Котельников И.А., Ступаков Г.В. Лекции по физике плазмы
Подождите немного. Документ загружается.
Позднее ста ло ясно, ч то в пла зме , где коэф фициенты перено са порядка
бомо вских, обязательно имеются интенсивные колеба ния (турбулент-
ная плазма), которы е знач ительно увеличивают эффе ктивную ч астоту
рассе яния ч астиц, так ч то фо рмула Бома д ает верхний предел на вели-
чину коэффициентов пер еноса.
При увеличении час тоты рас сеяния коэфф ициенты попер ечного
перено са в з амагниченно й плазме увеличиваются пропор ционально
частоте с толкновений. Но так пр оисходит до тех по р, пока ν
e
или ν
i
не пр евысит цик лотро нную час тоту для соответствую щей компонен-
ты плазмы, т.е . Ω
e
или Ω
i
. Пр и даль нейшем увеличении ча стоты р ас-
сеяния длина пр обега стано вится меньше ла рморовского радиуса, и
мы возвр ащаемся к случа ю незамаг ниченной плазмы, ко гда χ ∼ v
2
T
/ν
(здесь надо приписать индексы e и i соответственно для электронов
и ионов, а D ∼ χ
i
). Поскольку в нез амагниченной плазме коэффици-
енты перено са только уменьшаю тся с ро стом час тоты с толкновений,
ясно, что они максимальны пр и ν ∼ Ω. Полагая ν ∼ Ω, находим, что
χ∼v
2
T
/Ω ∼ρ
2
H
Ω ∼cT/eB. С точностью до коэффицие нта 1/16 эта оцен-
ка совпадает с формулой Бома.
В за вершение лекции займемся вопросом о пр оводимости плазмы.
Мы уже вы числяли пр оводимость пла змы без магнитного поля:
σ=
ω
2
pe
4πν
e
=
ne
2
mν
e
.
В присутс твии магнитного поля такая проводимость сохраняется вдоль
магнитного поля, так как при E||B магнитно е поле не влияет на дви-
жение заряженных частиц. Рассмотрим случай, когда поле E прило-
жено перпе ндикулярно B.
Если поле меняется до статочно быстр о со временем, то можно счи-
тать, ч то ионы покоятся, u
i
= 0 , и написать уравне ния движения элек-
тронов:
−enE −
en
c
[ u
e
,B]+R=0. (14.4)
Пусть поле направлено вдоль оси x. Учтем, что R = −nm
e
ν
e
u
e
, j =
−enu
e
. Тогда, р асписыва я последнее ур авнение по компонентам, по -
сле умножения на e/m
e
ν
e
имеем
−σE
x
+
Ω
e
ν
e
j
y
+ j
x
=0,
−
Ω
e
ν
e
j
x
+j
y
=0,
100
Рис. 14. 3. Эффект Холла в цилин-
дрической плазме
Рис. 14.4. Эффект Холла в плоском
слое плазме
Из этих урав нений находим:
j
x
=
σ
1+
Ω
2
e
ν
2
e
E
x
≡σ
xx
E
x
,
j
y
=
Ω
e
ν
e
σ
1+
Ω
2
e
ν
2
e
E
x
≡σ
yx
E
x
.
Отсюда видно, что поле E
x
вызывает также ток j
y
. П оявление в маг-
нитном поле «косо го» тока, пер пендикулярного как напр авлению маг-
нитного та к и напра влению электричес кого полей составляет су ть эф-
фекта Холла. В доста точно силь ном маг нитном поле Ω
e
ν
e
. П оэтому
σ
xx
∝ B
−2
,аσ
уx
∝ B
−1
.
Теперь рассмотрим случай стационарного электрического поля.
Результат с ильно з ависит от на личия границ плазмы. И оны теперь
нельзя счита ть покоящимися. Пусть , к пр имеру, плазма имеет фо рму
цилиндра ( рис. 14.3), а поле направлено по радиусу, E = E e
r
.Тогдав
пренебр ежении инер цией про изойдет следующе е. Пла зма раск рутит-
ся и начнет вращаться со скоростью
u
e
= u
i
=
c
B
2
[E, B],
так ч то электрическая сила будет ур авновешена силой Ло ренца. По-
скольку u
e
= u
i
,тоR=0иj= 0. Отсу тствие тока при налич ии элек-
тричес кого поля означа ет, ч то плазма фактически оказывается непр о-
водящим диэлектриком. Вычислим диэлектрическу ю про ницаемость
плазмы ε, исходя из того, что плотно сть энергии в диэлектрике w рав-
на εE
2
/8π. Это с одной стороны, а с другой, энергия складывается из
101
энергии электрического поля и кинетической энергии частиц плазмы:
w =
E
2
8π
+n
m
i
u
2
i
2
=
=
E
2
8π
+
m
i
nc
2
E
2
2B
2
=
=
E
2
8π
1+
4πρc
2
B
2
=
E
2
8π
1+
c
2
v
2
A
=.
