Кузнецов Б.Т. Инвестиции
Подождите немного. Документ загружается.
112
ДОХОДНОСТЬ КРЕДИТА
6.1. Доходность долгосрочной кредитной операции
с периодической выплатой процентов
6.2. Доходность долгосрочной кредитной операции
с равными периодическими расходами по долгу
6.3. Доходность потребительского кредита
6.1. Доходность долгосрочной
кредитной операции с периодической
выплатой процентов
Äîëãîñðî÷íûé êðåäèò â ðàçìåðå À âûäàåòñÿ íà ñðîê
n
ïîä ñëîæ-
íóþ ãîäîâóþ ïðîöåíòíóþ ñòàâêó à. Ïðè âûäà÷å ññóäû óäåðæèâàþòñÿ
êîìèññèîííûå Â.  ðåçóëüòàòå äîëæíèê ïîëó÷àåò ñóììó, ðàâíóþ
A
B− . Ïðîöåíòû âûïëà÷èâàþòñÿ ð ðàç â ãîäó (ð-ñðî÷íàÿ ðåíòà), ãî-
äîâàÿ âûïëàòà ñóììû ïðîöåíòîâ ðàâíà
Aa⋅ , îñíîâíîé äîëã âûïëà-
÷èâàåòñÿ â êîíöå ñðîêà. Ïðè îïðåäåëåíèè ïîëíîé äîõîäíîñòè ôèíàí-
ñîâîé îïåðàöèè êðåäèòîðà â âèäå ãîäîâîé ñòàâêè ñëîæíûõ ïðîöåíòîâ
r ïîëàãàþò, ÷òî ñîâðåìåííàÿ ñòîèìîñòü âñåõ âûïëàò ïî ñòàâêå r ðàâ-
íà ñóììå
A
B− , ïîëó÷åííîé äîëæíèêîì, ò.å. áàëàíñîâîå óðàâíåíèå
ïðèíèìàåò âèä
()()
1
1
,
11
n
jn
j
A
A
AB
rr
=
−= +
++
∑
ãäå
1
A — ñòîèìîñòü âñåõ âûïëàò çà êàæäûé îòäåëüíûé ãîä, ïðèâåäåííûõ
ê êîíöó ýòîãî ãîäà.
Ýòà ñòîèìîñòü îïðåäåëÿåòñÿ ïî ôîðìóëå
()
()
()
()
()
12 1
1
1 1 ... 1 .
pp p p p
Аа Аа Аа Аа
Аr r r
pp pp
−−
=+ ++ ++++
Çíàìåíàòåëü ýòîé ãåîìåòðè÷åñêîé ïðîãðåññèè ðàâåí
()
1
1,
p
r+
ïîýòîìó
()
(
)
() ()
1
1
11
11
.
11 11
р
р
pp
r
Aa Aa r
A
pp
rr
⎛⎞
+−
⎛⎞
⎜⎟
⎜⎟
==
⎜⎟
⎜⎟
⎜⎟
+− +−
⎝⎠
⎜⎟
⎝⎠
Глава 6
113
Ïîäñòàâèâ âûðàæåíèå äëÿ
1
A â èñõîäíóþ ôîðìóëó, íàéäåì
()
()
()
1
11
.
11 1
n
p
n
r
Aa r A
AB
pr
rr
−
⎛⎞
−+
⎜⎟
−= +
⎜⎟
+− +
⎝⎠
Ïðîâåäÿ íåîáõîäèìûå ïðåîáðàçîâàíèÿ è ñîêðàòèâ íà À, ïîëó÷èì
()
()
()
()
()
;
1
11
1
11.
1
11
n
n
p
nr
n
p
r
B
aaar
A
r
pr
−
−
−+
−= + = ++
+
⎡⎤
+−
⎢⎥
⎣⎦
Ðåøèòü ýòî óðàâíåíèå îòíîñèòåëüíî
r ìîæíî, íàïðèìåð, ìåòî-
äîì Íüþòîíà—Ðàôñîíà. Ââåäåì çàìåíó
1xr=+ è ïðåîáðàçóåì ïî-
ñëåäíåå âûðàæåíèå ê âèäó
1
1
110.
