Тевяшев А.Д., Литвин О.Г., Кривошеєва Г.М. т а ін. Вища математика у прикладах та задачах. Ч 3
Подождите немного. Документ загружается.
§5,
Комплексні ряди
381
Ряди Тейлора та Лорана
У задачах 3.139 - З Л 46 задані функції розкласти в ряд Тей-
лора, використовуючи відомі розклади та знайти радіуси збіж-
ності знайдених рядів.
2
3.139. /(г) = — за степенями г.
і~ -2г-3
3.140. /(2) = —-— за степенями 2-3.
3-2г
3.141.
/(г) = зіп(2г +1) за степенями
2
+ 1.
3.142. /(2) = є
2
за степенями 2г
-1.
3.143.
/(2) = —-— за степенями г + 2.
Зг + 1
7 І2
3.144. /Ї2) = соз — за степенями 2.
7 2
3.145. /(г) = зЬ
—
за степенями 2.
3.146. /(г) =
1п(2-2)
за степенями і.
У задачах 3.147-3.151 знайти декілька перших членів
розкладу в ряд за степенями 2 заданих функцій. Знайти радіуси
збіжності знайдених рядів.
3.147. /(2) = —^ . 3.148. /(2) =
1
1 + е
2
е " + 5
3.149. /(2) = 1п(1 + є"'). 3.150. /(2) = 1псоз2.
3.151.
Д2) = ІП(1 + С082).
У задачах 3.152 - 3.160 знайти області збіжності заданих
рядів.
3.152. V^
1П/
^.
з.і53.
У
1
.
3.154.
І^±І^Г.
3.155. ± *
„
= 1
2
Й = 1
СОЗШ
382
Глава 3. Функції комплексної змінної
еУ 1 1
3.156. У - —
•
ЗЛ57
- X —
я
=іІ^
2"
„4,4"
(2
+
1)".
ОО „ , Л-П СО -5/1 , 1
3.158. £—- -. 3.159. £
ПІ
(2-(2
+О)"
и
=і(г
+ 2і)"
(г + І-іТ
3.160. У
„=1 " + '
.2 1
ОКОЛІ ТОЧКИ 2
0
=0
3.161.
Розкласти в ряд Лорана функцію /(г) = 2 соз— в
•7
2г-3
3.162. Розкласти в ряд Лорана функцію
/(2)
=
—
2 -32 +2
в околі її особливих ТОЧОК.
У задачах 3.163 - 3.164 задані функції розкласти в ряд
Лорана в околі точки 2
0
=0 (за степенями
2).
3.163.
а) /(2) = —; 3.164. а) /(2) = ^;
г 2
б)/(2)
=
4;
б)/(*) = — ;
2 2
В)Я2)
=
2У/-. В) /(2)
=
Ь^.
2
У задачах 3.165 - 3.170 розкласти задані функції в ряд
Лорана у вказаних кільцях.
3.165. /(*) = —!—; а)
0<|2|<1;б)
1<|г|< + оо.
2+2
3.166. /(2) = -—
1
;а)
1<І2І<4;6)
4<|г|<+оо.
(2+2)(2
+1)
3.167./(2)=
,
2г+3
;
1<І2І<2.
2
2
+32 + 2
11
2
2
-
2
+ З
3.168. /(2) =
4—;
, 2
2
-32 + 2
а) 0 < 121 < 1; б)
1
<
І
21 < 2; в) 2 < 121 < + да.
§5.
Комплексні ряди
383
3.169. /(2) = —
(2
2
-4)(2
2
-1)
3.170. а) /(=)-.
б) №
1
:
2
+\
1
; 1<|
2
|<2.
/|<2;
0<|
•;
4<І2
+
2|<+оо.
(*
2
-4)
2
3.171.
Знайти всі розклади в ряд Лорана заданої функції
/(2) за степенями 2 - 2
0
, в залежності від її особливих точок.
а) /(*) = _!_,
го
=1; б) /(2)= , ^
^,2
0
=1.
(2-І)' " 2^-32 + 2
Нулі та ізольовані особливі точки функцій
У задачах 3.172 - 3.175 знайти нулі функцій та визначити
їх порядок.
3.172. а) /(2) = (г
2
+ І)
3
зЬ 2; б) /(2) = (2 + пі) зЬ 2.
