Котельников И.А., Ступаков Г.В. Лекции по физике плазмы
Подождите немного. Документ загружается.
Так как для малых углов d Ω 'θd θdϕ,отсюданаходим
¯
w:
¯
w(v,θ)=
(Ze
2
)
2
E
2
θ
4
n
i
v. (9.7)
Та к ка к
¯
w не з ависит о т з нака θ, мож но у тве ржд ат ь, ч то
w(v,v
0
)=w(v
0
,v). (9.8)
Соотно шение (9.8) является следствием обратимо сти движения во вре-
мени и спр аведливо для любых видов ра ссеивающих по тенциалов.
Переходя к в ыводу интегр ала с толкновений, условимс я для кра т-
ко сти не указыва ть нес ущественные для дальнейш его а ргументы r и
t фу нкции р аспределения f . Тогда число ча стиц в элементе d
3
v про-
странства скоростей (в расчёте на единицу объёма) з апишется в виде
f (v)d
3
v.Завремя∆tоно изменится на величину
∆[f (v)d
3
v]=∆f(v)d
3
v. (9.9)
Изменение равно раз ности между приходом част иц в объёмчик d
3
v из
других областей пространства скоростей и уходом из него.
Число ушедших частиц находим как произведение числа частиц
f (v)d
3
v в о бъ ёмчике на полную вероятность ∆t· w(v,v
0
)d
3
v
0
одной ча-
стице рассеяться за время ∆t :
f (v)d
3
v·∆t · w(v, v
0
)d
3
v
0
. (9.10)
Число ча стиц, приш ед ших в объёмчик d
3
v из другого объёмчика
d
3
v
0
, равно произведению числа частиц f (v
0
)d
3
v
0
вобъёмчикеd
3
v
0
на
вер оят но сть ∆t ·w(v
0
,v)d
3
v, с какой одна частица за время ∆t попадё т
из d
3
v
0
в d
3
v. П олное число приш едш их частиц находим, интегрируя
по d
3
v
0
:
d
3
v·∆t · w(v
0
, v) f (v
0
)d
3
v
0
. (9.11)
Прира внивая (9.9) к разности (9.11)и(9.10), по сле деления на ∆td
3
v
получим
df
dt
=
w(v
0
, v) f (v
0
)d
3
v
0
− w(v, v
0
) f (v)d
3
v
0
.
70
Теперь воспользу емся с имметрией w относ ительно своих ар гументов
и малостью угла рассеяния, вследствие чего изменение скорости ча-
стицы u = v
0
−v также мало:
df
dt
=
w(v,v
0
)[f (v
0
)− f (v)]d
3
v
0
'
¯
w(v, θ)
u
α
∂f
∂v
α
+
1
2
u
α
u
β
∂
2
f
∂v
α
v
β
d Ω. (9.12)
Так как функция f в этом ура внении не завис ит от пер еме нных инте-
гриро вания, е ё можно вы нести за знак интегрир ования. Вводя обозна-
чения
A
α
=
¯
wu
α
dΩ, (9.13)
A
αβ
=
1
2
¯
wu
α
u
β
dΩ, (9.14)
перепиш ем ура внение ( 9.12)ввиде
df
dt
= A
α
∂f
∂v
α
+A
αβ
∂
2
f
∂v
α
v
β
. (9.15)
Вектор A
α
есть с реднее знач ение вектор а u
α
,атензорA
αβ
есть ср ед-
нее знач ение тензор а u
α
u
β
/2. Поскольку имеется единственное выде-
ленное напра вление — направле ние вектора v, результат усреднения
можно выразить только через компоненты вектора v и инва риантных
тензоров δ
αβ
и e
αβγ
; напомним, что инвар иантным наз ывается тензор ,
компоненты которого не изменяются при повороте системы коорди-
на т . С л едо в а тел ь но ,
A
α
= A
v
α
v
, (9.16)
A
αβ
= B δ
αβ
+ C
v
α
v
β
v
2
+ D e
αβγ
v
γ
v
. (9.17)
Очевидно , что D =0,таккакA
αβ
не изменяется при заме не v на −v.
