Кузнецов Б.Т. Инвестиции
Подождите немного. Документ загружается.
172
ôóíêöèÿ íå ìåíÿåò ñâîèõ çíà÷åíèé, ïîýòîìó äèôôåðåíöèàë ðàâåí
íóëþ. Òàêèì îáðàçîì,
()
(
)
(
)
,,
,0.
uxy uxy
du x y dx dy
xy
∂∂
=+=
∂∂
Èç ïîëó÷åííîé âûøå ôîðìóëû íàõîäèì çíà÷åíèå äëÿ ïîëíîé
ïðîèçâîäíîé
(
)
(
)
,,
.
uxy uxy
dy
xy
dx
∂∂
=−
∂∂
(11.5)
Òàê êàê ÷èñëèòåëü è çíàìåíàòåëü äðîáè âåëè÷èíû ïîëîæèòåëü-
íûå ïî ñâîéñòâó î ïîëîæèòåëüíîñòè ïåðâîé ïðîèçâîäíîé ôóíêöèè
ïîëåçíîñòè, òî ïðîèçâîäíàÿ ôóíêöèè áåçðàçëè÷èÿ
()
y
yx= ÿâëÿåò-
ñÿ îòðèöàòåëüíîé, ò.å. ýòà ôóíêöèÿ ÿâëÿåòñÿ óáûâàþùåé.
Îáùàÿ ïðîèçâîäíàÿ
dy
dx
⎛⎞
−
⎜⎟
⎝⎠
íàçûâàåòñÿ ïðåäåëüíîé íîðìîé çà-
ìåíû êîëè÷åñòâà ïîòðåáëÿåìûõ áëàã â íà÷àëå ïåðèîäà êîëè÷åñòâîì
ïîòðåáëÿåìûõ áëàã â êîíöå ïåðèîäà. Òàê êàê îáùàÿ ïðîèçâîäíàÿ
âåëè÷èíà îòðèöàòåëüíàÿ, ïåðåä ïðåäåëüíîé íîðìîé çàìåíû ñòîèò
çíàê ìèíóñ. Íîðìà çàìåíû â äàííîé òî÷êå
(
)
,
x
y
ïîêàçûâàåò, ñ êà-
êîé ñêîðîñòüþ áóäåò èçìåíÿòüñÿ êîëè÷åñòâî ïîòðåáëÿåìûõ áëàã â
íà÷àëå ïåðèîäà êîëè÷åñòâîì ïîòðåáëÿåìûõ áëàã â êîíöå ïåðèîäà.
Íàïðèìåð, óâåëè÷èâàåòñÿ êîëè÷åñòâî ïîòðåáëÿåìûõ áëàã â íà÷àëå
ïåðèîäà õ. Íîðìà çàìåíû ïîêàçûâàåò ñêîðîñòü óìåíüøåíèÿ ïîòðåá-
ëåíèÿ êîëè÷åñòâà áëàã â êîíöå ïåðèîäà ó.
Åñëè ïåðåéòè îò áåñêîíå÷íî ìàëûõ ïðèðàùåíèé
dx è dy ê êî-
íå÷íûì ïðèðàùåíèÿì
x∆ è
y
∆ , òî ìîæíî çàïèñàòü ñëåäóþùåå ïðè-
áëèæåííîå ðàâåíñòâî:
.
dy y
dx x
∆
≈
∆
(11.6)
Ñîïîñòàâèâ ïîñëåäíåå ñîîòíîøåíèå ñ ôîðìóëîé (11.5) äëÿ ïîë-
íîé ïðîèçâîäíîé îò êîëè÷åñòâà ïîòðåáëÿåìûõ áëàã ó â êîíöå ïå-
ðèîäà ïî êîëè÷åñòâó ïîòðåáëÿåìûõ áëàã â íà÷àëå ïåðèîäà õ, íàéäåì
(
)
(
)
,,
.
uxy uxy
y
xx y
∂∂
∆
−≈
∆∂ ∂
(11.7)
Äðîáü
y
x
∆
⎛⎞
−
⎜⎟
∆
⎝⎠
íàçûâàåòñÿ íîðìîé çàìåíû êîëè÷åñòâà ïîòðåáëÿåìûõ
áëàã â íà÷àëå ïåðèîäà êîëè÷åñòâîì ïîòðåáëÿåìûõ áëàã â êîíöå ïåðèîäà.
Íîðìà çàìåíû ïîêàçûâàåò, íàñêîëüêî èçìåíèòñÿ êîëè÷åñòâî ïîòðåá-
ëÿåìûõ áëàã â êîíöå ïåðèîäà ïðè èçìåíåíèè êîëè÷åñòâà ïîòðåáëÿå-
ìûõ áëàã â íà÷àëå ïåðèîäà íà åäèíèöó. Åñëè èçâåñòíà ôóíêöèÿ ïîëåç-
íîñòè
()
,uxy, òî íîðìà çàìåíû ðàññ÷èòûâàåòñÿ ïî ôîðìóëå (11.7).
