Котельников И.А., Ступаков Г.В. Лекции по физике плазмы

Подождите немного. Документ загружается.

распр еделения).

Получим у словие положитель ного выхода термояде рной реакции.

Термином положительный выход характеризуют ситуацию, когда мощ-

ность, выделяемая в термоядерной реакции, пр евышает потери энер -

гии из плазмы.

Если бы частицы удалось у держивать достаточно долго, чтобы о ни

смогли все прореагировать, то единственным неустранимым каналом

потерь энергии было бы тормозное излучение. Чтобы не допустить

осты вания плазмы, мощность, равную мощ ности тормозных по терь

торм

, пришлось бы подводить извне. Поскольку P

торм

∝ n

,тоотно-

шение P

яд

торм

является функцией только температуры. Условие

яд

торм

> 1

выполняется при T > 3кэВ(априT = 10 кэВ это отношение равно 60).

Однако реально невозможно избавиться от потерь частиц.

Введем время жизни час тицы в плаз-

Рис. 16.4. График функции

(16.5)

ме τ. То гда з а единицу в ремени из еди-

ницы о бъ ёма уно сится мощно сть, рав-

ная 3nT /τ (

T вынос ит ион и с только

же электрон). Условие положительного

выхода

яд

hσ

viE

3nT

(где

=17,6 МэВ) даёт

nτ>

12T

hσ

viE

≡ f (T). (16.5)

Функция f (T) имеет минимум, та к как пр и малых T быстро уменьша-

ется hσ

vi, а при больших T растёт числитель (см. рис. 16.4). Как

видно из гра фика функции f (T)(см.рис.16.4), её минималь ное з наче-

ние f

min

=3·10

сек/см

достигается при температуре T

min

=23,6кэВ.

Это очень высокая температура. С практической точки зре ния сниже-

ние температуры плазмы в 2– 3 р аза может иметь очень ва жное з наче-

ние. Поэтому сч итается, что выгодно уменьшить T,несмотрянато,

что при этом возрастёт nτ. Обычно в качестве ориентира выбирают

температуру

T =10кэВ , (16.6)

120

при которой f =10

сек/см

. Тогда условие (16.5) приводится к нера-

венс тв у

nτ> 10

сек/см

, (16.7)

которое в совокупности с (16.6) называется критерием Лоусона.

Нужно понимать условность проведенных расчетов. С одной сто-

роны , мы пр енебрегали к.п.д. термояде рной электроста нции, сч итая,

что вся выделившаяся в реакторе термоядерная энергия переходит в

полезную. С другой стороны, мы считали, что 3nT /τ тер яется б ез-

возвратно, тогда как часть её может быть рекуперирована. Отметим

также, что если энерг ия теряется из плазмы бы стрее чем, ча стицы, то

в критерии Лоусона должно с тоять время у держания эне ргии τ

.На-

ко нец, помимо кр итерия Лоусона, есть ещ ё одно важное по нятие —

зажигани е термоядерной р еакции. Зажигание наступает, когда выде-

ляемая в плазме энер гия α-частиц (если иметь в виду D + T реакцию)

компенсиру ет у течку тепла из плазмы. То гда реа кция с интеза может

идти без пр именения внешних источнико в нагре ва плазмы — нужно

только о беспечить уд аление « остывших » продуктов р еакции синтеза

и замещ ение изр асходованно го «гор ючего» матер иала.

Начиная изу чение физики плазмы, мы отмеча ли (см. перву ю ле к-

цию), что её становле ние как нау ки в знач ительно й с тепени было свя-

зано с пр облемой осу ществления упра вляемо й термояде рной реакции.