Коэф фициент A на йдём, умножив ( 9.13)наv/v:
A=A
α
v
α
/v=
1
v
¯
wuv dΩ.
Учитыва я соотнош ение uv = −u
2
/2, следующее из закона сохранения
энергии m
1
(v +u)
2
/2=m
1
v
2
/2, пе репишем A ввиде
A=−
1
2v
¯
wu
2
dΩ. (9.18)
71
Коэф фициенты B и C легко найти, со ставив свёртки ур авнения
(9.17)сδ
αβ
и v
α
v
β
/v
2
:
A
αβ
δ
αβ
=3B+C, (9.19)
A
αβ
v
α
v
β
v
2
= B + C. (9.20)
Левые ч асти полученны х ура внений вычисляем, используя ( 9.14):
A
αβ
δ
αβ
= A
αα
=
1
2
¯
wu
2
dΩ=−vA, (9.21)
A
αβ
v
α
v
β
v
2
=
1
2 v
2
¯
w (uv)
2
dΩ=
1
8v
2
¯
wu
4
dΩ. (9.22)
Таким обр азом, выч исление коэффициентов A, B и C сводится к вычи-
слению средних значе ний u
2
и u
4
. В торое из них значительно меньше
первого, так как u ∝θ,аθ1. Поэтому можно пренебр ечь членом
A
αβ
v
α
v
β
/v
2
в(9.20). Тогда
B = −C = −
1
2
vA(v).
В результате из уравнения (9.15)получаем
df
dt
= A
v
α
v
∂f
∂v
α
−
1
2
vA
δ
αβ
−
v
α
v
β
v
2
∂
2
f
∂v
α
v
β
= −
1
2
vA
∂
∂v
β
δ
αβ
−
v
α
v
β
v
2
∂f
∂v
α
.
Действительно,
∂
∂v
β
v
α
v
β
v
2
=
v
β
v
2
∂v
α
∂v
β
+
v
α
v
2
∂v
β
∂v
β
−2
v
α
v
β
v
3
∂v
∂v
β
=
v
β
v
2
δ
αβ
+
3 v
α
v
2
−2
v
α
v
β
v
β
v
4
=
2 v
α
v
2
.
Вводя вектор
F = ∇
v
f −
v
v
2
(v∇
v
f )=∇
v⊥
f,
полученное ур авнение можно пер еписать в виде
df
dt
= −
1
2
vA div
v
F. (9.23)
72
Вектор F отлич ается от ∇f тем, что из последнего вычтена «ради-
альная» компонента ∇f . В сфер ической сис теме ко ординат в пр о-
странстве скоростей {v, θ, ϕ} оператор div
v
F выражается через угло-
вую часть ∆
θ,ϕ
f лапласиана:
div
v
F =
1
v
2
1
sinθ
∂
∂θ
sinθ
∂f
∂θ
+
1
sin
2
θ
∂
2
f
∂ϕ
2
=
1
v
2
∆
θ,ϕ
f . (9.24)
Чтобы завер шить вывод интегр ала столкновений, нам остало сь вы -
числить коэф фициент A. Д ля этого подставим (9.6), (9.7)в(9.18)и
учтём, что u 'vθ:
A = −
1
2v
d Ω
¯
wu
2
'−
1
2v
2πθdθn
i
v
(Ze
2
)
2
E
2
θ
4
v
2
θ
2
= −
π(Ze
2
)
2
n
i
v
2
E
2
θ
max
θ
min
dθ
θ
= −
π(Ze
2
)
2
n
i
v
2
E
2
ln
θ
max
θ
min
. (9.25)
Здес ь вно вь возник кулоновский лог арифм Λ = l n
ρ
max
ρ
min
=ln
θ
max
θ
min
.Соби-
рая все коэффициенты, окончательно получаем
St
ei
=
2πe
4
Z
2
n
i
Λ
m
2
e
v
3
∆
θϕ
f . (9.26)
Интеграл столкновений обладает некоторыми общими свойствами,
очевидными из его физического смысла как чис ла час тиц, появляю-
щихся в единицу времени в единице объёма прос транства с коростей.
