Котельников И.А., Ступаков Г.В. Лекции по физике плазмы
Подождите немного. Документ загружается.
Вследствие азимутальной симметрии задачи достаточно рассмотреть
толь ко z-компоненту этого векторног о соотнош ения:
δfv
z
d
3
v=0,
или
Φ(v)v cos
2
ϑd
3
v =0.
При усреднении по телесному у глу hcos
2
ϑi =1/3,так что последнее
условие сводится к
Φ(v)vd
3
v =0. (13.8)
Подставляя сюда функцию (13.7), мы с можем легко выч ислить вели-
чину возникающего в плазме электрического поля. Воспользовавшись
стандартны ми интегр алами
16.10.98
f
м
v
5
d
3
v =48
r
2
π
T
e
m
5/2
, f
м
v
7
d
3
v= 384
r
2
π
T
e
m
7/2
,
из ур авнения (13.8)получаем
1
2
∂T
e
∂z
(384−3·48) = 48eE
или
eE =
5
2
∂T
e
∂z
(13.9)
Мы предполагали, что пла зма находится в равно весии, и в итоге
нашли поле E, которое требуется для того, чтобы это условие выпол-
нялось. Как мы сейч ас по ка жем, из соот ношения (13.9) с ледует , что со
стороны ионов на электроны действует некоторая сила R
Te
. Действи-
тельно, за пишем с умму сил, действу ющих на электро ны:
−
∂p
e
∂z
+neE + R
Te
=0.
Подставляя сюда величину электрического поля из (13.9) и соотноше-
ние ∂p
e
/∂z = n ∂T
e
/∂z,находим,что
R
Te
= −
3
2
n
∂T
e
∂z
.
90
Эта сила действует на электроны со стороны ионов и носит название
термосилы, пос кольку она о буслов лена гра диентом электронно й тем-
пературы. В векторных обозначениях вы ражение для термосилы име-
ет вид
R
Te
= −
3
2
n ∇T
e
. (13.10)
Про исхождение термосилы с вязано с нетривиально й зависимо стью
частоты столкновений электронов с ионами от скорости сталкиваю-
щихся час тиц. В результате оказыва ется, ч то электроны , пр иходящие
в некоторую точку плазмы из более нагретой о блас ти, испытывают
меньше е то рможение об ио ны, чем электроны, пр иходящие из о бла сти
с меньшей электронной температурой. В результате возникает резуль-
тирующая сила тре ния, на правленная пр отив градиента температуры.
Удивительно то, что термосила не зависит о т час тоты столкновений.
Однако этот па радоксальный р езультат можно легко объяснить (с м.
задачу 13.3). В силу закона сохранения импульса противоположная
по направлению сила действует на ионы со стороны электронов.
I
Задача 13.1
Записать уравнение движения ионной «жидкости» с учётом термосилы.
Можно ли считать , что ионы действ ительно покоятся?
Полная сила R, действующая на электроны со стороны ионов, скла-
дывается из термо силы (13.10) и силы трения ( см. задачу 13.5), про-
порциональной разности средних скоростей ионов и электронов:
R = R
T
+R
u
. (13.11)
Кроме термосилы с помощью δf мы можем на йти электронны й по -
ток тепла:
q =
m(v −u)
2
2
(v−u) fd
3
v. (13.12)
В нашей задаче этот поток направлен вдоль оси z и о бусловлен только
попра вкой δf ,
q
z
=
mv
2
2
v cosϑδfd
3
v.
При его вычислении после подстановки δf нам потребуется ещё один
стандартный интеграл
16.10.98
91
f
м
v
9
d
3
v = 3840
r
2
π
T
e
m
9/2
.
В результате получим
q
z
= −32
r
2
π
n
A
T
e
m
5/2
∂T
e
∂z
. (13.13)
Коэф фициент пр опорцио нальност и между потоком тепла q
z
иградиен-
том электро нной температуры ∂T
e
/∂z ( взятый со з наком «мину с») на -
зывается коэффициентом электронной теплопроводности иобозна-
чается через κ,
κ=
128
3π
n
e
T
e
τ
e
m
e
,
где время τ
e
определено в (16.13).