1
n
n
p
Bx
xa
A
px
−
⎛⎞
−− −=
⎜⎟
⎡⎤
⎝⎠
−
⎣⎦
Óìíîæèì ëåâóþ è ïðàâóþ ÷àñòè ýòîãî óðàâíåíèÿ íà
1
1,
p
x − òîãäà
(
)
(
)
(
)
11
11110.
np n p
Ba
xx x x
Ap
⎛⎞
−−−−−−=
⎜⎟
⎝⎠
 êà÷åñòâå ôóíêöèè
(
)
fx ïðèíèìàåòñÿ âûðàæåíèå
()
1
1
11 1.
n
np
p
BBa a
fx x x x
AAp p
+
⎛⎞
⎛⎞
=− −−+ − ++
⎜⎟
⎜⎟
⎝⎠
⎝⎠
Ïðîèçâîäíàÿ îò ýòîé ôóíêöèè
()
1
1
1
1
1
1
11 .
p
n
n
p
BBax
fx n x n x
pA Ap p
−
+−
−
⎛⎞ ⎛ ⎞
⎛⎞
′
=+ − − −+ −
⎜⎟ ⎜ ⎟
⎜⎟
⎝⎠
⎝⎠ ⎝ ⎠
Ïðèìåð 6.1. Êðåäèò íà ñóììó 100 òûñ. ðóá. âûäàí íà äâà ãîäà ïî
ñëîæíîé ïðîöåíòíîé ñòàâêå 8% ãîäîâûõ. Ïðè âûäà÷å ññóäû êðåäèòîðîì
áûëè óäåðæàíû êîìèññèîííûå â ðàçìåðå 5 òûñ. ðóá. Ïðîöåíòû âûïëà÷èâà-
þòñÿ ðàç â ïîëãîäà.
Îïðåäåëèòü ïîëíóþ äîõîäíîñòü êðåäèòîðà.
Ðåøåíèå.
Ïðèíèìàåì
1
1, 1x = ; 5 100 0,05.BA==
Ïåðâàÿ èòåðàöèÿ:
()( )
2,5 2 1 2
1
0, 08 0, 08
1 0, 05 1 ,1 1 0, 05 1 ,1 1 ,1 1 0, 001103;
22
fx
⎛⎞
=− ⋅ −− + ⋅ − ++ =−
⎜⎟
⎝⎠
()
0,5
1,5
1
1, 1
2,5 0,95 1,1 2 0,99 1,1 0,0852817;
2
fx
−
′
=⋅ ⋅ −⋅ ⋅− =
114
(
)
()
1
21
1
0,001103
1,1 1,1129336.
0,0852817
fx
xx
fx
−
=− = − =
′
Âòîðàÿ èòåðàöèÿ:
(
)
2
0,0001655fx =
;
(
)
2
0,110918;fx
′
=
3
0,0001655
1,1129336 1,1114415.
0,110918
x =− =
Òðåòüÿ èòåðàöèÿ:
(
)
3
0,0000021;fx =
()
3
0,10794878;fx
′
=
4
0,0000815
1,126755 1,1263994.
0, 2291641
x =− =
Ïðèíèìàåì ïîëíóþ äîõîäíîñòü êðåäèòîðà
11,14%r =
.
Ïðè âûïëàòå ïðîöåíòîâ ðàç â ãîäó â êîíöå êàæäîãî ãîäà óðàâ-
íåíèå äëÿ âû÷èñëåíèÿ äîõîäíîñòè ïðèíèìàåò âèä
()
()
()
;
11
1
11.
