Котельников И.А., Ступаков Г.В. Лекции по физике плазмы

Подождите немного. Документ загружается.

Рис. 6.2. Сечение ионизации

атома водорода электрон-

ным ударом. Сплошная

линия — экспериментальное

сечение, пунктирная —

вычисленное по формуле

Томс о на

ε =

⊥

W ρ

где ρ — прицельное расстояние, v — продольная скорость налетаю-

щего электрона, а W = mv

/2 — его энерг ия. И з выписанных выше

уравне ний находим

Wε

что дает для диффе ренциального сече ния рас сеяния следующее соо т-

ношение

dσ = |2πρdρ| =

πe

W ε

dε. (6.1)

Атом будет ионизов ан, если э нергия ε, пер еданная атомному электро-

ну, пре высит по тенциал ионизации I , I 6 ε. С другой стороны, яс-

но, ч то ε не может бы ть больше, чем эне ргия налетающ его электро на,

ε6W . Интегр ируя диф ференциа льное сечение иониз ации d σ впреде-

лах о т I до W , на йдем полное сече ние иониз ации σ

πe

(

W −I

)

. (6.2)

Эта ф ормула назы вается фо рмулой Томсона. Максима льное сеч ение

достигается при W ≈ 2I и пр иближенно равно σ

max

≈πe

/4I

= πa

≈

−16

. Полученная фо рмула до воль но точно о тражает хара ктер

зависимости σ

от энергии налетающего электрона, в частности, из

нее с ледует, что при боль ших э нергиях σ

∝ W

−1

. Квантовая тео- 16.20.1998

рия пр едсказывает более медленное у бывание сечения иониз ации, σ

∝

ln(W )/W при W I , и лучше согласуется с экспериментальными дан-

ными, как следует из рис. 6.2.

Величина n

hσ

i, ус редненная по распр еделению электронов, да-

ет число ионов, которое производит один электрон в единицу време-

ни. Скорость роста числа электронов в единице о бъема о писывается

уравне нием

= n

hσ

i. (6.3)

Если электронов становится много, начинает играть роль обратный

процесс тройной рекомбинации, который состоит в том, что когда два

электрона сталкива ются с ио ном, один из них садится на уро вень дис-

кретного спектра, а второй улетает, унося выделившуюся энергию:

+e+e →H +e.

Найдем сла гаемое в ур авнении кинетики ио низации, которое отвеча-

ет з а этот пр оцесс. Ч исло столкновений электроно в в единице объема

равно n

hσ

∗

i,гдеσ

∗

— соответствующее сечение. Однако к рекомби-

нации пр иводят только с толкновения вблизи ио на, в о блас ти, где по-

тенциальная эне ргия взаимодействия с ионом порядка кинетич еской

энер гии электро нов. Число та ких с толкновений в единице объема в

∗

раз меньше полного ч исла столкновений (V

∗

—объемрекомби-

нации вблизи иона ). В р езультате мы пр иходим к вы воду, что коли-

чество актов рекомбинации в единице объема будет р авно βn

,где

β=V

∗

hσ

∗

i—константа скорости рекомбинации, зависящая от тем-

пературы электронов. Таким образом,

= n

hσ

i−βn

. (6.4)

Вместо того чтобы вычислять β, исходя из динамики столкновения,

как это бы ло сделано выше для сеч ения иониза ции σ

,мыможемоце-

нить его с помощью формулы Саха. В полном термодинамическом рав-

новесии плотно сть электронов не меняетс я со временем,

=0,ииз

уравне ния (6.4) сл едует , ч то

β=

hσ

i. (6.5)

С другой стороны, мы знаем, что в термодинамическом равновесии

плотнос ть электроно в зада ется уравне нием С аха (3.9). Из формул

(6.5)и(3.9) следует, что константа скорости рекомбинации β связана

с константой равновесия K (T ) и сеч ением ио низации σ

β=

hσ

K (T)

. (6.6)

Существует и другой канал рекомбинации — фоторекомбинация.

