Котельников И.А., Ступаков Г.В. Лекции по физике плазмы

Подождите немного. Документ загружается.

осесимметричном пробкотроне представляет собой поверхность вра-

щения, образова нную вра щением силовой линии во круг оси про бко-

трона.

Чтобы найти дрейфовую оболочку в общем случае, не обязательно

реша ть дре йфовые ур авнения движения. Поэтому вновь о братимся к

уравне ниям движения в нулевом пр иближении по параметру ε,ноте-

перь вк лючим в них электрическое поле:

R = v

= eE

µ =0.

Прео бразуем эти ур авнения к гамильто новой фо рме.

Перво е ур авнение за пишем в виде

s = v

, (8.1)

где s — координата вдоль силово й линии.

Во втором уравнении учтем, что

= v

⊥

а v

⊥

выразим из третьего уравнения

µ=0:

⊥

B/B.

Далее заметим, ч то в нулевом приближении

B = v

·∇B = v

∂B

∂s

Таким о бразом, из уравне ния сох ранения энер гии на ходим

= eE

−v

∂B

∂s

Вводя пр одольный импульс p

= mv

и функцию

ψ= −

окончательно получим

= −e

∂ψ

∂s

−µ

∂B

∂s

. (8.2)

Легко убедиться, что уравнения (8.1)и(8.2) гамильтоновы. Д ействи-

тельно, их можно пере писать в виде

s =

∂

∂p

= −

∂

∂s

где

H (s, p

+eψ+µB

есть гамиль тониан одномерной с истемы, соответствующ ей колебани-

ям част ицы вдоль силовой линии между точками ос тановки.

Представим тепер ь, ч то гамильтониан медленно изменяется со вре-

менем вследствие изменения электрического и магнитного полей:

H =

H (s, p

, t ). « Медленнос ть» означ ает, что ха рактерное вр емя изменения

T велико по сра внению с пе риодом продольных колебаний:

T `/v.

Тогда, ка к известно из механики, сохра няется а диабатический инва-

риант

16.10.98

= v

ds =

2m(H − eψ− µB)ds .

Его называют продольным адиабатическим инвариантом.

Чтобы пояснить, как пользоваться полученным выражением для

продольного адиабатического инварианта, сначала рассмотрим слу-

чай, когда изменение во времени ψ и B связано с нестационарностью

задачи. Обозначив текуще е з начение гамильто ниана чер ез ε (это про-

сто есть величина энергии частицы), заметим, что

= I

(ε, µ, t ).

Соответственно условие I

= con st позволяет найти, как ме няется со

временем энергия частицы ε = ε(I

, µ, t ), если известны з начения ад иа-

батических инвар иантов µ и I

Более ва жным является другое применение I

. Оно позволяет най-

ти дрейфовую оболочку в случае, когда магнитное поле не обладает

аксиальной симметрией (например, если катушки сплюснуты).

Пусть поля стацио нарны, так что ε = const, но теперь учтем, что в

результате дрейфа част ица переходит с одной силовой линии на дру-

гую, и это приводит к изменению во вр емени ψ и B. Можно за писать,

что

ψ= ψ(

x, y,s), B = B(x, y, s),

где

x, y — координаты пересеч ения с иловой линии с некоторой плос-

костью (выбор плоскости зависит только от соображений удобства).

То гд а

= I

(ε,µ,x,y) ,

и усло вие сохранения I

дает зависимость y от x, т.е. форму сече ния

дрейфо вой оболочки выбра нной плос кость ю

xy. При этом, правда, сле-

дует убедитьс я, ч то ха рактерное вр емя изменения с редних (за период

продольных колебаний) з начений ψи B велико по ср авнению с `/v.Это

действительно так, посколь ку `/v

∼`/εv.

Наконец, упомянем о третьем адиабатическом инварианте Ф.

Представим, что в предыдущей задаче теперь ещё ψ и B медленно

изменяются во вр емени, причем характерно е вр емя изменения знач и-

тельно больше, ч ем `/v

.Приэтомэнергияεболеенесохраняется,но

остаетс я постоянным новый адиа батический инвар иант, рав ный маг-

нитному потоку, проходящему вну три дре йфовой оболочки:

Ф =

B d S .