В векторной записи
q
T
= −κ∇T. (13.14)
Зд есь индекс T подчеркивает, что вычисленный поток тепла связан
с гр адиентом температуры. Пе ренос тепла приводит к увеличению
энтро пии и д олжен бы ть у чтен в ур авнении пе редачи тепла (10.13)
прибавле нием до полнительного ч лена, так как при выводе ур авнения
(10.13) мы пре небрегали про цессами пер еноса. Хот я это нес ложно
сделать (см. задачу 13.8), на практике часто используют более про-
стое уравнение, которое мы сейчас получим.
Рассмотрим маленький объемчик плазмы ∆V . Очевидно, что вну-
тренняя энерг ия плазмы, з аключенно й в нем, ра вна
∆V
3
2
nT dV .По-
скольку в рассматриваемом нами случае плазма покоится, а ток от-
сутству ет, то единственным каналом изменения этой энергии служит
теплопер енос чер ез границу объемчика, обусло вленный гра диентом
темпера тур ы. Поэтому изменение э нергии пла змы в выделенном о бъ-
емчике за единицу времени р авно потоку тепла чер ез гра ницу объема:
d
dt
∆V
3
2
nT dV = −
q dS.
Знак минус здесь связан с тем, что вектор dS направлен по внеш ней
нормали к границе о бъ емч ика , та к ч то положительное значе ние по то-
ка тепла
qd S соответствует у были вну тренней э нергии пла змы . По-
скольку объемчик покоится, производную d/dt можно внести под знак
92
интеграла ( не диффер енцируя пределы интегр ирования) , пр и этом о на
превращается в частную производную ∂/∂t . Правую часть уравнения
преобразуем по теореме Остроградского-Гаусса:
∆V
dV
∂
∂t
3
2
nT = −
∆V
dV divq.
Так как объемчик можно взять сколь угодно малым (но вмещающим
достаточно много час тиц), в по следнем уравнении должны быть р ав-
ны не только интегралы , но и подынтегр альные выражения. Следова-
тельно,
∂
∂t
3
2
nT =div(κ∇T ).
Если плотность постоянна (как в рассматриваемом случае), обе части
последнего уравне ния можно поделить на n. Получ ившееся в р езуль-
тате ура внение
∂
∂t
T =div(χ∇T ) (13.15)
называют уравнением теплопроводности. Входящий сюда коэффици-
ент χ = κ/(
3
2
n) называют коэффициентом температуропроводности в
отличие от коэффициента теплопроводности κ. По порядку величи-
ны
χ∼v
2
T
/ν∼v
T
λ. (13.16)
Уравне ние (13.15) известно та кже под назва нием уравнения диффузии,
так как ана логичное ур авнение ( с дру гим коэф фициентом χ) о писыва-
ет изменение концентр ации мельча йших ч астиц твердого вещ ества в
жидко сти в процес се броуновско го движения. И з уравнения тепло-
проводнос ти следует, что з а вр емя t тепло распространяется на рас-
стояние
l ∼
√
χt .
Литература: [17].
I
Задача 13.2
Исходя из выражения (13.7), оценить величину δf и показать, что δf /f
м
∼
λ/L,гдеλ∼v
Te
/ν
e
— д лина свободного пробега, а L ∼T
e
/|∇T
e
|— масштаб,
на котором изме няется темпе ратура.
93
I
Задача 13.3
Показать, что в плазме с градие нтом эле ктронной тем пературы на
электрон ы де йствует сила тре ния, даж е если поток эл ектронов в сре д-
нем равен нулю, и оценить её величину.
16.10.98
I
Задача 13.4
Используя метод предыдущей задачи, оце нить коэффициент те плопро-
водности.
I
Задача 13.5
Вычислить силу трения электронов об ионы R
e
при заданной средней
скорости u э лектронов относите льно ионов.
I
Задача 13.6
Вычислить поток тепла, связанный с относительным движением элек-
тронов и ионов.
I
Задача 13.7
(Задача о пьяном пешеходе.) Пьяный пешеход ν раз в единицу времени
делает шаг длиной λ. Он движется вдоль прямой дороги, но с равной ве-
роятностью каждый новый шаг може т сделать как вперед, так и назад.
Оценить, н а какое расстояние от начального положения удалится пеше-
ход за время t .
16.10.98
I
Задача 13.8
Обобщить уравнение переноса тепла (10.13) на случай, когда имеется
градиент темпе ратуры (уче сть теплопров одность).
I
Задача 13.9
Для случая χ = const найти решение уравнения теплопроводности в без-
граничной среде с начальны м услов ием T (t =0)=T
0
δ(x),гдеδ(x)—одно-
мерная дел ьта-функция. Вычислить ширину профиля те мпературы н а
половинной высоте.