Он состоит в том, что электрон пр и столкновении с ионом пер еходит в

связанное состояние, а выделившаяся энер гия уно сится фотоном:

+e →H +~ω.

Число актов рекомбина ции в единице о бъема можно найти, если ра з-

делить мощно сть рекомбинационного излучения из плазмы на энер -

гию ио низации I. Рекомбинационное излучение из плазмы будет ра с-

смотр ено в лекции 15. Забегая вперед, мы воспользуемся уравнени-

ем ( 15.11) для мощ ности р екомбинационного излучения, что дает для

скорости фоторекомбинации следующее выражение:





фоторек

рек

= γn

где (для водорода)

γ≈

4·10

−13

√

T[эВ]

см

/сек. (6.7)

Наконец, сущ ествует и обра тный к фотор екомбинации про цесс —

фотоионизация, сос тоящ ий в том, что фо то н на лета ет на атом и ио ни-

зует его:

H +~ω→H

+e.

Скорость этого процесса пропорциональна произведению плотности

фотонов и атомов,





фотоион

= µn

где плотно сть фотоно в мы вк лючили в коэффициент µ.

В р езультате с у четом всех про цессов ур авнение кинетики иониза -

ции пр инимает вид

= n

hσ

i−βn

+µn

−γn

. (6.8)

В термодинамическом р авновесии число квантов в единице о бъ ема

есть функция температуры T. При этом можно установить связь между

µ и γ, пользуяс ь принципом дета льного р авновесия , который требует

обращения в нуль попарно суммы первого и второго, а также третьего

ичетвертогослагаемых,

µ=γ

=γK(T). (6.9)

Обычно в лабор аторных ус ловиях излучение не запе рто и плот-

ность квантов много меньше термодинамически равновесной плотно-

сти фотонов, что делает скорость фоторекомбинации пренебрежимо

малой, µ  n

hσ

i. В не очень пло тной плазме можно та кже пр ене-

бречь и тро йной ре комбинацией по ср авнению с ф оторекомбинацие й.

Сравнение второго и четвертого членов в уравнении (6.8) дает усло-

вие возможности такого пренебр ежения:

γ/β∼10





7/2

см

−3

. (6.10)

В у словиях, ко гда выполняется неравенс тво ( 6.10), равновесная кон-

центрация электронов и ионов определяется формулой Эльверта

α=

hσ

. (6.11)

Это так называемое корональное равновесие,получившеесвоеназва-

ние по той причине, что оно осуществляется в солнечной короне. Сте-

пень ионизации в корональном равновесии не зависит от плотности

плазмы.

Упомянем ещ е один важный элементарны й процес с в пла зме — ре-

зонансную пер езарядку. Он состоит в том, ч то атом, пр олетая вблизи

иона, передает ему свой электрон:

H +H

→H

+H.

Если атом бы л быстр ый, а ио н медленный, то в рез ультате получится

быстрый ион и медленный атом. Поскольку в этом процессе электрон

переходит с атомного уровня на такой же атомный уровень у другого

ядра, то про цесс носит р езонансны й хар актер, а сече ние е го очень ве-

лико . При ср авнительно низ кой э нергии с талкивающихся ча стиц о но

пример но в 20 раз боль ше площ ади по перечно го сечения атома πa

Рис. 6.3. Сечение резонанс-

ной перезарядки атома водо-

рода на ионе водорода в за-

висимости от энергии нале-

тающего атома в расчете на

один нуклон

Если относительная скорость v атома и иона превышает скорость вра-

щения электрона в атоме v

2I/m, резонансный характер взаимо-

действия теряется, а сеч ение пе резарядки бы стро уменьшается с ро-

стом энергии (рис. 6.3).

Литература: [7, §10, 11, 16, 17]; [8, §2, 3, 6, 8, 10]; [16,гл.2,§7; гл.3,

§1; гл.5, §2, 3, 6].