Поскольку полное ч исло час тиц при р ассеянии сохраняетс я, то
d
3
v St
ab
=0. (9.27)
Вследствие сохранения энергии и импульса с талкивающихся ча стиц
имеем
d
3
vm
a
v St
ab
+ d
3
vm
b
v St
ba
=0, d
3
vm
a
v St
aa
=0, (9.28)
d
3
v
m
a
v
2
2
St
ab
+ d
3
v
m
b
v
2
2
St
ba
=0, d
3
v
m
a
v
2
2
St
aa
=0. (9.29)
I
Задача 9.3
Проверить выполнение этих условий для лоренцевской плазмы (импульс
электрон ов не сохраняе тся).
73
Исходные динамические уравнения, ис пользованные при вы воде
интеграла столкновений, о братимы по времени, одна ко кинетическое
уравне ние с интегр алом с толкновений не инвариа нтно отно сительно
изменения напра вления t . Это утверждение известно как H-теорема
Л. Б ольцмана. Он доказал, что существу ет функциона л S о т функции
распр еделения f ,такой,что
˙
S>0 для любой функции f ,удовлетворя-
ющей кинетическому уравнения. Функциона л S называ ют э нтропией,
а современная формулировка H-теоремы состоит в том, что энтропия
замкнутой системы не убывает со временем. Применительно к рассма-
триваемому случаю лоренцевской плазмы замкнутой системой можно
считать электро нный газ , поскольку функция р аспределения « беско -
нечно» тяжелых ионов воо бще никак не изме няется. Энтропия иде-
ального электронного га за вычисляется по формуле
S =
[1−ln f ]fd
3
rd
3
v = f ln
e
f
d
3
rd
3
v. (9.30)
Вычислим dS/dt. Подставляя в
dS
dt
= −
∂f
∂t
ln(f )d
3
rd
3
v
производную ∂f /∂t из кинетического ура внения, получим
˙
S =
d
3
rd
3
v ln( f )
v∇f +
e
m
E +
1
c
[v, B]
∂f
∂v
−St
.
Первое слагаемое в фигурных скобках проинтегрируем с помощью те-
оремы Гаусса, учитывая, что f = 0 за пределами объёма, за нятого плаз -
мой:
d
3
rd
3
v ln( f )v∇f = d
3
rd
3
v ln( f )divvf
=−
d
3
rd
3
vvf∇ln( f )=− d
3
rd
3
vv∇f
= −
d
3
rd
3
v divv f =0.
Точно такая же процедура по отношению к переменной v покажет, что
d
3
rd
3
v ln( f )
e
m
E +
1
c
[v, B]
∂f
∂v
=0.
В итоге ос таётся только член, содержащий интегр ал с толкновений:
˙
S = −
d
3
rd
3
v ln( f )St.
74
Дальне йшие вычисления проведём для ло ренцевско го интегр ала
столкновений
St
ei
= const div
v
F
v
, F = ∇
v⊥
f .
Явный вид co nst на м не по надобится, важно только, что con st > 0. Ис-
пользуя уже отра ботанную технологию пр еобразо вания интегра лов,
получаем
˙
S = −const
d
3
rd
3
v ln( f )div
v
F
v
= const
d
3
rd
3
v
F∇
v
f
vf
= const
d
3
rd
3
v
(∇
v⊥
f )
2
vf
>0. (9.31)
Мы до ка зали, ч то в лоре нцевско й пла зме энтро пия возр астает. В
общем случае у тверждение о возрас тании э нтропии с праведливо д ля
столкновений внутри одного сорта частиц (электронов с электронами
или ионов с ио нами). Что касается пере крёстных столкновений, то
они мо гут приводить к уменьшению энтр опии одной из компо нент за
счёт увеличения энтропии другой. Суммарная энтропия тем не менее
будет возрастать:
∑
a
˙
S
a
= − d
3
rd
3
v
∑
ab
ln(f
a
)St
ab
> 0.