Строго говоря, эта задача не решена до сих пор, и большинство ис-

следований в физ ике плазмы до сих пор с вязано с ра зработкой про-

мышленного термоядерного реактора. О масштабах проводимых ис-

следований некоторое представление дает рис. 16.5, где изображе-

на сх ема кру пнейшего токамака JET, сооруженного в 80 -х гг. объ-

единением евр опейских стра н. Теор етические о сновы токамаков бы -

ли разработаны в 1951 г. Е.И. Таммом и А.Д. Сахаровым, правда,

свое изоб ретение они на зывали по- иному, и лишь нес колько лет с пу-

стя И.Н. Головин придумал ему назва ние

ТОКАМАК как сокращение от

слов

ТОроидаль ная КАмер а с МАгнитной Катушкой. Всего было пред-

ложено около десятка р азличных сх ем у держания и на грева плазмы,

причем не иск лючено, ч то главное изобр етение на этом пу ти всё еще

впереди. Лидирующим на правлением в настоящее время является то-

камак. Первый токамак был построен в 1955 г., и долгое время тока-

маки существовали только в СССР. Лишь после 1968 г., когда англий-

ские у ченые со с воей а ппаратурой померяли темпера туру плазмы на

121

Рис. 16.5. Крупнейший в мире токамак JET

токамаке T-3, построенном в Институте атомной энергии им. И.В. Кур-

чатова под руководством Л.А. Арцимовича , и подтвердили, что там

достигнута температура 10 млн градусов, в мире начался настоящий

бум токамаков. В 1993 г. на европейском токамаке JET в импульс-

ном режиме в термоядерных реакциях достигнута мощность 2 МВт , а

полтора года спустя на американской установке TFTR выделено уже

10 МВ т. Этого еще недоста точно для осу ществления самоподдержи-

вающейся упра вляемо й термоядерной реакции, тем не ме нее цель уже

близка .

Литература: [9, §1.1, 1.2], [11, §2, 4]

Задача 16.1

Используя числовые параметры, приведенные в лекции, сформулировать

критерий заж игания D+Tре акции.

Задача 16.2

Найти теплов ой поток на стен ку трубы, в нутри которой удерживается

термояде рная DT-пл азма с пл отностью n =10

см

−3

и те мпературой

T =10кэВ. Радиус трубы R.

122

Задача 16.3

Можно ли получить полож ительный эне ргетический в ыход, облучая пуч-

ком тритонов, ускоренных до высокой энергии, мишень из льда тяжёлой

воды?

123

Ответы к задачам и

упражнениям

1.2 [Указание :] уч есть, что при l ∼r

, δn ∼n величина Zeδϕ порядка

2.3 Воспользо вавшись формулами (2.8)и(2.11), находим, что энер-

гия электроста тического взаимоде йствия на единицу объёма w

пример но ра вна

w ≈−

√

πZ

3/2

1/2

=−

√

πZ

3/2

1/2

Кинетическая эне ргия пла змы в единице объёма близка к

T, 16.10. 98

так как n

 n

. В идеальной плазме о на должна быть больше

энергии электростатического взаимодействия, т .е. T  Ze

1/3

Это у словие может быт ь за писа но в виде N

1, где N

∼n

—

число частиц в дебаевской сфере (примерно равное числу элек-

тронов), а r

≈

4πZe

/T — полный дебаевский радиус.

3.3 Внутре нними степенями свободы атомов, ионо в и эле ктронов

являются про странственная ориентация с пина и о рбитального

момента. Вращательные моменты измеряются в единицах ~.Из-

меренны й в этих единицах спин обознач ают чер ез S , а орбиталь-

ный момент — чер ез L. Э ти моменты с кладыва ются по правилам

квантовой механики, давая полный момент количества движения

J, который может принимать значения о т |L −S| до L + S через

единицу. Состояние с моментом J имеет статвес 2J +1, так как

проекция вектора J на про извольное напра вление (на правление,

задава емое измерительным прибор ом) про бегает целочисленны е

значе ния от −J через 0 до +J. Нетрудно подсчита ть, что полное

число различных квантовы х состояний с зада нными значе ниями

124

L и S равно (2L+ 1)(2S+ 1) . Орбита льный момент электрона на k -

м э нергетичес ком уров не может иметь целочисле нные значе ния

от 0 до k−1. Вычисляя сумму g =

∑

k−1

L=0

(2L+ 1)(2S +1)иучитытая,

что спин электрона S равен

, находим искому ю величину ста-

твеса: g =2k

. П ри за данном состоянии электронно й оболочки

атома ядро (пр отон) может находится в двух состояниях, так как

его спин также равен

. Поэтому, строго говоря, величину g сле-

довало бы умножить на g

=2·

+ 1 = 2. Однако при определении

статвеса атома степени свободы ядра обычно не учитываются.

3.4 Если температура низка в ср авнении с потенциалом иониза ции,

то члены ряда быстро уменьшаются по величине и после немно-

гих пе рвых члено в стано вятся пренебр ежимо малыми. Таким

обра зом, возникает впеч атление, ч то ряд сходится, по крайней

мере, пр и не слиш ком вы сокой темпера тур е. Однако ряд в де й-

ствительности является асимптотическим. Так называются ря-

ды, пер вые ч лены ко торых быстр о уменьшаютс я, но полная с ум-

ма ряда тем не менее расходится. Практически всегда пользуют-

ся тем, что называется асимпто тической сходимостью, т.е. берут

сумму пе рвых нескольких члено в, практич ески не завис ящу ю в

некоторы х пр еделах от числа взятых чле нов. Физ ическо е об-

осно вание такого с пособа обращ ения с фо рмально ра сходящ им-

ся рядом в да нном случае состоит в том, что ра сходимость воз-

никает только для изолиров анного атома в беско нечном объеме.

