Котельников И.А., Ступаков Г.В. Лекции по физике плазмы
Подождите немного. Документ загружается.
Лекция 3
Степень ионизаци и термо дина мич еск и равнов есно й
плазмы. Формула Саха
Наиболее ес тественный с пособ создания пла змы состоит в том, чтобы
нагреть газ до высокой температуры. При этом частицы газа, о бладая
высоко й кинетич еской э нергией, при столкновениях с нейтр альными
атомами срывают электроны с атомных орбит, газ ионизуется и воз-
никает плазма. Ясно, что степень ионизации газа зависит от темпе-
ратуры T, но как? Универсальный ответ можно дат ь, если предполо-
жить, что нагр етый ионизова нный г аз находится в термодинамически
равно весном состоянии. При этом можно воспользова ться методами
статистической физики и р ассмотреть процесс ионизации как химиче-
скую реакцию, потр ебовав минимума термодинамич еског о потенциа-
ла в состоянии р авновесия. Мы вос пользу емс я более наглядным, хотя
и не столь строгим подходом. Для определенности будем рассматри-
вать иониза цию атомарного водорода (пр и интер есующих на с темпе-
ратурах молекулы водор ода диссоциируют) .
Пус ть пер воначально в о бъ еме V имеется N
a0
атомов. В результате
иониза ции возникнет N
i
ионов и с только же электро нов, N
e
= N
i
;через
N
a
обозначим количес тво ост авшихся а томов, N
a
= N
a0
−N
i
.
Рассмотрим одно атомное ядро (протон). Если около него находит-
ся с вязанный электрон, то мы имеем а том, в противном случа е это ион.
В соответствии с общими принципа ми статистич еской физ ики вероят-
ность w
k
того, что электрон на ходится в состоянии с энер гией ε
k
,равна
w
k
=Aexp
−
ε
k
T
, (3.1)
где
A — некоторая нормировочная константа. Отрицательным значе-
ниям энер гии, ε
k
< 0, отвечают связанные состояния, а энергия ε
k
> 0
соответствует свободному движению. Как известно, энергия с вязан-
ных состояний в атоме водорода определяется формулой
ε
k
= −
me
4
2~
2
k
2
, (3.2)
20
где k пр инимает целые значе ния, k = 1, 2, ... . Для упрощения вычи-
слений мы будем у читывать только самый нижний уровень, k =1. В
таком пр иближении электрон либо име ет э нергию ε = −I ,гдеI=Ry≡
me
4
/2~
2
=13,6 эВ, либо находится в непрерывном спектре с ε
k
> 0. Ве-
личина I называется потенциалом ионизации атома водорода.
Найдем величину
A , потребовав, чтобы полная вероятность элек-
трону иметь какую-нибудь э нергию р авнялась единице,
∑
k
w
k
=1. (3.3)
Это дает
A =
"
∑
k
exp
−
ε
k
T
#
−1
=
"
exp
I
T
+
∑
ε
k
>0
exp
−
ε
k
T
#
−1
. (3.4)
Состояния с ε
k
> 0 образуют непрерывный спектр, поэтому сумму
по положительным з начениям энер гии в (3.4) надо з аменить на ин-
теграл. Совершая такую замену, мы воспользуемся квазиклассиче-
ским приближением, согласно которому каждому э нергетич ескому со-
стоянию электрона соответствует элементарная ячейка фазового про-
странства
1
, объем которой d
3
pd
3
r равен (2π~)
3
:
∑
ε
k
>0
→
d
3
pd
3
r
(2π~)
3
.
Кроме того, мы пренебрежем энергией взаимодействия свободного
электрона с ядром, поскольку в большой части состояний непр ерывно-
го спектра эта энергия оказывается о тносительно малой. Тогда энер-
гия ε свободного электрона равна p
2
/2m, что позволяет легко вычи-
1
Мы уточним это утверждениев конце лекции.
21
слить возникающий интеграл
∑
ε
k
>0
exp
−
ε
k
T
=
d
3
pd
3
r
(2π~)
3
e
−p
2
/2mT
=
v
(2π~)
3
∞
0
4πp
2
dpe
−p
2
/2mT
=
4πv
(2π~)
3
(2mT )
3/2
∞
0
dx x
2
e
−x
2
| {z }
=
√
π/4
=
vm
3 /2
T
3 /2
2
3 /2
π
3 /2
~
3
. (3.5)
В р езультате интегр ирования по d
3
r в выражение (3.5) вошел объем
v, доступный одному свободному электрону. Вообще говоря, каждый
свободный электрон может находиться в любой точке объема V ,заня-
того плазмой. Однако при подсчете вероятности найти электрон рядом
с зада нным ядром не важно , какой именно из полного набора N
e
сво-
бодных электронов есть тот самый электрон. Поэтому нетрудно дога-
даться, что в качестве v нужно взять объем, р авный о тношению полно-
го объема плазмы к количеству свободных электронов, v = V/N
e
= n
−1
e
.