1
n
n
nr
n
r
B
aaar
Ar
r
−
−
−+
−= + = ++
+
Åñëè êîìèññèîííûå ïðè âûäà÷å êðåäèòà, ïðåäóñìàòðèâàþùåãî
âûïëàòó ïðîöåíòîâ ðàç â ãîäó, íå âûïëà÷èâàþòñÿ, òî ïîëíàÿ äîõîä-
íîñòü êðåäèòîðà r ðàâíà ñëîæíîé ãîäîâîé ïðîöåíòíîé ñòàâêå êðå-
äèòà a. Ýòîò âûâîä ëåãêî ïðîâåðèòü, ïîäñòàâèâ â ïîñëåäíþþ ôîð-
ìóëó
0В = è ra= . Äåéñòâèòåëüíî,
()
()
11
01
1
1
n
n
a
a
Aa
a
−
−+
−= +
+
, ò.å. 11≡ .
6.2. Доходность долгосрочной кредитной
операции с равными периодическими
расходами по долгу
Äîëãîñðî÷íûé êðåäèò â ðàçìåðå À âûäàåòñÿ íà ñðîê n ïîä ñëîæ-
íóþ ãîäîâóþ ïðîöåíòíóþ ñòàâêó a. Ïðè âûäà÷å ññóäû óäåðæèâàþòñÿ
êîìèññèîííûå B.  ðåçóëüòàòå äîëæíèê ïîëó÷àåò ñóììó, ðàâíóþ
A
B− . Ïðîöåíòû è îñíîâíîé äîëã âûïëà÷èâàþòñÿ p ðàç â ãîäó â êîí-
öå ïåðèîäà, ïðè÷åì ñóììà ðàñõîäîâ ïîñòîÿííà. Ïðè îïðåäåëåíèè
ïîëíîé äîõîäíîñòè ôèíàíñîâîé îïåðàöèè êðåäèòîðà â âèäå ãîäîâîé
ñòàâêè ñëîæíûõ ïðîöåíòîâ
r ïîëàãàþò, ÷òî ñîâðåìåííàÿ ñòîèìîñòü
âñåõ âûïëàò ïî ñòàâêå r ðàâíà ñóììå
,AB−
ïîëó÷åííîé äîëæíèêîì,
ò.å. áàëàíñîâîå óðàâíåíèå ïðèíèìàåò âèä
115
()
1
1
1
n
j
j
A
AB
r
=
−=
+
∑
,
ãäå
1
A — ñòîèìîñòü âñåõ âûïëàò çà êàæäûé îòäåëüíûé ãîä, ïðèâåäåííûõ
ê êîíöó ýòîãî ãîäà.
Ôîðìóëà äëÿ âû÷èñëåíèÿ
1
A ïðè åæåãîäíûõ âûïëàòàõ, ðàâíûõ
R , èìååò âèä
()
1
1
.
11
p
Rr
A
p
r
⎛⎞
⎜⎟
=
⎜⎟
+−
⎝⎠
Ïîäñòàâèâ âûðàæåíèå äëÿ
1
A â èñõîäíóþ ôîðìóëó, íàéäåì
()
()
()
;
1
11
11
n
p
nr
p
r
R
AB Ra
p
r
−
−+
−= =
⎡⎤
+−
⎢⎥
⎣⎦
,
ãäå
()
()
()
;
1
11
11
n
p
nr
p
r
a
рr
−
−+
=
⎡⎤
+−
⎢⎥
⎣⎦
— êîýôôèöèåíò ïðèâåäåíèÿ ð-ñðî÷íîé ðåíòû.
Ñ äðóãîé ñòîðîíû, âûïëàòû â êîíöå êàæäîãî ïåðèîäà ñóììû Rp
äîëæíû ïîãàñèòü çàäîëæåííîñòü
A
â êîíöå ñðîêà n , ò.å.
A
ÿâëÿåòñÿ
ñîâðåìåííîé âåëè÷èíîé ð-ñðî÷íîé ðåíòû ñ ãîäîâîé âûïëàòîé
R è ãî-
äîâîé ïðîöåíòíîé ñòàâêîé
a . Òàêèì îáðàçîì,
(
)
;
p
na
RAa=
. Ïîäñòàâèâ
ýòî çíà÷åíèå â áàëàíñîâîå óðàâíåíèå, ïîëó÷èì
()
()
;
;
1.
p
nr
p
na
a
B
A
a
−=
Ïåðåïèøåì ýòî óðàâíåíèå â âèäå
()
()
()
()
11
11 11
1.