I
Задача 13.10
Для степенной зависимости коэффициента температуропроводности от
температуры χ= βT
n
найти закон , по которому обращае тся в н уль тем-
пература вблизи границы области, до которой в данный момент распро-
странилось тепло от не которого произвольн ого источника.
94
I
Задача 13.11
Рассмотреть перенос импульса ионами в плазме с не однородным профилем
средне й скорости u
i
= e
y
u
y
(x) . Оценить силу вязкого сопротивления σ
xy
,
действующую в направле нии y на единицу площади поверхности, нормаль
к которой орие нтирована в доль оси x. Оценить коэффициент ионной вяз-
кости η, определив его из соотношения σ
xy
= η
∂u
y
∂x
.
I
Задача 13.12
Оценить, во сколь ко раз э лектронная тепл опроводность больше ионн ой,
а ионн ая вязкость бо льше эле ктронной.
95
Лекция 14
Перенос плазмы в магнитном поле. Коэффициен ты
диффузии и темпе рату роп ров одн ости . Амбипо ляр ная
диффузия. Бомовска я диффузия . Эффект Холла.
Обобщенный закон Ома
Ра нее мы о бсудили, к ч ему пр иводит отк лонение функции ра спределе-
ния от ма ксвелловско й, а также вычис лили коэффициент теплопро вод-
ности и термосилу в плазме без магнитного поля. Сейча с мы з аймемся
рассмотрением процессов переноса в за магниченной плазме, где лар-
моровский радиус частиц меньше длины свободного пр обега.
Начнем с рассмотрения процесса диффузии поперек магнитного
поля. Пусть магнитное поле направлено по ос и z,
B = B
0
e
z
,
и есть градиент плотности, направленный по оси x,
n = n(x).
Относительно температуры ионов и электронов будем считать, что
они постоянны.
Запишем ур авнения движения электронов и ионо в в гидродинами-
ческом пр иближении, прич ем о тбросим в них инерцио нные ч лены, по -
скольку скорость движения, вызываемого диффузией, обычно мала и
силы инер ции не игра ют существенно й роли:
−T
e
∇n−enE −
en
c
[ u
e
,B]+R=0,
−T
i
∇n+enE +
en
c
[ u
i
,B] −R =0.
(14.1)
Здес ь надо с делать за мечание о тносительно силы тр ения R.Мыее
вычисляли для плазмы без магнитного поля:
R = m
e
ν
e
n(u
i
−u
e
). (14.2)
96
В замаг ниченной плазме для движений вдоль магнитного поля эта
формула сохраняет силу, а для движений пе рпендикулярно полю в ней
меняется только ч исленный коэффициент. Ниже мы будем изу чать
только движения попер ек магнитно го поля, поэтому сохраним фо р-
мулу (14.2) в не изме нном виде, вк лючив численный коэффициент в
определение ч астоты столкновений ν
e
.
Спроецируем уравнения (14.1)наосьxиучтем,чтоR
x
=0,посколь-
ку, как мы увидим, скорости электронов и ионов в направлении x оди-
наковы:
−T
e
dn
dx
− enE
x
−
en
c
u
ey
B =0,
−T
i
dn
dx
+enE
x
+
en
c
u
iy
B =0.
Складывая, находим:
en (u
iy
−u
ey
)=
c
B
dn
dx
(T
i
+T
e
).
Сл ед о ва тел ь н о ,
R
y
=
m
e
cν
e
eB
( T
i
+ T
e
)
dn
dx
.
Те пер ь y - компонента любого из ура внений движения (14.1)дает
en
c
u
x
B −enE
y
+ R
y
=0.
Отсюда
u
x
= c
E
y
B
−
cR
y
enB
= c
E
y
B
−
m
e
c
2
ν
e
e
2
B
2
n
(T
i
+ T
e
)
dn
dx
.
Здесь первое слагаемое соответствует электрическому дрейфу. Одна-
ко обычно E
y
= 0, так как наличие электричес кого поля вдоль оси y
означало бы , что к плазме приложено напряжение. Полагая E
y
=0и
умножа я u
x
на плотно сть плазмы, находим диффузионны й поток :
nu
x
= −ν
e
m
e
c
2
e
2
B
2
(T
i
+ T
e
)
dn
dx
.
