Тевяшев А.Д., Литвин О.Г., Кривошеєва Г.М. т а ін. Вища математика у прикладах та задачах. Ч 3
Подождите немного. Документ загружается.
§
1.
Перетворення Лапласа
421
•
У
цьому прикладі застосовується теорема
про
диференціювання
зображення, згідно
з
якою
/"/(') .= (-1)
Я
/
Г(Я)
(/>) ,
(1)
за умови,
що /(() = Р(р)
а)
/(/) =
/зіп
ш .
а
Скористаємось
тим, що зіп аі .—— -г-
Тоді згідно
з
формулою
(1),
р-
+ а
при
п =
1
маємо
?51ПШ
б)
/(і) = і$Ьаі.
'
а
4
/г
+
от
2ра
(р-
+а~у
а
Скористаємось тим,
що зп аі
=='
— —.
Тоді згідно
з
формулою
(1),
р -а
при
п = І
маємо
'
а ^
в
) /(0 =
'5ІПСХ/5П(ХГ.
£
аі
_
е
-аі
І
зіп
аі
зЬ
аі = і
зіп
аі = і
2ра
(р
2
-а
2
)
2
1
е
аі
зіп
аг е
аІ
зіп
аі
4
Згідно
з
теоремою
про
диференціювання зображення, якщо
.=
Г(Р),
то
іе
аІ
зіпш
іе
аІ
зіп аі
•Ґ(р).
Тоді
ПР)
=
-
а а
2((р-а)-+а~)
2((р + а)-+а-)
Г
'(
р
)-
-2(р-а)а
;
2{р + а)а
-(р-а)а
2((р-а)
2
+а
2
)
2
2((р + а)
2
+а
2
)
2
((р-а)
2
+а
2
)
2
(р + а)а
((р + а)
2
+а
2
)
2
422
Глава
4.
Операційне числення
Отже,
(р-а)а
(р + а)а
/зіпсс/зпос/ ==
(О - ос)
2
+ а
2
)
2
((р
+
а)
1
+
а
2
)
2
Приклад
8.
Знайти зображення заданих функцій.
ч
ч
е~
аІ
5Іп(
.
сЬ.а(-с\лЬі
а)ЛО
= —-—;
б)/(/)
= ;
ч
.
С05Й/-СОЗО/
. . е~
аІ
8Іп
2
Ь(
в)/(0 = ; г)/(0= •
•
У
цьому прикладі скористаємось теоремою
про
інтегрування зобра-
ження, згідно
з
якою
^\Р(р)ф
р
+•*>
за умови,
що Р(р)
.—
/(/) і
^Р(р)сІр збігається,
а)
/(0 =
-
в-
в/
8іп/
/
Скористаємось
тим, що е~
м
зіп І =' — -.
Тоді
за
теоремою
(р
+ а)
2
+\
інтегрування зображення маємо
е~
а
'
зіп
/
_.
+
Г ар
/
"~ \ (р
+
а)
г
+\ '
Далі обчислюємо невласний інтеграл.
Ф ,• г Ф
= Ііт і
1
-
О + осГ +
1
в^°°*
р
(р
+ ау
В+а-р-а
+
°°
ҐІП
8
(І
і г = Ііт [ £-г = Ііт агсіе(рн-а)
І(р + а)
2
+
1
в^+°°і(р
+ а)
2
+
1
= Ііт (агсг§(В + а) - агсІ§(р + а)) = Ііт агсі§
в->+~ 1+ (5 + о^)(^7 + ос)
Я-/>
,. '~б 1
= пт агсІ§ --= Ііт апл§ ^ = агсі§-
5)
Отже,
='
агсІ§-
в^+~
\ + (В
+
а)(р
+
а) я->+~ ±
+
[
1+
«\р + а)
р + а
е'
а
'$іп(
• . 1
р +
а
§
1.