Сл ед о ва тел ь н о ,
ε =1+
c
2
v
2
A
,
где мы ввели о бозначение v
A
= B/
√
4πρ для так называемой альфвено в-
ской скоро сти.
Наконец, если имеется о граниченна я область плазмы в виде плос-
ко го плазменного канала (рис . 14.4), то движение вдоль ос и y не-
возможно (возникнет г радиент плотно сти по y, который обратит v
y
в
нуль). Тогда из ура внения
−enE
x
+ m
e
ν
e
(u
ix
−u
ix
)=0
находим
j
x
= σE
x
,
где по-пр ежнему σ = ne
2
/m
e
ν
e
, j
x
= en(u
ix
−u
ex
). Ма гнитное поле, как
оказывается, не влияет на ток.
В ра мках одножидкостно й магнитной гидродина мики на основе
уравне ния (14.4) з аписывают обоб щенный за кон Ома. Если учесть,
что u
e
= V −j/en (в обозначе ниях из лекции №10), а R = nm
e
ν
e
j/en,из
(14.4)получим
E+
1
c
[V,B]=
j
σ
+
1
enc
[j,B]. (14.5)
Последнее слагаемое в правой части соответствует эффекту Холла.
При изучении быстрых движений плазмы, когда скорость относитель-
ного движения компонент плазмы j/en мала по сравнению со скоро-
стью плазмы V эффектом Холла можно пренебр ечь:
E +
1
c
[V , B]=
j
σ
.
102
Ещё более прос ту ю фо рму закон Ома принима ет в приближении иде-
ально пр оводящей плазмы, когда формально можно считать, что σ →
∞. В этом случае E = −
1
c
[V , B].
Литература: [ 9,гл.3,§3.4]; [17, §3], [3,гл.5].
I
Задача 14.2
Предполагая, что турбулентность неизбежна, оценить, каким должен
быть радиус плазм ы с температурой T =10кэВ, помещенной в магнитное
поле B =5Тл, чтобы время её удержания не было меньше 1сек.
I
Задача 14.3
Может ли коэффициент диффузии быть больше бомовского?
I
Задача 14.4
Используя метод, развитый в задаче 13.3, показать, что при наличии
градиента температуры ∇T , перпендикулярн ого м агнитному полю B,
возникает термосила, перпендикулярная как ∇T,такиB,т.е.R
Te
=
−An
e
[h, ∇T
e
]. Оценить коэффициент A.
I
Задача 14.5
Продолжая преды дущую задачу, показать, что при наличии градиента
температуры ∇T, перпендикулярного магнитн ому полю B, возникает
поток тепла в направлен ии, противоположном ∇T. Оценить, в о сколь-
ко раз соотв етствующий коэф фициент тепл опроводности мен ьше, чем
коэффициент теплопроводности вдоль магнитного поля (последний ра-
вен коэффициенту теплопроводности незамагниченной плазмы).
I
Задача 14.6
Продолжая преды дущую задачу, показать, что при наличии градиента
температуры ∇T, перпендикулярного магнитн ому полю B, возникает
«косой» поток тепла в н аправлении [h, ∇T
e
]. Оценить, во сколько раз
соответству ющий коэ ффициент теплопроводности мен ьше, чем коэ ф-
фициент теплопроводн ости вдоль магнитного поля.
I
Задача 14.7
Записать тен зор проводимости σ
αβ
плазмы в м агнитном поле, исходя из
его определения j
α
= σ
αβ
E
β
и результатов вычисления тока в плазме с у че-
том эффекта Холла.
103
I
Задача 14.8
Вывести обобщенный закон Ома, исходя из уравнения (14.4), дополнен-
ного градиен том э лектронного да вления ∇p
e
итермосилой.
104
Лекция 15
Излучение из плазмы: тормозное, рекомбинационно е,
циклотронное. Пробег излучения
Излучение являетс я одним из о сновных канало в потер ь энер гии из
плазмы. Спектр излу чения слабоионизо ванной плазмы являетс я ли-
нейчаты м: в нём доминируют линии излучения неионизо ванных ато-
мов и недиссоциировавших молекул. По мере увеличения температу-
ры плазмы с тепень ио низации у величивается, а интенсивно сть лине й-
чатого излучения о слабевает . П олностью ионизо ванная пла зма излу-
чает в сплошном спектре. Мы рассмотрим два основных типа излуче-
ния со спло шным спе ктром: тормозное и рекомбинацио нное. Тормоз -
ное излу чение возникает при рассеянии з аряженных частиц дру г на
друге. Н апомним, что рассеянием на зывается столкновение частиц,
при ко тором ч исло и состав взаимодейству ющих ча стиц не меняются
в процессе с толкно вения. Рекомбинационное излучение сопро вож да-
ет пр оцесс рекомбинации, когда в рез ультате столкновения электрона
с ио ном обр азуется нейтраль ный атом или степень ио низации мно го-
зарядного иона понижается.