1111
nn
pp
ar
B
A
ar
−−
−+ −+
⎛⎞
−=
⎜⎟
⎡⎤⎡⎤
⎝⎠
+− +−
⎢⎥⎢⎥
⎣⎦⎣⎦
Ïðè ðåøåíèè ýòîãî óðàâíåíèÿ îòíîñèòåëüíî r ââåäåì, êàê è
ïðåæäå, çàìåíó
1xr=+ ,
()
()
1
11
1
11
n
p
a
B
D
A
a
−
−+
⎛⎞
−=
⎜⎟
⎡⎤
⎝⎠
+−
⎢⎥
⎣⎦
è ïðåîáðàçóåì åãî
ê âèäó
(
)
1
11 0.
pn
Dx x
−
−−+ =
116
 êà÷åñòâå ôóíêöèè
(
)
fx ïðèíèìàåòñÿ âûðàæåíèå
()
1
1.
np
fx x Dx D
−
=+ −−
Ïðîèçâîäíàÿ îò ýòîé ôóíêöèè
()
1
1
1
.
p
n
x
fx nx D
p
−
−−
′
=− +
Ïðèìåð 6.2. Êðåäèò íà ñóììó 100 òûñ. ðóá. âûäàí íà äâà ãîäà ïî
ñëîæíîé ïðîöåíòíîé ñòàâêå 8% ãîäîâûõ. Ïðè âûäà÷å ññóäû êðåäèòîðîì
áûëè óäåðæàíû êîìèññèîííûå â ðàçìåðå 5 òûñ. ðóá. Ïðîöåíòû è îñíîâíîé
äîëã âûïëà÷èâàþòñÿ ðàç â ïîëãîäà, ïðè÷åì ñóììà ðàñõîäîâ ïîñòîÿííà.
Îïðåäåëèòü ïîëíóþ äîõîäíîñòü êðåäèòîðà.
Ðåøåíèå.
Ïðèíèìàåì
1
1, 1;x = 5 100 0, 05;BA==
òîãäà
()
()
2
12
110,08
0,95 3, 4546626.
10,08 1
D
−
−+
=⋅ =
+−
Ïåðâàÿ èòåðàöèÿ:
()
212
1
1,1 3, 4546626 1,1 3, 4546626 1 0,0049358;fx
−
=+ ⋅− −=−
()
0,5
3
1, 1
2 1,1 3, 4546626 0,1443162;
2
fx
−
−
′
=− ⋅ + =
(
)
()
1
21
1
0,0049358
1,1 1,1342013.
0,1443162
fx
xx
fx
−
=− = − =
′
Âòîðàÿ èòåðàöèÿ:
(
)
2
0,0018703fx =
;
(
)
2
0, 25117;fx
′
=
3
0,0018703
1,1342013 1,126755.
0, 25117
x =− =
Òðåòüÿ èòåðàöèÿ:
(
)
3
0,0000815;fx =
()
3
0,2291641;fx
′
=
4
0,0000815
1,126755 1,1263994.
0, 2291641
x =− =
×åòâåðòàÿ èòåðàöèÿ:
(
)
4
0,0000002 ;fx =
(
)
4
0, 2280964;fx
′
=
5
0,0000002
1,1263994 1,1263985.
