Котельников И.А., Ступаков Г.В. Лекции по физике плазмы

Подождите немного. Документ загружается.

Лекция 5

Релакса ция импульса и энергии . Динамик а установ лен ия

равновесн ой функци и распред елен ия. Выравн иван ие

электр онн ой и ио нной темпер ату р. Про водим ост ь пл азмы,

убегание электроно в

Полученное в предыдуще й лекции вы ражение для тра нспортного се-

чения позволяет найти скорость, с которой идет обмен импульсом и

энергией между частицами в плазме.

Начнем наше рассмотрение с простейшей задачи: пучок быстрых

электронов влетает в холодную плазму. Учтем сначала только столк-

новения электронов пучка с ионами плазмы. Из-за большой массы и

малой тепловой скорости ионы можно считать бесконечно тяжелыми

и покоящимися. В р езультате мы приходим к поста новке задач и, в точ-

ности совпадающей с той, что рассмотрена в лекции 4.

Пусть n обозначает плотность ионов. Со стороны пучка на ионы,

находящиеся в единичном объеме, действует сила (с м. (4.1))

mv jσ

тр

В силу третьего закона Ньютона точно такая же сила действует на еди-

ницу о бъ ема пада ющего пу чка в про тивоположном направлении. Раз -

делив ее на пло тность пуч ка n

,найдемсилуF, действующую на одну

частицу пучка:

F = −mv jσ

тр

n/n

= −nσ

тр

vmv. (5.1)

Под дейст вием этой силы пу чок будет тормоз иться, т . е. его на пра-

вленная скорость v будет уменьшаться:

= −nσ

тр

vv. (5.2)

Пользуясь этой формулой, нужно ясно понимать, ч то уменьшение на-

правленной скорости пучка не связано с потерей энергии электрона-

ми, по скольку их р ассеяние происходит на неподвижных тяжелых ио-

нах. Средняя скорость пучка изменяется вследствие того, что электро-

ны в рез ультате столкновений начинают двигать ся под у глом к исход-

ному направ лению движения пу чка . Нетрудно оце нить, как р астет со

временем средний квадрат угла рассеяния θ. Пос кольку при р ассеянии

на малый у гол θ продольная скорость электрона изменяется на вели-

чину ∆v = v(cosθ−1) ≈−vθ

/2, то уменьшению продольной скорости,

описы ваемому уравнением (5.2), соответствует нарастание среднего

квадрата угла:

dhθ

=2vσ

тр

n (5.3)

(ус реднение, обознач енное угловы ми скобка ми, про изводится по всем

электронам пучка). Выражение (5.3) с праведливо д о тех по р, по ка

среднеквадр атичный у гол рассеяния мал по сра внению с единицей,

т.е. hθ

1/2

1.

Из ур авнений (5.2)и(5.3) видно , что хар актерное вр емя τ то рмо-

жения и углового р ассеяния по порядку величины р авно τ =(nσ

тр

−1

;

величину, обр атную τ, называют частотой столкновений (электронов

с ионами в рассматриваемом случае) и обозначают через ν:

= nσ

тр

v. (5.4)

Пользуясь выр ажением (4.10), получим пр актическую ф ормулу для

частоты электрон-ионны х столкновений

=6·10

−5

n[см

−3

]

3/2

[эВ]

сек

−1

. (5.5)

Произведение vτ, которое имеет смысл пути, проходимого электроном

в напр авлении движения пучка за вр емя торможения, называ ется дли-

ной свободного пробега и обозначается через λ:

λ=

nσ

тр

[эВ]

n[см

−3

]

см. (5.6)

Естественно, что такие по нятия, как длина пр обега, ч астота столк-

новений и т ранспортно е сечение, можно ввести не только для час тиц

пучка, но и для час тиц плазмы. Нужно только представить, что на р ас-

сеивающий центр налетают частицы с разными скоростями и усред-

нить по распределению скоростей. Например, для максвелловского

распределения скоростей среднее значение E

равно

(см. задачу

5.3). Поэтому чис ловые коэффициенты в практических ф ормулах для

уср едненных значений σ

тр

, ν

и λ отличаются в 2–3 раза от формул

(4.10), (5.6)и(5.5):

тр

3·10

−13

[эВ]

см

, (4.10

)

=3·10

−5

n[см

−3

]

3/2

[эВ]

