ПРЕДИСЛОВИЕ
В нашей учебной литературе нет специальных книг, посвященных элементарному решению задач на отыскание наибольших и наименьших значений переменной величины (если не считать книжек Беляева, изданных в 1876-1882 гг. ).
Цель настоящего сборника — восполнить этот пробел и дать учителю, любознательному ученику старших классов, учащемуся техникума интересный материал для упражнений и приложений изученных теорем.
Не все учащиеся средних школ будут заниматься в будущем анализом бесконечно малых и знакомиться с решением задач на максимум и минимум с применением производной.
Элементарное решение, правда, трудно (подчас искусственно), но даёт учащемуся большое удовлетворение, развивает сообразительность, способствует развитию функционального мышления, обогащает его знанием ряда математических фактов.
Я отнюдь не задавался целью подменить методы анализа искусственными способами решения задач и считаю нужным указать учащимся, что существует много интересных задач, которые элементарным путём трудно решаются (или совсем не могут быть решены). Задачи, приведённые в сборнике, как правило, решаются элементарно проще, чем с помощью применения производной.
Несколько слов о содержании задачника. Он состоит из двух частей, в которых собрано 350 задач с решениями и 85 задач без решений.
Первая часть содержит две главы, в которых задачи классифицированы, по возможности, по способу решений: задачи, решаемые непосредственно (гл. I) и при помощи некоторых теорем (гл. II). В гл. II приводятся пять основных теорем, которые в дальнейшем применяются для решения большого числа задач по планиметрии, стереометрии, алгебре, связанных с отысканием наибольших и наименьших значений.
Вторая часть состоит из восьми глав, каждая из которых может служить специальной темой для работы математического кружка. Каждая тема может дать материал для нескольких небольших докладов. В гл. III дано 14 задач геометрии треугольника на отыскание наибольших и наименьших величин, связанных с теоремой Чевы.
В гл. IV приведены различные способы решения задачи о треугольнике наименьшего периметра, вписанном в остроугольный треугольник. Здесь приводятся некоторые свойства ортоцентрического треугольника, свойства антипараллелей.
В гл. V даются различные способы построения точки Торичелли.
Ряд приведённых в этой главе задач связан с теоремой современного румынского математика Помпейю. Большинство доказательств этой теоремы дано мной.
В гл. VI рассматривается построение в плоскости треугольника АВС точки Р, для которой l*РА+m*РВ+n*РС имеет наименьшее значение при положительных l,m,n. В связи с этой задачей указываются некоторые свойства замечательных точек треугольника, подробно рассматриваются точки Брокара.
В гл. VІІ рассматривается формула Герона в связи с решением задач на отыскание наименьших значений. Дана геометрическая интерпретация теоремы Герона, которую мне не приходилось встречать.
В гл. VIII различными способами доказывается, что из всех четырёхугольников с данными сторонами наибольшую площадь имеет четырёхугольник, вписанный в круг.
В гл. IX на основании теоремы Лейбница о сумме квадратов расстояний от произвольной точки до точек системы определяются расстояния между замечательными точками треугольника.
В гл. X приведена теорема Карно и её обобщение. Здесь рассматриваются задачи о геометрическом месте точек, сумма расстояний которых до сторон треугольника постоянна. В этой главе рассматривается монотонная функция с целью показать учащимся, что не всякая функция имеет максимум или минимум.
В сборник не вошли вариационные задачи, потому что трудно дать исчерпывающее их решение, доступное большинству читателей, на которых рассчитана книга. Любознательный читатель сможет при желании ознакомиться с решением таких задач по книге Д. А. Крыжановского «Изопериметрические задачи».
Часть задач заимствована мной из русских и иностранных задачников по элементарной и высшей математике. Многие задачи являются совершенно оригинальными, особенно во второй части.
Считаю своим приятным долгом выразить благодарность членам математического кружка при Московском Городском педагогическом институте им. В. П. Потёмкина, особенно проф. М. К. Гребенче, проф. Н. Ф. Четверухину, проф. И. М. Воронкову и доценту А. Г. Школьнику, давшим ряд ценных замечаний по моим докладам, связанным с содержанием книги; я признателен проф. А. И. Маркушевичу за внимательное отношение к книге. Выражаю благодарность ассистенту кафедры математики Московского института инженеров связи JI. И. Лошинскому, просмотревшему рукопись и сделавшему нужные исправления. С чувством глубокой признательности вспоминаю покойного проф. Н. А. Глаголева, который дал мне много ценных указаний по плану составления этой книги.
С. Зетель 17 декабря 1946 г.
