Гиляровская Л.Т. Экономический анализ

Подождите немного. Документ загружается.

При изучении стохастических взаимосвязей аналитика долж-

ны интересовать не только наличие и количественная оценка со-

отношений, но форма связи результативного и факторного при-

знаков, ее аналитическое выражение. Решить эти проблемы по-

могает корреляционный и регрессионный анализ.

Корреляционный

анализ ставит задачу измерить тесноту связи

между варьирующими переменными и оценить факторы, оказы-

вающие наибольшее влияние на результативный признак.

Регрессионный

анализ предназначен для выбора формы связи,

типа модели, для определения расчетных значений зависимой пе-

ременной (результативного признака).

Методы корреляционного и регрессионного анализа исполь-

зуются в комплексе. Наиболее разработанной в теории и широ-

ко применяемой на практике является парная корреляция, когда

исследуются соотношения результативного признака и одного

факторного признака. Это — однофакторный корреляционный и

регрессионный анализ. Именно такой анализ является основой

для изучения многофакторных стохастических связей.

Сосредоточим внимание на методике однофакторного кор-

реляционного и регрессионного анализа.

Для анализа близости соотношения двух переменных может

использоваться достаточно объективный показатель, каким яв-

ляется линейный коэффициент корреляции (/•). Он измеряет

степень линейной зависимости между двумя переменными, одна

из которых — результативный показатель (у), а другая — фак-

торный (х). Величина коэффициента корреляции находится в

пределах от

—1

до +1. Наличие определенной зависимости меж-

ду двумя переменными характеризуется значениями г, близкими

к +1 или

—

Алгоритм расчета этого коэффициента следующий:

J^xy-nxy

где х — средняя арифметическая факторного показателя;

у — средняя арифметическая результативного показателя;

и — число данных в выборке.

Рассмотрим зависимость между выручкой от продаж и рас-

ходами на рекламу (без учета инфляции) и оценим характер со-

отношения между обеими переменными с помощью коэффици-

ента корреляции. Результативным показателем является выручка

от продаж (у), а факторным — затраты на рекламу (х). Исходная

информация с января по июль:

Показатель

Выручка

от

про-

даж,

млн руб.

Затраты

на

рек-

ламу,

тыс.

руб.

Месяц

В табл. 4.1 определим необходимые для дальнейших расчетов

параметры производных величин.

Таблица 4.1

Производные величины

для

определения коэффициента корреляции

Показатель

Первый

Второй

Третий

Четвертый

Пятый

Шестой

Седьмой

Итого:

308

508

1600

1764

1444

2116

1936

2304

2500

13 664

4900

5184

4624

4225

6400

5625

6084

37 042

ху

2800

3024

2584

2990

3520

3600

3900

22 418

Кроме того, надо знать среднемесячные величины выручки

от продаж и затрат на рекламу в анализируемом периоде, а так-

же квадраты этих величин х = 308 : 7 = 44; у = 508 : 7 = 72,57;

-2

1936;

у = 5266,4. Теперь есть все необходимые данные

для расчета коэффициента корреляции:

22 418-7x44x72,57

66,44

-2

^2 -

"| J(l3664-7xl936)x

(37

042-7x5266,4)

2^У

66,44

= 0,4716.

719 846,4 140,88

Полученное значение коэффициента корреляции достаточно

трудно истолковать, поскольку оно является промежуточным

между единицей и нулем, т.е. между высокой корреляцией и ее

отсутствием. Значимость коэффициента корреляции во многом

зависит от объема выборки. При выборке 50 пар значений ко-

эффициент корреляции, равный 0,35, будет иметь большую зна-

чимость, чем 0,63 при выборке 10 пар.

Для того чтобы коэффициент корреляции был более доказа-

тельным, необходимы дополнительные исследования выборки за

более продолжительный период.

Альтернативным показателем степени зависимости между дву-

мя переменными является

коэффициент

детерминации,

представ-

ляющий собой возведенный в квадрат коэффициент корреляции

(г

). Коэффициент детерминации выражается в процентах и от-

ражает величину изменения результативного показателя (у) за

счет изменения другой переменной

—

факторного показателя (х).

По результатам нашего примера, приведенного выше, коэф-

фициент детерминации составил: г - 0,4716

= 0,2224 = 22,24%.

Это означает, что более 22% изменений в выручке от продаж

связаны с изменениями в расходах на рекламу.

Надо отметить, что в зарубежной практике уже 20%-ный уро-

вень зависимости выручки от продаж от расходов на рекламу яв-

ляется сигналом для продолжения рекламирования.