сек

−1

. (5.5

)

λ=

3·10

[эВ]

n[см

−3

]

см

. (5.6

)

Обратимся теперь к анализу столк-

Рис. 5. 1. Радиус вектор и

разность

−

для стал-

кивающихся частиц

новений электронов пу чка с электронами

плазмы. Для этого нам придется о боб-

щить з адачу о столкновении двух заря-

женных частиц на случай, когда части-

цы имеют произвольные массы. Будем

считать, что поток частиц с зарядом Z

e и

массой m

налетает на покоящуюся (в на -

чальны й момент) частицу с за рядом Z

и массой m

. Чтобы описать рассеяние

частиц со рта 1, надо решить уравнение

движения

¨r

= Z

−r

, (5.7)

где r

и r

обозначают радиус-вектор частицы 1 и 2 соответствен-

но. Для этого перейдем в систему центра масс, задаваемую радиус-

вектором

R =

и введем разность

r = r

−r

так что

= R +

(см. рис. 5.1). Учитывая, что центр масс движется с постоянной ско-

ростью,

R =0,получим

¨r

¨r = Z

, (5.8)

где m

/(m

+ m

) — приведенная масса. Мы будем называть ча-

стицу массы m

приведенной час тицей. Её положение задаетс я век-

тором r. Согласно уравнению (5.8) движение ча стицы 1 можно най-

ти, р ешив задач у о движении пр иведе нной ча стицы, причем сила, дей-

ствующа я на р еальную частиц у 1, совпадает с с илой, действу ющей на

приведенную частицу. Если воспользоваться тем, что скорость этой

частицы на бесконечности есть v, то мы получим, что сила, дейс твую-

щая на приведенные ч астицы ( а, с ледо ватель но, и на част ицы 1) , равна

F = m

тр

n = m

4πZ

n =

4πZ

n. (5.9)

По ср авнению с рас сеянием на бесконечно т яжелых це нтрах о тличие

в силе пр оявляется только в том, что массу падающих частиц надо за-

менить на m

. Для электрон- электронных столкновений m

= m

/2, и

по порядку величины сила, де йствующая на пучок электроно в со с то-

роны электронов плазмы, равна силе, действующей со стороны ионов.

Принципиаль ное отличие электрон-электро нных столкновений от

рассеяния на «бесконечно» тяжелых ионах состоит в том, что теперь

происходит передача энергии от электронов пучка к электронам плаз-

мы.

Чтобы подсчитать скорость передачи энергии, заметим, что приве-

денная частица ра ссеивается на не подвижном центре и поэтому эне р-

гию не теряет. Ее скорость

r по сле ра ссеяния по абсолютной величине

равна начальной скорости v. Рассмотрим процесс столкновения реаль-

ных частиц сначала в системе центра масс. Она движется со скоро-

стью v

ц.м.

R = m

v/(m

) относительно лабораторной. Поскольку

в этой системе скорость частицы 1 связана со скоростью приведенной

частицы соо тношением

то величина скорости частицы 1 после столкновения не меняется, а

значит , обмена энер гии между сталкивающ имися ча стицами в этой си-

стеме не происходит. Переходя в лабораторную систему, мы должны

зак лючить, что найденная выше с ила F в единицу времени соверш ает

работу, равную

ц.м.

= Fv

забир ая э нергию от пучка 1 и пер едавая ее плазменным электронам

2. Скорость изменения энергии частиц пучка в

W = −Fv

ц.м.

находим,

используя найде нную выше формулу для силы F:

W = −

4πZ

Λn

. (5.10)

Пере писав это вы ражение в виде

W = −

·n·v·

4πe

Λn

его можно интерпретир овать так, что при m

 m

вкаждомстолк-

новении (частота которых равна nvσ) пер едается доля энер гии поряд-

ка m

. Так им о бразом, при электрон-электронны х столкновениях

передается з начитель ная ч асть энер гии налетающ ей частицы , а при

электрон-ионных с толкновениях — лишь её малая доля.

Выше мы получили формулы для F и

W в случае, когда пучок дви-

жется сквозь холодную пла зму. Воз никает вопр ос, как они изменятся,

если температура пла змы не равна нулю? Оч евидно, ч то если темпера-

тура плазмы настолько мала, что тепловая скорость частиц плазмы v

много меньше скорости частиц пучка, то выражения для F и

W пр акти-

чески не изменятся. Если же v . v

, надо провести усреднение по ско-

рос тям ча стиц плазмы. Мы о граничимся нахождением силы F тол ько

в предельном случае v

v.

