Тевяшев А.Д., Литвин О.Г., Кривошеєва Г.М. т а ін. Вища математика у прикладах та задачах. Ч 3
Подождите немного. Документ загружается.
§5.
Комплексні ряди
371
11
111
(г
2
-!)
2
4(
г
-1)
2
4
2-1
2-1 (2-І)
2
(2-І)'
2
2
2
3
+
±^,_
(2
_
1)
+
|.
(2
_
1)
2_^
(2
_
1)
3
+
...
або
1
1 1
1
1
3 1 5 2 3 •?
- +
ТТ-г(
г
-
1
)
+
--(2-1)
і
-—(2-1)'+....<«
(2
2
-1)
2
4
(
г
-1)
2
4
2-1
16 8 64 64
Приклад
8.
Знайти
всі
розклади
в ряд
Лорана функції
/(г)
=
+
^—
за
степенями
г, в
залежності
від
її
особливих
2
+2-2
ТОЧОК.
22
+
1
22
+
1
• Функція
/їг) = —~ = має дві
особливі точки:
'
2
2
+2-2
(2 +
2)(2-1)
21
= -2 та г
2
= 1,
звідки маємо
три
"кільця"
з
центром
у
точці
2
0
= 0, в
яких
функція буде аналітичною:
а) круг
121
<
1
;
б) кільце 1
< |
21
< 2 ;
в)
2 <
121
< +
°°
-
зовнішність круга
121
< 2 .
Знайдемо
ряд
Лорана
для
функції
/(2)
за
степенями
2 у
кожному
"кільці".
Представимо
/(2)
у
вигляді суми найпростіших дробів:
22
+
1
22
+
1
1 1
Ж>
= —
Г
= , . „
ч
, - =
——
+
-
2
2
+2-2 (2 +
2)(2-1)
2 + 2 2-1
а) розкладання функції
в
крузі
121
<
1
.
Ж>
=
—г +
- = - • (1)
2
+ 2 2-1 2 |
+
£ 1-2
2
Скористаємось формулами (3.65)
та
(3.64):
1
= 1 + 2 + 2
2
+2
3
+...,
І2І<1,
(2)
1-2
1
2 З
1.2 2 2 , , .
372
Глава 3. Функції комплексної змінної
Підставивши вирази (2) та (3) у формулу (1), маємо
22 +
1
1 2 2
2
2
3
„
2
З
-
—+ +...-(1 + 2 + 2 +2
+...)
=
2
2
+2-2
2 4 8 16
__7 _2 _І2^з
2 4
г
8" 1б"
Цей розклад є рядом Тейлора функції /(г).
б) розкладання функції в кільці 1 <
121
< 2.
Для розглядуваного кільця скористатись представленням функції /(г)
у вигляді (1) не можна, бо для функції —-— написаний в п.а) ряд (3) буде
1+-
2
збіжним в кільці, тому що 121 < 2 , але для функції —-— при | г
\
> 1 написа-
1
- 2
ний в п.а) ряд (2) буде розбіжним.
Тому перетворимо /(2) таким чином:
1
11111
2
+ 2 2-1 2
1+
2
2]
__1
2 2
Далі,
застосовуючи формулу (3.65), отримуємо
1 1
—+ —
2
2
-
=
1+-
+
—
+ — + .... (5)
1
2 7
£
7'
1-
2
Цей ряд збіжний при
-7—г
< 1, тобто
І
2
І
> 1.
І
2
І
Підставивши вирази (3) та (5) у формулу (4), отримуємо
2г +
1
1
-
2
• --2 2
2+2-
(
7 -
2
7
і
1
]--
+ —Г-—Г+..
2 2
2
2
3
1
(,
1 1 1
+
7
1+
7
+
р-
+
7
+
"\
1 2 2
2
2
3
1 1 1 1 1 1 2 2
2
2
3
:
+
+
...
+
-
+
—
+
—
+...
=
...
+
—
+
—
+
+ -+..
2 4 8 16 2
2
2
2
3
2
2
2 2 4 8 16
або
22 +
1
=
у 1 , 1 у (-1)" _„
2
+2-2
п
=
]2
^ „
=
о 2
в) розкладання функції при
121
> 2
1)5.
Комплексні ряди
373
Для розглядуваної області
І
г
І
> 2 скористатись представленням функ-
ції /(г) у вигляді (4) не можна, бо ряд (5) для функції
1
збігається, бо
він є збіжним для
121
> 1 , а отже і для
121
> 2 , але ряд (3) для функції
при
121
> 2 розбігається.