Задача 6.1

Вычислить hσ

i при T  I , усре днив сечен ие ионизации (6.2) по макс-

велл овской фу нкции распре деления э лектронов.

Задача 6.2

Почему (при каких условиях) ионизация ионным ударом не существенна?

Задача 6.3

Вычислить константу скорости тройной реком бинации β.

Задача 6.4

Оценить сечение ре зонансной пере зарядки σ

на атоме в одорода при v 

Лекция 7

Движение частиц в электрич ес ком и маг нитном пол ях.

Дрейфов ое прибл ижен ие. Э лектриче ски й, г радиентн ый и

центроб ежн ый дрейфы. Со хранени е магнитн ого мо мента

До сих пор при изу чении плазмы мы не обр ащали внимание , что она

обыч но находится в ма гнитном поле. Магнитно е поле сущ ественным

обра зом влияет на многие свойства плазмы, ис кривляя траектории

движения з аряженных частиц. В этой лекции мы из учим движение

отдельной за ряже нной час тицы в магнитном поле.

Начнем с однор одного магнитного поля. Из ур авнения движения

v =

[v, B] (7.1)

следует, что v

= const, v

= con st. Пе рвое из этих соотноше ний получа-

ется, если обе части уравнения (7.1) умножить скалярно на B, второе

—еслиумножитьнаv; при этом правая часть уравнения обращается в

ноль.

Вводя вектор

Ω =

запишем ур авнение движения в виде

v =[v,Ω]. (7.2)

Поскольку v = const, ясно , что это уравне ние о писывает враще ние век-

тораv. Так как неизменна пр оекция v

скорости на вектор Ω,очевидно,

что вектор v вращается вокруг направления Ω. Скорость углового вра-

щения равна −Ω, пр ичем знак минус здесь с вязан с выбор ом правила

правого винта при опр еделении на правления вращ ения относ итель но

направле ния магнитно го поля (рис . 7.1).

Траектория частицы представляет собой спираль радиуса

ρ=

⊥

|e|B

⊥

|Ω|

Рис. 7.1. В ращение вектора скоро-

сти частицы происходит вокруг на-

правления вектора Ω

Рис. 7.2. Спиральная т раектория ч а-

стицы в магнитном поле

Удобно ввести вектор ρ, проведенный из ларморовского центра к ча-

стице; для не го имеем выр ажение

ρ = −

Ω

[v, h], (7.3)

где h = B/B — единичный вектор, напра вленный вдоль магнитного

поля, а ча стота Ω = eB/mc вычисляется с учётом знака заряда частицы

Теперь пр едставим, что магнитное поле неодно родно и что кр оме

него есть электрическое поле E. Ура внения движения в этом случае

записываются в виде:

r = v, (7.4)

v =

E +[v,Ω]. (7.5)

Найти точное реше ние этих ура внений уда ется только в р едких иск лю-

чительных случаях . Оказывается, одна ко, что относ ительно про сто

описать движение час тицы можно в пра ктически важном пр еделе, ко -

гда масш таб изменения электрического и магнитного полей ` велик по

сравнению с ларморовским радиусом частицы:

ε=

1.

Неоднородно сть магнитно го поля и наличие электрического по -

ля приводят к тому, что на ряду с движением вдоль силовой линии и

быстрым вращением по ларморовской окружности частица медленно

дрейфует (пер еме щается) с одно й силовой линии на другую. Наша

задача состоит в том, чтобы вывести уравнения, которым подчиняется

такое медленное движение в рамках дрейфово й теории.

Перейдем к выводу. Введем формально радиус-вектор R ведущего

центра ларморовской спирали:

R = r −ρ = r +

Ω

[v, h],

причё м у словимся, что в этом о пределении

R величины Ω и h сле-

дует вычислять в точке с радиус вектором r, где находится частица в

данный момент вр емени. Вычислим

R =

r +

Ω

[

v, h]+

Ω

[v,

h]−

Ω

[v,h].