Выберем группу частиц в плазме, скорость которых равна v

.Чи-

сло таких частиц dn равно

dn = f





где f (v) обознач ает функцию распределения ча стиц, а f (v

есть

вероятность частице иметь скорость v

. Сила тр ения ч астиц пу чка о

выбра нную гру ппу част иц плазмы ра вна

dF = −

4πZ

Λe

v− v

|v−v





Теперь надо просуммировать эту силу по всем скоростям v

,чтосво-

дится к вычисле нию интегра ла

I =

v −v

|v −v





. (5.11)

В случае, когда f (v) — изо тропная функция распр еделения, интеграл

легко вычислить, воспользовавшись следующей электростатической

аналог ией. Если интер претирова ть v и v

как радиус-векторы в про-

странс тве координат , то интегр ал (5.11) будет равен электрическому

полю, создаваемому сферически с имметрическим р аспределением з а-

рядов с плотностью f (v). Как известно, поле сферич ески симметр ич-

ного распределения зарядов на расстоянии v от центра равно заряду

внутри сферы радиуса v, деленному на v

. Поэтому

I =





4πv

«Заряд» , вне шний по отнош ению к сфере v

6 v,поленесоздает.Так

как мы предполагаем, что v v

, то по следний интегр ал приближенно

равен f (0)×4πv

/3. Д ля ма ксвелловско й функции р аспределения







2πT



3/2

exp



−



находим, ч то

I =

√





3/2

Следовательно, сила трения, усредненная по максвелловскому распре-

делению, в пределе v v

равна

F = −

√

2π

Λne





3/2

v. (5.12)

В р езультате мы получили выражения для с илы тре ния F вдвух

предельных случаях, v v

и v v

. П одобным обр азом можно было

бы получить и вы ражение для

W впределеvv

Представим теперь, что в начальный момент электроны и ионы ха-

рактеризу ются нера вновесными функциями распр еделения, о тличны-

ми о т максвелловских. Вследствие кулоновских с толкно вений функ-

ции р аспределения будут « макс веллизировать ся».

Обозначим через W

и W

среднюю энер гию, соответственно прихо-

дящ уюся первонач ально на один электрон и ио н. Бы стрее всего про -

исходит релаксация распр еделения электроно в вследствие e-e столк-

новений. За нес колько таких столкновений электроны пр идут в термо -

динамическое равновесие с температурой T

=2W

/3 (полная энер гия

электронного газа пр и этом не изменится). Время устано вления рав-

новесия в электронном газ е τ

пример но р авно времени межэлектрон-

ных с толкно вений:

∼τ

. (5.13)

Дале е про изойдет у становле ние р авновесия в ио нном газ е за вр емя по-

рядка ио н-ионных столкновений,

∼τ

∼

, (5.14)

при этом температура ионо в станет равно й T

=2W

/3 . Самый медлен-

ный процес с — это вы равнивание электронной и ионной температур.

Оценим время выр авнивания τ

, пользуясь формулой (5.10)для

Wи

считая на летающими ча стицами электроны,

∼

Λne

∼

или

∼

. (5.15)

Применим р азвитые вы ше представ ления к задаче о протекании то-

ка ч ерез плазму. Ток является отк ликом плазмы на внешнее электри-

ческое поле E. Под его действием прежде всего начинают ускоряться

электроны, как самые ле гкие ча стицы. В результате возникнет сила

трения F со стороны ионов, которая в конечном итоге должна ском-

пенсиро вать электрическую силу,

eE +F =0. (5.16)

Обозначим через u среднюю направленную скорость электронов,

установившуюся в результате баланса между E и F . Усреднив силу

(5.12) по распределению электронов, нетрудно установить, что при

u v

сила трения про порциона льна u:

F ∼muν

причем ч астоту с толкно вений ν

∼ nσ

тр

и сеч ение σ

тр

∼Λe

сле-

дует оценивать по тепловой скорости электронов. Полезно отметить,

что скорость u относится только к средней направленной скорости

движения электронов, тогда как случайная составляющая скорости бу-

дет р авна v

. При усреднении по промежутку времени, за который

происходит много столкновений, с лучайна я составляющая силы обра -

щается в нуль, и остается только часть, направленная против скорости

u. Если же скорость направленного движения электронов превысит их

тепловую скорость, u  v

, то частоту столкновений ν

надо оцени-

вать по скорости направленного движения u,тогда

F∝u

−2

Как видно из рис . 5.2, сила F, рассма-

Рис. 5.2. Сила трения как

функция скорости u

триваемая как функция u,достигаетмак-

симально го знач ения F

max

, р авного по по -

рядку величины mv

,приu∼v

.Ес-

ли E > F

max

/e = E

, с ила трения не мо -

жет компенсир овать электричес кую силу

ни при какой скорости электронов. В ре-

зультате электроны будут безостановоч-

но ускоряться. Этот эффект называют

«убе ганием» электронов. Минимальное

электрическое поле, которое приводит к

«убеганию», называется полем Драйсе-

ра:

∼

Λne

∼ Λ

. (5.17)

Важно понимать, что поле Драйсера есть критическое поле для ухода в

«просвист» основной группы электронов, имеющих скорость порядка

тепловой. Од нако даже при E < E

в плазме имеются электроны (так

называемые максвелловские хвосты), скорость которых значительно

превышает тепловую скорость, v v

. Сила трения, действу ющая на

эти электроны? мала, и они будут ускоряться даже в поле, меньшем

чем E

Для малых полей, E E

, можно на йти проводимос ть пла змы , вы-

разив плотность тока j через электрическое поле E :

j = neu = ne

mν

4 πν

откуда следует, что

σ=

4πν

. (5.18)

Литература: [1, §1.4]; [10, §18–20]; [14, §6–12]; [16,гл.2,§10.1].

Задача 5.1

Найти время замедления термоядерных α-частиц в плазме с плотностью

n =10

см

−3

и тем пературой T =10кэВ.

Задача 5.2

Оценить длин у свободн ого пробега эл ектронов с эне ргией 1 МэВ через

плазму с плотностью n =10

см

−3

. Можно ли нагреть плазму реляти-

вистским пучком за счет только кулоновских столкновений?

Задача 5.3

Показать, что сре дние значен ия v

и v

для максв елловского распреде ле-

ния скоростей равны соответственно 3T /m и 15T

Задача 5.4

Вычислить силу трения при произвол ьном соотн ошении скорости ча-

стиц пу чка и тепл овой скорости частиц пла змы. Функцию распреде ле-

ния частиц плазм ы считать ма ксвелловской. Резу льтат в ыразить чере з

функцию ошибок erf(x)=

√

dx exp(−x

Задача 5.5

Найти

W при v v

Лекция 6

Элементарные процессы в плазме: ионизация электронам и,

тройная реко мбин ация , фотоио низа ция, фото реком бина ция,

перезарядка . Корональное равновесие . Формула Эльверта

Глава будет

переписана

заново

В термодинамически ра вновесной пла зме степень ионизации одно -

значно определяется температурой T и пло тностью n и может быть

вычислена по формуле Саха. Однако часто приходится иметь дело с

плазмой, которая не находится в термодинамическом равновесии, и

тогда важным становится анализ элементарных проце ссов, т.е. про-

цессов, протекающих при столкновении атомов, ионов, электронов и

фотонов.

Изучение элементарных про-

Рис. 6. 1. Приближение далеких про-

летов при вычислении ионизации

элект ронным ударом

цессов начнём с рассмотрения ио-

низации атома электр онным уда-

ром (на примере атома водорода):

H +e →H

+e+e.

Прежде всего следует опр еделить

сечение про цесса. Для этого р ас-

смотр им столкновение двух элек-

тронов, один из которых перво-

начально по коилс я (связанный элек-

трон) . Снова воспользу емся пр иближением далёких пролётов (рис .

6.1). Вычислим энергию ε, которую пр иобретёт покоящийся электрон

после столкновения. О бозначая ч ерез w

⊥

ускорение атомного электро-

на в напра влении, перпе ндикулярном к скорости налетающего элек-

трона, а через v

⊥

его скорость в том же направлении, имеем

⊥

(ρ

)

3/2

⊥

∞

−∞

ρdt

(ρ

)

3/2

mvρ

∞

−∞

(1 +x

)

3/2

mvρ