Его сохранение поз воляет найти за висимость эне ргии от времени ε(t ),

так как поток Ф есть функция трех величин ε, µ и I

, а последние две

есть а диабатические инвар ианты, величина которых также неизменна.

Литература: [1, §2.3].

Задача 8.1

В «кату шке Гельмголь ца» расстояние межд у витками с током рав но их

диаметру. Вычислить пробочн ое отношение на оси.

16.10.98

Задача 8.2

В пробочном магнитном поле захвачен пучок заряженных частиц, имею-

щих одинаковое значение э нергии и питч-угла. По какому закон у изме-

няется плотн ость пучка вдоль силовой л инии, если известн о, что пучок

отражается в точке , где B = B

, а плотность пучка в минимуме поля B

равна n

Задача 8.3

Найти форму кон уса потерь в случае, когда в плазме имеется продольное

электриче ское поле . Для простоты прин ять, что потенциал ψ почти

всюду равен ψ

и лишь непосредственно вблизи магнитных пробок скач-

ком обращается в нуль. В обычных условиях ψ

> 0. Отдельн о рассм о-

треть случай э лектронов и положительно заряженных ионов.

Задача 8.4

Найти, за какое вре мя протон с энергие й 5кэВ сов ершит полный оборот

вокруг Земл и в её магн итном поле. Рассмотреть случай, когда составля-

ющая скорости вд оль м агнитного поля равна н улю и протон стартует с

силовой линии, максимальное удаление которой от центра Земли равно

20000км. Принять, что поле Земли создается диполем, расположенным

в её центре, а его величина равна 8·10

Гсм

Задача 8.5

Электрон с энергие й 1эВдвижется в поле прямого тока I =1кАн а рас-

стоянии r =5смот пров одника. Найти н аправление и ве личину дре йфо-

вой скорости эл ектрона, е сли его питч- угол рав ен 60

◦

. На сколько у ве-

личится расстояние r, если ток в проводнике медленно увеличить в два

раза?

Задача 8.6

(Механ изм ускорен ия Ферм и.) Протон из космических луче й зах вачен в

ловушку с пробочным отношением K =5. В начальный момент э нергия

частицы равна W =1кэВ, причем в минимуме магнитного поля θ =45

◦

Пробки сближаются со скоростью V =10км/сек. До какой эн ергии разго-

нится протон, прежде чем покинет систему?

Задача 8.7

Шарик движе тся со скоростью v

между двумя твердыми стенками, по-

очередно упруго отскакивая от них. Стенки медленно сближаются, и рас-

стояние ме жду ними `(t) медленно уменьшается, так что за промежуток

времени T межд у д вумя после довательны ми о тскоками оно уме ньшается

на величину ∆`  v

T. Че му равен продольн ый адиабатический инвари-

ант? В о сколько раз изм енится скорость, е сли расстояние меж ду стен -

ками сократится вдв ое?

Задача 8.8

Во скол ько раз изменится скорость в пре дыдущей задаче , есл и сближ е-

ние стенок происходит неравномерно, так что в момент удара шарика в

стенку её скорость рав на нулю? Объяснить, поче му не сохраняется адиа-

батический инвариан т, д аже если ∆` v

Лекция 9

Кинетическое уравнение с самосогласован ным полем.

Интегра л стол кнове ний (на примере плаз мы с

Z  1

H-теоре ма

Наиболее полным является о писание плазмы с помощью кинетическо-

го ура внения. В кинетич еской теории каждый со рт ча стиц в плазме

характериз уется функцией распр еделения

f = f (r, v, t ).

Функция f определяетс я таким о бразом, что величина f (r, v, t )d

имеет смысл числа частиц в элементарном объёмчике d

v шести-

мерного фазового про странства; другими с ловами, функция рас пре-

деления есть плотность частиц в этом пространстве. Ш естимерный

векто р R

= {x,y,z, v

} является радиус-вектором ч астицы в фазо-

вом пространстве, а его производная по времени V

= {

}

имеет смысл шестимерной скорости.