При k → ∞ бесконечно увеличивается ра диус электронно й орби-

ты, r

= a

k . Следователь но, в результате взаимоде йствия с со-

седними атомами число уро вней оказыв ается конечны м.

4.4 [Ответ.] ρ

/π.

6.1 [Ответ.] hσ

i=8

2πT/ma

exp(−I/T).

6.3

... Используя (6.6), (3.9) и решение задачи 6.1,находим 16. 10.1998

β=64π

αca

где α= e

/~c =1/137 — постоянная тонкой структуры.

6.4 Д вижение ядер можно рассматривать к лассически, так как дли-

на волны де Б ройля, соответствующа я ядр ам, мала вследствие их

большой массы. Более того, движение ядер можно считать пря-

молинейным, даже если их эне ргия мень ше эне ргии ио низации.

125

Рис. 16.6. Потенциальная энергия в

поле двух протонов

Рассмотрим ион, пролетающий со скоростью v на расстоянии ρ

от неподвижного атома. П редположим, что ρ значительно боль-

ше радиуса орбиты электрона в атоме a

. Тем не менее, соглас-

но з ако нам квантовой меха ники, вероятнос ть о бнаружить ато-

марный электрон на расстоянии ρ от атома не р авна нулю, хот я

и ма ла . Э тот э фф е кт н аз ы ва етс я п од ба рь ер н ым прохож де нием,

так как чтобы удалиться от ядра атома, электрону нужно пройти

под барьером, высота которого приблизительно равна потенциа-

лу иониз ации I (рис. 16.6). Вер оятность подбар ьерного про сач и-

вания на расстояние ρ оценивается как

P ∼ exp(−2

2I/mρ/~)=

exp(−2ρ/a

). Время, в течение которого атом и ион находят-

ся на минимальном р асстоянии ρ друг от друга, примерно рав-

но ∆t ∼ρ/v. Время обращения электрона вокруг ядра атома рав-

но τ ∼a

. Следовательно, з а вр емя сближения иона с атомом

электрон ∆t/τ раз может оказаться вблизи траектории пролета-

ющего иона. Каждый раз вероятность такого события равна

Оказавшись ближе к иону, чем к ядру атома, электрон захватыва-

ется на атомарную орбиту иона, а ион становится атомом. Таким

образом, вероятность перезарядки на заданном расстоянии ρ по

порядку величины р авна

P ∼

P∆t /τ∼(ρv

v)exp(−2ρ/a

). (16.8)

Для небольших ρ эта формула не применима, так как там фор-

мально P > 1. Это означает, что электрон много раз успевает пе-

рейти от одного ядра к другому. Следовательно, вместо (16.8)

можно использовать вероятность перезарядки, равную 1/2. При-

равнивая (16.8)к1/2, получим максимальное расстояние ρ

,на

котором процесс обмена электроном между ядрами ещё возмо-

жен : ρ

∼a

ln(v

/v). Тогда сече ние пер езарядки о ценивается по

126

формуле

∼πρ

∼πa

/v). (16.9)

7.1 [Ответ:] Она равна v

= c

(kρ)cos(kY ), где J

— функция Бес-

селя перво го рода , ρ — ларморовский радиус частицы, а Y —ко-

ордината веду щего центр а. При kρ  1 в пе рвом пр иближении

(kρ) ' 1, поэтому оказывается, что частица дрейфует со скоро-

стью электрическо го дрейфа v

= cE/ B, которая не зависит от ρ.

Однако учет с ледующего члена в разложении функции Б есселя

(kρ) '1−(kρ)

/4, сколь бы мал он ни был, по ка зывает, что ско -

рость дрейфа различна для электронов и ионов, поскольку из-за

разницы масс они обыч но имеют раз ную величину ла рморовско-

го радиуса ρ. В результате электрический дрейф в неоднород-

ном электрическом поле приводит к ра зделению з арядов. Это

явление называется эффектом конечного ларморовского радиуса

и приводит к важным последствиям для устойчивости плазмы.