Важность H-теоремы состоит в том, что она указывает направление
релаксации. Та к как э нтропия максимальна в термодина мически р ав-
новесном со стоянии, то столкновения ма ксвеллизуют функцию р ас-
пределения плазмы. Тот ф акт, что ра вновесной функцией распреде-
ления является ма ксвелловска я, непос редственно не следует из наших
вычислений для случ ая ло ренцевско й плазмы, так как мы пренебр ега-
ли обменом эне ргией. Одна ко из ( 9.31) видно , что равновесна я функ-
ция распр еделения должна быть изотропна, так как
˙
S = 0 только при
∇
v⊥
f ≡ 0.
I
Задача 9.4
Найти стационарное решение уравнения Власова в дрейфовом приближе-
нии.
75
I
Задача 9.5
Показать, что плотность и давле ние плазм ы на фиксирован ной сил овой
линии зависят только от ве личины магнитн ого поля B.
I
Задача 9.6
Вычислить плотность и давле ние плазмы , в которой распредел ение ио-
нов описывается функцией распределения f = N δ(µ−ε/B
?
)δ(ε−ε
0
),гдеN
— нормировочная константа, B
?
— магнитное поле в точке остановки
частиц, а ε
0
— э нергия ион ов. Для простоты прин ять, что ϕ=0(плазма
с хол одными эл ектронами).
I
Задача 9.7
Пучок ионов с энергией 100кэВ тормозится в пл азме с эле ктронной тем-
пературой 100эВ. Начальный угловой разброс ионов пучка пренебрежимо
мал. Оценить угловую ширину пучка ∆θ после того, как ион ы потеряют
половину начальной эне ргии.
Литература: [5,гл.6,§1-4, 6, 7].
76
Лекция 10
Моменты кинетиче ско го уравнен ия. Уравнен ия
двухжидкостной гидродинамики. Приближение
одножид кост ной магнитн ой гидроди нами ки
На предыдуще й лекции мы получили кинетич еское ура внение для функ-
ции ра спределе ния f (r, v, t ) с интегралом столкновений. Оно даёт на и-
более строг ое и у ниверсальное описание пр оцессов, происходящих в
плазме. Однако найти его решение удается далеко не всегда, а, глав-
ное, во многих случаях бывает достаточно ограничиться более про-
стым о писанием.
Рассмо трим типичную ситуацию, ко гда макр оскопические параме-
тры плазмы изменяются медленно по ср авнению со временами электрон-
электронных и ион- ионных столкно вений, τ τ
ee
, τ τ
ii
.Тогдало-
кально в каждом небольшом объёмчике плазмы кулоно вские столк-
новения ча стиц приводят к ма ксвеллизации функций рас пределе ния
в электронном и ио нном газ ах:
f = f
м
≡n
m
2πT
3/2
exp
−
m(v−u)
2
2T
. (10.1)
Существенно, однако, что параметры n, T и u, характеризующие макс-
велловское распр еделение, меняются в прос транстве и во в ремени:
n = n(r, t ),
T = T(r,t),
u = u(r, t ).
Распределение, при котором хотя бы один из параметров n, T или u
не есть ко нстанта, назы вают локальным термодинамическим равнове-
сием. Оно у станавливается за в ремя столкновений между част ицами
одного сорта.
Состояние плазмы в ло ка льном термодинамическом ра вновесии не
является полнос тью р авновесным. Релаксация к полному термоди-
намиче скому равнове сию, при котором плотность n, температура T и
77
скорость u плазмы не зав исят ни о т ко ординат, ни от времени, пр оис-
ходит за вр емя, значительно большее вр емени электро н-электронны х
или ио н-ионных столкновений. Одно из су щественных отличий ме -
жду полным и ло каль ным термодина мическими ра вновесиями состо-
ит в том, что при полном рав новесии температура всех сортов ча стиц
одинакова, т .е. T
e
= T
i
, так же как одинакова и их скорость, u
e
= u
i
,а
при локальном равновесии температуры и скорости компонент плаз-
мы, вообщ е говоря, ра зличны. Ясно поэтому, что для уста новления
полного термодинамического р авновесия требуется по кр айней ме ре
время порядка времени ион-электронных с толкновений τ
ie
τ
ii
τ
ee
.
