Котельников И.А., Ступаков Г.В. Лекции по физике плазмы

Подождите немного. Документ загружается.

то го вор ят о б идеа льной плазме. В идеальной плазме кулоновское вза-

имодействие ч астиц мало , и во мно гих з адачах им можно воо бще пре-

небречь . Термодинамические свойст ва тако й плазмы мало о тличаются

от свойств идеального газа. Плазма, для которой выполнено неравен-

ство, обратное (1.5), называется неидеа льной.

Для квантовой (или вырожденной) плазмы, температура Т которой

мала по сра внению с ~

2/3

/m, критерий идеальности изменяется. Хо-

тя выра жение (1.4) для энергии электростатического взаимодействия

сохра няет силу, кинетическая эне ргия частиц тепер ь не равна темпе-

ратуре плазмы: согласно квантовой физике кинетическая энергия не

равна нулю даже при абсолютном нуле температуры. Кинетическую

энер гию можно о ценить, если за метить, что в одной точке не может

находиться более двух электроно в (один со спином « вверх», дру гой

со спином «вниз»). П оэтому при среднем расстоянии между ч астица-

ми n

−1/3

получается, что каждый электрон заперт в ящик с размера-

ми ∆x ∼n

−1/3

. По принципу неопределенности, ч астица, ло кализован-

ная в интервале ∆x, должна иметь импульс p ∼ ~/∆x и, следователь-

но, должна иметь кинетическу ю э нергию W

= p

/2m.Собираявсеэти

оценки вместе, находим, что

∼

2/3

. (1.6)

Эта величина по порядку величины совпадает с энер гией Фе рми вы ро-

жденного электронного газ а. Усло вие идеаль ности W

W

для кван-

товой плазмы пр инимает вид

n n

∗





. (1.7)

Неравенства (1.2), (1.5)и(1.7) вы деляют в пло скос ти переменных

n, T четыре области (рис. 1.1). Это область классической идеальной

плазмы (1), к лассической неидеальной плазмы (2), квантовых неиде-

альной (3) и идеально й (4 ) пла зм. Все четыре области имеют одну

общую точку, в которой

n ∼n

∗





= a

− 3

=6,75·10

см

−3

T ∼T

∗

1/3

∗

=Ry=13,6эВ,

Рис. 1. 1. Классификация плазмы: 1

— идеальная классич еская плазма

— низкотемпературная, 1

—вы-

сокотемпературная); 2 — неидеаль-

ная к лассическая плазма; 3 — неиде-

альная квантовая плазма; 4 — иде-

альная квантовая плазма

где a

= ~

/me

обозначает боровский радиус, а Ry = me

/2~

—энер-

гию основного состояния в атоме водорода. Для ориентировки в по-

рядках величин в табл. 1.1 приведены некоторы е типичные пар аме-

тры плазм, встр ечающихся в природе . Иногда плазму подразделяют

на низкотемпературную (T < 10 эВ) и высокотемпературную (T 

10 эВ). Хотя такое деление в значительной степени усло вно, оно о т-

ражает тот факт, что высокотемпературная водородная плазма являет-

ся полность ю ио низованной, тогда как в низ котемпературной плазме

обыч но ва жным является у чет на личия нейтраль ных ч астиц.

Вернемся к понятию квазинейтральности. Рассмотрим плазму, в

единице объема которой находится n электронов и столько же одноза-

рядных ио нов. Представим, что вследствие теплового движения ча -

стиц в о бласти размера l пр оизошло разделение за рядов и самопр оиз-

вольно возникла разность плотности электронов и ионов. В результа-

те появится эле ктрическое поле, потенциал ϕ которого определяется

из ура внения Пу ассона

∆ϕ= −4πeδn. (1.8)

Для грубой оце нки можно положить ∆ϕ≈δϕ/l

,гдеδϕ — перепад по-

тенциала на мас штабе l .Из(1.8)находим

δϕ ≈ 4πeδnl

. (1.9)