173
Ïðèìåð 11.1. Ïóñòü â íà÷àëå ïåðèîäà ïîòðåáëÿåòñÿ 60 åäèíèö áëàã,
à â êîíöå ïåðèîäà — 90 åäèíèö áëàã. Ôóíêöèÿ ïîëåçíîñòè èíâåñòîðà çàäàíà
ñîîòíîøåíèåì
.uxy=⋅
Îïðåäåëèòü âåëè÷èíó, íà êîòîðóþ èíâåñòîð äîëæåí óâåëè÷èòü ïîòðåá-
ëåíèå â êîíöå ïåðèîäà ïðè óìåíüøåíèè ïîòðåáëåíèÿ â íà÷àëå ïåðèîäà íà
øåñòü åäèíèö.
Ðåøåíèå.
Íîðìà çàìåíû ïåðâîãî ïðîäóêòà âòîðûì íàõîäÿò èç ñîîòíîøåíèÿ
(11.9). Òàê êàê ÷àñòíàÿ ïðîèçâîäíàÿ îò ôóíêöèè ïîëåçíîñòè ïî õ ðàâíà ó,
à ÷àñòíàÿ ïðîèçâîäíàÿ îò òîé æå ôóíêöèè ïî ó ðàâíà õ, òî ïîñëå ïîäñòà-
íîâêè ýòèõ äàííûõ â ôîðìóëó (11.9) ïîëó÷èì
90
1, 5.
60
yy
xx
∆
−≈==
∆
Ïðè óìåíüøåíèè ïîòðåáëåíèÿ áëàã
x
íà 6 åäèíèö ïîòðåáëåíèå áëàã y
âîçðàñòåò íà 9 åäèíèö. Äåéñòâèòåëüíî,
(
)
1, 5 6 9y∆=− ⋅− =
.
11.4. Оптимизация поведения инвестора
Åñòåñòâåííî, ÷òî èíâåñòîð òàê æåëàåò èñïîëüçîâàòü èìåþùèéñÿ
ó íåãî êàïèòàë, ÷òîáû ïîëó÷èòü ìàêñèìàëüíóþ ïîëüçó ïðè çàòðàòå
çàäàííîãî êîëè÷åñòâà ñðåäñòâ, êîòîðîå ìû íàçûâàëè áþäæåòíûì
îãðàíè÷åíèåì. Çàäà÷åé ïîòðåáèòåëüñêîãî âûáîðà íàçûâàåòñÿ îïðåäå-
ëåíèå òàêîãî ïîòðåáèòåëüñêîãî íàáîðà, êîòîðûé ìàêñèìèçèðóåò
ôóíêöèþ ïîëåçíîñòè ïîòðåáèòåëÿ ïðè çàäàííîì áþäæåòíîì îãðà-
íè÷åíèè. Ýòîò íàáîð íàçûâàþò îïòèìàëüíûì äëÿ ïîòðåáèòåëÿ, èëè
ëîêàëüíûì ðûíî÷íûì ðàâíîâåñèåì ïîòðåáèòåëÿ.
Èç ñêàçàííîãî ñëåäóåò, ÷òî äëÿ ðàññìàòðèâàåìîãî ñëó÷àÿ ñóììà
ñðåäñòâ, ïîòðà÷åííûõ íà ïîòðåáëåíèå â íà÷àëå è â êîíöå ïåðèîäà,
íå äîëæíà ïðåâûøàòü áþäæåòíîå îãðàíè÷åíèå. Áþäæåò èíâåñòîðà,
ïðèâåäåííûé ê íà÷àëó ïåðèîäà, ñîñòîèò èç ñóììû òðåõ ñëàãàåìûõ.
Ïåðâîå ñëàãàåìîå — ýòî êîëè÷åñòâî ïîòðåáèòåëüñêèõ áëàã, êîòîðûå
èíâåñòîð ïîëó÷èò áåç âëèÿíèÿ ðàññìàòðèâàåìîé îïåðàöèè â êîíöå
ïåðèîäà
1
,y äèñêîíòèðîâàííûõ íà íà÷àëî ïåðèîäà. Âòîðîå ñëàãàå-
ìîå — ýòî êîëè÷åñòâî ïîòðåáèòåëüñêèõ áëàã
0
,x êîòîðûìè èíâåñòîð
âëàäååò â íà÷àëå ïåðèîäà. Òðåòüå ñëàãàåìîå — ýòî êîëè÷åñòâî ïî-
òðåáèòåëüñêèõ áëàã, êîòîðûå èíâåñòîð ìîæåò ïðèîáðåñòè íà äåíüãè
0
М
, êîòîðûìè îí âëàäååò â íà÷àëå ïåðèîäà.