3.173.
а)/(2)
=
ЗІП;
б) /(2) = 2
ЗІП
2.
3.174. а)/(г) =
1
+
сп2;
б) /(2) =
(1-ЗЬ 2)
2
3.175.а)Д2)
=
(2
2
+л
2
)(1
+ 0; б) /(г) =
со82+сЬ/г.
3.176. Знайти порядок нуля 2
0
=0 для заданих функцій.
а) /(2) = -г; б) /'(2) =
е™~-
- .
Ґ
—
—
зіп
—
1
2)
У задачах 3.177 - 3.180 визначити характер особливої точ-
ки 2
0
= 0 для заданих функцій.
1 „ „. . 1
384
Глава 3. Функції комплексної змінної
3.178. а) № =
_
5ІП2
• б)
/(2)=
§ЬГ
Є
=
+ 2-І 2 -
ЗП
2
3.179. а) =
—і—;
б) /(г) = соз-.
1-81П2
2
3.180. а)
/(2)
=
5
Д з ; б) /(2) =
-
1
—
+
-1.
2 +22+2
Є '
—
\ 2
У задачах 3.181-3.187 визначити характер вказаних особли-
вих точок заданих функцій.
3.181.а) /(*-):= 1^-1,
2
0
=0;
2
б)/(2)
=
(2-1)^
(
--Л
2
0
=1.
3.182.
/(2) =
%"
32
+ 2
7
0
=1.
2
-22+1
3.183./(2)
= ^,
2
0
=0.
2
3.184./(2)
= —, г
0
=1.
2
3.185./(2)=
Г
-
1
-,
2
0
=0,2,=-1.
2
+
І2
+2
1 2
—
Я2
3.186. 7(
2
) = соз- + зіп ,
2
0
=0.
2
2г
3.187. 7(г) = 2зЬ-,
2
0
=0.
2
§6.
Лишки функцій
та
їх
застосування
І.
Короткі теоретичні відомості
Основні поняття
та
формули
для
обчислення лишків
Нехай точка
г
0
-
ізольована особлива точка функції /(2) .Лишком
функції /(2)
в
точці
г
0
називається число,
що
позначається гек
/(г
0
) і яке
визначається рівністю
§6.
Лишки функцій та їх застосування
385
ГЄ8/(2
0
)=-1
Т
^/(2)А,
(3.76)
де за контур у можна взяти коло з центром у точці г
0
достатньо малого
радіуса і такого, щоб коло не виходило за межі області аналітичності функ-
ції Дг) і не містило всередині інших особливих точок функції /(г).
Допускаються також інші позначення лишку: гез
[Дг);2
0
],
гез /(2).
2 =
Г
0
Лишок функції дорівнює коефіцієнту с_, при (2 - 2
0
)~' в лорановім
розкладі функції /(2) в околі точки 2 = 2
0
:
гез/(2
0
) = с_,. (3.77)
Якщо 2
0
—усувна особлива точка функції /(2), то
гезД2
0
) = 0. (3.78)
Якщо точка 20 - полюс п- го порядку функції /(2), то
гезД2
0
) = —і— Ііт -^
г
(/(
2
)(
2
-
го
)
я
). (3.79)
(л-1)!-'-»г
0
аг
Якщо полюс простий ( п = 1), то
ге
8
/(г
0
)= Ііт (/(2)(2-2
0
)). (3.80)
Г-»Г
0
Якщо функція /(2) в околі точки 2
0
може бути подана як частка
двох аналітичних функцій /(2) = , причому ф(г
0
)*0, у(г
0
) = 0, а
У(2)
\|г'(2
0
) * 0 , тобто 2
0
- простий полюс, то
гез
/(
2
0
) =
^4.
(3.81)
Якщо точка 2
0
- істотно особлива точка функції /(2), то лишок
обчислюється за формулою (3.77), тобто
= с_,. (3.82)
Основна теорема про лишки
Теорема Коші. Якщо функція /(2) аналітична на межі С області й і
всюди всередині області, за винятком скінченного числа особливих точок
2, , 2
2
,...,2„,Т0
|
Д 2)</2 = 2гс/£
ГЄ5
Д2,). '(3.83)
* = 1
386
Глава
3.
