'

= 0,

2/г

+4/е'

-1 = 0.

Покладемо е'

= 1, тоді

+4/7-1=0,

-2/±л/-4

( =

-2і±і4ї,

=-2/-/л/з

=-/(2

л/3),

(

=-/(2-7з).

368

Глава 3. Функції комплексної змінної

Отже,

<?'"" =-/(2±л/3),

/г =

1п(-/(2±л/3))

1п|-/(2±7з)|

+ /|'-^

|+2лЛ/ ,

-/1п|2±л/з

|-^ +

2ТС/ї

при£ = 0 2 =

—

п12±л/з\~~~

•

Точка 2 = -/'1пІ2-л/з|-— найближча до 2

= 0. Отже, відстань від

І І 2

знайденої точки до точки 2

= 0 є.радіусом збіжності, тобто

/?=^1п

(2-л/з)

+ -^- . А

Приклад

6. Знайти область збіжності заданого ряду.

оо

/1 , оо П оо я

и=1

2 „

і 2 „=о 0

= 1

За умовою с_„ = (1 +

/)"

с_„_, =

и+2

= 0 . Тому

Іс ,1 |(1+/)"

г=

Ііт ^—г=

1іт

= і™ І1+/| =

л/2

|С_„| |(1 +

я+1

Я->~'

Отже, даний ряд збігається в області

121

л/2.

б)

£4+££.

п = ] 2

я=

-_о О

За умовою с_

=а" , с_

=а"

. Тому

г=

Ііт

Ц^Д

= Ііт

К—Д=|а|.

За умовою с„ = —, с

й+1

= — . Тому

/?=1іт -1-

=ііт і,—І=|6|.

§5.

Комплексні ряди

369

Отже, якщо

|а|<|Ь|,

то ряд збіжний в кільці |а|<|г|<|6|. Якщо

| а

Ь |, то ряд всюди розбіжний. 4

Приклад 7. Розкласти функцію /(г) = ^

* в ряд Ло-

рана в кільці 0 <

-11

< 2.

• Спосіб 1. {(і) = —~—г— аналітична функція в кільці 0 <

г -11 < 2.

1) ' '

Коефіцієнти ряду Лорана знаходимо за формулою (3.73)

271/

^(2-1)

и+І

2Я/

^(2-1)

й+1

+ 1)

де Г - довільне коло з центром в точці г

=1, що міститься в заданому кільці.

Якщо я + 3 < 0, тобто п < 3, то надінтегральна функція •

(2-1)"

(2 + 1)

аналітична в усіх точках, що містяться всередині кола Г, в тому числі і в точ-

ці г

. У цьому випадку

Г СІ2

1(2-\У

+ 1)

тобто с„ = 0 при п = -3, -4, ...

Якщо п + 3 > 0, тобто п > -3 , то застосувавши формулу для похідної

п - го порядку від аналітичної функції

•І

2ти/.(

-_~

)

п+1

02 ,

одержимо

с„ =

7І

г+,)

*=-

7Л+2

" 2ті/

І(2-])

п+3

" (п + 2)\сІ2

п+2

2=1

1 (-1)> + 3)!

(л + 2)! (г + 1)

п+4

(-!)> +3)

,п+4

;=1

Отже, для п = -2, -1, 0, 1, 2,... маємо с„ :

(-!)> +3)

-.и+4

370

Глава

Функції комплексної змінної

Ряд Лорана

для

заданої функції

кільці

0 < | г -1 (< 2 має

вигляд:

1 _ у „

« у

(-1)"(Д+3)

„

2^С„{2-\)

= 2, — (2-1)

-1Г «~2

« = -2

або

1 1 1 1

3 1 5

3 з

(г

-!)

-1)

4 2-1 16 8 64 64

Спосіб

Згідно

умовою треба представити функцію

/(г) у

вигляді

суми степенів (додатних

та

від'ємних) різниці

(2-1).

Перетворимо задану

функцію, розклавши вираз

-у— на

суму найпростіших дробів.

—

Тоді

/(:) =

( 1

-1)

-\ 2+1

11 11

- +

((2-І)

-1

(2+1)

}

(1)

(2-І)

4 2-1 4 2 +

(

+1)

Перші

два

доданки подані

потрібному вигляді (містять

(г -1) у

від'єм-

них степенях),

а два

інші перетворимо. Запишемо

їх у

вигляді

1 1

1 (2-1)

+ 2 2

1 +

2-1

(2-1)^

(г-1)

(2)

(2+

П-2

1-2^і+-

(2-Х

-2(-2-1)(-2-2)

З!

2-1

...

(3)

Для запису правої частини формули

(2)

скористались формулою (3.64)

розкладу функції

—-— в

степеневий

ряд за

степенями

2 ,

замінивши

2 на

+ 2

:-1

Для

запису правої частини формули

(3)

скористались формулою (3.63)

(біноміальний

ряд),

поклавши

а = -2.

Підставивши отримані вирази

формул

(2) та (3) у

формулу

(1),

маємо