Перетворення Лапласа
423
б) /(/)
=
сЬ
аі -
сЬ Ьі
Скористаємось тим,
що
сЬаІ-с\\Ьі
=
теоремою інтегрування зображення маємо
р
2
-а
2
р
2
-Ь
2
.
Тоді
за
скаї-сЬЬі
Т( р р ] ,
—т—^ІІТ^-Т^Г
Далі обчислюємо невласний інтеграл.
я/
ф
=
Ііт [
[р
2
-а
2
р
2
-Ь
2
=
- Ііт (Щр
2
-а
2
)-\п(р
2
-Ь
2
))
2 «->+«
~
2
„
2
„
2
и
2
р-а
р -Ь ^
.2
\
ф
=
—
Ііт
2 я->+°
Іп
р-
-а
2н-
Ііт
^
П
1^£І_
1п
і^
В
2
-Ь
2
р
2
-ь
2
2
_„
2
\
,
р
2_
д
2
—
Іп-
2
іЛ '
2
р
1
-Ь
л
с\\аі-с\\Ьі
І , р
2
- а
2
Отже,
=
—
Іп
в) ло
=
/
2
р
2
-Ь
2
соз Ьі -соз аі
Скористаємось тим, що соз Ьі
-
соз
аі =
ремою інтегрування зображення маємо
соз Ьі -соз аі
/>
2
+6
2
р
2
+а
2
сір.
.
Тодізатео-
[р
2
+Ь
2
р
2
+а
2
Далі обчислюємо невласний інтеграл.
1,2
і 2
р
+Ь
р"+аг
ф
=
Ііт [
І.іг
2
=
- Ііт
(\п(р
2
+Ь
2
)-\п(р
2
+а
2
))
=
—
Ііт
2
Й->+°
(,„в
2
+
ь
2
,_р
2
+
Ь
,
о
-г
а . "
—
"
2
^
ІП —
Г--ІП
Я
2
+а
2
р +а
2
/
=
—
Ііт
,
2«->+'
/г+6
2
р
2
+а
2
>
Іп
ф
=
'
р
2
+6
2
^
р
2
+й
2
2 р
2
+
а
2
л
созйг-соза/
1 ,
р
2
+Ь
2
Отже,
='
—
Іп -
/
2
р
2
+
а
2
424
Глава
4.
Операційне числення
г) ДО =
1
р
+
а
Скористаємось
тим, шо е -е
со$2Ь( —'
р
+
а (р
+
ау+ЛЬ
2
Тоді
за
теоремою інтегрування зображення маємо
е~
аІ
5\п
2
Ьі
1 е~
ш
-е~
аІ
со52Ьі
1
р +
а
Далі обчислюємо невласний інтеграл.
р
1
р
+
а
^р + а (р +
аУ+4Ь
2
1
Иґ
Ар- —
Ііт [
2
р
+ о (р
+
а)
2
+4Ь'
1
р + а
ф.
р
+ а (р +
а)~+46
ф =
—
Ііт
2 я-++-
ч
Іп(р
+ а)--
Іп((р
+ а)
2
+4Ь
2
)
(
= —
Ііт
4
Іп-
(р +
а)
2
\
^
(р
+
а)-+4Ь-)
= —
Ііт
4 «->+*
1п
(/?+
,
а)
"
,-1п-
(Р + аУ
Отже
(В
+
аУ +
4Ь
1
(р
+
а)' +4Ь
1
і
е~"'
$\п
2
Ьі _. І (р +
а)
2
+46
2
1
, (р
+
а)"
+4Ь~
= —
Іп-
(р
+ а)-
;-іп-
4
(р +
а)"
Приклад
9.
Знайти згортку заданих функцій.
а) 5Іп/*5Ь/;
б)
л/Т+7*1;
в)е'*е';
г)
сов
2
(*( +
(*$т
2
І;
Д) (1-л/7)*8ІпГ +
(1+7/)*С08/
+ (1-7/)*С08/+(1+7/ )*5ІП/.