0, 2280964
x =− =
Ïðèíèìàåì ïîëíóþ äîõîäíîñòü êðåäèòîðà
12,64%.r ≈
117
Ïðè îòñóòñòâèè êîìèññèîííûõ è âûïëàòå ïðîöåíòîâ ð ðàç â ãî-
äó ïðè ïîñòîÿííîé ñóììå ðàñõîäîâ áàëàíñîâîå óðàâíåíèå ìîæíî
ïðåäñòàâèòü â âèäå
(
)
()
;
;
1.
p
nr
p
na
a
a
=
Ðåøåíèå ýòîãî óðàâíåíèÿ î÷åâèäíî è èìååò âèä rа= , ò.å. ïîë-
íàÿ äîõîäíîñòü êðåäèòîðà ðàâíà ñëîæíîé ãîäîâîé ïðîöåíòíîé ñòàâ-
êå êðåäèòà
а
.
6.3. Доходность потребительского кредита
 ïîòðåáèòåëüñêîì êðåäèòå ïðîöåíòû ïî ïðîñòîé ñòàâêå íàðà-
ùåíèÿ íà÷èñëÿþòñÿ íà âñþ ñóììó êðåäèòà â ìîìåíò åãî îòêðûòèÿ
è ïðèñîåäèíÿþòñÿ ê îñíîâíîìó äîëãó. Íàðàùåííàÿ ñóììà äîëãà â ýòîì
ñëó÷àå áóäåò ðàâíà
(
)
1,SP ni=+
ãäå Ð — ñóììà êðåäèòà; n — ñðîê êðåäèòà â ãîäàõ; i — ïðîñòàÿ ãîäîâàÿ
ñòàâêà íàðàùåíèÿ.
Âåëè÷èíà ðàçîâîãî ïîãàñèòåëüíîãî ïëàòåæà r ñîñòàâèò
(
)
1
P
ni
S
r
pn pn
+
==
,
ãäå p — ÷èñëî ïëàòåæåé â ãîäó.
Ðåøàÿ ýòî óðàâíåíèå îòíîñèòåëüíî ñóììû êðåäèòà Ð, ïîëó÷èì
.
11
rpn Rn
P
ni ni
==
++
Çäåñü
Rrp= — âûïëàòû â ñ÷åò ïîãàøåíèÿ êðåäèòà â òå÷åíèå
ãîäà. Ñ äðóãîé ñòîðîíû, âûïëàòû â ñ÷åò ïîãàøåíèÿ êðåäèòà ìîæíî
ïðåäñòàâèòü â âèäå ãîäîâîé ð-ñðî÷íîé ðåíòû ïî ñòàâêå à, êîòîðàÿ
ÿâëÿåòñÿ ïîëíîé äîõîäíîñòüþ êðåäèòîðà. Ñîâðåìåííàÿ ñòîèìîñòü
òàêîé ðåíòû ðàâíà
(
)
;
.
p
na
PRa=
Ïðèðàâíÿâ ïðàâûå ÷àñòè äâóõ ïîñëåäíèõ ñîîòíîøåíèé, ïîëó÷èì
óðàâíåíèå äëÿ ïîëíîé äîõîäíîñòè a:
()
;
.
1
p
na
n
a
ni
=
+
118
Ðåøèòü óðàâíåíèå ìîæíî, íàïðèìåð, ìåòîäîì Íüþòîíà—Ðàô-
ñîíà. Ïåðåïèøåì ýòî óðàâíåíèå â âèäå
()
()
1
11
.
1
11
n
p
a
n
ni
pa
−
−+
=
+
⎡⎤
+−
⎢⎥
⎣⎦
Ïðè ðåøåíèè ýòîãî óðàâíåíèÿ âìåñòî à áóäåì èñêàòü
1xa=+ .
Ââåäåì òàêæå îáîçíà÷åíèå
(
)
1Bn ni=+. Òîãäà èññëåäóåìîå óðàâíå-
íèå ìîæíî ïåðåïèñàòü â âèäå
(
)
1
11.
np
xBpx
−
−= −
Ðåøåíèå
1x = íå ÿâëÿåòñÿ ðåøåíèåì èñõîäíîãî óðàâíåíèÿ. Â êà-
÷åñòâå èñêîìîé ôóíêöèè
(
)
fx ïðèíèìàåì
()
1
1.