Êîëè÷åñòâî ïîòðåáëÿåìûõ áëàã, ïðèâåäåííûõ ê íà÷àëó ïåðèîäà,
ñîñòîèò èç äâóõ ñëàãàåìûõ. Ïåðâîå ñëàãàåìîå
x — êîëè÷åñòâî ïî-
òðåáëÿåìûõ áëàã â íà÷àëå ïåðèîäà. Âòîðîå ñëàãàåìîå
1
y
r+
— äèñ-
êîíòèðîâàííîå êîëè÷åñòâî ïîòðåáëÿåìûõ áëàã â êîíöå ïåðèîäà.
174
Òàêèì îáðàçîì, áþäæåòíîå îãðàíè÷åíèå ìîæíî çàïèñàòü â âèäå
0
1
0
.
11
M
y
y
xx
rr
+≤++
++ ψ
Òàêèì îáðàçîì, ïðè ïîìîùè ìàòåìàòè÷åñêèõ ñèìâîëîâ çàäà÷ó
ìàòåìàòè÷åñêîãî âûáîðà ìîæíî ïðåäñòàâèòü ñëåäóþùèì îáðàçîì:
(
)
,max
при условиях:
,
1
0, 0.
uxy
y
xI
r
xy
→⎫
⎪
⎪
⎬
+≤
⎪
+
⎪
>>
⎭
(11.8)
Çäåñü ââåäåíî îáîçíà÷åíèå
0
1
0
1
M
y
Ix
r
=++
+
ψ
. Óñëîâèÿ 0,x >
0y >
íàçûâàþòñÿ îáùèìè îãðàíè÷åíèÿìè çàäà÷è ìàòåìàòè÷åñêîãî ïðîãðàì-
ìèðîâàíèÿ. Îíè ââåäåíû, ïîòîìó ÷òî îòðèöàòåëüíîå ïîòðåáëåíèå
ëèøåíî ñìûñëà.
Ìíîæåñòâî íàáîðîâ èç äâóõ òèïîâ ïîòðåáëåíèÿ, äîñòóïíîå äëÿ
èíâåñòîðà, ïðåäñòàâëÿåò ñîáîé òðåóãîëüíèê, îãðàíè÷åííûé îñÿìè
êîîðäèíàò è áþäæåòíîé ïðÿìîé
1
y
xI
r
+=
+
.
1
y
x
I
r
+=
+
Ðèñ. 11.3. Îáëàñòü äîïóñòèìûõ íàáîðîâ
 ïðîöåññå àíàëèçà ïîòðåáèòåëüñêîãî âûáîðà èññëåäîâàòåëü âû-
áèðàåò òó èëè èíóþ êîíêðåòíóþ ôóíêöèþ ïîëåçíîñòè. ×àñòî â âèäå
òàêîé ôóíêöèè èñïîëüçóþò
,
ab
uxy=⋅ ãäå 1ab+<.
Ðàññìîòðèì äâà îñíîâíûõ ñâîéñòâà çàäà÷è ïîòðåáèòåëüñêîãî âû-
áîðà. Ïåðâîå ñâîéñòâî íàçîâåì ñâîéñòâîì À, à âòîðîå — ñâîéñòâîì Â.
Ñâîéñòâî À. Ðåøåíèå çàäà÷è
(
)
00
,xy íå èçìåíèòñÿ ïðè ëþáîì
ìîíîòîííîì ïðåîáðàçîâàíèè ôóíêöèè ïîëåçíîñòè u = f(x, y) è ïðè
íåèçìåííîì áþäæåòíîì îãðàíè÷åíèè.
175
Ìîíîòîííûì ïðåîáðàçîâàíèåì ôóíêöèè ïîëåçíîñòè íàçûâàåòñÿ
åå óìíîæåíèå íà íåêîòîðîå ïîëîæèòåëüíîå ÷èñëî, âîçâåäåíèå åå
â ïîëîæèòåëüíóþ ñòåïåíü, ëîãàðèôìèðîâàíèå ïî îñíîâàíèþ, áîëü-
øåìó åäèíèöå. Ïðè ìîíîòîííîì ïðåîáðàçîâàíèè ôóíêöèè ïîëåç-
íîñòè åå ïåðâîå ñâîéñòâî, ïðèâåäåííîå âûøå, äîëæíî ñîõðàíÿòüñÿ,
à âòîðîå è òðåòüå ñâîéñòâà ìîãóò òåðÿòüñÿ èëè ïðèîáðåòàòüñÿ. Â îá-
ùåì ñëó÷àå åñëè ôóíêöèÿ ïîëåçíîñòè â çàäà÷å ïîòðåáèòåëüñêîãî
âûáîðà íå îáëàäàåò âòîðûì è òðåòüèì ñâîéñòâàìè, îíà òåì íå ìåíåå
ìîæåò èñïîëüçîâàòüñÿ äëÿ àíàëèçà ïîâåäåíèÿ ïîòðåáèòåëÿ.