В практических расчетах могут встречаться ситуации, когда

переменные не могут быть измерены точно или достаточно дос-

товерно. В подобном случае целесообразно соотношения между

двумя переменными измерить с помощью коэффициента ранго-

вой корреляции:

п(п

-1)

где d

—

разница между парами рангов.

Используем этот алгоритм для расчета указанного коэффи-

циента корреляции на основе исходной информации о соотно-

шении изменений выручки от продаж и затрат на рекламу с ян-

варя по июль, приведенной выше. В табл. 4.2 сопоставлены ре-

зультаты ранжирования.

Таблица 4.2

Производные величины

для

определения

коэффициента корреляции ранжирования

сР

-1

-3

Е<*

=30;

=0,4643

=0,2156x100

21,56 %.

Из примера видно, что ранее рассчитанный коэффициент

корреляции (0,4716) и коэффициент корреляции ранжирования

(0,4643), исчисленный на основе тех же исходных данных,

очень близки по своему значению. Однако возможны случаи,

когда корреляция между рангами двух наборов данных не будет

сопровождаться корреляцией между фактическими значениями

этих наборов. В таком случае целесообразно увеличить выбор-

ку, получить дополнительную информацию и более убедитель-

ные результаты расчетов.

Для определения зависимости между двумя или более пере-

менными используются методы регрессии, когда зависимость

между результативной переменной (у) и факторной переменной

(х) может быть представлена в математическом виде, например

для линейной зависимости таким алгоритмом:

а+Ьх.

Это уравнение линии регрессии — прямолинейное уравне-

ние,

отражающее взаимосвязь у и х, позволяющее исчислить

ожидаемое значение у при заданном значении х. В необходимых

случаях такие расчеты могут быть использованы при прогнози-

ровании.

В приведенном уравнении прямой а и Ь являются парамет-

рами регрессии, которые надо определить. Коэффициент а вы-

ступает как константа — постоянная величина результативного

показателя, не зависящая от изменения фактора. Параметр

от-

ражает среднее изменение результативного показателя вслед за

изменением величины фактора.

Для определения параметров регрессии (а и в) используют

систему уравнений, полученных по способу наименьших квад-

ратов:

J£>> = wa =

b£*;

lX>

a£x+fc£x

Напомним, что под п имеется в виду количество наблюдений.

Рассчитаем параметры регрессии, используя приведенную

выше информацию (табл. 4.1) о зависимости выручки от продаж

от затрат на рекламу.

Подставим конкретные производные величины из табл. 4.1 в

систему уравнений:

508

= 7а+

308*,

22 418 =

308а+13664*.

Умножим все члены первого уравнения на среднюю величи-

ну х, которая в нашем случае равна 44:

44 х 508 = 44 х

Та

+ 44 х

308*.

Тогда система уравнений примет вид:

22 352 = 308а+ 13

552*,

22 418 = 308а+ 13

664*

Если из второго уравнения вычесть первое, то получим:

66 = 112*; * = 66: 112 + 0,5893.

Параметр а рассчитывается на основе первого уравнения в

их системе по алгоритму:

Vy-ьТх

а = -= •**—;

508-0,5893x308

,,.

а = = 46,64

Подставив полученные значения параметров а и Ь, можно

составить уравнение связи, описывающее зависимость выручки

от продаж от затрат на рекламу в нашем примере:

у = а +

Ъх

= 46,64 + 0,5893*.

Полученное уравнение связи можно использовать для про-

гнозирования суммы продаж, если затраты на рекламу, напри-

мер,

изменятся и составят 65 тыс. руб.

у = 46,64 + 0,5893* = 46,64 + 0,5893x65 тыс. руб. = 85 тыс. руб.

Зависимость между изучаемыми явлениями может быть не

только прямолинейной. При увеличении одного показателя зна-

чения другого могут снижаться после определенного роста и

уровня. Именно такая зависимость существует, например, меж-

ду производительностью труда и возрастом работников, себе-

стоимостью продукции и объемом производства. В этих случаях

речь должна идти о криволинейной зависимости между резуль-

тативными и факторными переменными.

Для математического отражения криволинейной зависимо-

сти используется уравнение гиперболы:

у-а+—.