Тому функцію /(2) представимо у вигляді:
1
+
-
1 1
-
+
-
2
+ 2 2-1
11 11
_+
1+-
1
2
2
Далі,
застосовуючи формулу (3.64), отримуємо:
2
- 1-І
2
2
2
'2
)
2
_
Г
2
V
7
,
2
)
і
2
^
(6)
(7)
Підставивши вирази (7) та (5) у формулу (6), маємо
/(*)
=
2
або
2
_
,15 7
2—
+ — - —
2
2
і
2
і
22 +
1
2 4 8
1--
+ —- — + ...+
1
1
1
1
2
2 )
2
2
+г-2''2
г
2+
2
-
3
Аналізуючи результати п. а), б), в), бачимо, що ряд Лорана для однієї
і тієї ж функції має різний вигляд для різних "кілець". ^
8Ш 2
Приклад
9. Розкласти функцію
/(2)
=
—у-
в ряд Лорана
2
В ОКОЛІ ТОЧКИ 2 = 0.
•
Скористаємось формулою (3.56) розкладу функції
зіп2.
у \~ч - _ у 2
2
"
1
_ 1
[
^ ~
2
"
1
51П2
_ 1 ^.(-1) 2 _ (-1) 2
=!+£<=£_
(2л+ 1)! 2 „=і (2л+1)!
2"
2" „=о (2Я + 1): „
=0
(ІА/ТІ,: І
„
= ]
Знайдемо область збіжності отриманого ряду.
*0.
374
Глава 3. Функції комплексної змінної
_
(-1)"
п
~(2л + 1)!' "
+1
\с
І
К = Ііт -!-"-Ц- = Ііт
(-0
И + І
(2л+ 3)!
(2л + 3)!
(2л+ 1)!
Ііт (2л + 2)(2л + 3) = + оо.
Отже,
ряд збіжний в області 0 < | 2 | < +
°°.
^
Приклад
10. Розкласти функцію /(г)
ряд
Лорана у вказаних кільцях:
а)
2 < | г
|
< 3; б) 3 < |
21
< + °о.
•
а) 2 < | г
|
< 3 .
Представимо задану функцію у вигляді
1 1 1
1
(2-2)(2-3)
(2-2)(г-3)
2-3 2-2
1
2-3
3 З
З
2
2 2 2
1+ —+
—
+
—
+ ...+ + ...
3 З
2
З
3
З"
1
1
ґ, 2 2
2
2
3
'~
2
А\Л
2"
+ - + — +
—
+ ... + —
+...
1 2 2
2
2
3
Отже,
2
2 2
>2.
п =
1
2
2< 2 <3.
п =
0\"'
У
(1)
І2І<3,
б) 3 < | 2
|
< +
оо
.
Скористаємось представленням функції /(г) у вигляді (1).
§5.
Комплексні ряди
375
Отже,
З"
2 З"-2
/(
г
)=і+х-
г
И
= 12
2
+
1
я+1 я+1
3<| 2І<+°° .
Нулі та ізольовані особливі точки функцій
Приклад 11. Знайти нулі функцій.
а) /(2) =
1
+
соз2;
б) /0) = 2
4
+4г
2
.
• а) /(г) = 1
+С052.
Прирівнюючи функцію до нуля, отримуємо рівняння
СОЗ2
= -1 , звід-
ки 2
И
= (2л + 1)л, п є 2 - нулі заданої функції.
Далі
/'((2л +1) л) = -зіп(2и +1) л = 0,
/'((2л +1) л) = -соз(2л +1) л =
1
* 0.
Звідси, точки 2„ =(2л + 1)л, лє 2 є нулями другого порядку зада-
ної функції.
б) /(2)
=
2
4
+42
2
.
Покладемо /(:) = 0. Тоді
2
2
(
2
2
+4) = 0,
2
2
(2-2/)(2
+ 2/) = 0.
Звідси знаходимо нулі функції /(2): 2 = 0, 2 = -2і, 2 = 2/.
Нехай 2 = 0, тоді функцію /(2) представимо у вигляді
Це означає, що точка 2 = 0 є нулем другого порядку.
Нехай 2 = -2/, тоді функцію /(2) представимо у вигляді
де ф(г) = 2 -2/2 є аналітичною в точці 2 = -2 /, причому
ф(-2/) = (-2/)
1
-2/(-2/)
2
=2(-2/)
3
=2-8/ = 16/*0.