Вв едем та к же о бо з на ч е ни е λ
Б
=
√
2π~/
√
mT для длины волны де Бро й-
ля. Тогда р езультат выч исления нормировочной константы записыва -
ется в компа ктном виде
A =
e
I/T
+1/λ
3
Б
n
e
. (3.6)
Вероятнос ть w
a
того, что рассматриваемый протон является ядром
нейтраль ного атома ( т.е. вблизи не го находится электрон в связа нном
состоянии), р авна
w
a
=
e
I/T
e
I/T
+1/λ
3
Б
n
e
,
а вероятность w
i
того, что соответствующий электрон ушел в непре-
рывный спектр (а, следовательно, атом ионизован) , ра вна
w
i
=1−w
a
=
1/λ
3
Б
n
e
e
I/T
+1/λ
3
Б
n
e
.
22
Их отнош ение даё т отно шение пло тностей ионов и электроно в в плаз-
ме
n
i
n
a
=
w
i
w
a
=
e
−I/T
λ
3
Б
n
e
. (3.7)
Отсюда мы находим фо рмулу, вы ражающ ую пло тности ионов, элек-
тронов и атомов через температуру плазмы — формулу Саха:
n
i
n
e
n
a
=
e
−I /T
λ
3
Б
. (3.8)
Теперь настало время сделать важное уточнение, которого мы на-
меренно избе гали р анее, ч тобы не пер еусложнять р асчет.
У каждого электрона, ио на или а тома есть еще внутр енние степени
свободы. Напр имер, электрон имеет спин, который может быть на-
правлен либо «вверх», либо «вниз» . Уч ет внутр енних степеней с во-
боды ( т.е. с пина) не меняет эне ргию ур овней свободног о электрона , и
на одном э нергетичес ком ур овне одно временно могут на ходиться два
электрона. В этом случае говорят, что уровни вырождены.Этооб-
стоятельство учитывают, вводя статвес электрона g
e
. Как мы видим,
g
e
= 2. Поэтому в фо рмуле (3.8) нужно под n
e
в действительности по-
нимать величину n
e
/g
e
, та к как мы заниз или пло тность электроно в в
два раза. Точно так же статвес имеют ион и атом. В окончательном
виде формула Саха выглядит так:
n
i
n
e
n
a
=
g
i
g
e
g
a
e
−I /T
λ
3
Б
≡K (T) . (3.9)
Входящая в правую часть функция температуры K (T ) называется кон-
стантой равновесия.
Определим степень ио низации плазмы α как отно шение
α=
N
i
N
a0
и обозначим через n
a0
плотность ядер , n
a0
= N
a0
/V .Тогда
n
e
=n
i
=αn
a0
, n
a
=(1−α)n
a0
,
и из фо рмулы Саха находим
α
2
1−α
=
g
i
g
e
g
a
e
−I/T
λ
3
Б
n
a0
. (3.10)
23
Рис. 3.1. С тепень ионизации термо-
динамически равновесной водород-
ной плазмы при различных значени-
ях плотности (указана на рис. в еди-
ницах см
−3
). Ст ат вес а тома вод о-
рода g
a
в основном состоянии равен
произведению статвесов электрона и
протона: g
e
и g
i
Качественная завис имость α(T ) имеет вид, изобр аженный на р ис. 3.1.
При малых температурах αравно нулю, пр и больших — единице, а пе-
реход плавно осуществляется при некоторой температуре T
∗
.Напер-
вый взгляд, могло бы показаться, ч то T
∗
должно по по рядку величи-
ны равнять ся э нергии иониза ции I. Пр и этом средней кинетич еско й
энергии частиц как раз хватает , чтобы осуществить ионизацию. На
самом деле оказывается, что T
∗
I . Это связано с тем, что перед экс-
понентой в (3.10) стоит очень большой множитель, р авный по поряд-
ку величины кубу отношения среднего расстояния между частицами
n
−1/3
к дебр ойлевско й длине волны электроно в ~/(mT )
1/2
. Д ля приме -
ра приведем чис ленные з начения для плазмы с плотнос тью n
a0
=10
15
см
−3
.ПриT=I=13,6 эВ множитель перед экспонентой в (3.10) р авен
6·10
7
, а это означа ет, что при такой температуре величина α уже оч ень
близка к единице:
1−α=2·10
−8
.
Легко проверить, что α=0,5приT=0,065I =0,9эВ.
Обсудим теперь, какую ошибку мы сделали, пренебрегши уровня-
ми, соответствующими возбужденным состояниям в атоме водорода.
