Котельников И.А., Ступаков Г.В. Лекции по физике плазмы
Подождите немного. Документ загружается.
обратный неравенству (15.5), когда в процессе излу чения главную
роль игр ают близкие столкновения с заметны м искр ивлением тр аек-
тории электрона (см. рис. 15.2).
Обозначим через r
∗
расстояние между электроном и ионом в мо-
мент наибольшего сближения. В этот момент скорость электрона до-
стигает своего максимального значения v
∗
. Энер гию, излученну ю при
пролете, можно оце нить, умножив мо щность излучения в момент ма к-
симально го сближения
J ∼
Z
2
e
6
m
2
e
c
3
r
4
∗
на его длительность r
∗
/v
∗
:
∆
E ∼
Z
2
e
6
m
2
e
c
3
v
∗
r
3
∗
. (15.13)
Параметры v
∗
и r
∗
выразим через скорость электрона «на бесконечно-
сти» v и прицельное расстояние ρ, воспользовавшись законами сохра-
нения э нергии и момента импульса:
m
e
v
2
2
=
m
e
v
2
∗
2
−
Ze
2
r
∗
, (15.14)
m
e
vρ= m
e
v
∗
r
∗
. (15.15)
Предположив, что v
∗
v (иначе мы вернемся к приближению прямо-
линейной трае ктории), из уравне ния (15.14)выразимv
∗
'
p
2Ze
2
/m
e
r
∗
через r
∗
. Подс тавив это соотно шение в уравнение ( 15.15), находим
расстояние минимального сближения
r
∗
= ρ
2Ze
2
m
e
v
2
ρ
−1
,
а затем и максимальную скорость
v
∗
= v
2Ze
2
m
e
v
2
ρ
.
Входящий в эти формулы параметр 2Ze
2
/m
e
v
2
ρ следу ет считать боль-
шим, 2Ze
2
/m
e
v
2
ρ1 . Подставив r
∗
и v
∗
в(15.13), выразим ∆E через ρ
и v:
∆
E ∼
Z
2
e
6
m
2
e
c
3
vρ
3
2Ze
2
m
e
v
2
ρ
2
. (15.16)
110
Если плотность электронов n
e
, а их скорость v, то на одном ио не в
единицу времени будет излучаться э нергия
16.10.98
P
1
= 2πρdρ·n
e
v·∆E ∼
Z
2
e
6
n
e
m
2
e
c
3
v
dρ
ρ
2
2Ze
2
m
e
v
2
ρ
2
. (15.17)
Обрезав интегрирование на нижнем пределе на прицельном расстоя-
нии ρ по рядка λ
Б
и умножив р езультат на n
i
, получим оценку, совпа-
дающ ую с оценкой мощно сти рекомбинацио нного излучения из еди-
ницы о бъ ёма (15.10). Это совпаде ние не с лучайно , так как в низко -
темпера тур ной плазме, где энер гия большинства электроно в мень ше
энер гии иониз ации, т.е. удов летворяет у словию (15.12), излучение со
сплошны м спектром по преимуществу является рекомбинационным.
Действительно, кинетическая энергия налетающего электрона значи-
тельно меньше энер гии ио низации, тогда как э нергия, унос имая фо то-
ном, пр имерно равна ей, по скольку
~ω∼
~v
∗
r
∗
∼
~v
λ
Б
Ze
2
m
e
v
2
λ
Б
2
∼
m
e
e
4
Z
2
~
2
.
Тормозному излучению соответствуют фотоны с энергией ~ω6m
e
v
2
/2.
Прира внивая m
e
v
2
/2и~v
∗
/r
∗
∼(~v/ρ)(Ze
2
/m
e
v
2
ρ)
2
, найдё м прицельное
расстояние для тормозного излучения:
ρ∼λ
Б
Z
2
e
4
~
2
v
2
1/3
.
Обрезав интеграл в (15.17) на этом р асстоянии, можно оценить мощ-
ность тормоз ного излучения. Она совпадает с оценкой (15.8). Таким
обра зом, оценки мощно сти тормозного и рекомбинацио нного излуче-
ния, получ енные в пр иближении далёких пр олето в, верны в общ ем
случае.
Прежде чем отождествлять вычис ленную мощно сть, излученну ю
из единицы о бъ ёма плазмы, с потерями энер гии, надо убедиться, что
излученны е фотоны покидаю т плазму, а не поглоща ются в ней. П ро-
цесс тормоз ного поглощ ения является о братным по отнош ению к тор -
мозному поглоще нию: фо тон с талкивается со свободным электро ном,
ко гда тот находится вблизи иона ( тройное столкновение) и поглоща-
ется электроном.