• Згортка функцій визначається формулою
/і
О
*
її
(')
= 1 /і
(' -
х)/
2
(т)А
= |/,
(т) /
2
(/ -
X) СІХ
.
( 1)
о
о
а)
5Іп/*зЬ/.
І
І X -т
зіп <* * зп / = І зіп (І* —
Т)ЗІІ
т сіх = І зіп (/ — х) СІХ =
о
о 2
1
' 1 ' 11
= — |зіп(/-т)е
т
от-— |5Іп(7-т)еГ
т
ат
= —/, —/
2
. (2)
§
1.
Перетворення Лапласа
425
Для обчислення інтегралів /,, /
2
скористаємось формулою
ах
е
ах
5'тЬхсіх = — —(а$\пЬх- Ьсо&Ьх) + С .
:
' а
2
+Ь
2
Нагадуємо, що для одержання формули застосовується інтегрування
частинами двічі.
/, = |зіп (/ - т) е
х
а\ = -1 е
х
зіп (х - /) сіх = - — (зіп(х - /) - соз(х - /))
о о
е' 1 е
1
1
= -—(зіп0-соз0) + —
(зіп(—/)
—
соз(-/)) = — -—(зіп/+ соз/).
12 = |зіп(/ - X) Є~
Х
СІХ = ~\е'
Х
8ІП(Х
-і)ОХ =
(-5Іп(Х
- /) -
СОЗ(Х
- /))
о о
є 1 є 1
(- з іп 0 - соз 0) + — (зіп/ -
СОЗ
/) = —— + — (зіп / - соз /) .
2 2 2 2
Підставимо знайдені значення інтегралів у формулу (2).
1
,
1
, 1
31П/*5П/ = —/, /
7
=
—
2
1
2 " 2
2 2
(зіп/+
соз/) + —(зіп / -
СОЗ/)
2 2
ї „і
•зіп/
(зп/-зіп/).
Отже,
ЗІП
/ *
5П
/ =
—
(зп / - зіп /) .
2
б) Л/ТТ7 * і.
Л/ГТ7
*
І =
|Л/і
+ /-х іл =
-|Л/і+/-х
с/(і+/-х)= ~
2(1+<
~
т)
0 0 ^
=-|(і-(і+/)^)Л((,+о^-і).
Отже, Л/Г+7*1 = |((1 + /)
3
/
2
-і).
в) е
1
*е' .
І І ,
е' *е'
=\е
І
^е
х
сіх
= \е
І
сіх = е'х\ =1е'.
о о
Отже, е' *е' =1е'.
3/2
426
Глава
4.
Операційне числення
г) соз
2
/ */ + /
*зіп
2
/.
Перетворимо заданий вираз.
СОЗ
2
1*1 + 1 * ЗІП
2
/ =
/*С05
2
/ + /
*5ІП
2
/ = /
*(С05
2
/ + ЗІП
2
/) = / * 1 .
Тоді
/
*
1
= $(і -
т)
•
1А =
/І
—
V
2
,
2
2
Отже,
соз + зіп / =—.
2
Д)
(1 -77)* ЗІП/+
(1
+77
)*СОЗ/
+
(1
-77)*соз/
+
(1
+
77)
*
зіп
/ .
Перетворимо заданий вираз.
(1
-
77)
*
зіп
/ +
(1
+
77)
*
соз і
+
(1
-
77
)
*
соз
/
+
(1
+
77)
*
зіп
/ =
=
І *31П/ -77
*5ІП/
+ 1
*С05/
+
*С03/
+ 1
*СОЗ/
-77
*СОЗ/
+ 1 * ЗІП
і*
+
+ 77* зіп/ = 2(1 *
зіп/)+ 2(1*
соз/) = 2(1 * (зіп/ +
соз/)).