Оценим мощно сть излучения пр и столкновении электро на с ионом,
имеющим заряд Ze. Так как тепловая скорость электронов обычно зна-
чительно больше тепловой скорости ионов, ион можно считать непо-
движным. Для нач ала предположим, что ис кривлением трае кто рии
электрона можно пр енебречь ( рис. 15.1), так как он пролетает на до-
статочно большом расстоянии от иона:
ρ2Ze
2
/m
e
v
2
. (15.1)
Тогда ускорение электрона в поле иона р авно
w =
Ze
2
/m
e
ρ
2
+v
2
t
2
.
Смысл используемых обозначений объяснён в лекции 4 . Энер гия, из-
105
Рис. 15.1. Излучение при далёких
пролётах
Рис. 15.2. Излучение при близких
пролётах
лучаемая электроном в единицу вр емени, вы числяется по формуле ди-
польного излучения:
J =
2
3
e
2
w
2
с
3
=
2
3
Z
2
e
6
/m
2
e
c
3
(ρ
2
+v
2
t
2
)
2
.
Из-за большой массы иона его излучением можно пренебречь, поэто-
му полная энер гия, излученная за время пролёта, р авна
∆
E =
∞
−∞
dt J =
2
3
Z
2
e
6
m
2
e
c
3
∞
−∞
dt
(ρ
2
+v
2
t
2
)
2
=
2
3
Z
2
e
6
m
2
e
c
3
vρ
3
∞
−∞
dx
(1 +x
2
)
2
=
π
3
Z
2
e
6
m
2
e
c
3
vρ
3
.
16.10.98
Однородный поток электронов с плотностью n
e
, налетающих на
ион со скоростью v, в единицу времени энер гию
P
1
= 2πρdρ·n
e
v· ∆E =
2π
2
3
Z
2
e
6
n
e
m
2
e
c
3
dρ
ρ
2
. (15.2)
Та к как P
1
не зависит от скорости налетающих электронов, более стро-
гий кинетический расчет, учитывающий различие скоростей электро-
нов, пр ивёл бы к тому же рез ультату (15.2).
Интеграл в формуле (15.2) расходится на нижнем пределе, но эта
расходимость формальная, так как ясно, что электрон не может из-
лучить энергию больше его кинетической энергии m
e
v
2
/2. На пер-
вый взгляд может показаться, что прич иной р асходимости являетс я
106
использованное нами приближение далёких пролётов, когда тр аек-
тория эле ктро на считается прямолинейной. Однако мы увидим, что
ещё более сильна я ра сходимо сть возникает, если уч есть искр ивление
его тр аектории. Истинну ю прич ину возникших трудно стей вскр ывает
кванто вая теория. Согласно её постулатам, прицельное расстояние ρ
определено с точность ю по рядка длины волны де- Бройля λ
Б
. Действи-
тельно, механический момент электрона (о тносительно иона) m
e
vρ не
может быть меньше кванта ~ (если электрон не на ходится в с вязанном
состоянии на а томарно й орб ите), поэтому
ρ> ~/m
e
v = λ
Б
. (15.3)
Правиль ный по по рядку величины р езультат можно получить, «о бре-
зав» интегр ирование в (15.2) на нижнем пр еделе на значении пр ицель -
ного па раметра ρ = λ
Б
: 16.10.98
P
1
∼
Z
2
e
6
n
e
m
2
e
c
3
λ
Б
. (15.4)
Приближение дале ких пролётов (15.1) совмест имо с нер авенством
(15.3) при условии
~v
Ze
2
> 1.
Оно соответствует случаю, когда энергия электронов больше энергии
иониза ции:
m
e
v
2
2
>
m
e
e
4
2~
2
Z
2
=13,6эВZ
2
. (15.5)
16.10.98
Мощно сть, которая излучается из единицы о бъ ёма, получается умно-
жением P
1
на число ионов n
i
в единице объёма пла змы:
P ∼
Z
2
e
6
n
e
n
i
v
m
2
e
c
3
~
. (15.6)
Частоту излучения легко оценить с помощью следующих рассу-
ждений. Пр олетая на расстоянии ρ, электрон излучает импульс дли-
тельнос тью ρ/v; соответственно частота излучения ω приблизительно
равна v/ρ. Подставляя ρ∼λ
Б
∼~/m
e
v,приходимквыводу,чтоэнергия
фотона ~ω порядка кинетической э нергии электрона:
~ω∼m
e
v
2
∼T
e
.
