Тевяшев А.Д., Литвин О.Г., Кривошеєва Г.М. т а ін. Вища математика у прикладах та задачах. Ч 3
Подождите немного. Документ загружается.
§
1.
Перетворення Лапласа
411
Таблиця зображень основних функцій
Оригінал
/(/)
Зображення
Р(р)
1
1
1
Р
2
е'
ш
1
р +
а
3
зіп
Р
/>
2
+Р
2
4
созрг
Р
5
зпР?
Р
Р
2
-Ї
2
6
Р
Р
2
-Р
2
7
<Г°"зІі1р/
Р
(р +
а)
2
+\3
2
8
е~
аІ
софі
р +
а
(/>
+
<х)
2
+р
2
9
е-
а
'зЬр/
Р
(р
+
а)
2
-р
2
10
е-
а
'сЬр/
р +
а
(р
+
а)
2
-р
2
11
і"
и!
п+1
Р
12
и!
(/>
+ а)
я+1
13
1$'таі
2/50
(Р
2
+Д
2
)
2
14
1соз аі
р
2
-а
2
0»
2
+«
2
)
2
15
/зЬ
аі
2/?а
(р
2
-а
2
)
2
412
Глава 4. Операційне числення
16 <*сЬ аі
2
, 2
р +а
(р
2
-а
2
)
2
17
1
/ •
—- (5іп
аі - аі соз ш)
2а
3
1
(р
2
+а
2
)
2
Знаходження зображення за заданим оригіналом
Цей процес виконується з використанням властивостей перетворен-
ня Лапласа та таблиці основних зображень.
Знаходження оригіналу за заданим зображенням
У багатьох випадках задане зображення можна перетворити до тако-
го вигляду, коли оригінал легко визначається безпосередньо з використан-
ням властивостей перетворення Лапласа та таблиці зображень. Наведемо
деякі прийоми знаходження оригіналу за заданим зображенням.
1.
Знаходження оригіналу /(/) за зображенням Р(р), що є правиль-
ніш раціональним дробом, тобто Р{р) = ^"'^^
?
де Р
Т
(р), (З
п
(р) - много-
члени степенів т га п відповідно, причому т<п .
Розкладаємо задане зображення на суму найпростіших дробів
А А Вр + С Вр + С
р-а'
(р-а)
к
р
2
+ар
+ $' (р
2
+ ар + \})
к
Для кожного з дробів знаходимо оригінал, користуючись властивос-
тями перетворення Лапласа. Далі, використовуючи лінійність перетворення
Лапласа, знаходимо шуканий оригінал /(І) .
2.
Знаходження оригіналу для зображення вигляду Р
І
(р)
•
Р
2
(р) •
Знаходимо оригінали
/,(/),
/
2
(0 Д
ля
зображень
Р
х
(р),
РІІР)>
т
°б-
то Р,(р) =
/,(/),
Г
2
(р) = /
2
«).
Далі обчислюємо згортку функцій /, (і),
/
2
(і):
і
/і(0*/
2
(0 =
//.(х)/
2
(/-т)А.
о
Далі використовуємо теорему множення:
РЛР)^(Р)
=
А(0*/
2
(0-
3.
Знаходження оригіналу для зображення вигляду Р(р) = Я(р)е~
рх
,
де К(р) - правильний раціональний дріб і т > 0 .
§
1.
Перетворення Лапласа
413
Знаходимо оригінал г{1) за його зображенням К(р).
Далі використовуємо теорему запізнювання, згідно з якою шуканий
оригінал /(/) визначається формулою
Ді) = ц((-х)г(і-х).
4.
Знаходження оригіналу /(і) за його зображенням Р(р) за допо-
могою другої теореми розкладання, яка читається так: якщо зображення
Р(р) є однозначною функцією і має лише скінченне число особливих точок
Р\,
р
2
,...,р
п
,
які містяться в скінченній частині площини, то
Я0=І>8[/Ч/>)
к =
\
Якщо Р(р) = ^
т
^^ , де
Р
т
(р),
<2„(Р)
—
многочлени степенів т та п,
0.„(Р)
причому т < п , то у випадку, коли всі особливі точки /?,,
р
2
р
п
функції
Р(р) прості полюси, маємо:
ГЄ5
[Р(р)е^\
Рк
] = ^1е^.
ЯпіРк)
Тоді
II. Контрольні питання та завдання
1.
Дайте означення функції-оригіналу.
2.
Що називається зображенням функції-оригіналу?
3.
Дайте означення перетворення Лапласа.
4.
Яка функція називається одиничною; що є її зображенням?
5.
Наведіть зображення функції е
ш
.
6. Сформулюйте властивість лінійності перетворення Лап-
ласа і, використовуючи її, знайдіть зображення функцій зіп /, сп /.