Тоді
/
2
(1
* (зіп / +
соз/))
=
21(зіп
т + созт) аг = 2 (зіп т - соз т) | '
0
= 2 (зіп / - соз/ +1).
о
Отже,
(1
- 77)*
ЗІП
/ + (1 + 77)*
СОЗ/
+(1 -
77)*С08/
+ (1 +
77)*8ІП'
=
= 2(зіп/-соз/
+ 1). <
Знаходження
оригіналів функцій
за їх
зображенням
Приклад
10.
Знайти оригінал
/(/) за
його
зображенням
Р(р).
Р
•
а) =
-
б)
Р{р)
=
—
/?
-2/7 + 5
г)
Р(р) =
1
/7
(/7-1)
(/7
і
+4)
р
1
+2р
+
5
Виділяючи повний квадрат
у
знаменнику
та
використовуючи таблич-
не зображення функції
е~
ш
зіп (і/
(формула
7
таблиці основних зображень),
маємо
§ 1. Перетворення Лапласа
427
,
1 1 12 1 . „
Р(р)
= — = = ;г =
—
е
8іп2/.
/7
2
+2/?
+ 5
(/7
+
2)
2
+4
2(
р
+
1)
2
+2
2
2
б)
^(р)=
-2/7
+ 5
Виділяємо повний квадрат
у
знаменнику
та
розкладаємо дріб
на
суму
таких дробів, оригінали яких відомі.
Р(р)
=
/7-1
+
1
/7-1
1
/7
2
-2/7
+ 5
(/,-1)
2
+4
(/7-1)
2
+4 (/7-1)
2
+4
/7-І
-
н
(/7-1)
2
+2
2(р-і)
2
+2
2
'
За формулами
8 та 7
таблиці основних зображень маємо
£
—^——
.='<? со$2г;
Отже,
(р-1)
2
+2
2
'
•
є'
5ІП2/
.
—-—
=' е'
со52і
+
—
е'
$'т2і.
р
2
-2р
+ 5 2
р
-8
Записуємо
Р(р) у
вигляді суми найпростіших дробів
і
перетворює-
мо другий
з них,
виділивши повний квадрат
у
знаменнику.
1
111
/7
+ 4
/
Г
(Р)
= —5 = і -
/7
3
-8
(р-2)(р
2
+2/7+4)
12/7-2
12
р
2
+2/7
+ 4
1
1_
12 /7-2
12
1
/7+1
/7+1
> +
!)
2
+(л/з)
2
(/7
+
1)
2
+(л/3)
2
(
1
12 /7-2
7з
л/З
= — є
2
'- —
е-'созл/З/-
12 (р +1)
2
+(л/3)
2
12
(/7
+
1)
2
+(л/з)
2
' 12 12
12
Тут використано формули
2, 8 та 7
таблиці основних зображень.
Отже,
,2;
г)
Р{р) =
-Є"
Є '
С05\/3/--—Є
'
51П
12
12 12
1
7з~/.
р(р-\)(р
2
+4)
428
Глава 4. Операційне числення
Розкладаємо Р(р) на суму найпростіших дробів.
1
ПР) =
-
А
В Ср+О
•= —+ +
-
р(р-\)(р
2
+4) р р-\
р
2
+4
Знайшовши коефіцієнти
А,В,С,0,
маємо
_,
, 111 1 4р-\
Р(р) = +
-
- +
—
и
р 5/7-1 5
р
- +4
Далі перетворюємо отриманий вираз на суму таких дробів, оригінали
яких відомі.
.
Ч ііі
Р(Р) = +
4 р 12 ,1,4.
—г-
- = -\+-е'
+-С032/-
р 5 р-\ 5
р
2
+2
2
Юр
2
+2
2
5 5
зіп 2(.
10
Тут використано формули 1, 2, 4, 3 таблиці основних зображень. А
Приклад
11.
Знайти оригінал
/(/) за
його зображенням
Р{р).