p
n
f
x Bp Bpx x
−
=+ − −
Ïðîèçâîäíàÿ ïî x îò ýòîé ôóíêöèè èìååò âèä
()
1
1
1
.
n
p
fx Bx nx
−
−−
′
=− +
Òåïåðü ìîæíî çàïèñàòü ðåêóððåíòíîå ñîîòíîøåíèå Íüþòîíà—
Ðàôñîíà â îáùåì âèäå
1
1
1
1
1
1
.
p
n
tt
tt
p
n
tt
Bp Bpx x
xx
Bx nx
−
+
−
−−
+− −
=−
−+
Ïðèìåð 6.3. Ïîòðåáèòåëüñêèé êðåäèò íà ñóììó 100 òûñ. ðóá. âûäàí íà
÷åòûðå ãîäà ïî ñòàâêå 8% ãîäîâûõ. Ïîãàñèòåëüíûå ïëàòåæè âûïëà÷èâàþòñÿ
åæåìåñÿ÷íî.
Îïðåäåëèòü âåëè÷èíó åæåìåñÿ÷íûõ âûïëàò è ïîëíóþ äîõîäíîñòü êðå-
äèòîðà.
Ðåøåíèå.
Âåëè÷èíà åæåìåñÿ÷íûõ âûïëàò ðàññ÷èòûâàåòñÿ ïî ôîðìóëå
(
)
(
)
1 100000 1 4 0,08
2750
р
уб.
12 4
Pni
r
pn
++⋅
== =
⋅
Äëÿ îïðåäåëåíèÿ ïîëíîé äîõîäíîñòè êðåäèòîðà íàéäåì êîýôôèöèåíò
(
)
1 4 1, 32 3, 030303Bn ni=+= =
.
Òîãäà ðåêóððåíòíîå ñîîòíîøåíèå ìîæíî ïðåäñòàâèòü â âèäå
112 4
1
11 12 5
37,363636 36,363636
.
3, 030303 4
tt
tt
tt
xx
xx
xx
−
+
−−
−−
=−
−+
119
Ïîëîæèì
1
1, 16x = . Ïåðâàÿ èòåðàöèÿ:
112 4
2
11 12 5
37,363636 36,363636 1,16 1,16 0, 00484
1,16 1,16 1,153463.
0,7404
3, 030303 1,16 4 1,16
x
−
−−
−⋅− −
=− =− =
−
−⋅ +⋅
Ïðîâåäåì ïðîâåðêó, äëÿ ÷åãî â ëåâóþ ÷àñòü óðàâíåíèÿ ïîäñòàâèì
2
x :
()
()
()
4
1
112
11
1 1,153463
3, 0293555.
12 1,153463 1
11
n
p
a
pa
−
−
−+
−
==
⎡⎤
−
+−
⎢⎥
⎣⎦
 èäåàëüíîì ñëó÷àå ýòà âåëè÷èíà äîëæíà áûòü ðàâíà
3, 030303B =
. Ïî-
ëó÷åííîå çíà÷åíèå ëåâîé ÷àñòè óðàâíåíèÿ ñîñòàâëÿåò îò  âåëè÷èíó
3, 030303 3, 0293555
0,00031
3, 030303
−
=
, ò.å. 0,031%. Ïîýòîìó ðàñ÷åò ìîæíî ïðåêðà-
òèòü è ïðèíÿòü ïîëíóþ äîõîäíîñòü êðåäèòîðà ðàâíîé
15,35%a =
.
Êàê ñëåäóåò èç ðàññìîòðåííîãî ïðèìåðà, ñòàâêà êðåäèòà 8% îòëè÷àåòñÿ
îò ïîëíîé äîõîäíîñòè êðåäèòîðà 15,53% ïî÷òè â äâà ðàçà. Ýòî ñâÿçàíî ñ òåì,
÷òî ñòàâêà êðåäèòà íàçíà÷àåòñÿ íà âñþ ñóììó ïåðâîíà÷àëüíîãî äîëãà, à äîëã
ïîñëåäîâàòåëüíî óìåíüøàåòñÿ ïî ìåðå âûïëàò. Òàêèì îáðàçîì, ïîòðåáèòåëÿ
çàñòàâëÿþò ïëàòèòü çà êðåäèò, êîòîðûì îí íå ïîëüçîâàëñÿ.