Величина eδϕ не может быт ь сущ ественно больше кинетич еско й

энергии частиц T, так как в про тивном случае по тенциал буд ет тор-

мозить заряды и пр епятствовать их р азделению. По этой пр ичине

Таблица 1.1

n,см

−3

T,эВ

Термоядерный реактор 10

То камак 10

÷10

100÷10

Открытая ловушка 10

÷10

10÷10

Пинч 10

Га зо в ы й р а з р я д 10

÷10

Лазер ная плазма 10

÷10

Солнечная корона 10

200

Солнечная атмосфера 10

Ио н о сф е р а З емл и 10

÷10

0,1

Солнечный ветер 5 10÷50

Межзвёздный газ 1 0,01÷1

e δϕ ∼ T , ч то пр и у чете (1.9)дает

δn

∼

4πne

. (1.10)

Вводя определение дебаевского радиуса

4πne

, (1.11)

мы можем сказать, что пла зма буд ет квазине йтральной, если е е р азмер

L велик по ср авнению с r

. В этом случае относительные разность в

плотности электронов и ионов на масштабе L мала :

δn

∼

. (1.12)

Если же L сравнимо с r

, то тако й газ, по существу, не является плаз-

мой, а представляет собой скопление о тдельных заряженных ча стиц.

Другой вывод, который следует из формулы (1.12), состоит в том, что

если размер плазмы ср авним с дебаевским радиу сом, L ∼r

, то пла зма

является сущес твенно не ква зинейтраль ной, δn ∼n.

При вычис лении величины дебае вского р адиуса полезно пользо-

ваться «практической» формулой:

[см] = 740

T [эВ]

n[см

−3

]

Задача 1.1

Вычислить r

для параметров, приведенных в табл. 1.1.

Если в пла зме есть р азные сорта ионов, хар актеризующ иеся заря-

довыми числами Z

и плотнос тью n

, то усло вие квазинейтр альност и

плазмы очевидно принимает с ледующий вид:

∑

Задача 1.2

Оценить дебаевский радиус r

для плазм ы, состоящей из эле ктронов и

ионов с зарядом Z 1.

Дебаевский радиус характеризует пространственный масштаб, на

котором происходит разделение зарядов в плазме. Характерным вре-

менным масшта бом су ществования флуктуа ций плотнос ти в объемчи-

ке с р а з м е ром r

является величина

t ∼

∼



4πne



1/2





1/2

∼



4πne



1/2

где v

— тепловая скорость электронов, а m

— масса электрона. За

это время в область размера r

прилетят новые электроны, которые

«за мажут» возникшую та м флукту ацию. Величина t

−1

,имеющаяраз-

мерность частоты, называется электронной плазменной или ленгмю-

ровской частотой и о бозначается ω

4πne

. (1.13)

В пра ктических единицах

[с

−1

]=5,6·10

n[см

−3

] .

Если флуктуация пло тности возник ла в объемчике с р азмером l 

, тепло вое движение не у спевает её з амазать з а время ω

−1

.Вэтом

случае возникают ленгмюр овские колеба ния. Они сопровождаются

изменением пло тности электронов с периодом 2π/ω

вок руг ср еднег о

значения, р авного плотно сти ио нов.

Рассмотрим плоский слой электронов, который движется вдоль оси

x перпендикулярно своей плоскости. Если этот сло й сдвинулся впра во

на расстояние x −x

от с воего начально го положения x

(когда плот-

ность электронов была одно родна и ра вна плотнос ти ионо в n

), то

слева от с лоя возникнет избыток положительного за ряда с величиной

( x −x

) на единицу площа ди слоя, та к как при своем движении слой

«обна жает» ионны й остов, о стающийся слева от него. В результате

возникнет электрическое поле E

=4πen

( x −x

), которое будет тормо-

зить электроны в сло е, с тремясь вернуть их в исходное положе ние.

Приравнивая ускорение электрона в слое (помноженное на массу) к

возвращающей силе −eE

, получим ур авнение движения электрона

x = −4πe

(x−x

). (1.14)

Это уравнение действительно описы вает колебательное движение элек-

трона с лемгюровской частотой ω

4πn

/m о коло е го исхо дн о го

положения (см. задач у).