1
~ ~ . Р
а)
Р(р) =
-у;
б)
Р(р)=—
,
(р + \)(р + 2)
2
(р
_
1)(
^
+
4)
в)
Р(р)
(р
2
+\)
2
•
У цьому прикладі застосовуємо теорему множення:
і
ГЛР)-Г
2
І Р) •=' /і (0 *М0 = ї /, (' - х) Л № л,
де
Я",
(р) = /, (0 , (р) = /
2
(/) .
а) Р(р):
1
(/7+1)(/>
+ 2)'
Врахуємо, що
1
р + \
(р + 2)
2
•
=
1е~
Тоді за теоремою множення маємо
+ \)(р + 2)
2
І і
° 0 ) V V
(/7+1)(/7
+ 2)
и = т, сій = сіг
СІУ
= е сіх, у
§
1.
Перетворення Лапласа
429
=
е~'
(-1 е~' -
є"'
+ 1) =
е~'
-
є'
2
'
(І +
1) .
Отже,
! -=•*-'_<г
2
'(/ +
і).
(р+\)(р +
2)
2
б) Г(р) = .
(р-\)(р
2
+4)
Врахуємо, що —!— = е', —^-— =' соз 2/.
р-\ р~+4
Тоді за теоремою множення маємо
і і
= е' *соз2/ = Ге'~
т
соз 2т ах = е' \е~
х
соз2тА .
(р-\)(р
2
+4)
і і
Далі скористаємось формулою
ах
- р
І е
их
сов Ьх сіх = —5 -(£зіп&с + а соз Ах)+ С ,
а~ +Ь
яка отримується інтегруванням частинами двічі.
Тоді
е'
е' *соз2/ = е' \ е
т
соз2тат = —; е
т
(2зіп2т-соз2т)
-
1
2
2
+1
= ~(
е
~'
(
25ІП
2/ -соз2/) +1) = ^(2зіп2/ -соз2/ + е').
Отже,
Р _• 1
(/>-І)(У+4)'
5
Перетворимо задане зображення.
(25Іп2'-соз2(- + е').
НР)
=
-Ч
(/г+і)
2
/г+і /г + і
"врахуємо, що —^— = сохі.
Р +1
Тоді за теоремою множення маємо
2 (
^(р) = —;
=г
=
—т-
т-—
•—
соз /
*
соз і - Г соз(/ - т) соз х
сіх
=
(У + і)
2
Р
2
+] Р
2
+ \
і
430
Глава
4
Операційне числення
1
'
1
( і 1
: — |(сох/
+
со$(/-2х))#х
=—
С05/
•
х|'
0
-
—5ІП(/
-2т)
=
—
С05/
+
2
1
. 1 . / 1 . 1..
+
—
81П/
+ —
51П/
= —
С05/
+ —
51П/
= —
(51П/
+
/С05/)
.
4
4 2 2 2
Отже,
— (5ІП/
+
/С05/)
. А
Приклад
12.
Знайти оригінал
/(і) за
його зображенням
Р(р),
використовуючи теорему запізнювання.
а)
Р(Р) =
р
+
1
б)
Р(р) =
•
У
цьому прикладі використовуємо теорему запізнювання, згідно
з
якою
ч
(/-т)Я*-т)
=
е-
рх
Р(р),
за умови,
що
/(/).=
^(р). х>0.
„'Я
а)
^(Р) =
-
Тут
х
=1,
р
+
1
1
/>+!'
=
е '.
Тому
Пр)
=
р
+ \
:-Є-
(
'-
П
Ті(/-1).
б)
Р{р)=Ц—
Р
+
1
Знайдемо оригінал
для
дробу
суму найпростіших дробів.
Р~
_ Р~
, попередньо розклавши його
на
р'
+ \
(р+\)(р
2
-р
+ \) З
1
2р-
+ —•
'
Р
2
-р
+
\ ,