7.2 Повтор ив с небольшими до полнениями вывод, приведённый в

лекции, нетрудно уста новить, что « ведущий центр» час тицы дрей-

фует со скоростью

Ri= v

= c[hEi, h]/B,

где hEi — среднее значение E з а период цик лотронного вра-

щения частицы. Однако скорость дрейфа частицы hvi не ра вна

скорости «ведущего центра» h

Ri,посколькуhvi=h

ri=h

Ri+h

ρi.

Причина несовпадения скоростей очень проста. Как видно из

рис. 7.6, центр ларморовской окружности, по которой движется

частица, в действительности расположен в точке hRi+hρi, кото-

рая не совпадает с hRi,еслиhρi6=0.Внашемслучае

hρi=−

Ω

,h].

Вычислив h

ρi, находим, что в пер еменном электрич еском поле

скорость дрейфа частицы по сравнению с

R содержит дополни-

тельный чле н:

16.10.98

hvi= c

[E, h]

BΩ

[

[h,

E], h

]

В медленно ме няющемся поле он з начитель но меньше пер вого,

127

однако в отличие от него зависит от массы (через посредство ча-

стоты Ω ). Поэтому в пер еме нном поле электроны и ио ны др ей-

фуют с разной скоростью. В результате плазма поляризуется, а

вычисле нный нами дополнительный член есть с корость поляри-

зационно го дре йфа:

пол.др.

BΩ

[

[h,

E], h

]

. (16.10)

7.3 Запишем ур авнения движения частицы , пр енебрегая переменной

частью магнитного поля, так как при нерелятивистских скоро-

стях движения соответствую щая до бавка к силе Лоре нца з аведо -

мо мала по ср авнению с электрической част ью силы:

E +v

Ω,

= −v

Ω.

Сложим эти два уравнения, пр едва ритель но домножив первое на

exp(iΩt ), а второе на iexp(iΩt ). Получившееся уравнение

+iv

iΩt

E e

iΩt

легко интегрируется при произвольной зависимости E (t ): 16.10.98

+iv

=(v

+iv

−iΩt

E (t

iΩ(t

−t)

Если E (t ) изменяется незначительно за период враще ния ча сти-

цы 2π/Ω, интеграл можно приближенно выра зить ч ерез текущ ее

значе ние E(t ), проинтегрировав несколько раз по част ям:

E (t

iΩ(t

−t)

iΩ(t

−t)

iΩ

E(t

)



−

iΩ

dE(t

)

iΩ(t

−t)

E(t)

iΩ

−

iΩ(t

−t)

(iΩ)

dE(t

)



(iΩ)

E (t

)

iΩ(t

−t)

E(t)

iΩ

−

(iΩ)

dE(t)

+··· .

Каждый новый ч лен возникающего ряда содержит дополнитель-

ный малый множитель

Ω

по сра внению с пр едыдущим. Уде ржав

128

два пер вых чле на ряда и отделив вещественную ча сть ура внения

от мнимо й, на ходим

= v

cos(Ωt )+v

sin( Ωt )+

BΩ

= v

cos(Ωt )−v

sin(Ωt )−c

Осциллирую щие слагаемые здесь о писывают ларморовское вра-

щение. Последнее слагаемое в правой части первого уравнения

есть скорость поляризационного дрейфа, а последнее слагаемое

во втором уравнении есть скорость электрического дрейфа.

7.6 В течение коротких промежутков времени происходит измене-

ние попер ечной энер гии част ицы W

⊥

пропо рционально

изменению величины ма гнитного поля B,таккакµ=W

⊥

/B=

con st. В тече ние длинных пр омежутков вследствие кулоновских

столкновений происходит вы равнивание поперечной W

⊥

и про-

дольной W

энергий. Велич ины W

⊥

, W

и W = W

⊥

моменты времени, соответствующие о конча нию очередного ин-

тервала, указаны в та блице :

t W

⊥

+τ

(1 +α)

(1 +

2α

)

2τ

+τ

(1 +

2α

)

(1 +

2α

) W

(1 +

2α

)

2τ

+2τ

(1 +

2α

)/(1 +α)

(1 +

2α

) W

Скла дывая W

⊥

и W

в пос ледне й стр оке таблицы, находим, что

(1 + 2α/3)(1+α/3)

1+α

При α  1 изменение энергии частицы за период равно ∆W =

− W

≈

. Поскольку частота кулоновских столкновений

ионов и электроно в существенно ра злична, подбором длитель-

ности интер валов τ

и τ

можно о беспечить селективный нагрев

электронов или ионо в.

9.1 Выделим пр оизвольный не подвижный о бъ ём (рис . 9.1). В нём

сод ерж и тс я

r частиц. При отсутствии процессо в распада

129