Что касается плотнос ти, то о на должна у довлетворять у словию квази-
нейтраль ности даже пр и локальном р авновесии. Соответственно, для
плазмы с многоза рядными ио нами имеем n
e
= Zn
i
.
Отсутс твие полного термодинамического ра вновесия обыч но свя-
зано с тем, ч то на плазму действу ют вне шние силы , выводящие её из
равно весия. При наличии таких сил полное термодинамическое р ав-
новесие может быть вообще не до стижимо.
Если пла зма на ходится в состоянии локального термодинамическо -
го равно весия, ис пользование кинетического уравне ния для е ё описа-
ния является избыточным. В этом случае достаточно установить, как
будут меняться во времени и пространстве n, T и u. Соответствующая
система уравнений дает гидродинамическое описание движения пла з-
мы. Пер ейдём к вы воду гидр одинамических ура внений, пр ичём будем
предполагать внач але, что с трого f = f
м
. Последнее предположение в
действительности означает , что мы пренебр егаем проце ссами перено-
са плотности, температуры и скорости, т.е. соответственно процесса-
ми диффузии, теплопроводности и вяз ко с ти . Строго говоря, процес-
сы пе реноса о тсутствуют лиш ь в одно родной плазме, когда пло тность
n, температура T и скорость u не з ависят от ко ординат , а единствен-
ным признаком отсутс твия полного термодина мического равно весия
является неравенство температур электронов и ионов (T
e
6= T
i
), а так-
же их скоростей (u
e
6= u
i
). Пр и на личии неоднор одности про цессы пе-
реноса обычно идут довольно медленно, и поэтому на достаточно ко-
ротком пр омежутке вр емени ими в пер вом приближении можно пр ене-
бречь. Так мы и поступим сейчас, отложив их рассмотрение до следу-
ющей лекции.
Введём о бозначение
h...i≡
1
n
f
м
d
3
v(...)
78
изаметим,что
h1i=
1
n
f
м
d
3
v=1,
hvi=
1
n
vf
м
d
3
v=u.
Величины h...i назы вают моментами фу нкции рас пределения. Д ля
дальнейшего удобно выделить хаотическую составляющую скорости
v
0
= v −u. Очевидно, что
hv
0
i=0,
m
v
0
2
2
=
3
2
T.
Будем исходить из кинетического уравне ния, записанного в дивер-
гентной форме:
∂f
a
∂t
+divvf
a
+
e
a
m
a
∂
∂v
E+
1
c
[v,B]
f
a
=St
ab
+St
aa
. (10.2)
Как мы ус ловились на пр еды дущей лекции, индексы ‘a’и‘b’ могут
принимать знач ения ‘e’ либо ‘i’, прич ём, ес ли a = i,тоb=eи наоборот.
Найдём первый момент кинетическо го ур авнения, т .е. умножим
уравне ние ( 10.2)наd
3
vи вы числим тр ёхмерный интеграл. Интегра лы
столкновений St
aa
иSt
ab
выпадут, так как число частиц при кулонов-
ских с толкновениях сохра няется, и мы получим уравнение непрер ыв-
ности
∂n
∂t
+divnu=0
, (10.3)
так как интеграл от третьего слагаемого в (10.2)такжеравеннулю
(надо воспользоваться теоремой Остроградского-Гаусса и преобразо-
вать этот интеграл к интегралу по бесконечно удалённой поверхности
в пространстве скоростей). Для краткости мы опускаем индекс ‘a’у
величин n и u в уравнениях, которые в равной степени справедливы
для всех сортов ч астиц.
Теперь вычислим второй момент кинетического уравнения: умно-
жим его на m
a
v и проинтегр ируем по d
3
v;приэтомSt
aa
выпадет в силу
сохране ния импульса в столкновениях частиц одного сорта. Получим
m
∂
∂t
nu
α
+
∂
∂x
β
Π
αβ
−e
E +
1
c
[u,B]
α
n = R
α
, (10.4)
79