В нашей учебной литературе нет специальных книг, посвященных элементарному решению задач на отыскание наибольших и наименьших значений переменной величины (если не считать книжек Беляева, изданных в 1876-1882 гг. ).
Цель настоящего сборника — восполнить этот пробел и дать учителю, любознательному ученику старших классов, учащемуся техникума интересный материал для упражнений и приложений изученных теорем.
Не все учащиеся средних школ будут заниматься в будущем анализом бесконечно малых и знакомиться с решением задач на максимум и минимум с применением производной.
Элементарное решение, правда, трудно (подчас искусственно), но даёт учащемуся большое удовлетворение, развивает сообразительность, способствует развитию функционального мышления, обогащает его знанием ряда математических фактов.
Я отнюдь не задавался целью подменить методы анализа искусственными способами решения задач и считаю нужным указать учащимся, что существует много интересных задач, которые элементарным путём трудно решаются (или совсем не могут быть решены). Задачи, приведённые в сборнике, как правило, решаются элементарно проще, чем с помощью применения производной.
Несколько слов о содержании задачника. Он состоит из двух частей, в которых собрано 350 задач с решениями и 85 задач без решений.
Первая часть содержит две главы, в которых задачи классифицированы, по возможности, по способу решений: задачи, решаемые непосредственно (гл. I) и при помощи некоторых теорем (гл. II). В гл. II приводятся пять основных теорем, которые в дальнейшем применяются для решения большого числа задач по планиметрии, стереометрии, алгебре, связанных с отысканием наибольших и наименьших значений.
Вторая часть состоит из восьми глав, каждая из которых может служить специальной темой для работы математического кружка. Каждая тема может дать материал для нескольких небольших докладов. В гл. III дано 14 задач геометрии треугольника на отыскание наибольших и наименьших величин, связанных с теоремой Чевы.
В гл. IV приведены различные способы решения задачи о треугольнике наименьшего периметра, вписанном в остроугольный треугольник. Здесь приводятся некоторые свойства ортоцентрического треугольника, свойства антипараллелей.
В гл. V даются различные способы построения точки Торичелли.
Ряд приведённых в этой главе задач связан с теоремой современного румынского математика Помпейю. Большинство доказательств этой теоремы дано мной.
В гл. VI рассматривается построение в плоскости треугольника АВС точки Р, для которой l*РА+m*РВ+n*РС имеет наименьшее значение при положительных l,m,n. В связи с этой задачей указываются некоторые свойства замечательных точек треугольника, подробно рассматриваются точки Брокара.
В гл. VІІ рассматривается формула Герона в связи с решением задач на отыскание наименьших значений. Дана геометрическая интерпретация теоремы Герона, которую мне не приходилось встречать.
В гл. VIII различными способами доказывается, что из всех четырёхугольников с данными сторонами наибольшую площадь имеет четырёхугольник, вписанный в круг.
В гл. IX на основании теоремы Лейбница о сумме квадратов расстояний от произвольной точки до точек системы определяются расстояния между замечательными точками треугольника.
В гл. X приведена теорема Карно и её обобщение. Здесь рассматриваются задачи о геометрическом месте точек, сумма расстояний которых до сторон треугольника постоянна. В этой главе рассматривается монотонная функция с целью показать учащимся, что не всякая функция имеет максимум или минимум.
В сборник не вошли вариационные задачи, потому что трудно дать исчерпывающее их решение, доступное большинству читателей, на которых рассчитана книга. Любознательный читатель сможет при желании ознакомиться с решением таких задач по книге Д. А. Крыжановского «Изопериметрические задачи».
Часть задач заимствована мной из русских и иностранных задачников по элементарной и высшей математике. Многие задачи являются совершенно оригинальными, особенно во второй части.
Считаю своим приятным долгом выразить благодарность членам математического кружка при Московском Городском педагогическом институте им. В. П. Потёмкина, особенно проф. М. К. Гребенче, проф. Н. Ф. Четверухину, проф. И. М. Воронкову и доценту А. Г. Школьнику, давшим ряд ценных замечаний по моим докладам, связанным с содержанием книги; я признателен проф. А. И. Маркушевичу за внимательное отношение к книге. Выражаю благодарность ассистенту кафедры математики Московского института инженеров связи JI. И. Лошинскому, просмотревшему рукопись и сделавшему нужные исправления. С чувством глубокой признательности вспоминаю покойного проф. Н. А. Глаголева, который дал мне много ценных указаний по плану составления этой книги.
С. Зетель 17 декабря 1946 г.