97
Рис. 14.1. Сдвиг ведущих центров
двух тождественных частиц при их
столкновении под углом 90
◦
Рис. 14. 2. С двиг ведущих центров
противоположно заряженных ча-
стиц при лобовом столкновении
Он одинаков для ионо в и ионов, т .е. ди ффузия в рассматриваемой за-
даче оказалась автоматически амбиполярной. Поток электронов равен
потоку ионов, как и должно быть для сохранения ква зинейтрально сти.
Как видно из приведенного вывода, к выр авниванию потоков приво-
дит электрическое поле E
x
. Коэф фициент диффузии р авен
D =
ν
e
(T
i
+T
e
)
Ω
2
e
m
e
,
где Ω
e
— цик лотронна я час тота электроно в. По порядку величины
D
e
∼ ρ
2
He
ν
e
, что соответствует простой физической картине: при ка-
ждом столкновении с ионом, сопровождающемся рассеянием на угол
порядка 9 0
◦
, электрон смещается случайным образом на расстояние
порядка ларморовского радиуса ρ
He
. Фо рмально о цененный коэффи-
циент диффузии ионо в D
i
∼ρ
2
Hi
ν
i
в
p
m
i
/m
e
раз больше, но из-за амби-
полярного эфф екта ис тинная скорость диффузии определяется наибо-
лее медленно диффундиру ющей компонентой, т .е. электронами. При
этом нужно подчеркнуть важную особенность — диффузия обусло-
влена только перекрестными столкновениями электронов с ионами,
а столкновения между частица ми одного сорта не приводят к диффу-
зии
1
.
1
Точнее, поправка к коэффициенту диффузии из-за столкновений частиц с одинако-
вым отношениемe/m существенно мен ьше вычи сленной.
98
I
Задача 14.1
Используя рис. 14.1 и 14.2, пояснить, почему столкновения одинаковых
частиц не приводят к диффузии. Учтены ли столкновения одинаковых
частиц в уравнениях (14.1)?
Теперь обсу дим, как маг нитное поле влияет на тепло проводность .
В плазме без магнитного поля, как по каз ано на пр едыдущей лекции,
16.10.98
q
Te
= −κ∇T
e
, κ ∼ nv
2
Te
/ν
e
∼nλv
Te
.
Здесь λ∼v
T
/ν — длина про бега час тиц ( примерно одина кова для ио-
нов и электронов) . Ионная теплопро водность в
p
m
i
/m
e
раз меньше
электронной, поэтому вдоль магнитны х сило вых линий пер енос тепла
осу ществляется, главным об разом, электронами, а коэф фициент тем-
пературопроводности χ ∼ κ/n по по рядку величины равен v
2
T
/ν ∼λ
2
ν.
Такая оце нка соответствует пр остой ф изической картине явления, ко-
торую мы уже о бсуждали выш е на пример е диф фузии ч астиц попер ек
магнитного поля. Различие состоит только в том, ч то при каждом «а к-
те» столкновения в плазме без магнитно го поля ча стица смеща ется на
расстояние порядка длины пробега λ = v
T
/ν, тогда как в плазме с маг-
нитным полем и в направлении попер ек магнитного поля смещение
происходит на меньшее расстояние порядка ларморовского радиуса.
Исходя их этих наблюдений, мы можем ле гко оценить температуро-
проводность замагни ченной плазмы:
χ
e
∼ρ
2
He
ν
e
, χ
i
∼ ρ
2
Hi
ν
i
.
Ионная тепло проводность по перек магнитного поля больше ио нной в
p
m
i
/m
e
раз.
Обра тим внимание, ч то коэффициенты попер ечного пе реноса (так
для кр аткости наз ывают коэффициенты D, χ
e
, χ
i
) обр атно пропо рцио-
нальны ква драту магнитного поля, D ∝B
−2
.Однакодолгоевремя(до
начала 60-х годов) в экспериментах не у давалось создать условия, при
ко торых бы реализо вывалас ь эта з ависимость . Обобщ ив результаты
экспериме нтов с га зовыми ра зрядами, выполненных в ко нце 40 -х го-
дов, Бом предложил пр остую (хот я и не разделяемую всеми физиками)
теорию, которая предсказывает следующ ую завис имость коэф фициен-
та диффузии от параметров плазмы:
D
Б
=
1
16
cT
eB
. (14.3)
99