Котельников И.А., Ступаков Г.В. Лекции по физике плазмы
Подождите немного. Документ загружается.
или слияния ча стиц (наприме р, в результате х имических р еак-
ций) изменение их чис ла
d
dt
nd
3
r может быть связано только с
потоком ч астиц
nud S через гра ницу объёма. Прир авняв этот
поток к изменению ч исла час тиц, получим
d
dt
nd
3
r = − nudS.
Знак минус в правой части этого равенства связан с тем, что век-
тор элемента поверхности d S на правлен по внеш ней нормали к
границе объёма. Производную по вр емени в левой ч асти р авен-
ства можно внест и под знак интеграла, по скольку выделенный
объём не подвижен; при этом полную производную по вр емени
нужно з аменить на ча стную, ч тобы подчеркнуть, ч то пер еме н-
ную интегриро вания r не нужно диффе ренциро вать. В правой
части равенства интеграл по поверхности преобразуется в инте-
грал по объёму при помощи теоремы Остроградского-Гаусса:
∂n
∂t
d
3
r = − div(nu) d
3
r.
Так как правая и левая части полученного соотношения равны
для произ вольного объёма, должны быть равны также поды нте-
гральные выр ажения. Следователь но,
∂n
∂t
+div(nu)=0. (16.11)
9.3 [Ука зание.] Интеграл столкновений удо бно записать в виде
St
ei
= constv
−1
div
v
F = const div
v
(F/v),
учитывая, что Fv =0.
9.4 Общим реше нием ста ционарного уравне ния Вла со ва ( с ∂f /∂t =0)
является любая функция, зависящая от интеграло в движения.
В дрейф овом приближении интегралами движения являются ε =
mv
2
2
+ eϕ — э нергия част ицы в электрос татическом поле с по тен-
циалом ϕ, µ=
mv
2
⊥
2B
— магнитный момент, J
q
=
p
(2/m)(ε−µB−eϕ)ds
— продольный адиабатич еский инвариа нт. Поэтому f = f (ε,µ, J
q
).
9.5 Учитывая, что d
3
v =2πv
⊥
dv
⊥
dv
q
=2π(Bdµ/m)(dε/mv
q
), получаем
для плотности электронов и ионов следующее выражение:
n
e,i
=
2
√
2πB
m
3/2
e,i
f
e,i
dεdµ
p
ε−µB−e
e,i
ϕ
.
130
Отсюда следует, что n
e,i
= n
e,i
(B, ϕ). Из ура внения кваз инейтраль-
ности e
e
n
e
+ e
i
n
i
= 0 зак лючаем, что ϕ = ϕ(B), а следовательно,
n
e,i
= n
e,i
(B) . Оч евидно, ч то продольно е и поперечно е да вление
в плазме также зависят только от B:
p
q
=
∑
e,i
d
3
vm
e,i
v
2
q
f
e,i
=
∑
e,i
4
√
2 πB
m
3 /2
e,i
p
ε−µB −e
e,i
ϕ f
e,i
dεdµ,
p
⊥
=
∑
e,i
d
3
v
m
e,i
v
2
⊥
2
f
e,i
=
∑
e,i
2
√
2 πB
2
m
3 /2
e,i
µ f
e,i
dεdµ
p
ε−µB −e
e,i
ϕ
.
9.7 [Указание .] У честь, что при столь большо й разнице между э нер-
гией ионов и температурой электронов первые тормозятся в основ-
ном на электронах, а рас сеиваются на иона х.
10. 1 Вы полнив интег рирование в формуле (10.5), в результате про-
стых вычислений получаем
R
(0)
ue
= −
m
e
n
e
u
e
τ
e
, (16.12)
где
1
τ
e
=
4
√
2π
3
n
i
Z
2
e
4
Λ
m
1/2
e
T
3/2
e
. (16.13)
Зд есь инде кс u у обозначе ния с илы R указывает, что её проис-
хождение связано с относ ительным движением электронов и ио-
нов. Мы у видим на следующей лекции, что R содержит ещё од-
но слагаемое, пропорциональное градиенту температуры. Там
же мы получим точное р ешение, включаю щее отыс ка ние функ-
ции распр еделения электронов для с лучая лор енцевско й плазмы
(точная формула для R
ue
отличается от R
(0)
ue
числовым коэффи-
циентом 3π/32 '0.29).
10.2 [Ответ:]
s = n
ln
T
3/2
n
+ const
!