Задача 1.3

Рис. 1.2. Колебания слоя

элект ронов

В момент времени t =0э лектроны плазмы

приобрели скорость v

= v

cos(kx

),гдеx

—

начальная координата э лектрона. Считая

ионы неподвижными, а начальное распреде-

ление плотности электрон ов од нородным и

равным n

, описать движение электронов.

Ответ. Электроны совершают колебательное

движение с частот ой ω

4πn

/m около

точки старта: x =x

+(v

/ω

)cos(kx

)sin(ω

t),

= v

cos(kx

)cos(ω

t). Указанное решение

имеет смысл, ес ли v

< ω

/k .Приv

>ω

существует такой момент времени, когда плот-

ность электронов n = n

∂x

формально стано-

вится бесконечной; при этом происходит «опрокидывание волны», а движе-

ние электронов становится двухпотоковым.

Лекция 2

Дебаевская экранировк а. Энергия кулоновск ого

взаимод ейс тви я частиц в плаз ме

Кулоно вское взаимодействие з арядов в плазме проявляется в отталки-

вании ра зноименно заряженных час тиц и пр итяжении зарядо в ра зно-

го знака. В результате вблизи положительного заряда увеличивается

ко нцентрация о трицательно заряженных час тиц, которые экр анируют

положительный заряд. И з-за та кой экр анировки потенциал исходного

заряда убывает с расстоянием гораздо быстрее, чем по закону Кулона.

Аналог ичная картина имеет место и вблизи отр ицательного за ряда.

Для того ч тобы описать эффект э краниров ки колич ественно, пред-

ставим, ч то в плазму помещен сторо нний заряд q, и найдем распреде-

ление по тенциала ϕ вблиз и него . Электро ны и ионы пла змы (по след-

ние счита ются одноза рядными) р аспределяются в по тенциале ϕ по за-

ко ну Больцмана

= n

exp



−



, (2.1)

где s = e, i,аn

— плотнос ть ч астиц вдали от пр обного заряда, где плаз-

ма являетс я к вазинейтраль ной. В ф ормуле ( 2.1) мы учли возможное

отличие температуры электроно в T

от температуры ионов T

.Будем

предполагать, ч то |e

ϕ|T

, тогда экспоненту в (2.1) м ожн о р а злож ит ь

в ряд Тейлора

exp



−



≈1−

, (2.2)

что дает для возмущения пло тности δn следующее выражение:

δn = n

−n

= −n

eϕ





, (2.3)

где e = e

= −e

обозначает элементарный заряд.

Подставим возмущение плотности ( 2.3) в ур авнение Пу ассона

∆ϕ= −4πeδn =

, (2.4)

где дебаевский радиус r

теперь определяется по формуле

=4πe





. (2.5)

То, что мы о бозначили чер ез r

в лекции 1 (фо рмула ( 1.11)), фактиче-

ски о тносилось только к одно й компо ненте плазмы; из ( 2.5) видно, что

при уч ете обеих компонент ск ладываются величины r

−2

Будем ис кать сфер ически симметрично е реше ние ур авнения (2.4),

ϕ= ϕ(r). П ри этом ура внение (2.4) пр инимает вид

dϕ

Легко найти его решение, обращающееся в нуль при r →∞:

ϕ=

exp



−



. (2.6)

Ко нстанта

A определяется из того условия, что при r → 0мыдолжны

получить неэкр анирова нный кулоновский потенциал q/r.Значит,

q,ипоэтому

ϕ=

exp



−



. (2.7)

Потенциал (2.7)прибольшихrубывает значительно быстрее, чем не-

экра нированный кулоновский по тенциал q/r (рис. 2.1).

Задача 2.1

Пользуясь выражением (2.7), оцен ить минимал ьное расстояние r

∗

,нако-

тором еще можно разлагать экспоненту в формуле (2.1). Убедиться, что

для идеальной плазмы r

∗

меньше , че м м ежчастичное расстояние.