Очевидно, что интеграл по всему объёму плазмы и по всем скоро-

стям равен полному числу ч астиц данно го сорта N:

N =

∞

−∞

∞

−∞

vf(r,v,t).

Плотность частиц выражается через функцию распределения следую-

щим образом:

n =

∞

−∞

vf(r,v,t),

а плотность тока ра вна

j =

∞

−∞

vf(r,v,t)v.

Уравне ние, ко торому подчиняется функция f , легко вывести по

аналогии с уравнением непрерывности для плотности частиц n(r, t )в

обычном трёхмерном пространстве.

Задача 9.1

Получить уравнение непрерывности для плотности частиц n, предпола-

гая, что в каждой точке пространств а r в се частицы двигаются с одина-

ковой скоростью u.

Функция р аспределения f удовле-

Рис. 9.1. К выводу уравнения не-

прерывности

творяет шестимерному уравнению не-

прер ывности, пос кольку f — это плот-

ность частиц в шестимерном фазовом

пространстве:

∂f

∂t

+div

f)=0. (9.1)

Зд есь введено о бозначение

div

f )=

∂

∂x

xf +

∂

∂y

yf +

∂

∂z

zf +

∂

∂v

f +

∂

∂v

f +

∂

∂v

Используя ура внения движения

r = v,

v =



E(r, t )+

[v,B(r,t)]



легко проверить , что d iv

= 0, а, следовательно,

div

f )=V

∇

f =v∇f+

∂f

∂v

Задача 9.2

Доказать рав енство

∂

∂v

[v, B]=0.

Вынося V

из-под оператора диффе-

ренцирования div

в уравнении (9.1),

получим кинетиче ско е ур авнение:

∂f

∂t

+v∇f +



E(r, t )+

[v,B(r,t)]



∂f

∂v

(9.2)

Стр ого гово ря, электрическое и магнитно е поля в полученном урав-

нении наряду с медленно ме няющейся (в про странстве и во времени)

компонентой содержат также микрополя, соответствующие столкно-

вениям частиц. Микрополя заметно отличны от нуля на расстояниях

порядка среднего расстояния между частицами. Однако описание си-

стемы частиц при помощи функции ра спределе ния предполагает , ч то в

любом объёмчике d

v шестимерного фазового пространства содер-

жится мно го час тиц. Поэтому ур авнение (9.2) с леду ет у среднить по

объёмчикам, вк лючающим в себя достаточно много частиц. В первом

приближении для такого у среднения доста точно пр осто пренебр ечь

микрополем. Оставшуюся «среднюю» часть электрического и магнит-

ного полей принято по -прежнему обознач ать ч ерез E и B.Приэтом

кинетическое ур авнение фо рмально сохраняет свой вид (9.2), однако

оно уже не учиты вает эф фект столкновений ча стиц. «Среднее» поле

называют самосогласованным, так как оно вк лючает в себя поле, со-

здаваемое « средней» пло тностью за ряда и « средним» током в плазме.

Это поле подчиняетс я ур авнениям Макс велла

rotE = −

∂B

∂t

, divB =0, (9.3)

rotB =

∂E

∂t

4π

j, divE =4πρ, (9.4)

где

ρ=

∑

v, j =

∑

v f

а индекс ‘a’ о бозначает сорт ча стиц. Кинетичес кое ура внение (9.2)с

сам о со гл а со ва н ны м п олем н а з ы ва ет с я уравнением Власова.