Це означає, що точка 2 = -2 / є нулем першого порядку.
Аналогічно досліджується, що точка 2 = 2/ - нуль першого порядку. А
/(2)
= 2
2
(2
- 2
/)(2
+ 2/) = (2 + 2 /)ф(2) ,
376
Глава 3. Функції комплексної змінної
Приклад
12. Знайти порядок нуля г
0
= 0 функції
г
8
2-5Ш2
•
Використаємо розклад функції зіп 2 в ряд Тейлора в околі іоч-
ки 2
0
= 0 . Отримаємо
8
8 8
/(*)
=
-
-ЗІП
2
(
,3 „5 \
2
+
З!
5!
З!
5! 7!
5
2
1_£І + ІІ
З!
5! 7!
Покладемо
(ріг)
= . Тоді /(г) =
2
5
ф(2)
, де ф(2) -
-І £1
2
_
3!~~5!~
77~'"
функція аналітична в точці 2
0
= 0 і ф(0) = 6*0. Звідси :
0
=0є нулем п'ято-
го порядку для заданої функції /(г). А
Приклад
13. Визначити характер особливої точки г
0
для
заданих
функцій.
а)Д
2
)
= ~; б) ж>=
1
2
2
' 2 + 2
2
-2сП2
•
а) /(2) = -!
Особлива точка
2
0
=0.
Покладемо г = ге'^, тоді /(:) =
-/2ф
г
2
І
/(
2
)| = -у. звідси випливає, що | /(:)| необмежено зростає, коли 2
0
—» 0
за будь-яким законом, тобто Ііт /(г) = оо.
Отже,
точка 2
0
= 0 є полюсом цієї функції. Для функції ф(г) = 2
2
точка 2
0
= 0 - нуль другого порядку і звідси для функції /(:) = — точка
2
2
0
= 0 - полюс другого порядку.
§5.
Комплексні ряди
377
б)
Ж):
2 + 2
2
-2СП2
Точка 2
0
= 0 - полюс функції
/(2),
тому що вона є нулем знаменни-
ка, а чисельник функції /(2) відмінний від нуля.
1 ,
Розглянемо функцію 9(2) = = 2 + 2 -2сп2. Для неї ф(0) = 0 .
Знаходимо порядок нуля і
0
= 0 цієї функції. Маємо
ф'(2) =
22-25П2|.о=0
= 0,
ф'(г) = 2-2сЬг| „ = 0,
ф"(2) =
-28П2|;о=0
= 0,
ф
/|/
(2)
= -2сЬ2|.
о=0
= -2*0.
Таким чином, 2
0
= 0 - нуль четвертого порядку для ф(г).
Отже,
2
0
= 0 - полюс четвертого порядку для даної функції /(г).А
Приклад
14. Визначити характер особливих точок зада-
них
функцій.
а)
т = 1
г
;
б) Д
2)
=
;
1
2 2
С052-ІН
2
_і_
_і_
в)/(г) = е--
+І
;
т)/(г)
= е
•
а)/(2)
= ! -.
С052
- І Н
2
Введемо функцію
і
,2 2 4 2п 2
/
\
1
,2 ,2 2 /,ч«
2
,2
ф(г) = = С052-1 + — = 1 + ... + (-1) + ...-1 + — =
/(:) 2 2! 4! (2л)! 2
.4
<\
2
2
.
п
„ 2
2
-
4
^
+... + (-1) +..
4!
6! (2л)!
Точка 2 = 0- нуль четвертого порядку для функції
ф(г),
а звідси для
функції /(2) - полюс четвертого порядку.
378
Глава 3. Функції комплексної змінної
2
2
Перетворимо задану функцію.
№
.
25ІП
—
1-С052
9
2
2
2
2
25ІП
2
—
Точка г = 0 е усувною особливою точкою функції /(і), бо існує скін-
2
2
1
ченна границя ііт
-т-=-
=
—
.
г-»0
2
і
2
І
в)/(2)
=
Є-'
+1
.
Розкладемо в ряд задану функцію за степенями 2 +1 .
/(2)
= Є^
Т
=1+—— + —- -+...+
]
+ ....
2+1
2!(2+1)
2
пІ(г
+
\)"
У розкладі присутня безліч членів з від'ємними степенями 2 +1 , тому
точка 2 = -1 є істотно особливою точкою для функції /(г) .
Г)
/(2) = Є .
