Котельников И.А., Ступаков Г.В. Лекции по физике плазмы

Подождите немного. Документ загружается.

Вернувшись к векторным обозначениям, имеем

IIIi=

⊥

2Ω

{rot h−[h,(h∇)h]}+

Ω

[h,(h∇)h].

Выражение в ф игурных скобках можно у простить, если за метить, ч то

[h,roth]=∇

{z}

−(h∇)h

= −(h∇)h, (7.7)

и, следовательно,

rot h−[h, (h∇)h]=roth+[h,[h,roth]]

= h(hroth).

Та к им о бр аз ом,

IIIi=

⊥

2Ω

h(hroth)+

Ω

[h,(h∇)h].

Переходя к пос леднему члену

IV = −

Ω

[v,h], имеем

Ω=

dΩ

∂Ω

∂t

+(v∇)Ω = (v∇)Ω.

Дальне йшие выч исления пр оводим анало гично изложенному выше:

IV i= −

Ω

∂Ω

∂x

αβγ

= −

Ω

∂Ω

∂x

αβγ

= −

Ω

∂Ω

∂x

αβγ

{

⊥

βν

+(v

−

⊥

Та к ка к e

αβγ

=[h,h]

= 0, в итоге получаем:

IV = −

⊥

2Ω

[∇Ω, h].

Собирая теперь все члены вместе, находим

R =



⊥

2Ω

hroth



[E, h]+

Ω

[h,(h∇)h]+

⊥

2ΩB

[h, ∇B]. (7.8)

Рис. 7.3. Градиентный дрейф в не-

однородном магнитном поле

Рис. 7. 4. К вычислению радиуса

кривизны силовой линии

В первом слагаемом попр авка к v

мала по пар аметру ε, ею обычно пре-

небрега ют. По следние тр и члена опис ывают дре йфы: электрический,

центр обежный и градиентный.

Смысл электрического дрейфа известен из теории движения заря-

женных ч астиц в скр ещенных электрическом и магнитном полях: если

перейти в систему координат , движущуюся со скоростью

= c

[E, B]

, (7.9)

то там электрическое поле исчеза ет, а ча стица движется только по ла р-

моровской спирали.

Смысл градиентного дрейфа

град

⊥

2Ω



∇B



(7.10)

поясняет такой пример . Пусть имеется магнитно е поле B

, направлен-

ное вдоль о си z и возра стающее в напр авлении x.Каквидноизрис.7.3,

частица, движущаяся в таком поле, правую часть сво ей траектории,

расположенную в о блас ти более сильного поля, проходит по окружно-

сти радиуса, меньшего чем в левой части траектории. В результате на

каждом ларморовском обороте возникает нескомпенсированное сме-

щение вдоль оси y, приводящее к др ейфу в этом напра влении.

Прежде ч ем пер еходить к интерпрета ции центр обежного дрейф а

заметим, что (h∇)h есть вектор кривизны магнитных силовых линий:

(h∇)h =

∂h

∂s

= κ. (7.11)

Как следует из постр оения на р ис. 7.4,векторκна правлен по но рма-

ли к сило вой линии n, а его длина о братно пр опорцио нальна радиу су

кривизны: |κ| =

−1

. С помощью вектора кривизны фо рмулу для ско-

рос ти центр обежного дре йфа можно за писа ть в следующем виде:

ц.др.

Ω

[h, κ]

, (7.12)

ко торый позволяет усмотр еть аналогию с электрическим дрейф ом (7.9).

Действительно, сопос тавим электрической силе f

= eE центр обеж-

ную силу f

ц.др.

= −

n. Если заменить в формуле (7.9) для скорости

электр ического дрейфа E на f

ц.др.

/e, то получим ура внение ( 7.12):

ц.др.



ц.др.

, h



= −





Ω

[ h,κ] .

Следовательно, центробежный дрейф можно интерпретир овать как

дрейф овое движение в с крещенном магнитном и «це нтробежном» по-

лях.

Центро бежный д рейф на правлен по вектору бинормали b =[h,n].

Он, как и градиентный дрейф, зависит от знака заряда частицы, тогда

как электрический др ейф не зав исит от e.

В ваку умном магнитном поле, ко гда r otB = 0 , напр авления центр о-

бежного и градиентно го дрейф ов совпадают. Чтобы до каза ть это, ис-

пользуем тождество

[h,roth]=−κ,

следующее из (7.7)и(7.11). Замечаем также, что

rot h =rot

rot B

{z}



∇



и далее

[h,roth]=−



∇B



= −

∇B

+ h



∇B



Сл ед о ва тел ь н о ,

[h,∇B]=B[h,κ].

В результате градиентный и центробежный дрейфы объединяются в

единый блок:

град

ц.др.

⊥

Ω

[h, κ]

⊥

ΩR

[h, n].