. (16.14)
10. 4 Вы числив момент кинетич еско го ура внения с весом mv
2
/2, полу-
чим
∂
∂t
nmu
2
2
+
3
2
nT
+div
nmu
2
2
+
5
2
nT
u = Q + uR. (16.15)
131
Слагаемые, содержащие производные от nmu
2
/ 2, преобразуем,
сначала использовав уравнение непрерывности
∂
∂t
nmu
2
2
+div
nmu
2
2
u = n
∂
∂t
mu
2
2
+ u∇
mu
2
2
+
mu
2
2
∂n
∂t
+divnu
|
{z }
=0
,
а за тем соотноше ние
n
∂
∂t
mu
2
2
+ u∇
mu
2
2
= −u∇p + uR + neEu,
следующее из уравнения движения (10.7) после умножения ска-
лярно на u. В результате из (16.15)получаем
3
2
∂p
∂t
+u∇p
=−neEu−
5
2
p divu + Q.
В ур авнении непрер ывности ( 10.3) вы полним почленное дифф е-
ренцир ование в divnu:
∂n
∂t
+u∇n
= −ndiv u.
Теперь сложим по следние два ур авнения, умножив пе рвое на
1/p, а второе — на −5/2n. Так как согласно (16.14) d (s/n)=
3dp/2p−5dn/2n, в результате получим искомое урав нение (10.13).
13.3 Пусть электроны и ионы в среднем покоятся, так что через про-
извольное сече ние z = z
0
слева напра во и спр ава налево в едини-
цу времени проходит в точности одинаковое число электронов
j ∼n
e
v
Te
. Со стороны ионов на эти потоки действуют силы тре-
ния R
+
и R
−
соответственно, причём R
±
∼m
e
jν
±
. Так как частота 16.10.98
столкновений ν
±
зависи т от температуры, р езультирующа я сила
R
T
= R
+
+ R
−
не ра вна нулю, если ∂T
e
/∂z 6=0. Учитывая, что в
точк у z = z
0
попадают электроны в среднем с расстояний порядка
λ ∼ v
Te
/ν, из о бласти z > z
0
будут приходить электр оны с энер-
гией пример но на λ∂T
e
/∂z большей энергии электронов, приходя-
щих из о бласти z < z
0
. Поэтому результиру ющая сила по порядку
величины р авна
R
T
∼
λ
T
e
∂T
e
∂z
m
e
jν∼
m
e
v
2
Te
T
e
n
e
∂T
e
∂z
∼n
e
∂T
e
∂z
.
Она направлена против градиента температуры.
132
13. 5 Ищ ем р ешение уравнения (13.5)с
∂f
м
∂z
= 0 (так как плазма теперь
однородна) в виде
δf =Φ(v)cosϑ,
причём у словимся, ч то f
м
есть ма ксвелловская функция с u =0,а
поток частиц описы вает поправка δf к функции р аспределения.
Иными словами, используем калибровку
u =
1
n
vδfd
3
v. (16.16)
В данной за даче она удо бнее, ч ем (13.3). Домножив (13.5)на
vcosθ и проинтегрировав по d
3
v, получим ура внение
−eEn
e
= R, (16.17)
где
R = m
d
3
v
A
v
2
1
sinθ
∂
∂θ
sinθ
∂δf
∂θ
= −
8πmA
3
∞
0
dv Φ(v). (16.18)
Иск лючив в уравнении (13.5) электрическое поле с помощью
(16.17), получим ур авнение для опр еделения функции Φ (v):
Φ(v)=
4π
3
mv
4
Tn
e
f
м
∞
0
dv Φ(v). (16.19)
Его р ешением являетс я функция Φ(v)=B(v/v
Te
)
4
f
м
с произволь-
ным коэффициентом B. Этот коэффициент находим из условия
(16.16): B =
√
πu/4v
Te
. Подстав ив найде нную функцию р аспреде-
ления в (16.18), на ходим силу тр ения электроно в об ио ны в слу-
чае лоре нцевской плазмы:
R
ue
= −
3π
32
m
e
n
e
u
e
τ
e
. (16.20)
13.6 Используя (13.12) и функцию распр еделения электроно в, най-
денную в задаче 13.5, вычисляем:
q
ue
=
m(v −u)
2
2
(v −u) fd
3
v
≈
mv
2
2
vδfd
3
v− m(vu)v f
м
d
3
v−
mv
2
2
u f
м
d
3
v
=4n
e
T
e
u−n
e
T
e
u−
3
2
n
e
T
e
u
=
3
2
n
e
T
e
u.