7. Сформулюйте теорему подібності і, використовуючи її,
знайдіть зображення функцій зіп а/, сЬйт, зіп а/, с\\"аІ.
8. Сформулюйте теорему запізнювання і, використовуючи
її, знайдіть зображення функцій зіп(со/ - ф
0
), сп (ео/ - ф
0
).
414
Глава 4. Операційне числення
9. Наведіть теорему зміщення та знайдіть зображення функ-
цій е~
ш
зіп(3/,
е-
а
'с\л$і.
10.
Сформулюйте теорему про диференціювання оригіна-
лу; про диференціювання зображення.
11.
Сформулюйте теорему про інтегрування оригіналу; про
інтегрування зображення.
12.
Дайте означення згортки функцій.
13.
Як читається теорема множення?
14.
Наведіть таблицю зображень основних функцій.
15.
Як знаходиться зображення за заданим оригіналом?
16.
Як знаходиться оригінал за його зображенням?
17.
Наведіть метод знаходження оригіналу, якщо зображен-
ням є правильний раціональний дріб.
18.
Яка теорема використовується для знаходження оригі-
налу для зображення вигляду
Р
х
(р)•
Р
2
(р) ?
19.
Яка теорема використовується для знаходження оригі-
налу для зображення вигляду Г(р) = К(р)е~
рх
, т > 0, К(р) -
правильний раціональний дріб?
20.
Як читається друга теорема розкладання і як вона засто-
совується для знаходження оригіналу /(/) для заданого зобра-
ження Р(р) ?
///. Приклади розв 'язання задач
У цьому пункті розглянуто 13 прикладів розв'язання за-
дач,
які за своєю тематикою розподілились так:
1.
Знаходження зображень функцій за їх оригіналами:
приклади 1-9.
2.
Знаходження оригіналів функцій за їх зображенням:
приклади 10-13.
Знаходження зображень функцій за їх оригіналами
Приклад 1. Довести, що задані функції є оригіналами та
знайти їх зображення.
§
1.
Перетворення Лапласа
415
^('Н ' ' б)/(/) =
л(Ое°".
[0,
/<0,
• Для заданих функцій умови 1) - 3), які накладаються на функції-
оригінали, виконані, що перевіряється безпосередньо. Зокрема, для першої
функції показник росту І
0
= 0 , бо функція обмежена; для другої функції -
5
0
=сх.
Для знаходження зображень цих функцій користуватимемось формулою
ПР)=
\№е-
р
'л.
а) л(0
:
1,
/>0,
0, /<0.
Знаходимо зображення Р(р).
Р(р) = \г\(і)е~
р
'сіі = е~
рІ
о Р
бо з рівності \е~
рІ
=
е
Ке<
-~
р,)
= е~'
Ке/
' випливає, що Ііт е~
р1
= 0 при
Ке р > 5 = 0
.
Отже, Г)(0 .——-, або 1 .=' —.
Р Р
б) ДО = ПСУ".
Знаходимо зображення Р(р).
Р(р)= \е
ш
е-
р,
сіі= \е
(а
~
р)
'сіІ =
„(а-р)і
а-р
1 1
а-р р-а
бо З РІВНОСТІ |
е
С-Р)'|
= е
-'(Кер-Кеа)
випливаЄ)Щ0 Ип1 е
«*-/»'
=
<) П
Р
И
Ке >
^
= а.
1
Отже, П.(0е -'-
р-а
-,або є
ш
.=
р-а
Приклад 2. Застосовуючи властивість лінійності, знайти
зображення заданих функцій.
а)/(г) =
зии;
б)/(0
=
сп/;
в)/(0
=
^(сгі/+
со§0
•
416
Глава 4. Операційне числення
• У п. а), б) представляємо кожну з заданих функцій у вигляді ліній-
ної комбінації експоненціальних функцій, зображення яких відомі.
У п. в) використовуємо зображення, отримані у п. а), б). Далі, викорис-
товуючи властивість лінійності, отримуємо шукане зображення.
а) Д/)
=
5Іп/.
1 , „ . 1 ( \ 1
зіп/
=—(«?" -е~") = —
2/
2/
\Р-і Р + і)
Отже, зіп / =' ——
р-
+1
б) ДО = спг.
сп/
= -(е' + е
ч
)=-
2 2
Отже, сН / ='
р
2
-\
в) Д0 = -(сКї + со80.
—(сп / + соз 0
.='—
2 2
^ з
Отже,
—
(сп / + соз 0 =' —г—.
2'
Приклад 3. Застосовуючи теорему подібності, знайти зо-
браження заданих функцій.