Ñâîéñòâî Â. Ðåøåíèå çàäà÷è ïîòðåáèòåëüñêîãî âûáîðà íå èçìåíèò-
ñÿ, åñëè êîýôôèöèåíòû â áþäæåòíîì îãðàíè÷åíèè è äîõîä óâåëè÷àòñÿ
(óìåíüøàòñÿ) â îäíî è òî æå ÷èñëî ðàç. Äåéñòâèòåëüíî, êîýôôèöè-
åíòû â áþäæåòíîì îãðàíè÷åíèè è äîõîä íå âõîäÿò â ôóíêöèþ ïîëåç-
íîñòè. Óìíîæåíèå æå íà ïîëîæèòåëüíîå ÷èñëî ïðàâîé è ëåâîé ÷àñòåé
áþäæåòíîãî îãðàíè÷åíèÿ
1
y
xI
r
+≤
+
äåëàåò åãî ýêâèâàëåíòíûì ñàìî-
ìó ñåáå. Òàêèì îáðàçîì, çàäà÷à îñòàåòñÿ òîé æå, ÷òî è ïåðâîíà÷àëüíî.
Ïðè ðåøåíèè çàäà÷è ìàòåìàòè÷åñêîãî âûáîðà (11.8) îáû÷íî áþä-
æåòíîå îãðàíè÷åíèå
1
y
xI
r
+≤
+
çàìåíÿþò íà ðàâåíñòâî .
1
y
xI
r
+=
+
Ýòî ñâÿçàíî ñ òåì, ÷òî çíà÷åíèå ôóíêöèè ïîëåçíîñòè óâåëè÷èâàåòñÿ
ïðè óâåëè÷åíèè õ è ó (ïåðâîå ñâîéñòâî ôóíêöèè ïîëåçíîñòè). Îòñþäà
ñëåäóåò, ÷òî ìàêñèìóì ëåæèò íà áþäæåòíîé ïðÿìîé.
Òàêèì îáðàçîì, çàäà÷ó ìàòåìàòè÷åñêîãî ïðîãðàììèðîâàíèÿ
ìîæíî çàìåíèòü åå ÷àñòíûì ñëó÷àåì, íàçûâàåìûì çàäà÷åé íà óñëîâ-
íûé ýêñòðåìóì, ò.å.
(
)
,max
при условиях:
,
1
0, 0,
uxy
y
xI
r
xy
→⎫
⎪
⎪
⎬
+=
⎪
+
⎪
>>
⎭
(11.9)
ãäå
(
)
,uxy — öåëåâàÿ ôóíêöèÿ;
()
,
1
y
x
Igxy
r
+−=
+
— ôóíêöèÿ ñâÿçè.
Ðåøàþò òàêèå çàäà÷è ìåòîäîì Ëàãðàíæà. Ôóíêöèÿ Ëàãðàíæà äëÿ
ñôîðìóëèðîâàííîé çàäà÷è èìååò âèä
()()
,, , .
1
y
Lxy uxy x I
r
⎛⎞
λ= +λ⋅ + −
⎜⎟
+
⎝⎠
Êîíñòðóêöèÿ ôóíêöèè Ëàãðàíæà î÷åíü ïðîñòà. Ýòà ôóíêöèÿ
â äàííîì ñëó÷àå ðàâíà ñóììå öåëåâîé ôóíêöèè è ôóíêöèè ñâÿçè,
óìíîæåííîé íà êîýôôèöèåíò Ëàãðàíæà
λ .
Ñîñòàâëÿåì ñèñòåìó ëèíåéíûõ óðàâíåíèé äëÿ ðàñ÷åòà îïòè-
ìàëüíûõ êîëè÷åñòâ ïîòðåáëÿåìûõ òîâàðîâ. Äëÿ ýòèõ öåëåé ïðèðàâ-
íèâàåì íóëþ ïåðâûå ÷àñòíûå ïðîèçâîäíûå ôóíêöèè Ëàãðàíæà.
176
Òàê êàê ÷àñòíàÿ ïðîèçâîäíàÿ îò âòîðîãî ñëàãàåìîãî â ôóíêöèè Ëà-
ãðàíæà
1
y
xI
r
⎛⎞
λ⋅ + −
⎜⎟
+
⎝⎠
ïî
x
ðàâíà λ , ïî y ðàâíà
1 r
λ
+
, à ïî λ ðàâíà
ôóíêöèè ñâÿçè, òî ñèñòåìà ëèíåéíûõ óðàâíåíèé ïðèíèìàåò âèä
(
)
(
)
,, ,
0;
Lxy uxy
xx
∂λ∂
=+λ=
∂∂
(
)
(
)
,, ,
0;
1
Lxy uxy
yyr
∂λ∂
λ
=+=
∂∂+
(
)
,,
0.