В литературе встречаются также и ные вариан ты вы бора вектора .

Подставив (7.4)и(7.5) в предыдущее уравне ние, получим

R = v +

Ω

[E, h]+Ω



[v,h],h



Ω

[v,

h]−

Ω

[v,h].

Заметив, что

[

[v, h], h

]

= −v +(vh)h = −v

⊥

, перепиш ем пос ледне е урав-

нение в виде

R = v

|{z}

mΩ

[E,h]

{z }

Ω

[v,

{z }

III

−

Ω

[v, h]

{z }

. (7.6)

Уравне ние (7.6) является точным — при его выводе мы не делали

никаких пр иближений. Величина

R содержит в себе как осциллиру ю-

щие (с частотой Ω) члены, которые при усреднении по времени обра-

щаются в нуль, так и плавную составляющую, не обращающу юся в

нуль при у среднении. Ч тобы выделить скорость дрейфа, нужно усред-

нить это уравне ние по быс трым о сцилляциям.

Начнем с первого члена

I = v

h. Он не содержит малого параметра

ε,т.е.v

h=O(1) . Будем стремиться к тому, чтобы все поля вычис ля-

лись в точке R, где в данный момент времени расположен ведущий

центр, и р азложим вектор h в ряд Тейлора вблизи этой точки:

h(r)=h(R+ρ)'h(R)+(ρ∇)h(R).

Пос ледний член здесь имеет порядо к ε. Такой же порядок малости,

как мы увидим, имеет скорость дрейфа. Однако при усреднении по

быстр ым ос цилляциям последний ч лен исчеза ет, так как hρi =0. По-

этому

I i= v

h(R).

Второй член

II =

mΩ

[E,h] уже мал, так как электрическое поле в хо -

рошо проводящей плазме обычно не может быть очень большим. По-

этому в аргументах E, h, Ω для усреднения дос таточно з аменить r на

IIi=

(R)

[E(R),B(R)].

Пере йдём к третьему ч лену

III =

Ω

[v,

h]. В нём

h =

∂h

∂t

+(v∇)h.

Будем считать, ч то магнитное поле не з ависит о т времени. Тогда час т-

ная производная по времени равна нулю, и мы получаем

III =

Ω

[v, (v∇)h].

Чтобы вы полнить у среднение в по следнем ура внении, пере йдём к ин-

дексным обозначениям, выразив векторное произведение через абсо-

лютно антисимметр ичный тензо р третьег о ранга e

αβγ

III

Ω

αβγ

∂h

∂x

Это выр ажение содержит малую про изводную

∂h

∂x

, поэтому с нео бхо-

димой нам точностью порядка ε можно считать, что Ω и h

вычисля-

ютсявточкеR; при этом усреднять следует только v

III

Ω

αβγ

∂h

∂x

Рез ультат у среднения hv

iне должен изменяться пр и любом пово-

роте вокруг направления h. Поэтому тензо р hv

i должен выр ажать-

ся чер ез инвариа нтные тензор ы δ

αβ

, e

αβγ

, которые не меняются вооб-

ще при любом повороте (оказывается, что все другие инвариантные

тензоры выражаются через эти два), и компоненты вектора h.Легко

проверить, что наиболее общее выражение для hv

i, которое можно

составить из имеющихся в нашем распоряжении тензоров, имеет вид

i= Aδ

βν

+ Bh

+ Ce

βνµ

Очевидно , что константа C должна быть р авна нулю, так как v

не

изменяется при изменении з нака h. Коэффициенты A и B на йдём, со-

ставив свертки hv

ic δ

βν

и h

. При этом мы получим два ура внения:

=3A+B,

= A+B.

Реши в их, наход им

i =

⊥

{δ

βν

−h

}+ v

что дает

III

⊥

2Ω

αβγ



∂h

∂x

−h

∂h

∂x



Ω

αβγ

∂h

∂x