Упражнения
ЗАДАЧИ
6.1. Êðåäèò íà ñóììó 1 ìëí ðóá. âûäàí íà ïÿòü ëåò ïî ñëîæíîé
ïðîöåíòíîé ñòàâêå 14% ãîäîâûõ. Ïðè âûäà÷å ññóäû êðåäèòîðîì
áûëè óäåðæàíû êîìèññèîííûå â ðàçìåðå 2% ñóììû êðåäèòà. Ïðî-
öåíòû âûïëà÷èâàþòñÿ îäèí ðàç â ãîä. Îïðåäåëèòü ïîëíóþ äîõîä-
íîñòü êðåäèòîðà.
6.2. Êðåäèò íà ñóììó 1 ìëí ðóá. âûäàí íà ïÿòü ëåò ïî ñëîæíîé
ïðîöåíòíîé ñòàâêå 14% ãîäîâûõ. Ïðè âûäà÷å ññóäû êðåäèòîðîì
áûëè óäåðæàíû êîìèññèîííûå â ðàçìåðå 2% ñóììû êðåäèòà. Ïðî-
öåíòû è îñíîâíîé äîëã âûïëà÷èâàþòñÿ ðàç â ãîä, ïðè÷åì ñóììà
ðàñõîäîâ ïîñòîÿííà. Îïðåäåëèòü ïîëíóþ äîõîäíîñòü êðåäèòîðà.
6.3. Ïîòðåáèòåëüñêèé êðåäèò íà ñóììó 50 òûñ. ðóá. âûäàí íà äâà
ãîäà ïî ñòàâêå 10% ãîäîâûõ. Ïîãàñèòåëüíûå ïëàòåæè âûïëà÷èâàþòñÿ
åæåêâàðòàëüíî. Îïðåäåëèòü âåëè÷èíó åæåêâàðòàëüíûõ âûïëàò è ïîë-
íóþ äîõîäíîñòü êðåäèòîðà.
120
СТОИМОСТЬ
ДОЛГОСРОЧНОГО КРЕДИТА
7.1. Постановка задачи
7.2. Проценты по кредиту выплачиваются в конце
каждого года, а основная сумма долга —
в конце срока
7.3. Кредитная операция с периодическими равными
выплатами
7.1. Постановка задачи
Åñëè ðàñ÷åò çà êðåäèò ïðîâîäèòñÿ èç ÷èñòîé ïðèáûëè, òî ñòîè-
ìîñòü êðåäèòà, êàê ïðàâèëî, ðàâíà äîõîäíîñòè êðåäèòíûõ îïåðàöèé
ðàçëè÷íîãî òèïà. Ïðè âû÷èñëåíèè ïëàòåæåé çà êðåäèò èç íàëîãîîá-
ëàãàåìîé ïðèáûëè ñòîèìîñòü çà êðåäèò óìåíüøàåòñÿ áëàãîäàðÿ íà-
ëîãîâîé çàùèòå. Ïðè ýòîì ÷àñòü îáÿçàííîñòåé ïî ïîãàøåíèþ êðå-
äèòà áåðåò íà ñåáÿ ãîñóäàðñòâî.  êàæäîì îòäåëüíîì ñëó÷àå ýòó
ñòîèìîñòü íàäî îïðåäåëÿòü îñîáî.
Ñõåìà âîçìîæíûõ âûïëàò ïî êðåäèòó ïðåäñòàâëåíà íà ðèñ. 7.1.
Ðàññìîòðèì ìåòîäû îïðåäåëåíèÿ ñòîèìîñòè êðåäèòà ïðè âûïëàòàõ
ïî êðåäèòó èç ÷èñòîé ïðèáûëè è èç íàëîãîîáëàãàåìîé ïðèáûëè.