Параметры а и Ь определяются с помощью такой системы

уравнений:

Существуют разные типы математических уравнений для оп-

ределения характера и степени зависимости между изучаемыми

переменными: гиперболы, параболы второго, третьего и четвер-

того порядков, квадратические, степенные функции и др. Ана-

литик должен выбрать математическое уравнение, адекватное

характеру соотношения между переменными, соответствующее

целям экономического анализа, необходимой степени его дета-

лизации, техническим возможностям проведения.

Качество корреляционно-регрессионного анализа обеспечи-

вается выполнением ряда условий, среди которых — однород-

ность исследуемой информации, значимость коэффициента

корреляции, надежность уравнения связи (регрессии).

Однородность информации оценивается в зависимости от

относительного ее распределения около среднего уровня. Кри-

териями служат среднеквадратическое отклонение и коэффици-

ент вариации, определяемые по каждому факторному и резуль-

тативному показателю.

Среднеквадратическое отклонение (о) характеризует абсо-

лютное отклонение индивидуальных значений от средней ариф-

метической и рассчитывается по алгоритму

Относительную меру отклонений от средней арифметиче-

ской, или коэффициент вариации (V), определяют по формуле

к=-£.

Незначительной признается вариация, не превышающая

10%.

Нетипичные наблюдения надо исключить из расчетов, ес-

ли коэффициент вариации превышает 33%.

Значимость коэффициента корреляции может быть оценена

с помощью /-критерия Стьюдента. Алгоритм расчета этого кри-

терия при линейной однофакторной связи такой:

/и-2

Если полученное эмпирическое значение критерия (/

) будет

больше критического табличного значения (t

> tj), то коэффи-

циент корреляции можно признать значимым.

Значимость коэффициентов простой линейной регрессии (а

и Ь) также может быть установлена с помощью /-критерия

Стьюдента. Кроме того, адекватность однофакторной регрес-

сионной модели можно оценить с помощью ^-критерия Фи-

шера, алгоритм которого выглядит таким образом:

число параметров в уравнении регрессии;

объем выборки, количество наблюдений;

дисперсия по линии регрессии;

остаточная дисперсия.

Если эмпирическое, расчетное значение f-критерия окажет-

ся выше табличного (F

> F

), то уравнение регрессии надо при-

знать адекватным, надежным, правомерным для использования

в практических целях, поскольку чем выше величина критерия

Фишера, тем точнее в уравнении связи представлена зависи-

мость, сложившаяся между факторными и результативными по-

казателями.

Деловые решения нередко связаны с необходимостью четко

определить проблемную и наиболее эффективную в перспективе

зону для направления усилий в конкретную область бизнеса. Для

этого важно знать сравнительную силу влияния отдельных фак-

торов, например, при использовании многофакторных регресси-

онных моделей, чтобы сделать правильный вывод о роли воздей-

ствия того или иного факторного признания на результативный.

В таких случаях аналитикам может помочь использование коэф-

фициентов эластичности и бэтта-коэффициентов.

""Частные коэффициенты эластичности (Э

(

) показывают, ка-

кого роста результативного признака в процентах можно ожи-

дать с возрастанием факторного признака на один процент. Ал-

горитм расчета:

где т

о?

У1

Надо иметь в виду, что коэффициенты регрессии не отражают

того,

какой из факторов сильнее влияет на результативный при-

знак, поскольку коэффициенты измерены в разных единицах, не

учтена вариация факторных признаков, т.е. они несопоставимы.

Сопоставимыми переменные в уравнении регрессии будут в

том случае, если их выразить в долях среднеквадратического от-

клонения (ст), т.е. рассчитать стандартизированные бетта-коэф-

фициенты (Р/):

Р,

*^*,

о/

где a

—

среднеквадратическое отклонение /-го фактора;

а,

—

среднеквадратическое отклонение результативного показателя.

Чем выше бетта-коэффициент, тем сильнее воздействие анали-

зируемого фактора на результативный признак, так как р-коэф-

фициент отражает, на какую часть своего среднеквадратического

отклонения изменится результативный показатель с изменением

факторного признака на величину одного его квадратического

отклонения.

Аналитикам в необходимых случаях для выполнения ква-

лифицированного корреляционного и регрессионного анализа

целесообразно обратиться к специальной литературе по тео-

рии статистики.

4.2.

Базовые способы и модели

прогнозирования деловой активности

Получение надежных оценок будущих показателей, например,

спроса на товары, стоимости материалов или готовой продукции,

величины затрат

—

важный этап в процессе принятия текущих и

долгосрочных управленческих решений. Выше были рассмотрены

методы прогнозирования с помощью приемов регрессии при изу-

чении причинно-следственных связей между показателями. Ме-

тод регрессии применяется также при прогнозировании времен-

ных рядов, исходя из прошлых, исторических данных.