Розкладемо в ряд задану функцію за степенями 2 .
/(,)
-'^-
,
-7
+
5?7
+
"-
+(
-
|)
"^
+
""
Точка 2 = 0 є істотно особливою точкою, бо у розкладі присутня без-
ліч членів з від'ємними степенями 2 .
Приклад 15. Визначити характер вказаних особливих то-
чок г
0
заданих функцій.
1 + С052 ІП(1 + Г
3
)
а) /(г) = ,
2
0
=тт;
б)/(2)
= —— ,
2
0
=0;
2-К 2
в)/00 = , г
0
=0; г)/(г) = соз , г
0
=-тс;
2
2 + К
е
:+е
Д) Л
2
) = ,
2
0
=-Є.
2
+
Є
г
§5.
Комплексні ряди
379
.
г
1 + С052
• а) Дг) = , 2
0
2
- Я
Перетворимо задану функцію та використовуємо розклад функції
соз 2 в ряд Тейлора.
1-С05(2-Я)
1-
'
(2-Я)
2
|
(2-Я)
4
|
(-1)"(
2
-Я)
2
"
[
2!
4!
(2й)!
2-Я
2-Я
\2л-1
2-Я
(2-Я)
3
(2-Я)
6
(-1)"(2-Я)
2
=
—+ - —
+...
+
- — +....
2!
4! 6! (2л)!
Цей розклад не містить головної частини. Тому точка 2
0
= я - усувна
особлива точка.
б) /(2) =
ІП(1
+ 2
3
)
, 2„ =0.
ІП(1
+ 2
3
)
з
(іГ (гУ
+
, (-іГ'(--
3
Г ,
2
1 (-...
Ч
1-
...
2
4
2
7
(-І)"-^
3
"-
2
=
2 + ... + - + ....
2 3 п
Точка 2
0
= 0 - усувна особлива точка, бо в розкладі відсутня головна
частина.
ч
4-і
\
5І
"
2г
о
В)
/(2) = —, 2
0
= 0 .
Перетворимо задану функцію та розкладемо її в ряд за степенями 2 .
/(2):
1-соз2г
І
22 22
1
_
1 +
(2£)1_С2£)1 + .
2!
4!
2г (2т.у
•• ——+ ..
2!
4!
Точка 2
0
= 0 - усувна особлива точка, бо в розкладі відсутня головна
частина.
г) Дг) = соз-
2
+ Я
=
-Я.
Розкладемо задану функцію в ряд за степенями 2 + я.
/(2) =
С08-1-
=
1- '
2+л
2!(г+я)
2
4!(г+я)
4
6!(г+я)
6
•+•••
+
-
(-1)"
•+....
(2п)\(г+кУ
Точка 2
0
= - я є істотно особливою точкою, бо у розкладі присутня
безліч членів з від'ємними степенями 2 +
Л
.
380
Глава 3. Функції комплексної змінної
д) Дг) = , г
0
= -е.
2 + Є
Розкладемо задану функцію в ряд за степенями г + е .
. е
:+е
1 (, . . (: + е)
2
(2 + е)
3
(
2
+є)"
4
Дг)= = 1+(г + е) + -——— + -——— + ... + - — +
:
+ е 2 + е 2! З!
\
1 , 2+Є (2 + Є)
2
(2+Є)""'
-
+
1
+ + - —+... + - — + ... .
П
:
+ е
2!
З!
Точка 2
0
= -е - простий полюс, бо у розкладі присутній один дода-
нок з від'ємним степенем 2 + е . А
IV. Задачі для практичних занять
Числові ряди
У задачах 3.125-3.130 дослідити на збіжність задані ряди.
3.125. £
І —
Є
"
П
ЗІП
ш
11=1
"
оо
„і2п
3.126. У
и = 1 ->
п
1
—
Є
"
3.127. X
созш
2
3.128.
Х"Ч="
ЗЛ29
-
ЗЛ30
- X
п = \П<П « = 1л/« „ = і
л
=і 5"
и=1
1е
пси
Степеневі ряди
У задачах 3.131 - 3.138 знайти радіуси збіжності заданих
степеневих рядів.
3.131.
%е
т
2
п
. 3.132. |> "г" .
з.ізз. X
и =
1
и=1
и = 1
3.137. £
ЗІП 1К
11=1
"
3.134. У —
оо • оо
3.135.
£сЬ--2\
3.136. ^/"г".
л=0
3.138. У
„
=
і зіп
(1
+ ш)