Ðèñ. 7.1
Ïîëàãàåì, ÷òî êðåäèò â ñóììå
А
ðóá. âçÿò íà n ëåò ïîä ñëîæ-
íóþ ãîäîâóþ ïðîöåíòíóþ ñòàâêó
a . Íàëîãîîáëàãàåìóþ ïðèáûëü
îáîçíà÷èì
В ðóá. Ñòàâêà íàëîãà íà ïðèáûëü ðàâíà g, ñðîê êðåäè-
òà — n ëåò.
Глава 7
121
7.2. Проценты по кредиту
выплачиваются в конце каждого
года, а основная сумма долга —
в конце срока
1. Âûïëàòû ïî êðåäèòó ïðîèçâîäÿòñÿ èç ÷èñòîé ïðèáûëè. Òîãäà
÷èñòàÿ ïðèáûëü îïðåäåëÿåòñÿ ñîîòíîøåíèÿìè
(
)
ЧП 1 .Вg=−
Åñëè ïðîöåíòû ïî êðåäèòó âûïëà÷èâàþòñÿ îäèí ðàç â ãîäó, òî
ïîñëå èõ âûïëàòû ÷èñòàÿ ãîäîâàÿ ïðèáûëü áóäåò ðàâíà
(
)
1
ЧП 1 .ВgAa=−− (7.1)
Îòñþäà ñëåäóåò, ÷òî âåëè÷èíà ÷èñòîé ïðèáûëè êàæäûé ðàç
óìåíüøàåòñÿ íà Àà ðóá., ò.å. íà âåëè÷èíó âûïëà÷åííûõ ïðîöåíòîâ.
Ñòîèìîñòü êðåäèòà áóäåì îáîçíà÷àòü áóêâîé r. Óðàâíåíèå äëÿ
îïðåäåëåíèÿ ñòîèìîñòè êðåäèòà ïîëó÷àþò, ïðèðàâíÿâ ñîâðåìåííóþ
ñòîèìîñòü âñåõ ïëàòåæåé ïî êðåäèòó èç ÷èñòîé ïðèáûëè â òå÷åíèå n
ëåò ê ñóììå êðåäèòà À. Ýòà ñîâðåìåííàÿ ñòîèìîñòü ìîæåò áûòü ðàñ-
ñ÷èòàíà ïî ôîðìóëå
()()
()
()
1
11
1.
11
n
n
n
jn
j
r
Аa A
AAar
r
rr
−
−
=
⎛⎞
−+
⎜⎟
=+= ++
⎜⎟
++
⎝⎠
∑
Ñîêðàòèâ íà À, ïîëó÷èì óðàâíåíèå
()
()
11
11.
n
n
r
ar
r
−
−
−+
=++
Ïåðåíåñåì ïîñëåäíåå ñëàãàåìîå èç ïðàâîé ÷àñòè â ëåâóþ:
()
()
11
11 .
n
n
r
ra
r
−
−
−+
−+ =
Ðàçäåëèâ ëåâóþ è ïðàâóþ ÷àñòè óðàâíåíèÿ íà
()
11 ,
n
r
−
−+ íàéäåì
1.
a
r
=
Òàêèì îáðàçîì,
ra= ,
ò.å. ñòîèìîñòü êðåäèòà ðàâíà ñëîæíîé ãîäîâîé ïðîöåíòíîé ñòàâêå
êðåäèòà
a
.
2. Âûïëàòû ïðîöåíòîâ ïðîèçâîäÿòñÿ èç íàëîãîîáëàãàåìîé ïðèáû-
ëè.  ýòîì ñëó÷àå íàëîãîîáëàãàåìàÿ ïðèáûëü áóäåò ðàâíà
BAa− .
Ïîñëå âûïëàòû íàëîãà íà ïðèáûëü ÷èñòàÿ ïðèáûëü ñîñòàâèò
(
)
(
)
2
ЧП 1 .BAa g=− ⋅−