1
Lxy
y
xI
r
∂λ
=+ −=
∂λ +
Äëÿ ðåøåíèÿ ýòîé ñèñòåìû óìíîæèì âòîðîå óðàâíåíèå íà
1 r+
è âû÷òåì âòîðîå èç ïåðâîãî.  ðåçóëüòàòå ïîëó÷èì
(
)
(
)
()
,,
10.
uxy uxy
r
xy
∂∂
−+=
∂∂
Ïåðåíåñåì ñëàãàåìîå, èìåþùåå çíàê ìèíóñ, â ïðàâóþ ÷àñòü
è ðàçäåëèì ïðàâóþ è ëåâóþ ÷àñòè íà
(
)
,uxy
y
∂
∂
. Â ðåçóëüòàòå ñèñòåìó
óðàâíåíèé äëÿ óêîðî÷åííîé ïîäîçðèòåëüíîé òî÷êè ôóíêöèè Ëà-
ãðàíæà ìîæíî ïåðåïèñàòü â âèäå
(
)
(
)
,,
1;
uxy uxy
r
xy
∂∂
=+
∂∂
(11.10)
.
1
y
xI
r
+=
+
(11.11)
Íàïîìíèì, èñõîäíàÿ ñèñòåìà èç òðåõ óðàâíåíèé èìååò òðè íå-
èçâåñòíûõ —
,и.xy λ Óêîðî÷åííîé òî÷êîé íàçûâàþò òî÷êó ñ êî-
îðäèíàòàìè
и.xy
Ïîñêîëüêó íåèçâåñòíîå λ â äàííîì ñëó÷àå èãðà-
åò âòîðîñòåïåííóþ ðîëü, òî åãî çíà÷åíèå íàõîäèòü íå îáÿçàòåëüíî.
Ñîïîñòàâèâ ôîðìóëó (11.7) äëÿ íîðìû çàìåíû êîëè÷åñòâà ïî-
òðåáëÿåìûõ áëàã â íà÷àëå ïåðèîäà êîëè÷åñòâîì ïîòðåáëÿåìûõ áëàã
â êîíöå ïåðèîäà ñ ñîîòíîøåíèåì (11.10), íàéäåì
1
y
r
x
∆
−=+
∆
. (11.12)
Ïîëó÷èëè âàæíûé ðåçóëüòàò, ñîñòîÿùèé â òîì, ÷òî íîðìà çàìå-
íû êîëè÷åñòâà ïîòðåáëÿåìûõ áëàã â íà÷àëå ïåðèîäà êîëè÷åñòâîì
ïîòðåáëÿåìûõ áëàã â êîíöå ïåðèîäà ðàâíà ìíîæèòåëþ íàðàùåíèÿ.
Ãåîìåòðè÷åñêèé ñìûñë óñëîâíîãî ýêñòðåìóìà, èëè îïòèìàëüíî-
ãî ðåøåíèÿ, ôóíêöèè
(
)
,иxy â òî÷êå
()
00
,xy ñîñòîèò â òîì, ÷òî
177
ãðàäèåíòû öåëåâîé ôóíêöèè
(
)
00
grad ( , )иx y è ôóíêöèè ñâÿçè
(
)
00
grad ( , )gx y , âûõîäÿùèå èç òî÷êè
(
)
00
,
x
y , îáÿçàòåëüíî ðàñïîëîæå-
íû íà îäíîé ïðÿìîé, ïåðïåíäèêóëÿðíû ëèíèÿì óðîâíåé ôóíêöèé
(
)
,иxy è
(
)
,gxy. Ðàñïîëîæåíèå ýòèõ ãðàäèåíòîâ ïîêàçàíî íà ðèñ. 11.4.
Ðèñ. 11.4. Îïòèìàëüíîå ðåøåíèå
Ëèíèåé óðîâíÿ ôóíêöèè ïîëåçíîñòè ÿâëÿåòñÿ ëèíèÿ áåçðàçëè-
÷èÿ, à ëèíèÿ óðîâíÿ ôóíêöèè ñâÿçè ñîâïàäàåò ñ áþäæåòíîé ïðÿ-
ìîé. Ëèíèÿ óðîâíÿ ôóíêöèè
(
)
,иxy è áþäæåòíàÿ ïðÿìàÿ
1
y
xI
r
+=
+
, ñîäåðæàùàÿ òî÷êó
()
00
,xy , êàñàþòñÿ â ýòîé òî÷êå.