Подводя ито ги этой части лекции, пр иведё м ур авнение для скоро-

сти движения ведущего центр а час тицы в о кончательном виде:

R = v

h +

[E, h]+

Ω

[h,κ]+

⊥

2ΩB

[h, ∇B]

. (7.13)

Напомним, что при в ыводе этого уравнения мы счита ли поля E, B не

зависящими от времени. Однако можно показать, что поправки к ско-

рос ти дрейф а, обусло вленные неста ционарнос тью полей, малы , если

поля изменяются незначительно за период ларморовского вращения

частицы, т .е. T

−1

Ω, где T — характерное время изменения электри-

ческих и маг нитных полей. И ллюстрацие й этого утверждения могу т

служить решения задач 7.2 и 7.3 о скорости поляризационного дрей-

фа.

Помимо поле й E, B в уравнение (7.13) входят продольная и по -

перечная скорости частицы v

и v

⊥

. Чтобы замкнуть систему уравне-

ний движения ча стицы в др ейфовом приближении, нео бходимо выве-

сти ещё два ур авнения для изменения во времени этих величин. Мы

выведем эти ура внения в низшем порядке ра зложения по пар аметру ε,

характеризующем неоднородность системы. При этом мы будем пред-

полагать, что поля E и B могу т медленно изменяться со вр еменем.

Вычислим

. Д ля это го умножим уравне ние движения (7.5)наv:

= v

v = v



E +Ω[v,h]



vE.

Усредняя по быстрому вращению, у чтем, что

hvi= v

В рез ультате получим ура внение

hE, (7.14)

где h и E надо вычислять в точке R. И з не го сл едует , ч то р або ту над

частице й про изводит продольно е электричес кое поле.

Теперь вычислим

(hv)=

vh + v

h =

Eh+v



∂h

∂t

+(v∇)h



Членом с

∂h

∂t

можно пренебречь, а последний член необходимо усред-

нить:

hv(v∇)hi= hv

∂h

∂x



⊥

αβ

2 v

−v

⊥



∂h

∂x

⊥

∂h

∂x

2 v

−v

⊥

∂

∂x

{z }

⊥

div h.

Из ур авнения d ivB =0следует,что

div h =div

div B

{z }

−

B∇B

= −

h∇B

В результате находим

Eh−

⊥

(h∇B)/B.

Вместо этого уравнения обычно пользуются уравнением для

⊥



−



⊥

h∇B

Здесь v

(h∇B) можно рассматривать как

вдоль траектории ведущего

центра, так как в с тационарном поле

∂B

∂t

|{z}

R∇B = v

(h∇B).

Поэтому

⊥

Пере писав пос леднее ур авнение в виде

⊥

=0,

приходим к выводу об инвариа нтности магнитного момента частицы

µ=

⊥

= const

Хотя мы пр оводили вы числения в низш ем по рядке по пар аметру ε,

можно, немного подпр авив о пределе ние µ, показать, что магнитный

момент асимптотически сохраняется во всех порядках по ε.Болеето-

го, магнитный момент сохраняетс я также в нес тационарном электро-

магнитном поле, если только час тота ω изме нения полей значительно

меньше цик лотр онной ча стоты, ωΩ , т.е . магнитны й момент являет-

ся адиабатическим инвариантом. Доказательство последнего утвер-

ждения мы о ставляем для самостоятельной работ ы (см. зад ачи 7.4 и

7.5).

Возвра щаясь к уравне нию для

, нео бходимо отметить, что в пе-

ременном ма гнитном поле оно тр ебует у точнения.

Во-первых, вместо v

h в(7.14) нужно подставить скорость ведуще-

го центра

R. Во- вторы х, в нестацио нарном поле добавляетс я е щё одно

слагаемое:

16.10.98

R +

∂B

∂t

. (7.15)

Смысл дополнительного слага емо го про ст: оно опис ывает работу вих-

ревого электрического поля вдоль ларморовской орбиты. Так как по-

явление этого слагаемого не связано с неоднородностью системы, до-

статочно рассмотреть однородное поле, медленно изменяющееся по

абсолютной величине. Соответствующим выбором системы отсчёта

можно добиться того, что продольная скорость частицы будет равна

нулю, v

= 0. В этой системе отсчёта частица движется по замкнутой

окружности. Возникающее пр и изменении B вихревое электрическое

поле за пер иод враще ния совершает р аботу

E d l = e rotE·dS ' eπρ

n rot E,

где единичный вектор n составляет правый винт с напр авлением в ра-

щения, т .е. на правлен по −Ω. Работа, совершаемая з а единицу време-

ни р авна

|Ω|

2π

enrotE πρ

= −Ω rotE

eρ

= −



−

∂B

∂t





⊥



= µ

∂B

∂t

Эта работа идёт на изменение полной энер гии

и может бы ть ис-

пользована для наг рева плазмы (см. задач у 7.6).

Литература: [12, §1, 2, 3, 10], [1, §1.2],

Рис. 7.5. Гиромаг нитный

эффект — изменение

энергии част ицы при

медленном изменении

магнитного поля

[5,гл.3,§1–5].

Задача 7.1

Заряженная частица движется в скрещен-

ных магнитно м и эле ктрическом полях, при-

чём магнитное поле постоянно, B

= B,аэлек-

трическое пол е пром одулировано, так что E

E cos(ky). Найти скорость дре йфа, не пред-

полагая, что ларморовский радиус частицы ρ

мал.