Ур авнение Власова имеет простой смысл. Если

∂f

∂t

оставить в левой

стороне, а все другие члены перенести вправо, то уравнение можно

интерпретировать так: изменение f в данной точке пространства вы-

звано приходом в неё частиц из других точек и с другими скоростями:

∂f

∂t

= −

∂f

∂r

−

∂f

∂v

Другу ю интер претацию ур авнению (9.2) можно прида ть, заметив,

что его ле вая ч асть составляет полную про изводную

, т.е. скорость

изменения функции распр еделения f вточке,движущейсявместесча-

стицей. Де йствитель но,

=[f(r+dr,v+dv,t+dt ) − f (r, v, t )]/dt

=[dt

∂f

∂t

+d r∇f +d v

∂f

∂v

]/dt

∂f

∂t

r∇f +

∂f

∂v

Условие df/dt = 0 означает, что поток частиц в фазовом пространстве

несжимаем; как мы видели, несжимаемость есть следствие тождества

div

= 0. Отметим аналог ию с гидродина мическим ура внением не-

прер ывности (16.11). Если divu =0,то

∂n

∂t

+div(nu)=

∂n

∂t

+u∇n=

=0.

Попыта емся тепе рь у честь столкновения час тиц.

Столкновения приводят к скачкообразному изменению скорости,

которое в фазовом пространстве выглядит как переброс частиц из од-

ной точки фазового пространства {r

, v

} вдругую{r

},причём

. Такие перескоки можно описать, добавив в правую часть урав-

нения Власова (9.2) дополнительный член

∑

, (9.5)

где суммирование идёт по всем сортам частиц, а отдельное слагаемое

называется интегра лом столкновений частиц сорта ‘a’ с частица-

ми сорта ‘b’. Интеграл столкновений имеет смысл числа частиц, кото-

рые появляются ( исчезают) в единицу времени в единице шест имер-

ного объёма фазового пространства.

Мы огр аничимся выводом интегра ла столкновений для ло ренцев-

ской плазмы. Так принято наз ывать плазму, состоящ ую из электронов

и бесконечно тяжёлых холодных ионов с зарядом Z 1. При Z 1 рас-

сеянием электронов на электронах можно пренебречь по сравнению с

их рассеянием на ионах.

Рассмотрим точку v в пространстве скоростей и объёмчик d

v в

окрестности этой точки (рис. 9.2). При рассеянии частицы выбыва-

ют из этого о бъёмчика, а также попадают в него из других областей

пространства скоростей. Найдём вероятность

dw = w(v,v

) d

с которой частица, имевшая скорость v, в результате р ассеяния при-

обретёт скорость v

и попадёт в объёмчик d

. Так как рассеяние на

бесконечно тяжё лых ионах является у пругим, абсолютная величина

скорости не меняется, v

= v. Учтём этот факт, в явном виде выделив в

w дельта-функцию

w(v,v

w(v,θ)δ(v−v

)/v

, (9.6)

где θ — угол рассеяния. Так как при рассеянии изменяется только

направление скорости электрона, достаточно вычислить вероятность

электрону рассеяться в заданный телесный угол d Ω=sinθdθdϕ, кото-

рыйсвязансd

соотноше нием d

= v

dΩ . Эту вероятность легко

связать с диффе ренциальным сече нием рас сеяния в телесный угол d Ω.

Мы знаем (см. (4.3)), что частица с

Рис. 9.2. К выводу вероят ности

рассеяния

зарядом Z

e, налетающая со скоростью

v на кулоновский це нтр с зарядом Z

e на

прицельном р асстоянии ρ, рассеивается

на у гол

θ=

Eρ

где

E = m

/2, а угол рассеяния пред-

полагается малым, θ  1. Дифферен-

циально е сече ние рас сеяния d σвтелес-

ный угол d Ω находим как пло щадь сег-

мента коль ца dϕρdρ, пролетая вну три

которого, электрон рассеивается в ин-

тервал углов от θ до θ+ dθ иотϕдо

ϕ+ dϕ:

dσ = d ϕρdρ=

)

dϕdθ.

Если поток электро нов чер ез единичную площ адку обознач ить че рез

j, то чис ло электроно в, р ассеивающихся на одном кулоновском центр е

в единицу времени, ра вно jdσ. Число электронов, р ассеивающихся в

единице объёма, в n

раз больше и равно jdσn

. Поделив это ч исло на

плотность электронов в потоке n

= j/v, получим вероятность отдель-

ному электрону (Z

= 1) р ассеяться в телесный угол в единицу времени

на ионе с за рядом Z

= Z :

w(v, θ)d Ω=vdσn

(Ze

)

vdϕdθ.