Íàéäåì ôîðìóëó äëÿ ãðàäèåíòà
(
)
(
)
00
grad ,gx y
ôóíêöèè ñâÿçè
(
)
,gxy â òî÷êå
(
)
00
,.xy Èçâåñòíî, ÷òî ôîðìóëà äëÿ ðàñ÷åòà ãðàäè-
åíòà èìååò âèä
()
(
)
(
)
(
)
00 00
00
,,
grad ,
gx y gx y
gx y i j
xy
∂∂
=+
∂∂
.
Íàéäåì çíà÷åíèÿ ÷àñòíûõ ïðîèçâîäíûõ ïî
х è ïî y . Ýòè çíà-
÷åíèÿ ðàâíû
1
1;
y
xI
g
r
xx
⎛⎞
∂+ −
⎜⎟
∂
+
⎝⎠
==
∂∂
1
1
1
y
xI
g
r
yy r
⎛⎞
∂+ −
⎜⎟
∂
+
⎝⎠
==
∂∂ +
.
Ïîäñòàâëÿÿ ðåçóëüòàòû â ôîðìóëó äëÿ ãðàäèåíòà, ïîëó÷èì
(
)
(
)
00
1
grad , .
1
gx y i j
r
=+
+
178
Ïðèìåð 11.2. Ôóíêöèÿ ïîëåçíîñòè èíâåñòîðà èìååò âèä .uxy=
Áþäæåòíîå îãðàíè÷åíèå èìååò âèä
1
y
x
I
r
+≤
+
.
Îïðåäåëèòü õàðàêòåðèñòèêè îïòèìàëüíîãî ïîâåäåíèÿ èíâåñòîðà.
Ðåøåíèå.
Êàê ïîêàçàíî âûøå, ýòó çàäà÷ó ìàòåìàòè÷åñêîãî ïðîãðàììèðîâàíèÿ
ìîæíî çàìåíèòü çàäà÷åé íà óñëîâíûé ýêñòðåìóì:
()
max
при условиях
,0,
1
0, 0.
xy
y
gxy x I
r
xy
→
=+ −=
+
>>
Òàê êàê
u
y
x
∂
=
∂
,
u
x
y
∂
=
∂
, òî ñèñòåìà óðàâíåíèé (11.10) è (11.11) äëÿ
óêîðî÷åííîé ïîäîçðèòåëüíîé òî÷êè ôóíêöèè Ëàãðàíæà èìååò âèä
0
0
0
0
1;
.
1
y
r
x
y
x
I
r
⎫
=+
⎪
⎪
⎬
⎪
+=
⎪
+⎭
Èç ïåðâîãî óñëîâèÿ ñëåäóåò, ÷òî
()
00
1yx r=+
. Ïîäñòàâèâ ïîñëåäíþþ
ôîðìóëó âî âòîðîå óðàâíåíèå ñèñòåìû, ïîëó÷èì
0
0
12
y
I
x
r
==
+
, ò.å. îïòè-
ìàëüíîå ïîòðåáëåíèå èíâåñòîðà â êîíöå è â íà÷àëå ïåðèîäà ñîñòàâëÿåò ïî-
ëîâèíó åãî îáùåãî äîõîäà.  ïåðâîíà÷àëüíûõ îáîçíà÷åíèÿõ ýòî ñîîòíîøå-
íèå ìîæíî çàïèñàòü â âèäå
0
0
0
1
0
1
.
121
M
y
y
xx
rr
⎛⎞
==⋅ ++
⎜⎟
++ψ
⎝⎠
Упражнения
ЗАДАЧИ
11.1. Ïóñòü â íà÷àëå ïåðèîäà ïîòðåáëÿåòñÿ 120 åäèíèö ïðîäóê-
öèè, à â êîíöå — 180 åäèíèö ïðîäóêöèè. Ôóíêöèÿ ïîëåçíîñòè èí-
âåñòîðà çàäàíà ñîîòíîøåíèåì
0,5 0,5
.ux y=⋅
Îïðåäåëèòü âåëè÷èíó, íà êîòîðóþ ïîòðåáèòåëü äîëæåí óâåëè-
÷èòü ïîòðåáëåíèå â êîíöå ãîäà ïðè óìåíüøåíèè ïîòðåáëåíèÿ â íà-
÷àëå ãîäà íà ïÿòü åäèíèö. Íàéòè ñòàâêó äèñêîíòèðîâàíèÿ.
11.2. Ôóíêöèÿ ïîëåçíîñòè èíâåñòîðà èìååò âèä u = x
α
•y
α
. Áþä-
æåòíîå îãðàíè÷åíèå èìååò âèä
1
y
xI
r
+≤
+
. Îïðåäåëèòü õàðàêòåðè-
ñòèêè îïòèìàëüíîãî ïîâåäåíèÿ èíâåñòîðà.