Функції комплексної змінної
Теорема використовується
для
обчислення інтегралів
за
допомогою
лишків.
Застосування лишків
до
обчислення визначених
та
невласних
інтегралів
1.
Інтеграли вигляду
|/?(созх,
$\пх)ах,
(3.84)
о
де
К
-раціональна функція
від
созх
та зіп х,
скінченна всередині проміж-
ку інтегрування.
аг
. :
2
+1 . г
2
-1
Покладемо
е
=2, тоді
ах = — і
созх
= ,
зіпх
=
іг
2г 2іг
Очевидно,
що в
цьому випадку
| г
\
= 1, бо 0 < х < 2тс.
Тоді інтеграл (3.84) приймає вигляд
\р-(г)±,
с
де
С -
коло одиничного радіуса
з
центром
у
початку координат.
Згідно
з
теоремою Коші
про
лишки
\р(г)сіг =
2кіа, (3.85)
г
де
о -
сума лишків функції
Р(г)
відносно полюсів,
що
містяться всередині
кола
С.
2.
Інтеграли вигляду
\/(х)ах,
(3.86)
Р
(х)
де
У(х) = ~ ,
Р
т
(х),
<2„(х) -
многочлени степенів
т та п
відповідно.
0.А*)
Якщо функція / (х) неперервна
на
всій дійсній
осі (
£)„
(*) * 0 ) і п>т + 2,
тобто степінь знаменника хоча
б на
дві одиниці більше степеня чисельника,
то
_[/(*)<&
=
2тс/о,
(3.87)
Р
(г)
де
а -
сума лишків функції
/(г) = — у
всіх полюсах,
що
розташовані
у
верхній півплощині.
§6.
Лишки функцій
та їх
застосування
387
3.
Інтеграли вигляду
\Дх)сіх, (3.88)
коли
.,'ОС
/(2)
=
е'
а
'Р(=),
а>0,
(3.89)
функція аналітична
на
дійсній
осі,
у
верхній півплощині
має
скінчен-
не число особливих точок
2,, 2
2
г„ і Ііт Р(г) = 0.
У цьому випадку справедлива формула
//(дг)Л
=
2тс/Хге8/(2
А
).
(3.90)
к=\
Перетворимо функцію
/(:) .
Ді) = е'
а:
Р(г) =
(С08О2
+
/ЗІП
0X2)^(2)
=
/
7
(2)С050С2
+
//
7
(2)ЗІПОС2
. (3.91)
Тоді
-+-ОО +
°°
+ ОО
4"00
^Дх)сіх
=
^(Г(х)со$ах
+
і
і
7
(х)$'тах)сіх
=
^Г{х)со%охсіх +
і
^Р(х)%тахах.
Враховуючи формулу (3.90), маємо
§Г(х)со&ахах
+
і
$Р(х)5тахсіх
=
2я/У>ез
Дг
к
).
(3.92)
к=\
Прирівнюючи дійсні
та
уявні частини виразів,
що
стоять зліва
га
справа
у формулі (3.92), отримуємо значення інтегралів,
що
містяться зліва
в цій
формулі.
Отже,
в
розглядуваному випадку приходимо
до
обчислення інтегра-
лів вигляду
|/
г
(х)созахЛ,
| Г(х)
зіп
осе
сіх.
(3.93)
//. Контрольні питання
та
завдання
1.
Що
називається лишком функції?
2.
Чому дорівнює лишок
в
усувній особливій точці?
3.
Як
обчислити лишок
у
полюсі?
4.
Як
обчислити лишок
в
істотно особливій точці?
388
Глава
3. Функції комплексної змінної
5.
Чому дорівнює лишок функції
в п
-кратному полюсі?
6. Сформулюйте теорему Коші про лишки.
Як
вона засто-
совується для обчислення інтегралів?
7.
Для обчислення яких типів визначених інтегралів засто-
совуються лишки?
8.
Для обчислення яких типів невласних інтегралів засто-
совуються лишки?
///.
Приклади розв'язання задач
Обчислення лишків
Приклад 1. Знайти лишки функцій
в
їх особливих точках.
2
ЗІП
2
СП2
а
)
/(*) = —; б)
/(2)
= —-.