Вычислим длину, на которой поглощается электромагнитная волна
в плазме. Это можно сделать на языке классической физики. Пусть
111
амплитуда волны ра вна E , а её частота ω. Электроны колеблются в
поле такой волны со скоростью
˜
v =
eE
m
e
ω
.
Их кинетическая э нергия в единице о бъ ёма равна
n
e
m
e
˜
v
2
2
=
1
2
n
e
e
2
E
2
m
e
ω
2
=
E
2
8π
ω
2
p
ω
2
. (15.18)
За счёт столкновений с ионами направленное движение электронов
изотро пизируется, а их энер гия (15.18) превращается в тепло, при-
чём скорость диссипации энергии пропорциональна частоте электрон-
ионных столкновений ν
ei
. Учитывая, что поток энергии в волне равен
1
cE
2
/ 8π,ивыбираяосьxв направлении распространения волны, полу-
чим ур авнение
d
dx
c
E
2
8π
= −ν
ei
ω
2
p
ω
2
E
2
8π
.
Его р ешением является экспоненциаль но убы вающая функция
E
2
8π
=
E
2
0
8π
e
−x/`
,
где
` =
c
ν
ei
ω
2
ω
2
p
есть ис комая длина про бега излучения. Подс тавляя сюда фо рмулу
ν
ei
= n
i
vσ
тр
,
следует учесть, что формула (4.9) для транспортного сечения σ
тр
= 16.10. 98
4πΛZ
2
1
Z
2
2
e
4
/m
2
v
4
относ ится к случаю далеких пролетов, когда прицель-
ный параметр ρ порядка дебаевского радиуса r
D
. При далеких проле-
тах излучаю тся или поглощаются электромагнитные волны с низкой
частотой, ω∼v/ρT/~. Фотоны с энергией ~ω∼T
e
поглощаются при
близких пролетах . Со ответствующее сечение примерно в Λ р аз ме нь-
ше. Полагая, что v ∼v
Te
и ~ω∼T
e
,получаем
1
Мы предполагаем, что ωω
p
; электромагнитные волны с частотой ниже плазмен-
ной не могут распространяться в плазме без магнитного поля.
112
` ∼
cm
3 /2
e
T
7 /2
e
n
e
n
i
Z
2
e
6
~
2
. (15.19)
Точные вычисления дают
` =2,5·10
37
(T
e
[эВ])
7/2
n
e
[см
−3
]n
i
[см
−3
]Z
2
см . (15.20)
Длина пр обега излучения даже в сравнительно плотно й и холодной
плазме очень велика. Наприме р, для водор одной пла змы с T
e
=10эВ,
n
e
=n
i
=10
15
см
−3
имеем ` =8·10
10
см. Поэтому лабораторная плазма
прозр ачна для излучения. Непр озрачны для излучения ядра звёзд.
Пусть L — хар актерны й лине йный
Рис. 15.3. Мощность излуч е-
ния на единицу поверхности
излучающего тела
размер излучающего тела. Обозначим
через S мощность излу чения, отнесё н-
ную к единице по верхнос ти и ус тано-
вим за висимость S от L.ПриL`мо щ-
ность S про порцио нальна размеру тела
L:
S ∼
PL
3
L
2
∼PL.
При L ` излучение выходит только из
поверхностно го слоя толщины порядка
`:
S ∼P`.
Если подставить в качестве P мо щность тормозного излучения, то по-
луч им :
S ∼
T
4
c
2
~
3
.
С точностью до ч исленного коэффициента этот р езультат совпада ет с
законом Стефана-Б ольцмана, согласно которому поток мо щности из -
лучения абсолютно ч ёрного тела равен
S =
π
2
60
T
4
c
2
~
3
.
Реа льная картина излучения усложняется ко нкуренцией между из-
лучением с непре рывным спектром и излучением в дискретных ли-
ниях ис пускания атомов и молекул, а также убыва нием температу-
ры к поверхности излучающего тела из-за радиационного остывания.