133
Полный электронны й по ток тепла q
e
равен сумме q
ue
и q
Te
.
13.8 Добавив к правой части уравнения (16.15)div(κ∇T ) и повторив
все в ык ладк и из з адач и 10.4,получаем:
nT
d
dt
s
n
= Q−neEu +div(κ∇T ). (16.21)
15. 1 Поделив мо щность излучения из единицы объёма на эне ргию фо -
тон а ~ω,получимα
3
Z
2
λ
2
Б
n
e
n
i
v,гдеα=e
2
/~c=1/137 — постоянная
тонко й стру ктуры. Множитель α
3
Z
2
1 есть вероятность излу-
чить фотон при «лобовом» столкновении электрона с ионом.
16.2 Поскольку приведённые параметры соответствуют критерию Ло-
усона, тепловой поток из единицы объёма р авен 3nT/τ,гдеτ=
1сек. Поток S на единицу поверхнос ти находим из ур авнения ба -
ланса
2πR·S = πR
2
3nT
τ
.
Отсюда
S =
3
2
3nTR
2τ
=2,4·10
5
·R[м]
Вт
м
2
.
При R =1мполучимS= 240 кВт/м
2
. Это число получено в пред-
положении, что α-частицы достигают с тенки. Если они тормо-
зятся в плазме, то тепло вой поток нужно умножить на 4/5.
134
Список литературы
[1] 29, 38, 56, 62, 115
Арцимович Л.А., Сагдеев Р.З. Физика плазмы для физиков. М.:
Атомиздат, 1979.
[2]
Александров А.Ф., Богданкевич Л.С., Рухадзе А.А. Основы
электродинамики плазмы. М.: Высш. шк., 1978.
[3] 103
Чен Ф. Введение в физику плазмы. М.: Мир, 1987.
[4]
Ландау Л.Д., Лифшиц Е.М. Статистическая физика. М.: Наука,
1976. Ч. 1.
[5] 56, 76
Франк-Каменецкий Д.А. Лекции по физике плазмы. М.: Атом-
издат, 1968.
[6]
Кролл Н., Трайвелпис А. Основы физики плазмы. М.: Мир,
1975.
[7] 44, 115
Зельдович Я.Б., Райзер Ю.П. Физика ударных волн и высоко-
темпера тур ных гидр одинамических явлений. М. : Наука, 1966.
[8] 44, 115
135
Жданов В.П. Элементарные процессы в высокотемпературной
плазме. Новосибирск, 1980 (Препр. ИЯФ СО АН СССР; № 80-
110).
[9] 103, 115, 122
Арцимович Л.А. Управляемые термоядерные реакции. М.: Ф из-
матгиз, 1961.
[10] 29, 38
Трубников Б.А. // Вопросы теории плазмы. М.: Атомиздат, 1963,
вып. 1, с. 98.
[11] 122
Лукьянов С.Ю. Горячая плазма и управляемый ядерный синтез.
М.: Наука, 1975.
[12] 56
Сивухин Д.В. // Вопросы теории плазмы. М.: Атомиздат, 1963,
вып. 1, с. 7.
[13]
Лифшиц Е.М., Питаев ский Л.П. Физическая Кинетика. М.: На-
ука, 1979.
[14] 38
Сивухин Д.В. // Вопросы теории плазмы. М.: Атомиздат, 1964,
вып. 4, с. 81.
[15]
Кудрин Л.П. Статистическая физика плазмы. М.: Атомиздат,
1974.
[16] 29, 38, 44
Райзер Ю.П. Физика газового разряда. М.: Наука, 1987.
[17] 84, 93, 103
Брагинский С.И. // Вопросы теории плазмы. М.: Атомиздат,
1963, вып. 1, с. 183.
[18]
Рютов Д.Д. УФН. 1988, т. 154, вып. 4, с. 565, .
136
Игор ь Алекса ндрович Котельников
Геннадий Викторович Ступаков
Лекции по физике плазмы
Учебное пособие
для студентов НГУ
Подписано в печать Формат 60х86/16
Печать офсетная. Уч.-изд. л. 8. Усл. печ. л. 8.
Тираж 150 экз. Заказ № Цена 6000 р.
Редакционно -издательский отдел Н овосибирского г осударс твенного
университета; участок оперативной полиграфии НГУ; 630090, Ново-
сибирск 90, ул. Пирогова, 2.