г
З_Л
г
2
(2
2
+1)(2-3)
4
•а)/(=)=
5ІП
-"
2
.3
_ Я _2
4"
Особливими
точками функції
і(г) = — =
—^т——г
є
точки
3^2
2
2
- -
Г
= 0 і 2 =
4
4
л
л
2
4
Визначимо
характер особливих точок.
У
точці
2 = 0
маємо
..
... . ..
5ІП2
2
..
5ІП2
2
1 4
Ііт
/(:) = Ііт —
Г-
=
Ііт —-—
Ііт = —
2-»0
г->0
2
( Л ] г->0 2
:
^>°
К
ТС
?(
її"! г->0
Т-"-4
2
4
Звідси
точка
2 = 0-
усувна особлива точка функції
/(г).
Тому
ГЄ8/(0)
= 0.
л
л
У
точці
2 =
— маємо
Ііт
/(2)
=
°°, тобто гочка
2 =
полюс пер-
4
4
4
шого
порядку функції
/(2).
Згідно
з
формулою (3.80) обчислення лишку
для
простого полюса
§6.
Лишки функцій та їх застосування
389
ГЄ5/(2
0
)=
1ІШ
(/(2)(2-2
0
)),
маємо
ге5/|
Іііп/(2)
4
=
Ііт
51П
2
2
/
4
"
V 4
71
2
4
Ііт
81П2
> —
2
4
16 . ТС"
—г-
51П
2
16
б)
/(2)=-^
.
(2
2
+1)(2-3)
Особливі точки заданої функції 2 =
/
, г = —і, 2 = 3.
Далі доведемо, що це прості полюси і для обчислення лишків скори-
стаємось формулою (3.81)
ГЄ5/(20):
У'(г
0
)
Точка 2 = /.
СІ12
Л2)=іі±І^
=
^,ТО
Д1
ф(/)
=
2
- / \|/(2)
СЬ/
С08І(/
+ 3)/
СОБІ-(-1
+ 3/)
20
*0.
2/(/-3) 2 10
\|/(/) = 0, у'(і) =
1
* 0 .
Отже,
точка 2 = /
—
простий полюс.
ф(/) _ соз
1
•(—1 + З/) (1-3/)С05І
Таким чином, гез /(/):
Точка 2 = - /.
СП2
у'(0
20 20
„
,
(2-/)(2-3)
ф(2)
/(2) = - — - = ,
ТОДІ
Ф(-0
=
2
+ / ^(2)
сЬ(-0
С05І(3-/)/
-С05І (1+3/)
-2/(-/-3) 210
у(-/) = 0, у'(-0 = і*о.
Отже,
точка 2 = - / - простий полюс.
20
*0.
390
Глава 3, Функції комплексної змінної
т
/-І--Ч
Ф(')
-СОЗІ
(1 + 3/) (1 + 3/)С05І
Таким чином,
ге5/(п
=—
;
— = =
\|/
(/) 20 20
Точка 2 = 3.
СП2
,,
. і
2
+ і Ф(-) ,^
сп
3 спЗ „
/(2)
= ^-^- = -^, тоді Ф(3) = —- = — *0.
2-3
\|/(2)
9+1 10
у(3) = 0, у'(3) = 1*0.
Отже, точка 2 = 3- простий полюс.
ф(/) _ сЬЗ
Таким чином, гез /'(/)
=
¥'(0
Ю
Приклад
2.
Знайти лишки
в
особливих точках заданих
функції.
а) /(2)= /~ •
б)/(2)=
2
2и
•а) /(*):
2^(2-1)
е
2
(2-1)"
«Є N
Особливими точками заданої функції є 2 =
1
-простий полюс, 2 = 0
полюс третього порядку.
При 2 =
1
для обчислення лишку скористаємось формулою (3.80)
ГЄ8Д2
0
)=
1ІГП
(Д
2
)(2-2
0
)).
Отже,
тез Д1) = Ііт
Є
[
{г 1}
= е .
^І2
3
(2-1)
При 2 = 0 для обчислення лишку скористаємось формулою (3.79)
ҐЄ5/(2
0
)
=
1
.и-1
Ііт
-(Ді)(2-2
0
)"),
поклавши п = 3 .
Отже,
ге8 /Ї0) = — Ііт
2І2-*о<Ь
2
И'-О,
і., й
1
= —
Ііт —-
2Г-»0оЬ
2
2-1