113
Рис. 15.4. Спектр излучения нагрето-
го тела, совершенно прозрачного в
непрерывном спектре, н о непрозрач-
ного в линиях. Пунктирная линия
соответствует планковскому спектру
излучения черного тела при данной
температуре
Рис. 15.5. Спектр излучения тела с
температурой, уменьшающейся к по-
верхности. Малые ч астоты поглоща-
ются сильнее, чем большие. Пункти-
ром показан планковский спектр, от-
вечающий средней эффективной тем-
пературе излучения. В спектре вы-
резаны линии селективного погло-
щения. Поток излучения в центрах
линий равен планковскому потоку,
отвечающему температуре поверхно-
сти
114
Обычно в линейч атом спектре соср едоточена лишь малая доля мощ -
ности излучения, поэтому р аспределение темпера тур ы в излуча ющем
слое зависит, главным образом, от характеристик непрерывного спек-
тра. Длина пр обега линейч атого излучения о бычно знач ительно ме нь-
ше, чем вычисле нная выш е длина пробега излучения в непре рывном
спектре. В результате этого тело, прозрачное в непрерывном спек-
тре, испус ка ет линейчаты й с пектр (см. рис. 15.4). Напротив, в спек-
тре излучения непр озрачног о тела имеются линии по глощения ( см.
рис. 15.5), та к как линейч атое излучение выходит только из тонкого
приповерхнос тного слоя, где темпер атура тела ниже, ч ем в глу бине
тела, где формируется излучение с непрерывным спектром.
В з аключе ние этой ле кции обсу дим роль цик лотронного излучения .
Оно возникает, если в плазме имеется магнитное поле. Электро ны,
вращающиеся по ларморовскому кружку, излучают гармоники цикло-
тронной частоты:
ω= l Ω
e
= l
eB
m
e
c
, l =1,2,... .
Легко подсчитать полную интенсивность излучения в дипольном при-
ближе нии. Так как w =Ω
e
v
⊥
, из формулы дипольного излучения полу-
чаем
P
цикл
=
2e
2
3c
3
(Ω
e
v
⊥
)
2
n
e
=
2
3
e
4
B
2
T
e
n
e
m
e
c
5
.
Мощно сть цик лотро нного излучения может бы ть оче нь значительной
для термоядерной плазмы. Формально она может быть больше мощ-
ности, выделяемой в термоядерных р еакциях (с м. лекцию 16). Однако
в пло тной пла зме первые га рмоники (l =1,2,3) сильно поглощаются
и не выходят из неё. В результате излучаются только более высокие
гармоники, а их интенсивно сть на два порядка ме ньше, ч ем по нашей
оценке. Кроме того, циклотр онное излучение отно ситель но длинно -
волновое. Воспользовавшись практической формулой
Ω
e
=1,8·10
7
B[Гс] сек
−1
,
легко подсчита ть, ч то Ω
e
=9·10
11
сек
−1
при B = 50 кГс, а длина волны
равна λ=2πc/Ω
e
= 2см. Тако е излучение (в отлич ие от тормозного) хо-
рош о о тражается мета ллическими стенками и может быть возвращ ено
в плазму.
Литература: [1, §1.8], [7,гл.V,§1–4], [8, §6,7], [9, §7.8].
115
I
Задача 15.4
Оценить длин у пробе га циклотронн ого излу чения.
116
Лекция 16
Ядерные реакции синтез а. Куло новск ий барье р. Критер ий
Лоусона
Началом современной физики плазмы принято считать 1952 г., ко-
гда была выдвинута идея создания термоядерного реактора, в котором
должны быть о существле ны упра вляемые р еакции синтеза, пр отека-
ющие при взрыве водородной бомбы. Главными р еакциями синтеза с
учас тием изотопов легких атомов являются следующие:
D+T→
4
He +n +17,6МэВ, (16.1)
D+D→
3
He +n +3,2МэВ,
T+p+4,0МэВ,
(16.2)
причём вероятнос ть д вух каналов реакции D + D пример но одинакова.
Такие же или ана логичные р еакции синтеза осу ществляются в звездах.
Зд есь D обознача ет дейтерий, т .е. изотоп водорода
2
H с атом н ым в е с ом
2, ядро которого помимо протона p содержит ещё «лишний» нейтро н
n. Как и о сновной изо топ водорода H, дейтер ий ста билен. Он содер-
жится в обычной воде в виде молекул тяжелой воды D
2
O. Хотя на 6500
молекул H
2
O пр иходится всего одна молекула D
2
O, энергия, которую
можно извлечь из литра мо рской воды, если выделить весь дейтерий
и «сжечь» его в термоядерном реакторе, в 300 раз больше теплотвор-
ной способнос ти литр а бе нзина. Так что запас ы эне ргии дейтерия на
Земле практически бесконечны, даже если сопоставлять их с энерги-
ей, ис пользованной человеческой цивилизацией за все вр емя е е с уще-
ствования. Тритий T, являющийся третьим изотопом водорода
3
H, ра-
диоактивен. Его период полураспада 12,4 года. Поэтому его запасы
отсу тствуют. Тритий пр оизводят, о блуч ая литий быстр ыми нейтро -
нами:
7
Li +n →
4
He+ T +n−2,47 МэВ. (16.3а)
117
Образовавшийся медленный нейтрон может прореагировать с другим
природны м изотопом лития:
6
Li +n →
4
He+T+4,8МэВ. (16.3б)
В р е зул ьт а те получ а ет ся пол ожи тель ны й вы хо д э не р ги и ( пр им ер н о
2,5 МэВ), а на один быстр ый нейтр он вы ходит более одного тритона.