Часть1
КРИТЕРИИ
И МЕТОДЫ ОЦЕНКИ
ИНВЕСТИЦИОННЫХ
ПРОЕКТОВ
Глава 12
ПОКАЗАТЕЛИ КАЧЕСТВА
ИНВЕСТИЦИОННОГО ПРОЕКТА
Глава 13
ЭКОНОМИЧЕСКИЕ ПОКАЗАТЕЛИ
КАЧЕСТВА ИНВЕСТИЦИОННОГО ПРОЕКТА
ДЛЯ ОБЩЕГО СЛУЧАЯ ПОТОКОВ ПЛАТЕЖЕЙ
Глава 14
ОЦЕНКА СТОИМОСТИ БИЗНЕСА
Глава 15
ФИНАНСОВЫЙ АНАЛИЗ ПРЕДПРИЯТИЯ
Глава 16
ТЕХНИКО-ЭКОНОМИЧЕСКОЕ
ОБОСНОВАНИЕ РЕАЛЬНЫХ
ИНВЕСТИЦИОННЫХ ПРОЕКТОВ
Глава 17
УПРАВЛЕНИЕ ИНВЕСТИЦИЯМИ
В ОБЪЕМЕ МАКРОЭКОНОМИКИ
Часть 4
180
ПОКАЗАТЕЛИ КАЧЕСТВА
ИНВЕСТИЦИОННОГО ПРОЕКТА
12.1. Определение качества инвестиционного
проекта
12.2. Экономические показатели качества
инвестиционных проектов
12.3. Ставка дисконтирования инвестиционного
проекта
12.3. Типы инвестиционных потоков платежей
12.5. Основные показатели инвестиционного
проекта с одноразовой инвестицией
12.6. Эффекты и эффективность
инвестиционного проекта
12.1. Определение качества
инвестиционного проекта
Ôèðìû ðàçâèòûõ êàïèòàëèñòè÷åñêèõ ñòðàí ôóíêöèîíèðóþò â óñ-
ëîâèÿõ îòëàæåííûõ ðûíî÷íûõ îòíîøåíèé, à ðîññèéñêàÿ ðûíî÷íàÿ
ýêîíîìèêà íàõîäèòñÿ òîëüêî â íà÷àëüíîé ñòàäèè ñóùåñòâîâàíèÿ.
Ïîýòîìó îïûò çàãðàíè÷íûõ êîðïîðàöèé íå ìîæåò áûòü ïîëíîñòüþ
èñïîëüçîâàí ðîññèéñêèìè ïðåäïðèíèìàòåëÿìè. Ð.À. Ôàòõóòäèíîâ
â ñâîåé êíèãå «Ñòðàòåãè÷åñêèé ìåíåäæìåíò» (Ì.: Äåëî, 2002) ñðàâ-
íèâàåò ðîññèéñêóþ ýêîíîìèêó ñ êîðàáëåì, îò÷àëèâøèì îò ïîðòà
(êîìàíäíî-àäìèíèñòðàòèâíàÿ ñèñòåìà) â ãàâàíü (ðûíî÷íàÿ ýêîíî-
ìèêà). Â àìåðèêàíñêîé è çàïàäíîåâðîïåéñêîé ëèòåðàòóðå ýòà ãàâàíü
õîðîøî îïèñàíà, íî îòñóòñòâóåò îïèñàíèå ïóòè â íåå.
Ìàêðîõàðàêòåðèñòèêè ýêîíîìèêè Ðîññèè ïî ñðàâíåíèþ ñ ðàç-
âèòûìè ñòðàíàìè âûãëÿäÿò êðàéíå ïëà÷åâíî. Ïðè ïðèðîäíûõ ðåñóð-
ñàõ ñòðàíû, ñîñòàâëÿþùèõ 30% ìèðîâûõ, è íàñåëåíèè, ñîñòàâëÿþ-
ùåì îêîëî 2,4% ìèðîâîãî íàñåëåíèÿ, ìû èìååì ñóùåñòâåííîå îòñòà-
âàíèå ïðàêòè÷åñêè ïî âñåì îñíîâíûì ìàêðîïîêàçàòåëÿì. Ìåñòî Ðîñ-
ñèè ïî æèçíåííîìó óðîâíþ íàõîäèòñÿ âî âòîðîé ïîëîâèíå ñîòíè,
à äîëÿ áåäíûõ ïðèáëèæàåòñÿ ê 50%.