Анализируя значения временного ряда,

надо иметь в виду

его составляющие: тренд, циклические, сезонные и случайные

колебания. Если

тренд —

это общая направленность изменений

каких-либо значений, то колебания относительно линии тренда

для периода свыше одного года представляют собой

циклические

колебания,

как правило, соответствующие циклам деловой ак-

тивности,

—

спаду, оживлению, росту, застою.

После анализа тренда и циклических колебаний следует вы-

членить из временного ряда сезонные колебания внутри года.

Объем продаж и сумма выручки в зимние месяцы могут быть

выше, чем в летние. Неравномерная в течение года динамика

относится и к другим показателям деловой активности, напри-

мер к ценам на отдельные виды товаров, транспортным издерж-

кам, к расходам по сбыту и т.д.

Случайные колебания из названных выше составляющих вре-

менного ряда нельзя заранее предусмотреть. Это поставка мате-

риалов низкого качества, поломка оборудования, какие-либо

чрезвычайные обстоятельства в хозяйственной деятельности. Та-

кие колебания представляют собой беспорядочные отклонения,

которые важно учитывать при оценке вероятной точности ис-

пользуемой модели прогнозирования.

Для выделения тренда используют разные приемы сглажива-

ния, в том числе скользящих средних и экспоненциальное. Сколь-

зящие средние

могут рассчитываться по трем, пяти, семи значениям

временного ряда или по четным значениям. От количества точек

при вычленении скользящих средних зависит степень сглажива-

ния, снятие колебаний по отношению к линии тренда. Использо-

вание малого количества значений облегчает расчеты, однако сни-

жает возможность получения объективного тренда.

Рассмотрим порядок расчета трехточечных скользящих сред-

них на примере изучения динамики выручки от продаж в течение

девяти лет, с 1992 по 1999 г. включительно (табл. 4.3). Для опре-

деления средней последовательно находят сумму трех значений и

делят ее на три. Значение скользящей средней ставится в таблице

по центру диапазона взятых значений. Для 1992 г. скользящая

средняя рассчитана так: (280 + 220 + 210) : 3 = 236,67, для

1993 г. - (220 + 210 + 260) : 3 = 230,0 и т.д.

Для устранения колебаний в ряде значений можно исполь-

зовать

экспоненциальное

сглаживание.

Расчет сглаженных значе-

ний в этом случае производится по алгоритму

= aX

- «)>S/-i

•>

где S,

—

текущее сглаженное значение;

—

предыдущее сглаженное значение;

—

текущее значение временного ряда;

—

сглаживающая константа.

Таблица 4.3

Выделение тренда несколькими

методами,

млн

руб.

Год

,1991

1992

1993

1994

1995

1996

1997

1998

1999

Выручка

от продаж

280 Л

220

210

260

290 * |

220 Г ,

270

310

295

Трехточечные

скользящие

средние

—

236,67

230,00

253,33

256,67

260,00

266,67

291,67

—

Экспоненциальное

сглаженное значение,

(а = 0,3)

280,00

262,00

246,40

250,48

262,34

249,64

255,75

272,02

278,91

Сглаживающая константа выступает в качестве весов. Чаще

всего используется ее значение в пределах от 0,1 до 0,3. Для

конкретных случаев приходится подбирать приемлемое значение

сглаживающей константы, имея в виду, что чем меньше значе-

ние,

тем менее оно чувствительно к изменениям тренда в дан-

ном временном ряду. Малое значение константы приводит к

большему сглаживанию, а большее ее значение более точно от-

ражает изменения тренда.

Продолжим приведенный выше пример и рассчитаем экспо-

ненциальные сглаженные значения (см. гр. 4 в табл. 4.3). Сгла-

женное значение 1991 г. совпадает с фактическим значением, по-

скольку предыдущие данные отсутствуют. Для 1992

г.)

расчет бу-

дет таким при а = 0,3:

0,ЗХ,

+ (1 - 0,3) 5

= 0,3x220 + 0,7x280 = 262,0.

Для 1993 г.:

= 0,3x210+0,7x262,0 = 246,4 и т.д.

Продолжим пример и определим прогнозные экспоненциаль-

но сглаженные значения временного ряда для 2000 и 2001 гг.,

используя метод регрессии. Расчет параметров регрессии а и Ъ

производится на основе системы уравнений, полученных спосо-

бом наименьших квадратов:

rZy=

na+b