Точная теория предсказывает, что в плазме с максвелловским распре-
делением электронов по скоростям максимум спектра излучения соот-
ветствует фотонам с энергией примерно 2T
e
.
107
I
Задача 15.1
Оценить число фотонов, излученных в единицу времени из единицы объ-
ёма.
Так как пр и излучении электрон теряет почти всю свою кинети-
ческую энергию, он может захватиться на атомарную орбиту. Одна-
ко для электрона с энергией значительно большей энергии ионизации
вероятность рекомбинации мала. Действительно, чтобы оказаться за-
хвач енным на n-ый уровень, электрон должен излучить фотон с энер-
гией
m
e
v
2
2
+
m
e
e
4
Z
2
2~
2
n
2
6 ~ω6
m
e
v
2
2
+
m
e
e
4
Z
2
2~
2
(n−1)
2
. (15.7)
Учитывая, что ω ∼ v/ρ, отс юда находим интервал з начений прицель-
ного па раметра, соответствую щих ре комбинации. При усло вии (15.5)
среднее знач ение ρ в этом интерва ле о пределяетс я величиной к инети-
ческой энергии электрона
~v
ρ
∼
m
e
v
2
2
и пример но ра вно длине волны де Б ройля λ
Б
. Ширина интер вала ∆ρ
определяется разностью уровней энергии связанного электрона в ато-
ме:
~v
ρ
∆ρ
ρ
∼
m
e
e
4
Z
2
2~
2
n
3
.
Следовательно, мощно сть р екомбинационного излучения составляет
долю по рядка ∆ρ/ρ∼e
4
Z
2
/~
2
v
2
от полной мо щности излучения (15.6),
причем ре комбинация сопро вождается в о сновном зах ватом электрона
на основной уровень n = 1. Эта доля мала в высокотемпературной плаз-
ме, где для большинства электронов вы полне но усло вие (15.5). Таким
образом, в высокотемпературной плазме излучение является преиму-
щественно тормоз ным. Про ведя уср еднение в фо рмуле (15.6)пофунк-
ции распределения электронов (которое соответствует замене скоро-
сти v на тепловую скорость v
Te
∼
p
T
e
/m
e
) ле гко найти мощ ность тор-
мозного излучения
P
торм
= A
Z
2
e
6
n
e
n
i
T
1/2
e
m
3/2
e
c
3
~
. (15.8)
108
Точный расч ёт да ёт з начение ч исленного коэффициента в этой ф орму -
ле A =7,7. Практическая формула имеет вид
16.10.98
P
торм
=1,69·10
−25
Z
2
n
e
n
i
p
T
e
[эВ]
эрг
см
3
сек
. (15.9)
То рмозное излучение может быть использовано для диагностики плаз-
мы, а именно для измерения температуры и плотнос ти. Температура
электронов опр еделяется из ана лиза спектра , а плотно сть плазмы —
из измерения мощнос ти излуче ния.
Тормозное излуче ние вследствие электрон-электро нных с толкно-
вений мало, та к как при столкновении одина ковы х частиц дипольное
излучение отсутс твует, а мощно сть излучения в с ледующ их порядках
мультипольного р азложения быстро уменьшается по мер е увеличения
порядка мультипольности.
I
Задача 15.2
Доказать, что при столкновении частиц с одинаковым отношением ве-
личины заряда к м ассе, мощн ость д ипольного излуче ния равна н улю.
I
Задача 15.3
Оценить м ощность квадрупол ьного тормозн ого излучения при эле ктрон-
электронных столкновениях и сравнить её с мощностью тормозного из-
лучения при электрон-ионных столкновениях.
Оценку мощ ности р екомбинационного излуч ения получим, умно-
жив ( 15.6)наe
4
Z
2
/~
2
v
2
и заменив v на v
Te
: 16.10.98
P
рек
∼
Z
4
e
10
n
e
n
i
m
e
c
3
v
Te
~
3
. (15.10)
Практическая ф ормула с правиль ным чис ленным коэффициентом име -
ет вид
P
рек
=5·10
−24
Z
4
n
e
n
i
/
p
T
e
[эВ]
эрг
см
3
сек
. (15.11)
Вследствие сильной зависимо сти о т Z р екомбинационное излучение
существенно возрастает при загрязнении плазмы тяжёлыми примеся-
ми.
Рассмотрим теперь случай
m
e
v
2
2
<
m
e
e
4
2~
2
Z
2
, (15.12)
109