а) /(0 = 5Іпа/; б) /(Г) = сЬш;
в) /(/) = зіп а/ - зп Ш; г) /(/) = соз
ос/
+ сЬ
Ш
;
д
) /(/) = соз
2
а/; е) /(0 = с1і
2
а/.
• У цьому прикладі використовується теорема подібності, згідно з якою
(1)
а І а
за умови, що /(0.— Р(р) •
а) Д0 = 8Іпа/.
1
Врахуємо, що зіп / ==' — . Тоді за формулою (1) маємо
р~
+1
§1.
Перетворення Лапласа
417
ЗІП ОС/
= —
•
а
р
а
р"
+а
а
Отже,
зіпа/='
б)
Д/) = сЬш
а
р
2
+а
2
'
Врахуємо,
що сЬ/ =' —у-—.
Тоді
за
формулою
(1)
маємо
сЬ
ш
== — •
Р_
а
а
р-
->
2
р-
-а
а
2
'
Отже,
с\\Ш==—у
р~
- а
в
)
ДО =
зіп
аі
—
зЬ су
.
Скористаємось відомими зображеннями функцій зіпШ,зЬа/ (фор-
мули
3, 5
таблиці основних зображень)
та
властивістю лінійності.
ЗІПСУ-5ПОС/
=
Отже,
зіп ос/
-зЬа/ =' -
г
) Д 0
=
соз аі
+
сії
аі
а а
2а'
2
~> ~> 2
р+а
р-а
2а
3
4
4
р-а
4
4
р-а
Скористаємось відомими зображеннями функцій соза/,спа/ (фор-
мули
4, 6
таблиці основних зображень)
та
властивістю лінійності.
соза/
+ сЬш ='•
2/7'
р~
+ а
з
/7
2
-а
2
/-а
4
Отже,
соза/
+
спа/
д)
ДО =
соз
2
сх/.
_.
2/7
4
4
/?
-а
Скористаємось формулою зниження степеня
для
функції соз'ш
, а
далі використовуємо властивість лінійності
та
теорему подібності.
2
1 1
соз аі =
—
(1
+
соз2а/)
=
—
2
2
1+
Р
р р
2
+4а
2
>
р
г
+2ог
р(р
2
+4а
2
)
418
Глава 4. Операційне числення
2
.
р
2
+2а
2
Отже, С05 Ш
==
— .
р(р
г
+4а )
е) /(і) = с\л
2
аі .
Врахуємо, що сЬ Ш = сов іаі, і скористаємось результатом п.д).
ь2
2
. р
2
+2і
2
а
2
р
2
-2а
2
сЬ'си = С05
/ос/
= ——.:
г-^-
= —^ г-.
р(р
2
+4і
2
а
2
) р(р
2
-4а
2
)
2„._.
Р
2
~2а
2
.
Отже, сії аг =
р(р
2
-4а
2
)
Приклад
4. Знайти зображення заданих функцій.
а
)
/(0 = соз
си
соз р/; б) /(/) = зіп
ос/
соз (37;
в)
/(0 = сЬшсЬРг, г) /(0 =
созос/сЬрГ.
•
У цьому прикладі використовуються представлення добутку триго-
нометричних та гіперболічних функцій у вигляді суми вказаних функцій і
використовуються відомі зображення для тригонометричних та гіперболіч-
них функцій (формули 3-6 таблиці основних зображень).
а
) /(') = соз ос/соз Р/.
соха/ со$р? =
—
[соз(а+р)
і+соз(ос
-
Р)
/
]
= -
_р
/7
2
+(а-Р)
2
+р
2
+(а+р)
2
=
р(/г+а
2
+р
2
)
2 (р
2
+(а+Р)
2
)(р
2
+(а-Р)
2
) (р
2
+(а+р)
2
)(р
2
+(а-р)
2
)
-
.
р(р
2
+а
2
+р
2
)
Отже, соза/со5Р/=—-— - . ^
(/+(а + Р)
2
)(р
2
+(а-р)
2
)
б) Д/) =
5ІПОС/С05р/.
о
І Г • , ОЧ • , П,
П
. 1| а+р а-р
зіпа/со5Р/
=
—[5іп(а
+ р)/ + 5іп(а-р)/]==
1 г
-
2 ' 2(у+(а+р)
2
р
2
+(а-р)
2
1 р
2
(а + р) + (а + р)(а-Р)
2
+р
2
(а-р) + (а-р)(а + р)
2
=
2 (/>
2
+(а + Р)
2
)(/>
2
+(а-Р)
2
)
1 р
2
•2а + (а +
Р)(а-Р)-2а
_1 2о.(р
2
+а
2
~р
2
)
2 (р
2
+(а + р)
2
)(^
2
+(а-р)
2
) 2 (р
2
+
(
а +
р)
2
)(
у
+(а
-р)2)
а(/+а
2
-р
2
)
(/7
2
+(а+Р)
2
)(р
2
+(а-Р)
2
)'
§ 1.