Заметим, что эне ргия в р еакциях синтеза в ыделяется в виде кинети-
ческой э нергии продуктов реа кций. Так на пример, в р еакции (16.1)
α-частица (т.е.
4
He) унос ит энер гию 3,5 МэВ, а нейтро н — 14,1МэВ.
Реа кции ( 16.2)и(16.1) в конечном итоге ведут к появле нию р а-
диоактивных продуктов, которые образуются во вторичных реакциях
с участием термоядерных нейтронов в стенках реактора. Этого недо-
статка лиш ена реа кция с интеза дейтер ия с легким изотопом гелия
3
He:
D+
3
He →
4
He + p+15,5МэВ. (16.4)
На Земле
3
He практически отсутствует, однако он о бнаружен на по-
верхности Л уны. Если термоядер ная энергетика ко гда-нибудь станет
реальнос тью, вероятно, она будет основ ана именно на реакции (16.4).
Про блемы на пути дос тижения Упра-
Рис. 16.1. Кулоновский барьер
вляемой Термоядерной Реакции (сокра-
щенно: У ТС) не исчер пываются одной
только геологией ( или лунологией). Д ля
того чтобы реа кция слияния двух ядер
осуществилась, нужно ядра сблизить на
расстояние порядка r
0
'10
−13
см, на ко-
тором начинают действовать ядерные
силы. На больших расстояниях действу-
ют силы кулоно вского о тталкивания. Для
преодоления кулоновского барь ера (см.
рис. 16.1) сталкиваю щиеся ядра долж-
ны иметь кинетич ескую энер гию боль-
ше высоты кулоно вского барьера :
U
0
=
e
2
r
0
∼1МэВ.
На самом деле даже в ядра х звёзд температура пла змы з начитель но
меньше этой величины, тем не менее реакции синтеза идут. Дело в
том, что реакция с интеза оказы вается возможной при любой э нергии
118
Рис. 16.2. Сечение реакций синтеза Рис. 16. 3. Скорость реакций синтеза
сталкивающихся ядер из-за квантового эффекта подбарьерного пере-
хода. Впр очем, сеч ение реакции э кспоне нциально мало, если эне ргия
E ма ла по ср авнению с U
0
. О но пропо рционально E
−1
exp(−const/
√
E).
Важным является факт, что при энергии
E д о 10 кэВ сеч ение σ
DT
реакции D+ T пр имерно на два по рядка больше сеч ения реакции D +D.
Для D + T реакции максимум сечения приходится на э нергию тр итона
E '100кэВ (в пересчете на случай, когда дейтон покоится). Максимум
сечения σ
DTmax
'5барн=5·10
−24
см
2
также су щественно больше зна -
чения πr
2
0
∼ 3·10
−26
см
2
, которое можно было бы ожидать из простой
оценки по величине р адиуса д ействия r
0
ядерны х сил. Такая аномалия
связана с тем, что реакция D + T носит резона нсный хар актер, и слия-
ние ядер происходит через образование долгоживущего «кластера».
Зная сечение реакции, нетру дно вычис лить число р еакций g веди-
нице объёма в единицу в ремени. Для равно компонентной смеси D и T,
n
D
= n
T
=
1
2
n,оноравно
g=
1
4
n
2
hσ
DT
vi,
где у гловые с кобки означают ус реднение по функции рас пределения
дейтонов и тритонов, а v = |v
T
−v
D
| — относительная скорость ре-
агирую щих ч астиц. Так как пр и э нергии
E в несколько килоэлек-
тронвольт сече ние ес ть с ильнорас ту щая функция
E , основной вк лад
всреднееhσ
DT
vi вно сят надтепловые ч астицы с энер гией в несколько
раз превышающей температуру T (в случ ае максвелловской функции
119