Поскольку, как мы уста новили, ио низация пр оисходит при T I ,а
расстояние от основного до первого возбужденного уровня равно
3
4
I ,
то вероятность электрону перейти даже в первое возбужденное состо-
яние, пр опорцио нальная exp[−
3
4
I /T ], очень мала. Другими словами,
электрон «пр едпочита ет» пер ейти в непр ерывны й с пектр, вместо то-
го чтобы « сесть» на следующий уро вень. Пр ичина такого по ведения
зак лючается в том, ч то колич ество уро вней в непр ерывном спектре
24
очень велико , и хотя вероятно сть находиться на каждом из них отно-
сительно мала, суммарная вероятность попасть на какой-то уровень
непрер ывного с пектра оказывается знач ительной уже при T I .
I
Задача 3.1
Оценить степень ионизации межзвездной плазмы (см. табл. 1.1), пред-
положив, что она описывается формулой Саха.
I
Задача 3.2
Водород пл отностью 10
17
см
−3
нагрет до температуры 1эВ.Длятого
чтобы увеличить проводимость получившейся плазмы, в неё добавляют
примесь калия. Какова должна быть доля приме сных атомов, чтобы чи-
сло свободны х электронов ув еличилось в 2 раза? Энергия ионизации калия
равна 4,3 эВ, а его осн овное состояние дв укратно вырож дено.
I
Задача 3.3
Пренебрегая спин-орбитальным взаимодействием, найти статвес атома
водорода, находящегося на k -м энергетическом уровне.
I
Задача 3.4
Статвес атома, находяще гося на k -м энергетическом уровне, равен 2k
2
,
поэтому сумма ряда
∑
∞
k=1
2k
2
exp(−ε
k
/T), представл яющая вероятн ость
электрон у находиться в связан ном состоянии, формально расх одится.
Означает ли это, что пренебрежение вкладом уровней с k →∞при выводе
формулы Саха ошибочно?
25
Лекция 4
Кулоновские столкновени я. Кулоновский логарифм
Во многих процессах в плазме определяющую роль играют кулонов-
ские столкновения между з аряженными част ицами. Мы начнём изу че-
ние кулоновских столкновений с рассмотрения следующей задачи: на
кулоновский центр за ряда Z
2
e на летает по ток j частиц с зарядом Z
1
e
(рис. 4.1). Вычислим силу, действующую на рассеивающий центр.
Пусть ρ обозначает прицельное расстояние налетающей частицы.
Через колечко площадью 2πρdρ в единицу в ремени пролетает 2πρdρ j
частиц. Каждая частица отк лоняется на у гол θ, завис ящий от прицель-
ного расстояния ρ, и передаёт рассеивающему центру продольный им-
пульс
∆ p
q
= mv (1−cos θ).
Искомая сила F будет направлена вдоль скорости налетающего пото-
ка частиц и равна импульсу, передаваемому рассеивающему центру в
единицу времени,
F =
∞
0
jmv(1 −cos θ)2πρdρ = mv jσ
тр
, (4.1)
Рис. 4.1. Траектория заряда
Z
1
e, рассеивающегося на непо-
движном кулоновском центре
Z
2
e
26
где
σ
тр
=2π
∞
0
(1−cos θ) ρdρ. (4.2)
Параметр σ
тр
называется транспортным сечением иимеетсмыслпло-
щади поперечного сечения, которое имел бы рассеивающий центр, ес-
ли бы он полность ю поглощ ал импульс падающ их на него час тиц.
Для того чтобы вы числить интеграл ( 4.2), необходимо знать зави-
симость θ от ρ. Эта з ависимость лег ко находится в пр иближении да-
леких пролетов, т.е. когда прицельное расстояние настолько велико,
что угол θ можно считать малым, θ 1. В таком приближении можно
также считать, что частица движется по прямой с постоянной скоро-
стью v, и на йти изменение ее попер ечного импульса, пр оинтегриро вав
перпендикулярную к траектории составляющую кулоновской силы по
времени:
∆ p
⊥
= mvθ =
∞
−∞
F
⊥
dt =
∞
−∞
Z
1
Z
2
e
2
ρ
(ρ
2
+v
2
t
2
)
3/2
dt
=
Z
1
Z
2
e
2
ρv
∞
−∞
dx
(1 +x
2
)
3/2
=
2Z
1
Z
2
e
2
ρv
.