Задача 7.2

Найти скорость дрейфа заряженной частицы в однородном магнитном и

медленно меняющемся во времени электрическом полях.

Задача 7.3

Найти скорость поляризационного дрейфа, интегрируя уравнения дви-

жения частицы в однородном магнитном поле B

= B и медленно меняю-

щемся эл ектрическом поле E

= E (t), которое перв оначально отсутство-

вало, E (0) = 0.

Задача 7.4

Рис. 7.6. К реш ению зада-

чи 7. 2

Согласно общим теорем ам аналитической ме-

ханики, ин теграл по замкну той трае ктории

P d Q,гдеPиQ— канонические импульс

и координ ата частицы, является адиаб ати-

ческим инв ариантом. Вычисл ив ин теграл по

замкнутой л арморовской окру жности части-

цы в однородн ом магнитном поле, доказать,

что µ = mv

⊥

/2B явл яется ад иабатическим

инвариантом .

Задача 7.5

Повторить доказательство сохранения маг-

нитного момента, приведённое в лекции, не

предполагая, что

∂B

∂t

=0.

Задача 7.6

Рис. 7.7. К реш ению з адачи 7.6

(Гирорелаксационный нагрев.) Плазма

помещена в магнитное поле, изменяюще-

еся с периодом 2(τ

+ τ

) (рис. 7.7), при-

чём Ω

−1

τ

ν

−1

τ

,гдеν— часто-

та кулоновских столкновений. В тече-

ние первого промежутка времени τ

маг-

нитное поле равно B

, затем линейно на-

растает до значения B

=(1+α)B

за вре-

мя τ

. В течен ие второго пром ежутка

времени τ

магнитное поле поддерживае тся на уровне B

, а затем лине й-

но уменьшается до исходного значения B

за время τ

. Найти изменение

средней энергии частиц плазмы за период изменения магнитного поля.

Задача 7.7

Продолжая преды дущую задачу, указать, каким условиям должн ы удо-

влетв орять ин тервалы τ

и τ

, чтобы осуществить селективный гироре-

лаксационный нагрев а) ионов, б) электронов.

Лекция 8

Адиабатические инварианты. Траектории частиц в

пробкотроне

В качестве пр имера пр именения ре-

Рис. 8.1. Плазма, захваченная

между магнитными пробками

зультатов дрейфовой траектории рассмо-

трим, как движется за ряженная ча стица

в пробкотроне,т.е.вловушкес«маг-

нитными пр обками». Магнитными проб-

ками пр инято назы вать те о бла сти про -

странс тва, з анятого магнитны м полем,

где оно достигает максимального зна-

чения. В простейшем случае пробко-

тронна я конфигурация магнитного по-

ля создается двумя кольцевыми катуш-

ками с током. Магнитное поле и меет

минимум между катушками и максималь-

но непо средственно под ними. На рис. 8.1

изобра жен профиль магнитного поля на оси; такова же качественно

зависимость B(s) на сило вых линиях, близких к о си.

Сначала рассмотрим движение ведущего центра частицы в нуле-

вом пр иближении по пар аметру ε= ρ/`, т.е. пренебрежем дрейфом. Ес-

ли радиус катушек b порядка расстояния между ними, то характерный

масшта б изменения магнитного поля в этой задач е ` ∼b.Имеем

R=v

h, ε=

= const, µ=

⊥

= const.

У ча стицы, стартующе й из минимума поля, по ме ре движения в проб -

ку составляющая скорости v

⊥

, пер пендикулярная на правлению маг-

нитного поля, нарастает , а v

уменьшается, пока частица не остано-

вится в точке, где v

= 0, повернет и начнет двигаться обратно. Точка

остановки определяется условием

ε= µB.

Рис. 8.2. Конус потерь в простран-

стве скоростей

Рис. 8.3. Дрейф заряженной части-

цы в пробкот роне

Сл ед о ва тел ь н о , т ам B = ε/µ. Если обозначить через v

полную скорость

частицы и через v

⊥0

её попе речную соста вляющую в точке минимума

поля B

min

на сило вой линии, то

B =

⊥0

min

sin

где мы ввели питч-угол θ в пространстве скоростей, причем v

⊥0

sinθ.

Важной характеристикой пробкотрона является пробочное отно-

шение K = B

max

min

. Ча стицы, для которых

sin

θ< sin

= B

min

max

≡K

−1

не удерживаются в ловушке. В пространстве скоростей эти частицы

лежат в конусе потерь (рис. 8.2).

Выше мы сч итали, что ча стица о стается всё время на одной и той

же силовой линии. Сделаем тепер ь следующий шаг по пар аметру ε и

учтем др ейф ча стицы:

ΩR

[h, n]+

⊥

2ΩB

[h, ∇B].

В про бко троне, создаваемом коль цевыми кату шками, силова я линия

плоская, а скорость дрейфа v

направ лена по азиму ту ( рис. 8.3). Сле-

довательно, ч астица медленно дрейфует в а зимутальном на правлении

(медленно, т ак как v

∼εv), быстр о о сциллируя между пробками. Тра-

ектория ведущего центра покрывает дрей фовую оболочку, которая в