Èç ñêàçàííîãî ñëåäóåò, ÷òî äëÿ îöåíêè êà÷åñòâà èíâåñòèöèîí-
íîãî ïðîåêòà ëó÷øå âñåãî èñïîëüçîâàòü êîëè÷åñòâåííûå ïîêàçàòåëè
ñ ó÷åòîì ñòåïåíè âîçìîæíûõ ðèñêîâ. Äëÿ òàêèõ îöåíîê ñëåäóåò èñ-
Глава 12
181
ïîëüçîâàòü îáùåèçâåñòíûå ïîíÿòèÿ «ýôôåêò» è «ýôôåêòèâíîñòü».
Ýôôåêòû è ýôôåêòèâíîñòè ïîçâîëÿþò îïèñàòü êà÷åñòâî ñòðàòåãèè
â âèäå öèôð è îòðàçèòü ýòè öèôðû â ñòðàòåãè÷åñêîì ôèíàíñîâîì
ïëàíå. Òàêîå ïðåäñòàâëåíèå êà÷åñòâà èíâåñòèöèîííûõ ïðîåêòîâ ïî-
çâîëÿåò ñðàâíèòåëüíî ëåãêî óïðàâëÿòü èõ ðåàëèçàöèåé ïóòåì ñðàâ-
íåíèÿ ïëàíîâîãî è ðåàëüíîãî ñîñòîÿíèé è ïðèíÿòèÿ ðåøåíèé. Â
ðîññèéñêèõ óñëîâèÿõ âñå êà÷åñòâåííûå êðèòåðèè ìîãóò áûòü èñ-
ïîëüçîâàíû â âèäå âñïîìîãàòåëüíûõ.
Ñõåìà äëÿ îïðåäåëåíèÿ ýôôåêòîâ è ýôôåêòèâíîñòåé èíâåñòè-
öèîííîãî ïðîåêòà ïðåäñòàâëåíà íà ðèñ. 12.1.
Ðèñ. 12.1. Ñõåìà èíâåñòèöèîííîãî ïðîåêòà
Âõîäû ôîðìèðóþòñÿ âíåøíåé è âíóòðåííåé ñðåäîé. Ê ÷èñëó âõî-
äîâ îòíîñÿòñÿ: òèï áèçíåñà, êîëè÷åñòâî ñîòðóäíèêîâ è èõ êâàëèôè-
êàöèÿ, èíâåñòèöèè, ïîñòàâùèêè, áàíêè, çàêîíîäàòåëüíàÿ áàçà è ò.ä.
Âûõîäû ÿâëÿþòñÿ ýôôåêòàìè. Ê âûõîäàì ìîãóò îòíîñèòüñÿ, íà-
ïðèìåð, âûïóñêàåìûé çà çàäàííûé ïðîìåæóòîê âðåìåíè îáúåì ïðî-
äóêöèè, îáúåì îñíîâíûõ è îáîðîòíûõ ñðåäñòâ, ñîáñòâåííûé êàïè-
òàë ïðåäïðèÿòèÿ, ÷èñòàÿ ïðèáûëü, ñòîèìîñòü íåìàòåðèàëüíûõ àêòè-
âîâ è ïð. Âûõîäû èìåþò ïðîñòóþ ðàçìåðíîñòü, íàïðèìåð ðóáëü,
òîííà, ïîãîííûé ìåòð è ò.ä.
Ýôôåêòèâíîñòü — ýòî îòíîøåíèå âûõîäîâ ê âõîäàì. Ýôôåê-
òèâíîñòüþ ÿâëÿþòñÿ, íàïðèìåð, ïðîèçâîäèòåëüíîñòü òðóäà, äîõîä-
íîñòü, êîýôôèöèåíòû ëèêâèäíîñòè àêòèâîâ ïðåäïðèÿòèÿ è äð. Ýô-
ôåêòèâíîñòü èìååò ñëîæíóþ ðàçìåðíîñòü èëè ÿâëÿåòñÿ âåëè÷èíîé
áåçðàçìåðíîé. Ðàññìîòðèì íåñêîëüêî ïðèìåðîâ ýôôåêòèâíîñòè.
Äîõîäíîñòü ññóäíîé îïåðàöèè — îòíîøåíèå ïðîöåíòîâ ê âåëè÷è-
íå äîëãà — èìååò ðàçìåðíîñòü
1
.
год
Ïðîèçâîäèòåëüíîñòü òðóäà — îòíîøåíèå âûõîäà ïðîäóêöèè ê çà-
òðàòàì íà ïðîèçâîäñòâî. Íåïîëíàÿ ïðîèçâîäèòåëüíîñòü:
Весь объем выпуска
;
Труд
Выпуск продукции
;
Материалы
Выпуск продукции
;
Капитал
Выпуск продукции
.
Энергия
Cîâîêóïíàÿ ôàêòîðíàÿ ïðîèçâîäèòåëüíîñòü:
Весь объем выпуска (выход)
.
Труд + Капитал + Материалы + Энергия + Остальное