Отсюда находим
θ=
2Z
1
Z
2
e
2
mρv
2
. (4.3)
Кстати, точная формула Резерфорда, дающа я зав исимость θ от ρ при
любых ρ, ненамного сложнее (4.3):
tg
θ
2
=
Z
1
Z
2
e
2
mρv
2
. (4.4)
Возвращаясь к интегралу (4.2), заметим ( и это будет подтверждено р е-
зультатом), что основной вк лад в него будут вносить большие рассто-
яния, где как ра з и спр аведливо приближение далеких пр олетов. Поль-
зуясь ра зложением
1−cos θ=
1
2
θ
2
иформулой(4.3), из (4.2)находим
σ
тр
=
4πZ
2
1
Z
2
2
e
4
m
2
v
4
dρ
ρ
. (4.5)
27
Как видно, написанный интегр ал логар ифмич ески расходится на ниж-
нем и верхнем пределах. Расходимость пр и ма лых ρ связана с тем, что
здесь на рушается использова нное на ми приближение далё ких пр олё-
тов. Этой ра сходимости не возникло , если бы мы пользовались точ-
ным вы ражением (4.4). Испр авить положение можно, за менив нижний
предел интегрир ования в (4.5) на минимальное расстояние ρ
min
,при
котором еще можно пользоваться нашим приближением. Поскольку
интеграл ( 4.5) з ависит о т нижнего предела только лог арифмически, то
точное значение ρ
min
не очень существенно . В качес тве ρ
min
можно
выбрать то прицельное р асстояние, при котором происходит рассея-
ние на угол порядка π/2:
ρ
min
∼
Z
1
Z
2
e
2
mv
2
. (4.6)
Расходимость при больших знач ениях ρ но сит более глубоку ю прич и-
ну. Она с вязана с тем о бстоятельством, что кулоновский потенциал
слишком медленно убывает с расстоянием. Однако, как мы уже знаем,
на самом деле в плазме потенциал заряда экр анируется, так ч то на рас -
стояниях, больших чем дебаевский радиус r
D
, поле спадает экспонен-
циально. Учет этого о бстоятель ства приводит к тому, что прицельные
расстояния, большие r
D
, фактически не вносят вклада в (4.5), и поэто-
му в качестве ве рхнего пр едела ρ
max
в интеграле можно взять величину
r
D
:
ρ
max
∼
T
4πne
2
1/2
. (4.7)
Точное значе ние о тношения ρ
max
/ρ
min
не очень су щественно, п осколь-
ку о но входит под знаком ло гарифма (по этой прич ине мы не у читыва-
ли та кже, что на самом деле поле з аряда в плазме являетс я не кулонов-
ским, а «экранированным кулоном»; учёт этого обстоятельства дал бы
множитель порядка единицы под знаком лога рифма ).
Величину
Λ=ln
ρ
max
ρ
min
(4.8)
назыв ают кулоновским логар ифмом. Ва жно отметить, что под з наком
логарифма в (4.8) стоит большое чис ло. Д ействительно, положим для
оценки v
2
=3T/m,Z
1
=Z
2
=1,тогда
ρ
max
ρ
min
=
3T
3/2
2π
1/2
e
3
n
1/2
∼N
D
1.
28
Для плазмы с T = 100 эВ, n =10
14
см
−3
находим
ρ
max
ρ
min
=1,5·10
6
, Λ=14,3.
Обычно в качестве Λ берут число 10–15.
Итак, для величины σ
тр
мы получа ем вы ражение 16.10.98
σ
тр
=
4πΛZ
2
1
Z
2
2
e
4
m
2
v
4
. (4.9)
Это сече ние падает обр атно про порциональ но ква драту эне ргии на-
летающих час тиц E = mv
2
/2. Принима я Z
1
= Z
2
=1иΛ=15,получим
практическую формулу
σ
тр
'
10
−12
E
2
[эВ]
см
2
. (4.10)
Литература: [10, §1, 2]; [1, §1.4]; [16,гл.2,§10.1].
I
Задача 4.1
Электрон, имеющий на б есконечности скорость v, налетает на д ругой
электрон, первоначально неподвижный. Какую энергию приобретёт вто-
рой электрон после столкновения? Прицельный параметр равен ρ.Най-
ти сред нюю э нергию, передан ную неподв ижному э лектрону, если нал ета-
ющий э лектрон с рав ной ве роятностью может проле теть че рез любу ю
точку в круге, соотве тствующем прицельн ым расстоян иям 0 < ρ< R.
I
Задача 4.2
Найти транспортное се чение рассеяния ул ьтрарелятивистского элек-
трона на неподвижном кулоновском центре.
I
Задача 4.3
Оценить поправку к транспортному се чению, связан ную с близкими столк-
новениями (ρ6 ρ
min
).
I
Задача 4.4
Полупространств о x > 0 занято одно родной пл азмой, которая удержи-
вается магнитным полем. В плазму по нормали к её границе влетает ней-
тральны й атом и сразу же ионизуется. Считая м агнитное пол е одно-
родным , найти коорд инату x иона после его полного торможения. Перво-
начальный ларморов ский радиус иона ρ
0
. Угловым рассеянием пренебречь.
Частота столкновений значительно меньше циклотронной частоты.
29