Перетворення Лапласа
419
о
а(/?
2
+а
2
-р
2
)
Отже,
зіпа/созрг
—
0?
2
+(а+р)
2
)(/>
2
+(а-р)
2
)
в)
/(/)
= сЬшсЬР/.
сЬ
а/сЬ р
/
= соз /а
/
соз /р
/
=
^-
[соз /'(а + р)/ + соз /'(а
-
Р)
/
]
='
1[
Р , Р 1
р(
Р
2
-(а-р)
2
+р
2
-(а+Р)
2
)
2[/-(а+р)
2
/-(а-р)
2
] 2(р
2
-(а+р)
2
)(р
2
-(а-Р)
2
)
р(р
2
-а
2
-р
2
)
(/-(а+р)
2
)(/р
2
-(а-р)
2
)'
р(р
2
-а
2
-р
2
)
Отже,
сЬа/сЬр/
=— . .
(р
2
-(а+р)
2
)(р
2
-(а-Р)
2
)
г)
ЛО =
С05
0(/СЬР/.
соз а / сЬ
Р
/
=
соз
а / соз /р
і =
^
[соз
(а +
/Р)
/
+
соз
(а -
/р) /
]
==
'
- -
л
р
/?
2
+(а-/р)
2
+/;
2
+(а+/Р)
2
2
іУ+(а+/р)
2
Р
2
+(а-/р)
2
]
2
(
р
2
+(а+/р)
2
)(р
2
+(а-/р)
2
)
р(р
2
+а
2
-$
2
)
_
рір'+а
2
-^)
(р
2
+а
2
-р
2
+2/аР)(р
2
+а
2
-р
2
-2/ар)
(р
2
+а
2
~р
2
)
+
4а
2
р
2
'
р(р
2
+а
2
-р
2
)
Отже,
соза/сЬР/='
2о2
0?
2
+оґ-р
2
)
+
4сср
Приклад 5. Застосовуючи теорему зміщення, знайти зобра-
ження заданих функцій.
а) ДО = е~
а
' зіп р/; б) /(0 =
е
_а
'сН
р/.
•
У
цьому прикладі застосовується теорема зміщення, згідно
з
якою
е-
а
'/(і)
= Р(р
+
а),
за
умови,
що /(0.— Р(р)
•
а)
Л0 =
е-°'зіпр/.
1
р
2
+Р
Р
Врахуємо,
що
зіпр/ ='—^-—-
.
Тоді
(р
+
а)
2
+р
2
420
Глава 4, Операційне числення
б) /(/) = <Г
а
'спр7
Врахуємо, що сЬ(3(* —'
-
•
Тоді
е
-
а
'спр7 =
р + а
(я
+
а)
2
-р
2
Приклад 6. Знайти зображення заданих функцій,
а) /(/) = е'
4
' зіп
3/соз
2/; б) /(/) = зЬ / соз 2/зіп 3/;
в) /(/) = сЬ Зі зіп
2
І.
• У цьому прикладі кожна з функцій оригіналів перетворюється до
такого вигляду, щоб можна було застосувати формули 7-10 таблиці основ-
них зображень.
а) /(/) = е~
4
' зіпЗ/соз2/.
Є
-4
'
5ІпЗ/СОз2/
=
—
е~
4
'(зіп 5/ +зіп/) =
—
е'
4
' зіп 5/+
—
е'
4
' зіп / ='
2 2 2
15 11
+ -
2(р + 4)
2
+25 2 (р + 4)
2
+ґ
б) /(/) = зп/соз2/зіпЗ/.
1 |
е
' - е
ч
зп/соз 2/зіп З/ =— зп/(зіп 5/ + зіп/) = (зіп 5/ +зіп/) =
2 2 2
1 , .
е
1 , . 1 -, •
е
1 _, . .1
= — е
зіп5/
+
—
е зіп/—е зіп5/—е зіп/ = —
4 (р-\у + 25
1 1
4(р-1)
2
+1 4(р + |)
2
+25 4 (р + і)
2
+і
в) /(/) = сКЗ/зіп
2
/.
спЗ/зіп
2
1
е
3/
+е
3
'
1-соз2/
1, і, _
3/
і, „ _
3
,
= -(е
м
+е -е
м
со&2і-е соз2/)
1
2
р-3
р + 3
р-3
р + 3 (р-3)
2
+4 (р + 3)
2
+4
)
Приклад 7. Використовуючи теорему диференціювання
зображення, знайти зображення заданих функцій.
а) /(0 ='зЬ аг; б) /(/) = /зп а/; в) /(/) = /зіп а/зЬ а/,