Если в плазме есть несколько сортов заряженны х частиц, то деба-

евский радиус будет определяться следующей формулой (ср. с (2.5)):

∑

4πe

. (2.8)

Рис. 2.1. Дебаевский (сплошная

линия) и кулоновский ( пунктир)

потенциал в единицах q/r

Вернемся к выражению (2.6). По тенциал ϕ(r) складывается из по-

тенциала пробно го заряда q/r и по тенциала экр анирующего облака за -

рядов плазмы ϕ

scr

. Последний может быть найден как разность

scr

exp



−



−

. (2.9)

Переходя к пределу r →0в(2.9), найдем, что вблизи час тицы ϕ

scr

(0) =

−q/r

— это потенциал, который создают все о стальные за ряды плаз-

мы в точке , где находится пробный з аряд. Зная ϕ

scr

(0), можно найти

энергию взаимодействия пробного заряда с плазмой как qϕ

scr

(0); она

равна

qϕ

scr

(0) = −

. (2.10)

До сих по р реч ь шла о пр обном заряде, помещенном в плазму. Од-

нако все сказанно е выше с праведливо и в отнош ении тех з арядов, из

которых состоит сама плазма. В результате мы приходим к зак люче-

нию, ч то каждый плазменный з аряд о кружен э кранирующим облаком,

а поле, которое он создает, с учетом экранировки экспоненциально

спадает с расстоянием в соответствии с формулой (2.7).

Более того, можно найти и энер гию взаимодействия плазменных

зарядов друг с другом. Для этого, согласно (2.10), необходимо про-

суммировать квадраты всех зарядов и результат разделить на вели-

чину дебаевского радиуса. Однако, как легко понять, при таком вы-

числении взаимодействие каждой пары зарядов мы учтем дважды —

один р аз при умножении пер вого за ряда на потенциал, ко торый созда-

ет второй заряд в точке нахождения первого, а второй раз при умно-

жении второго заряда на потенциал, котор ый создает перв ый за ряд в

точке нахождения второго. Поэтому правильный ответ получается до-

полнитель ным делением р езультата на 2. Таким о бразом, для э нергии

w в единице объема находим

w = −

∑

. (2.11)

Для плазмы с одноза рядными ио нами эта ф ормула пр инимает вид

w = −

. (2.12)

Энергия W

= w/2n, пр иходящаяся на одну частиц у, ра вна

= −

12N

, (2.13)

где мы ввели число частиц N

πr

n всфереДебая.

Условие малости энергии электростатического взаимодействия по

сравнению с кинетической энергией частиц, |W

|T,приводиткне-

равенству

1. (2.14)

Выражая N

чер ез плотно сть и температуру пла змы,

∼T

3/2

−1/2

−3

легко убедиться, что неравенство (2.14) эквивалентно условию иде-

альности плазмы (1.5).

Полезно о братить внимание , что вы численная энер гия кулоновско-

го взаимодействия частиц в плазме W

= −e

/2r

вовсе не сов пада ет с

грубой оценкой этой энергии W

∼e

1/3

, которой мы пользовались на

предыдущей лекции при классификации плазмы. В идеальной плаз-

ме величина e

значительно меньше, чем e

−1/3

.Однакоэтоне

влияет на к лассифика цию видов плазмы, так как на границе между

идеально й и неидеа льной пла змами r

∼ n

−1/3

. В неидеаль ной пла з-

ме N

 1ипо-прежнемуW

∼e

1/3

. Интересно, что к лассическая

плазма тем более идеа льна (т .е. о тношение W

тем меньше), чем

меньше плотно сть плазмы, тогда как в квантовой плазме электрос та-

тическое взаимодействие тем менее существенно, чем выше её плот-

ность.

Для ориентировки в порядке величин оценим N

для плазмы с пар а-

метрами n =10

см

−3

и T = 100 э В. Д ля такой плазмы r

=7,4·10

−4

см,

=1,7·10

Задача 2.2

Плотность ионов в плазме как функция координат имеет вид ступеньки:

она равна n

при x < 0 и n

+n при x > 0,причемnn

. Найти распре деле-

ние потенциал а и плотн ости эл ектронов, е сли эле ктронная тем перату-

ра рав на T .

Задача 2.3

Найти условие идеа льности лорен цевской плазмы, состоящей из элек-

тронов и многократно ионизованных ионов с зарядом Z 1.